知识点1指数运算
（1）分数指数幂①a
m n
指数与指数函数
=a >0, m , n ∈N ，且n
*
>1）；②a
-
m
n
=
1a
m n
=
1
a m
(a >0, m , n ∈N *, n >1)
（2）根式的性质①=a . ②当n =a ； 当n n ⎧a , a ≥0
. =|a |=⎨
-a , a
（3）有理指数幂的运算性质
r s rs r s r +s r r r
；②(a ) =a (a >0, r , s ∈Q ) ；③(ab ) =a b (a >0, b >0, r ∈Q ) a ⋅a =a (a >0, r , s ∈Q ) ①
例1．求值 11111
-31
解：=2⨯3⨯() 3⨯126=2⨯32⨯33⨯23⨯(3⨯4) 6
2
12
=(2⨯2⨯2) ⨯(3⨯3⨯3) =2
-
[1**********]1(1-+) 33
⨯3
111(++) 236
=6
4
4
等于
例2．化简（式中的字母均为正实数）A ．a B ．a C ．a D ．a 知识点2 指数函数 1、指数函数：y =a
x
16
8
4
2
(a >0, a ≠1)
x
说明：1、指数函数解析式前边的系数为1，若不为1，应按复合函数处理。 2、指数函数f (x ) =a , 具有性质：f (x +y ) =f (x ) f (y ), f (1)=a ≠0. 2、指数函数的图像及性质
说明：
1、由指数函数y =a 2、由指数函数y =a
x
(a >0, a ≠1)函数图像可知(a -1)x >0⇔y >1; (a -1)x
(a >0, a ≠1)恒过点(1, a )可知：在第一象限，a 越大，图像越远离x 轴，a 越小，图像越
x
靠近x 轴，我们简记为底大图高。
x
例1、⑴已知函数f (x ) =|2-1|，当a f (c ) >f (b ) ，则有（）
A. 2>2 B. 2>2 C. 2
a c a b -a
⑵设f (x ) =x 2-bx +c 满足f (0) =3，且对任意x ∈R ，都有f (x ) =f (2-x ) ，则（）. A. f (b x )
例2、⑴求函数y =3-x
2
-x
的单调区间和值域．
例3、已知x ∈[-3,2]，求f (x ) =
11
-+1的最小值与最大值 4x 2x
⎧1x
() -3, (x ≤0)
例4、设函数f (x ) =⎪，若f (a ) >1，则实数a 的取值范围是________________. ⎨21
⎪x 2, (x >0) ⎩
a ⋅2x +a -2
(x ∈R ) ，试确定a 的值，使f (x ) 为奇函数 例5、⑴设a ∈R ，f (x ) =x
2+1
2x -1
⑵函数y =x 是（）
2+1
A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇又偶函数 D ．非奇非偶函数
2⎫
⑶F (x ) =⎛1+ ⎪⋅f (x )(x ≠0) 是偶函数，且f (x ) 不恒等于零，则f (x ) 是( ) x
⎝2-1⎭A ．奇函数 B ．既奇又偶函数C ．偶函数D ．非奇非偶函数
综合创新
a x -1
(a >1) ,(1)判断函数的奇偶性；(2)求该函数的值域；(3)证明f (x ) 是R 上的增函数。 已知函数f (x ) =x
a +1
知识点1 对数运算 1、定义：如果a (a
对数与对数函数
>0, 且a ≠1) 的b 次幂等于N ，就是a b =N ，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作log a N =b , 其中a
称对数的底，N 称真数.
⑴以10为底的对数称常用对数，log 10
N 记作lg N
以无理数e (e =2. 71828 ) 为底的对数称自然对数，log e N 记作ln N
⑵ 基本性质
⑶对数恒等式：a log a N
=N
证明：设a
b
=N ①则b =log N
a N ②把②代入①即得对数恒等式：a log a =N
2、运算性质：如果a >0, a ≠0, M >0, N >0, 则
⑴log M
a (MN )
=log a M +log a N ；⑵log a
N
=log a M -log a N ；⑶log a
M n =n log a M (n ∈R ）.
3、换底公式：log N a
=
log N m
log a (a >0, a ≠1, m >0, m ≠1, N >0)
m
证明：设log N
=x 则a x =N ，两边取以m 为底的对数log a x
N a N
a
m =log m ⇒x log m =log m
从而得到log a x
=log N m
m
⇒x =log N N
m log a ∴log N
log m a =a
。
m log m
推论1：对数的积运算：log m n
a ∙log b =log n m log b a
a ∙log b ，特别地有：a ∙log b =1
推论2：幂公式: log a
m
b n =
n
m log a b
例1、计算： ⑴log 2
89∙log 3
9
322解析：原式=log log 38=log 23log 3log 3=2
22
2
log 3=
2
3(2)(log 25+log40.2)(log 52+log250.5)
解析：原式=
(
log 5+log 5
-1
222
)(
log 2log 2
-1
5+52
)
=⎛ log 515⎫⎛212⎫⎝2-2log 2⎪⎭⎝log 5-2log 5⎪
⎭=12log 52⨯122log 5 =14log 5⨯log 225=14
⑶lg 5
2
+
2
lg 8+lg 5lg 20+(lg2) 23解析：原式=2lg 5+2
3lg 23+lg 5(lg 22
+lg 5)+(lg 2)
2
=2lg 5+22
3⨯3lg 2+lg 5(2lg 2+lg 5)+(lg 2)
=2lg 5+2lg 2+2lg 5lg 2+(lg 5)2+(lg 2)2
=2(lg 5+lg 2)+(lg 5+lg 2)2
=2lg10+(lg10)2
=2+1=3
log
3
⑷
2
+log (-2) 2(2+
3)
-102+lg 2
log 31
解析：原式
=
2
2
2+log (22lg2
(21-
10⨯10
=2log 32-2log (2(22-100⨯2
=log 9
22-2-100
=9-2-100=-107
⑸lg5·log
220+(lg2
) 2
-3log 32-1
解析：原式=
(2⨯5)+
lg5⨯log
21
102
21
2-3log 3÷
3
)
2
=lg 5⨯2lg (2⨯5)+
2
2-2÷
2
)
2
13
=2lg 5⨯(2lg 2+lg 5)+2(lg 2)-6
22
=2⎡2lg 5⨯lg 2+(lg 5)+(lg 2)⎤-6⎣⎦
=2(lg 5+lg 2)-6=2(lg10)-6=2-6=-4
