一、有关变力功的计算： 1. 转化模型求变力的功
例一：人在A点拉着绳通过一定滑轮吊起质量m=50kg的物体，如图所示，开始绳与水平方向夹角为60°，当人匀速提起重物由A点沿水平方向运动S＝2m，而到达B点，此时绳与水平方向成30°角，求人对绳的拉力做了多少功？
分析与解：人对绳的拉力大小虽然始终等于物体的重力，但方向却时刻在变，而已知的位移S又是人沿水平方向走的距离，所以无法利用W＝FScosθ 直接求拉力的功，若转换研究对象，以物体G为对象，其动能的增量即人对物体做的功。这种转换研究对象的
方法是求变力的一条有效途径。
设滑轮距地面的高度为H， 则：
人由A走到B的过程中，重物G上升的高度ΔH等于滑轮右侧绳子增加的长度，即：
人对绳做的功：W＝FS＝GΔH 代入数据得：W=732 J。
例二：把长为L的铁钉钉入木板中，每打击一次给予的能量为E0，已知钉子在木板中遇到的阻力与钉子进入木板的深度成正比,比例系数为K，问：把此钉子全部打入木板中，需要打击多少次？
分析与解：在钉子进入木板的过程中，钉子把获得的能量用来克服阻力做功，而阻力为变力，因此要求出这个力的功，可采用平均值来求。又因为钉子所受的阻力与钉子进入木板的深度成正比，即：F＝Kx， 所以，其平均值 克服阻力所做的功： 由能量守恒：
，F1=0，F2=KL，
， 所以：
方法二：本题中因所受的阻力与钉子进入木板的深度成正比，类似于弹簧的弹力（F=kx），因此，克服阻力所做的功，可转化为弹簧模型，即阻力所做的功，可等效认为转化为弹簧的弹性势能。
，即可得出同样的结论：
。
2. 巧用结论求变力的功 结论的引入及证明：
例三：物体静止在光滑的水平面上，先对物体施加一个水平向右的恒力F1，立即再对它施加一个水平向左的恒力F2，又经t秒后，物体回到出发点，在这一过程中，F1、F2分别对W1、W2间的关系是
A. W1= W2 B. W2= 2W1 C. W2= 3W1 D. W2= 5W1 分析与解：如图所示，AB段物体受的作用力为F1，BCD段物体受作用力F2，设向右为正方向，AB=S， 则AB段物体的加速度：
B点的速度：
BCD段物体的加速度：
综合以上各式有：
A到B过程中F1做正功，BCD过程中因位移为0，F2的总功为0，B到D过程F2做正功，即 ∴
，
，故正确选项为C。
练习1：在光滑水平面上有一静止的物体，现以水平恒力推这一物体，作用一段时间后，换成相反方向的恒力推这一物体，当恒力乙与恒力甲作用时间相同时，物体恰回到原处，此时物体的动能为32J，则在整个过程中，恒力甲做的功等于_____________，恒力乙做的功等于_______________。 利用上述结论有： 又因为： ∴
Ｊ，
Ｊ
二、功能关系的应用 1. 功能关系的简单应用
例四：将一个小球竖直向上抛，初动能为100J，上升到某一高度时动能减少80J，机械能损失20J，设阻力大小不变，那么小球回到抛出点时的动能为： A. 20J B. 40J C. 50J D. 80J
分析与解：物体机械能的损失是因为克服阻力做功，即当机械能减少20J
时，克服阻力
所做的功为20J，动能的减少是因为合外力做功，当动能减少80J时，克服重力做功为80－20=60J。因此过程中位移相同，所以：
，物体上升到最高处时，动能为0，则克服
重力和阻力分别做功75J和25J，同理在下落过程中克服阻力做功为25J。在整个过程中重力做功为0，克服阻力做功为25+25=50J，则回到原出发点时，物体的动能为100J－50J＝50J。 正确答案为：C
练习2：一物体以150J的初动能从倾角为θ 的斜面底端沿斜面向上做匀减速运动，当它的动能减少100J时，机械能损失了30J，物体继续上升到最高位置时，它的重力势能增加__________J，然后物体从最高位置返回原出发点时与放在斜面底端垂直斜面的挡板发生碰撞（碰撞过程中无机械能损失）后，物体又沿斜面向上运动，物体第二次上升时重力势能增加的最大值是____________J。 答案：105J，15J。 2. 功能关系的综合问题。