例2、已知f (e )=x+1，则f (e)等于
x
2
2
C ．0
D ．2
（ ）
A e
B ．1
解析：令e
x
=t ∴x =ln t ∴f (t )=ln t +1∴f (e )=ln e +1=2综上选D 。
a
例3、设a,b,c 都是正数，且3
A ．
=4b =6c ，那么
C ．
111
=+ c a b
a
B ．
221=+ c a b 122=+ c a b
D ．
212=+ c a b
解析：设3
k
=4b =6c =k ∴a =log 3=
1111k k
, b =log ==, c =log =24626
log 32log log log 2k k k k
∴log 3k =
1112
,log k =,log 6=k a 2b c
2⨯3)
(
log 6=log k k
1112123
=log 2+log ∴=+∴=+k k
c 2b a c b a
例4、已知log 310=a ，log 625=b ，试用a , b 表示log 445
解析：log 310=
lg101
==a lg3lg3
lg 25lg 522lg 52lg 52lg 52lg 5
log 625=======b
lg 6lg 2⨯3lg 2+lg 3lg +lg 3lg10-1g 5+lg 31-1g 5+lg 3
5∴lg 3=
1ab +b ,lg 5= a ab +2a
2
2
ab +b 2
+
lg 45lg (5⨯3)lg5+lg3lg5+2lg3lg5+2lg3ab +3b +4
∴log 445=======2
102ab +2b lg 4lg 22lg 221-lg52-4a +2b 2lg 5ab +2a
练习：若log 4
27=m ，log 325=n ，请用m , n 表示lg2。 y =log a (a >0, a ≠1)
x
知识点2 对数函数 1、对数函数：
说明：几个常见的抽象函数 2、对数函数的图像及性质
说明：
1、由对数函数y =log a (a >0, a ≠1)函数图像可知(a -1)(x -1)>0⇔y >0; (a -1)(x -1)
x
y =log a (a >0, a ≠1)恒过点(a ,1)可知：在第一象限，a 越大，图像越远离y 轴，a 越小，图像越靠近y 轴。
x
题组1、对数函数图像问题
图像的基本变换常见的有平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换，其中伸缩变换在以后的课程中学习。
图像的基本变换
注意：平移时，x 前系数不为1，要先提取系数使其系数变为1。 例1、求函数y ＝log 2｜x ｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间.
解析：∵｜x ｜＞0，∴函数的定义域是｛x ｜x ∈R 且x ≠0｝. 显然y ＝log 2｜x ｜是偶函数，它的图象关
于y 轴对称. 又知当x ＞0时，y ＝log 2｜x ｜⇔y ＝log 2x . 故可画出y ＝log 2｜x ｜的图象如下图. 由图 象易见，其递减区间是（－∞，0），递增区间是（0，＋∞）.
变式：函数f （x ）=log2|x |，g （x ）=－x 2+2，则f （x ）·g （x ）的图象只可能是
解析：∵f （x ）与g （x ）都是偶函数，∴f （x ）·g （x ）也是偶函数，由此可排除A 、D. 又由x →+∞时，f （x ）·g （x ）→－∞，可排
除B. 故选C 。
应用：函数f （x ）=|log2x |的图象是
解析：先画出y ＝log 2x . 的图像，再保留x 轴上方的图像下方的图象以x 轴为对称轴翻折到上方可得 y =|log2x |的图象，故选D 。
例2、函数
解析：函数
a ≠ b ) 在同一直角坐标系中的图像可能是 y =ax 2+ bx 与y =log b x (ab ≠0||
a
y =ax 2+ bx 的对称轴为x =-
y
=lg
b 1b b ，D 中-
||2a 22a a a
例3、为了得到函数
x +3
的图像，只需把函数y =lg x 的图像上所有的点 10
A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 解析： y
=lg
x +3左平移3个单位向下平移1个单位
=lg (x +3)-1∴y =lg x −−−−−→y =lg (x +3)−−−−−−→lg (x +3)-1 10
故选C 。
题组2、对数函数的性质 例4、对于函数
f (x ) =log 1(x 2-2ax +3) ，解答下述问题：
2
（1）若函数的定义域为R ，求实数a 的取值范围； （2）若函数的值域为R ，求实数a 的取值范围；
（3）若函数在[-1, +∞) 内有意义，求实数a 的取值范围； （4）若函数的定义域为(-∞, 1) (3, +∞) ，求实数a 的值； （5）若函数的值域为(-∞, -1]，求实数a 的值； （6）若函数在(-∞, 1]内为增函数，求实数a 的取值范围. 解析：记u
=g (x ) =x 2-2ax +3=(x -a ) 2+3-a 2，
>0对x ∈R 恒成立，∴u min =3-a 2>0⇒-3
，这点思考，“log 1u 的值域为R ”等价于“u =g (x ) 能取遍(0, +∞) 的一切值”，或理解为x 的值域为R ”
2
（1） u
（2）从“log a
“u
=g (x ) 的值域包含了区间(0, +∞) ” u =g (x ) 的值域为[3-a 2, +∞) ⊇(0, +∞),
∴命题等价于u min
=3-a 2≤0⇒a ≤-3或a ≥3，∴a 的取值范围是(-∞, -] [, +∞) ；
（3）应注意“在[-1, +∞) 内有意义”与定义域的概念是不同的，命题等价于
“u
，应按g (x ) 的对称轴x 0=a 分类， =g (x ) >0对x ∈[-1, +∞) 恒成立”
⎧a ≥-1⎧a
， ∴⎨或⎨⇒或⎨⎨2
⎩g (-1) >0⎩∆=4a -12-2⎩-
∴a 的取值范围是(-2, ) ；
（4）由定义域的概念知，命题等价于不等式x
2
-2ax +3>0的解集为{x |x 3}，
⎧x 1+x 2=2a
∴x 1=1, x 2=3是方程x -2ax +3=0的两根，∴⎨⇒a =2, 即a 的值为2；
x ⋅x =3⎩12
2
（5）由对数函数性质易知：g (x ) 的值域为[2, +∞) ，由此学生很容易得g (x ) ≥2，但这是不正确的. 因为“g (x ) ≥2”与
“g (x ) 的值域为[2, +∞) ”并不等价，后者要求g (x ) 能取遍[2, +∞) 的一切值（而且不能多取）. ∵g (x ) 的值域是[3-a
2
, +∞) ，∴命题等价于[g (x )]min =3-a 2=2⇒a =±1；即a 的值为±1；
（6）命题等价于：⎨
⎧x =a ≥1⎧a ≥1
，即⎨，得a 的取值范围是[1, 2) .