例五：如图所示，水平传送带AB长L=8.3m，质量为M=1kg的木块随传送带一起以V1=2m/s匀速运动（传送带的传送速度恒定），木块与传送带的动摩擦因数m =0.5，当木块运动至最左端A点时，一颗质量为m=20g的子弹以V0=300 m/s水平向右的速度正对射入木块并穿出，穿出速度V=50 m/s，以后每隔1s就有一颗子弹射向木块，设子弹射穿木块的时间极短，且每次射入点各不相同，取g =10 m/s2，求：
（1）在被第二颗子弹击中前，木块向右运动离A点的最大距离？ （2）木块在传送带上最多能被多少颗子弹击中？
（3）从第一颗子弹射中木块到木块最终离开传送带的过程中，子弹、木块和传送带这一系统所产生的热能是多少？ 分析与解：
（1）第一颗子弹射入木块过程中系统动量守恒，以向右的方向为正方向，有：
， 解得：
木块受向左的摩擦力，以V1′向右作匀减速运动其加速度： 则木块速度减小到0所用时间为： 解得：t1=0.6s＜1s
所以，木块在被第二颗子弹击中前向右运动离A点最远时，速度为0，移动距离为
解得S1=0.9m
（2）在第二颗子弹射中木块前，木块再向左作加速运动， 时间：t2=1s－0.6s=0.4s 速度增大为：
向左移动的位移为：
，方向向右。
所以两颗子弹射中木块的时间间隔内，木块总位移第16颗子弹击中前，木块向右移动的位移为
第16颗子弹击中后，木块将会再向右先移动0.9m，总位移为0.9m+7.5m=8.4m＞8.3m 木块将从B端落下。木块在传送带上最多能被16颗子弹击中。 （3）第一颗子弹击穿木块过程中产生的热量为：
木块向右减速运动过程中相对传送带的位移为 产生的热量
J
木块向左加速运动过程中相对传送带的位移为 产生的热量
第16颗子弹射入后木块滑行时间为t3，有 解得t3=0.4s
木块与传送带的相对位移为 产生的热量
所以，全过程中产生的热量
总之，在解答机械能一章有关功的计算及功能的转化关系时，要特别注意力做了功，必有能量发生转化，把握力的功与能量转化之间的关系，正确列出相应的等式，求出待求的物理量。
一、有关变力功的计算： 1. 转化模型求变力的功
例一：人在A点拉着绳通过一定滑轮吊起质量m=50kg的物体，如图所示，开始绳与水平方向夹角为60°，当人匀速提起重物由A点沿水平方向运动S＝2m，而到达B点，此时绳与水平方向成30°角，求人对绳的拉力做了多少功？
分析与解：人对绳的拉力大小虽然始终等于物体的重力，但方向却时刻在变，而已知的位移S又是人沿水平方向走的距离，所以无法利用W＝FScosθ 直接求拉力的功，若转换研究对象，以物体G为对象，其动能的增量即人对物体做的功。这种转换研究对象的
方法是求变力的一条有效途径。
设滑轮距地面的高度为H， 则：
人由A走到B的过程中，重物G上升的高度ΔH等于滑轮右侧绳子增加的长度，即：
人对绳做的功：W＝FS＝GΔH 代入数据得：W=732 J。
例二：把长为L的铁钉钉入木板中，每打击一次给予的能量为E0，已知钉子在木板中遇到的阻力与钉子进入木板的深度成正比,比例系数为K，问：把此钉子全部打入木板中，需要打击多少次？
分析与解：在钉子进入木板的过程中，钉子把获得的能量用来克服阻力做功，而阻力为变力，因此要求出这个力的功，可采用平均值来求。又因为钉子所受的阻力与钉子进入木板的深度成正比，即：F＝Kx， 所以，其平均值 克服阻力所做的功： 由能量守恒：
，F1=0，F2=KL，
， 所以：
方法二：本题中因所受的阻力与钉子进入木板的深度成正比，类似于弹簧的弹力（F=kx），因此，克服阻力所做的功，可转化为弹簧模型，即阻力所做的功，可等效认为转化为弹簧的弹性势能。
，即可得出同样的结论：
。
2. 巧用结论求变力的功 结论的引入及证明：
例三：物体静止在光滑的水平面上，先对物体施加一个水平向右的恒力F1，立即再对它施加一个水平向左的恒力F2，又经t秒后，物体回到出发点，在这一过程中，F1、F2分别对W1、W2间的关系是
A. W1= W2 B. W2= 2W1 C. W2= 3W1 D. W2= 5W1 分析与解：如图所示，AB段物体受的作用力为F1，BCD段物体受作用力F2，设向右为正方向，AB=S， 则AB段物体的加速度：