⇔⎨0
⎩a 0⎩g (x ) >0对x ∈(-∞, 1]恒成立⎧g (x ) 在(-∞, 1]为减函数
例5、⑴已知函数
y =log a (2-ax ) 在[0,1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是( )
(A).(0,1) (B).(1,2) (C).(0,2) (D). [2，+∞)
解析：设
y = loga u ，u =2-ax ，∵a 是底数，所以a>0，∵函数y=loga u在u ∈[0,1]上是减函数，而u=2-ax 在区间x ∈[0,1]上是
g(0)=2-a ·0>0
，解得
g(1)=2-a ·1>0
减函数，∴ y= loga u 是u ∈(0, +∞) 上的增函数，故a>1，还要使2-ax>0在区间上总成立，令g(x)= 2-ax ，由{a⑵函数
y =log 0.5(x 2+4x +4)在什么区间上是增函数？
解析：令
y = lo g
50.
u ，u = x 2+4x +4，由x
2
+4x +4>0
知函数的定义域为x ≠0，因
y = lo g
50.
u 在u ∈(0, +) ∞
上
是减函数，而u
上是减函数，在(-2，+ ∞) 上是增函数，根据复合规律知，函数= x 2+4x +4在x ∈(-∞，-2)
y =log 0.5(x 2+4x +4)在x ∈(-∞，-2) 上是增函数.
例6、已知函数（f x ）＝log x +b
a
x -b
a ＞0，b ＞0且a ≠1）． （1）求
f (x )的定义域； （2）讨论f (x )的奇偶性； （3）判断
f (x )的单调性并证明；
解析:（1）由
x +b
x -b
＞0得f （x ）的定义域为（－∞，－b ）∪（b ，＋∞）
（2）∵
f (x )
＝log -x +b a
-x -b =log x +b -1
a (x -b
) =-f (x ) ，又知函数定义域关于原点对称．
∴f （x ）是奇函数．
（3）对于x 1、x 2∈（b ，＋∞）
，任取b ＜x x 1+b x 2+b 2b (x 21＜x 2，则x -b --x 1)
x -b =
(x ， 121-b )(x 2-b ) x x 1+b x 2+b
1－b ＞0，x 2－b ＞0，b ＞0，x 2－x 1＞0，∴
x >
＞0 1-b x 2-b
∴当a ＞
1时，有log x 1+b
x ＜log x 2+b a a ，即（f x 1）＞（f 1-b x 2
-b x 2）
当0＜a ＜
1时，有log x 1+b
a x ＜log x 2+b a ，即（f x 1 1-b
x ）＜（f x 2）
2-b 同理可证：x 1、x 2∈（－∞，－b ）情况，有：a ＞1时（f x 1）＞（f x 2）；0＜a ＜1时（f x 1）＜（f x 2）
．综上知：当a ＞1时， （f x ）在（－∞，－b ）和（b ，＋∞）上均为减函数；
当0＜a ＜1时， （f x ）在（－∞，－b ）和（b ，＋∞）上均为增函数．
综合创新：
已知
f (x ) =log 1-mx
a
x -1
是奇函数（其中a >0, a ≠1) ，
（1）求m 的值；
（2）讨论（3）当
f (x ) 的单调性；
f (x ) 定义域区间为(1, a -2) 时，f (x ) 的值域为(1, +∞) ，求a 的值.
1+mx 1-mx 1-m 2x 2
+log a =log a =0 解析：（1） f (-x ) +f (x ) =log a
2
-x -1x -11-x
1-m 2x 2
=1⇒(m 2-1) x 2=0⇒m =±1， 对定义域内的任意x 恒成立，∴2
1-x
当m =1时f (x ) （2）
=0(x ≠1) 不是奇函数，∴m =-1，
x +1x +1
, ∴定义域为(-∞, -1) (1, +∞) ，g (x ) =， x -1x -1
f (x ) =log a
任取x 1x 1>1∴g (x 2) -g (x 1) =
x 2+1x 1+1-2(x 2-x 1)
-=
x 2-1x 1-1(x 1-1)(x 2-1)
∴g (x 2)
（3） 1
x 3, f (x ) 在(1, a -2) 上为减函数，
a -1
=1⇒a 2-4a +1=0，解得a =2+. a -3
∴命题等价于f (a -2) =1，即log a
例7、已知函数
f (x ) =|lg x |. 若a ≠b 且，f (a ) =f (b ) ，则a +b 的取值范围是
(A)(1,+∞) (B)[1,+∞) (C)(2,+∞) (D)[2,+∞)
分析:本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a 的取值范围，而利用均值不等
式求得a+b=a +
1
≥2, 从而错选D, 这也是命题者的用苦良心之处. a
=1a
，所以a+b=a +
解析:因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去) ，或b
11
又0
勾”函数的性质知函数
f (a ) 在a ∈(0,1)上为减函数，所以f(a)>f(1)=1+1=2,即a+b的取值范围是(2,+∞).
2
例8、设集合A
={x |2log 1x -21log 8x +3≤0}，若当x ∈A 时，函数f (x ) =log 2
2
x x
⋅log 的最大值为2a
42
2，求实数a 的值.
解析： A ={x |2log 2x -7log 2x +3≤0}={x |
2
1
≤log 2x ≤3}={x |2≤x ≤8} 2
2
而f (x ) =(log2x -a )(log2x -2) =log 2x -(a +2) log 2x +2a ， 令log 2x =t , 2≤x ≤8, ∴
1a +2≤t ≤3，∴f (x ) =g (t ) =t 2-(a +2) t +2a ，其对称轴t =， 22
①当t =
a +22≤74，即a ≤3
2时[g (t )]max =g (3) =2⇒a =1，适合； ②当t =a +22>74, 即a >32时, [g (t )]113
max =g (2) =2⇒a =6
，适合； 综上，a =1或13
6
.
题组3 对数函数性质的应用 例9、比较大小
⑴三个数6
0.7
,0.76,log 0.76的大小顺序是__________
⑵若a =ln 2, b =ln 3, c =ln 5, 则a 、b 、c 的大小顺序是_________
235
⑶设P =log 23，Q =log 32，R =log 2(log32) ，则P 、Q 、R 的大小顺序是_________ ⑷若x ∈(e -1
，1) ，a =
ln x ，b =2ln x ，c =ln 3x ，则a 、b 、c 的大小顺序是________
解析：⑴ y
=6x 是增函数∴60
y =0.7x 是减函数∴0.70>0.76>0.71∴0.7
y =log 6log 616
0.7是减函数∴0.7
∴log 0.76
⑵a -b =ln 2ln 33ln 2-2ln 3ln 23-ln 2-3=6=326=ln8-ln 9
6
y =ln x 是增函数∴ln8
同理，c a ∴b >c >a
⑶ log 2
232∴1
⑷ x ∈
(e -1
,1)∴ln e
-1
令t =ln x ，t ∈(-1,0)在同一坐标系中画y =t , y =2t , y =t 3
图像
由图可知c >a >b 。
⎧创新设计：已知函数f （x ）＝⎪⎨(1x
2) , x ≥4,
则f （2＋log 23）的值为（ ）
⎪⎩f (x +1), x
A ．
1
3
B ．
16
C ．
112
D ．
124
解析： log 224
⎛1⎫
∴f (2+log 23) =f (3+log 23) = ⎪
3+log 23
⎛1⎫⎛1⎫= ⎪⨯ ⎪3
log 23
1
11111-log 23log 2
=⨯(2)=⨯(2)3=⨯=
⎝2⎭
⎝2⎭⎝2⎭
888例10、解不等式
（1）0.3x
>2 （2）log 4x (9x－2)>2
解析：⑴ y =log x
0.3x
0.3在定义域内为减函数∴log 0.3
lg 2lg 2
0.3∴0.3=
lg3-lg10=
lg3-1
⎧⎪4x >0,4x ≠1⎧⎛21⎫⎛⑵原不等式可化简为⎪⎨9x -2>0⇔⎪x ∈, ⎨ ⎝94⎪⎭ 1⎝4, +∞⎫
⎪⎭
⎪⎪⎩log (-2)(4x )2
(16x 2)⎪4x >log 4x =log 4x
⎩log (9x -2)(4x )2(16x 29x )4x >log 4x =log 4x ①当0
4
∴9x -21时，即x >
1
4
∴9x -2>16x 2⇒x ∈∅ 综上可知x ∈ ⎛21⎝9, ⎫4⎪⎭
。 综合创新：
⎧log 2x , x >若函数f(x)=⎪
0, ⎨log (-x ), x f(-a),则实数a 的取值范围是
⎪⎩1
2
（A ）（-1，0）∪（0，1） （B ）（-∞，-1）∪（1,+∞） （C ）（-1，0）∪（1,+∞） （D ）（-∞，-1）∪（0,1）
324
探究性课题 幂函数
幂函数
y =x α的图象和性质；由α取值不同而变化，如图如示：
1．概念问题：
例1 已知函数解析：因为
y =m -m -1x
(
2
)
m 2-2m -1
是幂函数，求m 的值。
y =m 2-m -1x m -2m -1是幂函数，所以m 2-m -1=1，解得m 1=-1, m 2=2。又当m 1=-1, m 2=2时，
2
()
2
有m 1-2m 1-1=2∈Q ，m 2-2m 2-1=-1∈Q ，所以m 的值为－1或2。
2
评注：幂函数
y =x α（χ
为自变量，α是常数）的定义强调形式：系数为1，幂指数为常数，本题应用幂函数的定义确定出参数
m 是解题的关键。
2．定义域问题： 例2函数
y =x +x
1
2
-
35
-(x -2) 0的定义域为
⎧x ≥0
⎪
解析：原函数可以化简为y =(x -2) 0其定义域等价于⎨x 3≠0⇒{x x >0且x ≠2}
⎪x -2≠0
⎩
3、图像问题
例3、如图所示，曲线是幂函数
y =x α在第一象限内的图象，已知α分别取
1
-1, 1, , 2四个值，则相应图象依次为：．
2
解析：由在(1, +∞) 上任取一点作x 轴的垂线，与幂函数的图象交点越高，α的值就越大 可知相应图象依次为c 4、c 2、c 3、c 1 4、函数性质问题 例4、已知幂函数
f (x ) =x m -2m -3(m ∈Z ) 的图象与x 轴，y 轴都无交点，且关于y 轴对称，试确定f (x ) 解析式。
2
⎧m 2-2m -3≤0, 20
解析：由题意得⎨且m -2m -3是偶数，所以m=-1,1,3。当m=-1和3时，解析式为f (x ) =x =1，
⎩m ∈Z .