B点的速度：
BCD段物体的加速度：
综合以上各式有：
A到B过程中F1做正功，BCD过程中因位移为0，F2的总功为0，B到D过程F2做正功，即 ∴
，
，故正确选项为C。
练习1：在光滑水平面上有一静止的物体，现以水平恒力推这一物体，作用一段时间后，换成相反方向的恒力推这一物体，当恒力乙与恒力甲作用时间相同时，物体恰回到原处，此时物体的动能为32J，则在整个过程中，恒力甲做的功等于_____________，恒力乙做的功等于_______________。 利用上述结论有： 又因为： ∴
Ｊ，
Ｊ
二、功能关系的应用 1. 功能关系的简单应用
例四：将一个小球竖直向上抛，初动能为100J，上升到某一高度时动能减少80J，机械能损失20J，设阻力大小不变，那么小球回到抛出点时的动能为： A. 20J B. 40J C. 50J D. 80J
分析与解：物体机械能的损失是因为克服阻力做功，即当机械能减少20J
时，克服阻力
所做的功为20J，动能的减少是因为合外力做功，当动能减少80J时，克服重力做功为80－20=60J。因此过程中位移相同，所以：
，物体上升到最高处时，动能为0，则克服
重力和阻力分别做功75J和25J，同理在下落过程中克服阻力做功为25J。在整个过程中重力做功为0，克服阻力做功为25+25=50J，则回到原出发点时，物体的动能为100J－50J＝50J。 正确答案为：C
练习2：一物体以150J的初动能从倾角为θ 的斜面底端沿斜面向上做匀减速运动，当它的动能减少100J时，机械能损失了30J，物体继续上升到最高位置时，它的重力势能增加__________J，然后物体从最高位置返回原出发点时与放在斜面底端垂直斜面的挡板发生碰撞（碰撞过程中无机械能损失）后，物体又沿斜面向上运动，物体第二次上升时重力势能增加的最大值是____________J。 答案：105J，15J。 2. 功能关系的综合问题。
例五：如图所示，水平传送带AB长L=8.3m，质量为M=1kg的木块随传送带一起以V1=2m/s匀速运动（传送带的传送速度恒定），木块与传送带的动摩擦因数m =0.5，当木块运动至最左端A点时，一颗质量为m=20g的子弹以V0=300 m/s水平向右的速度正对射入木块并穿出，穿出速度V=50 m/s，以后每隔1s就有一颗子弹射向木块，设子弹射穿木块的时间极短，且每次射入点各不相同，取g =10 m/s2，求：
（1）在被第二颗子弹击中前，木块向右运动离A点的最大距离？ （2）木块在传送带上最多能被多少颗子弹击中？
（3）从第一颗子弹射中木块到木块最终离开传送带的过程中，子弹、木块和传送带这一系统所产生的热能是多少？ 分析与解：
（1）第一颗子弹射入木块过程中系统动量守恒，以向右的方向为正方向，有：
， 解得：
木块受向左的摩擦力，以V1′向右作匀减速运动其加速度： 则木块速度减小到0所用时间为： 解得：t1=0.6s＜1s
所以，木块在被第二颗子弹击中前向右运动离A点最远时，速度为0，移动距离为
解得S1=0.9m
（2）在第二颗子弹射中木块前，木块再向左作加速运动， 时间：t2=1s－0.6s=0.4s 速度增大为：
向左移动的位移为：
，方向向右。
所以两颗子弹射中木块的时间间隔内，木块总位移第16颗子弹击中前，木块向右移动的位移为
第16颗子弹击中后，木块将会再向右先移动0.9m，总位移为0.9m+7.5m=8.4m＞8.3m 木块将从B端落下。木块在传送带上最多能被16颗子弹击中。 （3）第一颗子弹击穿木块过程中产生的热量为：
木块向右减速运动过程中相对传送带的位移为 产生的热量
J
木块向左加速运动过程中相对传送带的位移为 产生的热量
第16颗子弹射入后木块滑行时间为t3，有 解得t3=0.4s
木块与传送带的相对位移为 产生的热量
所以，全过程中产生的热量
总之，在解答机械能一章有关功的计算及功能的转化关系时，要特别注意力做了功，必有能量发生转化，把握力的功与能量转化之间的关系，正确列出相应的等式，求出待求的物理量。