x ≠0；当m=1 时，解析式为
-35
f (x ) =x -4。
-35
例5、已知(a -3)
解析：我们先研究函数
y =x
-
35
=
的性质：定义域
{x x ≠0}；增减性：减函数；奇偶性：奇函数
⎧a -3>1+2a ⎧a -3
由题意可得：⑴⎨⇒-
2⎩1+2a >0⎩(a -3)(1+2a )>0
综上：a ∈(-∞, -4) (-
1
, 3) 2
-23
23
例6、比较下列各组数的大小：
⎛⎛10⎫
（1）1.5， （2） -，（3）3.81.7，1； -⎪，1.1； 2⎝7⎭⎝⎭
1
3
13
13134-3
-
23
1.41.5
5. ，3.9，（－1.8）；（4）3，
2
535
解析：（1）∵所给的三个数之中1.5和1.7的指数相同，且1的任何次幂都是1，因此，比较幂1.5、1.7、1的大小就是比较
1.5、1.7、1的大小，也就是比较函数y =x 中，当自变量分别取1.5、1.7和1时对应函数值的大小关系，因为自变量的值的大小关系容易确定，只需确定函数y =x 的单调性即可，又函数y =x 在（0，+∞）上单调递增，且1.7＞1.5＞1，所以1.7＞1.5＞1．
1
3
13
13
13
13
13
13
13
1313
⎛⎫（2） 2⎪⎪⎝⎭
∵幂函数
-
2
3
⎛⎫= 2⎪⎪⎝⎭
-23
-
23
⎛10⎫⎛7⎫ -⎪= ⎪⎝7⎭⎝10⎭
23
-
23
，1.1
-
43
=⎡）⎤⎣(1.1⎦
2
2
2-3
=1.21．
-
23
y =x
-23
在（0，+∞）上单调递减，且
-23
710
1.21，
23
⎛7⎫∴ ⎪⎝10⎭
＞2⎝⎭
＞1.21
2
-3
，即（－
107
）
23
＞（－
2
25
-
）＞1.1
-
43
．
（3）利用幂函数和指数函数的单调性可以发现0＜3.8
-
23
＜1，3.9＞1，（－1.8）
1.5
3
5
＜0，从而可以比较出它们的大小．
（4）它们的底和指数也都不同，而且都大于1，我们插入一个中间数3
，利用幂函数和指数函数的单调性可以发现
31.4＜31.5＜51.5．
知识点1指数运算
（1）分数指数幂①a
m n
指数与指数函数
=a >0, m , n ∈N ，且n
*
>1）；②a
-
m
n
=
1a
m n
=
1
a m
(a >0, m , n ∈N *, n >1)
（2）根式的性质①=a . ②当n =a ； 当n n ⎧a , a ≥0
. =|a |=⎨
-a , a
（3）有理指数幂的运算性质
r s rs r s r +s r r r
；②(a ) =a (a >0, r , s ∈Q ) ；③(ab ) =a b (a >0, b >0, r ∈Q ) a ⋅a =a (a >0, r , s ∈Q ) ①
例1．求值 11111
-31
解：=2⨯3⨯() 3⨯126=2⨯32⨯33⨯23⨯(3⨯4) 6
2
12
=(2⨯2⨯2) ⨯(3⨯3⨯3) =2
-
[1**********]1(1-+) 33
⨯3
111(++) 236
=6
4
4
等于
例2．化简（式中的字母均为正实数）A ．a B ．a C ．a D ．a 知识点2 指数函数 1、指数函数：y =a
x
16
8
4
2
(a >0, a ≠1)
x
说明：1、指数函数解析式前边的系数为1，若不为1，应按复合函数处理。 2、指数函数f (x ) =a , 具有性质：f (x +y ) =f (x ) f (y ), f (1)=a ≠0. 2、指数函数的图像及性质
说明：
1、由指数函数y =a 2、由指数函数y =a
x
(a >0, a ≠1)函数图像可知(a -1)x >0⇔y >1; (a -1)x
(a >0, a ≠1)恒过点(1, a )可知：在第一象限，a 越大，图像越远离x 轴，a 越小，图像越
x
靠近x 轴，我们简记为底大图高。
x
例1、⑴已知函数f (x ) =|2-1|，当a f (c ) >f (b ) ，则有（）
A. 2>2 B. 2>2 C. 2
a c a b -a
⑵设f (x ) =x 2-bx +c 满足f (0) =3，且对任意x ∈R ，都有f (x ) =f (2-x ) ，则（）. A. f (b x )
例2、⑴求函数y =3-x
2
-x
的单调区间和值域．
例3、已知x ∈[-3,2]，求f (x ) =
11
-+1的最小值与最大值 4x 2x
⎧1x
() -3, (x ≤0)
例4、设函数f (x ) =⎪，若f (a ) >1，则实数a 的取值范围是________________. ⎨21
⎪x 2, (x >0) ⎩
a ⋅2x +a -2
(x ∈R ) ，试确定a 的值，使f (x ) 为奇函数 例5、⑴设a ∈R ，f (x ) =x
2+1
2x -1
⑵函数y =x 是（）
2+1
A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇又偶函数 D ．非奇非偶函数
2⎫
⑶F (x ) =⎛1+ ⎪⋅f (x )(x ≠0) 是偶函数，且f (x ) 不恒等于零，则f (x ) 是( ) x
⎝2-1⎭A ．奇函数 B ．既奇又偶函数C ．偶函数D ．非奇非偶函数
综合创新
a x -1
(a >1) ,(1)判断函数的奇偶性；(2)求该函数的值域；(3)证明f (x ) 是R 上的增函数。 已知函数f (x ) =x
a +1
知识点1 对数运算 1、定义：如果a (a
对数与对数函数
>0, 且a ≠1) 的b 次幂等于N ，就是a b =N ，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作log a N =b , 其中a
称对数的底，N 称真数.
⑴以10为底的对数称常用对数，log 10
N 记作lg N
以无理数e (e =2. 71828 ) 为底的对数称自然对数，log e N 记作ln N
⑵ 基本性质
⑶对数恒等式：a log a N
=N
证明：设a
b
=N ①则b =log N
a N ②把②代入①即得对数恒等式：a log a =N
2、运算性质：如果a >0, a ≠0, M >0, N >0, 则
⑴log M
a (MN )
=log a M +log a N ；⑵log a
N
=log a M -log a N ；⑶log a
M n =n log a M (n ∈R ）.
3、换底公式：log N a
=
log N m
log a (a >0, a ≠1, m >0, m ≠1, N >0)
m
证明：设log N
=x 则a x =N ，两边取以m 为底的对数log a x
N a N
a
m =log m ⇒x log m =log m
从而得到log a x
=log N m
m
⇒x =log N N
m log a ∴log N
log m a =a
。
m log m
推论1：对数的积运算：log m n
a ∙log b =log n m log b a
a ∙log b ，特别地有：a ∙log b =1
推论2：幂公式: log a
m
b n =
n
m log a b
例1、计算： ⑴log 2
89∙log 3
9
322解析：原式=log log 38=log 23log 3log 3=2
22
2
log 3=
2
3(2)(log 25+log40.2)(log 52+log250.5)
解析：原式=
(
log 5+log 5
-1
222
)(
log 2log 2
-1
5+52
)
=⎛ log 515⎫⎛212⎫⎝2-2log 2⎪⎭⎝log 5-2log 5⎪
⎭=12log 52⨯122log 5 =14log 5⨯log 225=14
⑶lg 5
2
+
2
lg 8+lg 5lg 20+(lg2) 23解析：原式=2lg 5+2
3lg 23+lg 5(lg 22
+lg 5)+(lg 2)
2
=2lg 5+22
3⨯3lg 2+lg 5(2lg 2+lg 5)+(lg 2)
=2lg 5+2lg 2+2lg 5lg 2+(lg 5)2+(lg 2)2
=2(lg 5+lg 2)+(lg 5+lg 2)2
=2lg10+(lg10)2
=2+1=3
log
3
⑷
2
+log (-2) 2(2+
3)
-102+lg 2
log 31
解析：原式
=
2
2
2+log (22lg2
(21-
10⨯10
=2log 32-2log (2(22-100⨯2
=log 9
22-2-100
=9-2-100=-107
⑸lg5·log
220+(lg2
) 2
-3log 32-1
解析：原式=
(2⨯5)+
lg5⨯log
21
102
21
2-3log 3÷
3
)
2
=lg 5⨯2lg (2⨯5)+
2
2-2÷
2
)
2
13
=2lg 5⨯(2lg 2+lg 5)+2(lg 2)-6
22
=2⎡2lg 5⨯lg 2+(lg 5)+(lg 2)⎤-6⎣⎦
=2(lg 5+lg 2)-6=2(lg10)-6=2-6=-4
例2、已知f (e )=x+1，则f (e)等于
x
2
2
C ．0
D ．2
（ ）
A e
B ．1
解析：令e
x
=t ∴x =ln t ∴f (t )=ln t +1∴f (e )=ln e +1=2综上选D 。
a
例3、设a,b,c 都是正数，且3
A ．
=4b =6c ，那么
C ．
111
=+ c a b
a
B ．
221=+ c a b 122=+ c a b
D ．
212=+ c a b
解析：设3
k
=4b =6c =k ∴a =log 3=
1111k k
, b =log ==, c =log =24626
log 32log log log 2k k k k
∴log 3k =
1112
,log k =,log 6=k a 2b c
2⨯3)
(
log 6=log k k
1112123
=log 2+log ∴=+∴=+k k
c 2b a c b a
例4、已知log 310=a ，log 625=b ，试用a , b 表示log 445
解析：log 310=
lg101
==a lg3lg3
lg 25lg 522lg 52lg 52lg 52lg 5
log 625=======b
lg 6lg 2⨯3lg 2+lg 3lg +lg 3lg10-1g 5+lg 31-1g 5+lg 3
5∴lg 3=
1ab +b ,lg 5= a ab +2a
2
2
ab +b 2
+
lg 45lg (5⨯3)lg5+lg3lg5+2lg3lg5+2lg3ab +3b +4
∴log 445=======2
102ab +2b lg 4lg 22lg 221-lg52-4a +2b 2lg 5ab +2a
练习：若log 4
27=m ，log 325=n ，请用m , n 表示lg2。 y =log a (a >0, a ≠1)
x
知识点2 对数函数 1、对数函数：
说明：几个常见的抽象函数 2、对数函数的图像及性质
说明：
1、由对数函数y =log a (a >0, a ≠1)函数图像可知(a -1)(x -1)>0⇔y >0; (a -1)(x -1)
x
y =log a (a >0, a ≠1)恒过点(a ,1)可知：在第一象限，a 越大，图像越远离y 轴，a 越小，图像越靠近y 轴。
x
题组1、对数函数图像问题
图像的基本变换常见的有平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换，其中伸缩变换在以后的课程中学习。
图像的基本变换
注意：平移时，x 前系数不为1，要先提取系数使其系数变为1。 例1、求函数y ＝log 2｜x ｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间.
解析：∵｜x ｜＞0，∴函数的定义域是｛x ｜x ∈R 且x ≠0｝. 显然y ＝log 2｜x ｜是偶函数，它的图象关
于y 轴对称. 又知当x ＞0时，y ＝log 2｜x ｜⇔y ＝log 2x . 故可画出y ＝log 2｜x ｜的图象如下图. 由图 象易见，其递减区间是（－∞，0），递增区间是（0，＋∞）.
变式：函数f （x ）=log2|x |，g （x ）=－x 2+2，则f （x ）·g （x ）的图象只可能是
解析：∵f （x ）与g （x ）都是偶函数，∴f （x ）·g （x ）也是偶函数，由此可排除A 、D. 又由x →+∞时，f （x ）·g （x ）→－∞，可排
除B. 故选C 。
应用：函数f （x ）=|log2x |的图象是
解析：先画出y ＝log 2x . 的图像，再保留x 轴上方的图像下方的图象以x 轴为对称轴翻折到上方可得 y =|log2x |的图象，故选D 。
例2、函数
解析：函数
a ≠ b ) 在同一直角坐标系中的图像可能是 y =ax 2+ bx 与y =log b x (ab ≠0||
a
y =ax 2+ bx 的对称轴为x =-
y
=lg
b 1b b ，D 中-
||2a 22a a a
例3、为了得到函数
x +3
的图像，只需把函数y =lg x 的图像上所有的点 10
A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 解析： y
=lg
x +3左平移3个单位向下平移1个单位
=lg (x +3)-1∴y =lg x −−−−−→y =lg (x +3)−−−−−−→lg (x +3)-1 10
故选C 。
题组2、对数函数的性质 例4、对于函数
f (x ) =log 1(x 2-2ax +3) ，解答下述问题：
2
（1）若函数的定义域为R ，求实数a 的取值范围； （2）若函数的值域为R ，求实数a 的取值范围；
（3）若函数在[-1, +∞) 内有意义，求实数a 的取值范围； （4）若函数的定义域为(-∞, 1) (3, +∞) ，求实数a 的值； （5）若函数的值域为(-∞, -1]，求实数a 的值； （6）若函数在(-∞, 1]内为增函数，求实数a 的取值范围. 解析：记u
=g (x ) =x 2-2ax +3=(x -a ) 2+3-a 2，
>0对x ∈R 恒成立，∴u min =3-a 2>0⇒-3
，这点思考，“log 1u 的值域为R ”等价于“u =g (x ) 能取遍(0, +∞) 的一切值”，或理解为x 的值域为R ”
2
（1） u
（2）从“log a
“u
=g (x ) 的值域包含了区间(0, +∞) ” u =g (x ) 的值域为[3-a 2, +∞) ⊇(0, +∞),
∴命题等价于u min
=3-a 2≤0⇒a ≤-3或a ≥3，∴a 的取值范围是(-∞, -] [, +∞) ；
（3）应注意“在[-1, +∞) 内有意义”与定义域的概念是不同的，命题等价于
“u
，应按g (x ) 的对称轴x 0=a 分类， =g (x ) >0对x ∈[-1, +∞) 恒成立”
⎧a ≥-1⎧a
， ∴⎨或⎨⇒或⎨⎨2
⎩g (-1) >0⎩∆=4a -12-2⎩-
∴a 的取值范围是(-2, ) ；
（4）由定义域的概念知，命题等价于不等式x
2
-2ax +3>0的解集为{x |x 3}，
⎧x 1+x 2=2a
∴x 1=1, x 2=3是方程x -2ax +3=0的两根，∴⎨⇒a =2, 即a 的值为2；
x ⋅x =3⎩12
2
（5）由对数函数性质易知：g (x ) 的值域为[2, +∞) ，由此学生很容易得g (x ) ≥2，但这是不正确的. 因为“g (x ) ≥2”与
“g (x ) 的值域为[2, +∞) ”并不等价，后者要求g (x ) 能取遍[2, +∞) 的一切值（而且不能多取）. ∵g (x ) 的值域是[3-a
2
, +∞) ，∴命题等价于[g (x )]min =3-a 2=2⇒a =±1；即a 的值为±1；
（6）命题等价于：⎨
⎧x =a ≥1⎧a ≥1
，即⎨，得a 的取值范围是[1, 2) .
⇔⎨0
⎩a 0⎩g (x ) >0对x ∈(-∞, 1]恒成立⎧g (x ) 在(-∞, 1]为减函数
例5、⑴已知函数
y =log a (2-ax ) 在[0,1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是( )
(A).(0,1) (B).(1,2) (C).(0,2) (D). [2，+∞)
解析：设
y = loga u ，u =2-ax ，∵a 是底数，所以a>0，∵函数y=loga u在u ∈[0,1]上是减函数，而u=2-ax 在区间x ∈[0,1]上是
g(0)=2-a ·0>0
，解得
g(1)=2-a ·1>0
减函数，∴ y= loga u 是u ∈(0, +∞) 上的增函数，故a>1，还要使2-ax>0在区间上总成立，令g(x)= 2-ax ，由{a⑵函数
y =log 0.5(x 2+4x +4)在什么区间上是增函数？
解析：令
y = lo g
50.
u ，u = x 2+4x +4，由x
2
+4x +4>0
知函数的定义域为x ≠0，因
y = lo g
50.
u 在u ∈(0, +) ∞
上
是减函数，而u
上是减函数，在(-2，+ ∞) 上是增函数，根据复合规律知，函数= x 2+4x +4在x ∈(-∞，-2)
y =log 0.5(x 2+4x +4)在x ∈(-∞，-2) 上是增函数.
例6、已知函数（f x ）＝log x +b
a
x -b
a ＞0，b ＞0且a ≠1）． （1）求
f (x )的定义域； （2）讨论f (x )的奇偶性； （3）判断
f (x )的单调性并证明；
解析:（1）由
x +b
x -b
＞0得f （x ）的定义域为（－∞，－b ）∪（b ，＋∞）
（2）∵
f (x )
＝log -x +b a
-x -b =log x +b -1
a (x -b
) =-f (x ) ，又知函数定义域关于原点对称．
∴f （x ）是奇函数．
（3）对于x 1、x 2∈（b ，＋∞）
，任取b ＜x x 1+b x 2+b 2b (x 21＜x 2，则x -b --x 1)
x -b =
(x ， 121-b )(x 2-b ) x x 1+b x 2+b
1－b ＞0，x 2－b ＞0，b ＞0，x 2－x 1＞0，∴
x >
＞0 1-b x 2-b
∴当a ＞
1时，有log x 1+b
x ＜log x 2+b a a ，即（f x 1）＞（f 1-b x 2
-b x 2）
当0＜a ＜
1时，有log x 1+b
a x ＜log x 2+b a ，即（f x 1 1-b
x ）＜（f x 2）
2-b 同理可证：x 1、x 2∈（－∞，－b ）情况，有：a ＞1时（f x 1）＞（f x 2）；0＜a ＜1时（f x 1）＜（f x 2）
．综上知：当a ＞1时， （f x ）在（－∞，－b ）和（b ，＋∞）上均为减函数；
当0＜a ＜1时， （f x ）在（－∞，－b ）和（b ，＋∞）上均为增函数．
综合创新：
已知
f (x ) =log 1-mx
a
x -1
是奇函数（其中a >0, a ≠1) ，
（1）求m 的值；
（2）讨论（3）当
f (x ) 的单调性；
f (x ) 定义域区间为(1, a -2) 时，f (x ) 的值域为(1, +∞) ，求a 的值.
1+mx 1-mx 1-m 2x 2
+log a =log a =0 解析：（1） f (-x ) +f (x ) =log a
2
-x -1x -11-x
1-m 2x 2
=1⇒(m 2-1) x 2=0⇒m =±1， 对定义域内的任意x 恒成立，∴2
1-x
当m =1时f (x ) （2）
=0(x ≠1) 不是奇函数，∴m =-1，
x +1x +1
, ∴定义域为(-∞, -1) (1, +∞) ，g (x ) =， x -1x -1
f (x ) =log a
任取x 1x 1>1∴g (x 2) -g (x 1) =
x 2+1x 1+1-2(x 2-x 1)
-=
x 2-1x 1-1(x 1-1)(x 2-1)
∴g (x 2)
（3） 1
x 3, f (x ) 在(1, a -2) 上为减函数，
a -1
=1⇒a 2-4a +1=0，解得a =2+. a -3
∴命题等价于f (a -2) =1，即log a
例7、已知函数
f (x ) =|lg x |. 若a ≠b 且，f (a ) =f (b ) ，则a +b 的取值范围是
(A)(1,+∞) (B)[1,+∞) (C)(2,+∞) (D)[2,+∞)
分析:本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a 的取值范围，而利用均值不等
式求得a+b=a +
1
≥2, 从而错选D, 这也是命题者的用苦良心之处. a
=1a
，所以a+b=a +
解析:因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去) ，或b
11
又0
勾”函数的性质知函数
f (a ) 在a ∈(0,1)上为减函数，所以f(a)>f(1)=1+1=2,即a+b的取值范围是(2,+∞).
2
例8、设集合A
={x |2log 1x -21log 8x +3≤0}，若当x ∈A 时，函数f (x ) =log 2
2
x x
⋅log 的最大值为2a
42
2，求实数a 的值.
解析： A ={x |2log 2x -7log 2x +3≤0}={x |
2
1
≤log 2x ≤3}={x |2≤x ≤8} 2
2
而f (x ) =(log2x -a )(log2x -2) =log 2x -(a +2) log 2x +2a ， 令log 2x =t , 2≤x ≤8, ∴
1a +2≤t ≤3，∴f (x ) =g (t ) =t 2-(a +2) t +2a ，其对称轴t =， 22
①当t =
a +22≤74，即a ≤3
2时[g (t )]max =g (3) =2⇒a =1，适合； ②当t =a +22>74, 即a >32时, [g (t )]113
max =g (2) =2⇒a =6
，适合； 综上，a =1或13
6
.
题组3 对数函数性质的应用 例9、比较大小
⑴三个数6
0.7
,0.76,log 0.76的大小顺序是__________
⑵若a =ln 2, b =ln 3, c =ln 5, 则a 、b 、c 的大小顺序是_________
235
⑶设P =log 23，Q =log 32，R =log 2(log32) ，则P 、Q 、R 的大小顺序是_________ ⑷若x ∈(e -1
，1) ，a =
ln x ，b =2ln x ，c =ln 3x ，则a 、b 、c 的大小顺序是________
解析：⑴ y
=6x 是增函数∴60
y =0.7x 是减函数∴0.70>0.76>0.71∴0.7
y =log 6log 616
0.7是减函数∴0.7
∴log 0.76
⑵a -b =ln 2ln 33ln 2-2ln 3ln 23-ln 2-3=6=326=ln8-ln 9
6
y =ln x 是增函数∴ln8
同理，c a ∴b >c >a
⑶ log 2
232∴1
⑷ x ∈
(e -1
,1)∴ln e
-1
令t =ln x ，t ∈(-1,0)在同一坐标系中画y =t , y =2t , y =t 3
图像
由图可知c >a >b 。
⎧创新设计：已知函数f （x ）＝⎪⎨(1x
2) , x ≥4,
则f （2＋log 23）的值为（ ）
⎪⎩f (x +1), x
A ．
1
3
B ．
16
C ．
112
D ．
124
解析： log 224
⎛1⎫
∴f (2+log 23) =f (3+log 23) = ⎪
3+log 23
⎛1⎫⎛1⎫= ⎪⨯ ⎪3
log 23
1
11111-log 23log 2
=⨯(2)=⨯(2)3=⨯=
⎝2⎭
⎝2⎭⎝2⎭
888例10、解不等式
（1）0.3x
>2 （2）log 4x (9x－2)>2
解析：⑴ y =log x
0.3x
0.3在定义域内为减函数∴log 0.3
lg 2lg 2
0.3∴0.3=
lg3-lg10=
lg3-1
⎧⎪4x >0,4x ≠1⎧⎛21⎫⎛⑵原不等式可化简为⎪⎨9x -2>0⇔⎪x ∈, ⎨ ⎝94⎪⎭ 1⎝4, +∞⎫
⎪⎭
⎪⎪⎩log (-2)(4x )2
(16x 2)⎪4x >log 4x =log 4x
⎩log (9x -2)(4x )2(16x 29x )4x >log 4x =log 4x ①当0
4
∴9x -21时，即x >
1
4
∴9x -2>16x 2⇒x ∈∅ 综上可知x ∈ ⎛21⎝9, ⎫4⎪⎭
。 综合创新：
⎧log 2x , x >若函数f(x)=⎪
0, ⎨log (-x ), x f(-a),则实数a 的取值范围是
⎪⎩1
2
（A ）（-1，0）∪（0，1） （B ）（-∞，-1）∪（1,+∞） （C ）（-1，0）∪（1,+∞） （D ）（-∞，-1）∪（0,1）
324
探究性课题 幂函数
幂函数
y =x α的图象和性质；由α取值不同而变化，如图如示：
1．概念问题：
例1 已知函数解析：因为
y =m -m -1x
(
2
)
m 2-2m -1
是幂函数，求m 的值。
y =m 2-m -1x m -2m -1是幂函数，所以m 2-m -1=1，解得m 1=-1, m 2=2。又当m 1=-1, m 2=2时，
2
()
2
有m 1-2m 1-1=2∈Q ，m 2-2m 2-1=-1∈Q ，所以m 的值为－1或2。
2
评注：幂函数
y =x α（χ
为自变量，α是常数）的定义强调形式：系数为1，幂指数为常数，本题应用幂函数的定义确定出参数
m 是解题的关键。
2．定义域问题： 例2函数
y =x +x
1
2
-
35
-(x -2) 0的定义域为
⎧x ≥0
⎪
解析：原函数可以化简为y =(x -2) 0其定义域等价于⎨x 3≠0⇒{x x >0且x ≠2}
⎪x -2≠0
⎩
3、图像问题
例3、如图所示，曲线是幂函数
y =x α在第一象限内的图象，已知α分别取
1
-1, 1, , 2四个值，则相应图象依次为：．
2
解析：由在(1, +∞) 上任取一点作x 轴的垂线，与幂函数的图象交点越高，α的值就越大 可知相应图象依次为c 4、c 2、c 3、c 1 4、函数性质问题 例4、已知幂函数
f (x ) =x m -2m -3(m ∈Z ) 的图象与x 轴，y 轴都无交点，且关于y 轴对称，试确定f (x ) 解析式。
2
⎧m 2-2m -3≤0, 20
解析：由题意得⎨且m -2m -3是偶数，所以m=-1,1,3。当m=-1和3时，解析式为f (x ) =x =1，
⎩m ∈Z .
x ≠0；当m=1 时，解析式为
-35
f (x ) =x -4。
-35
例5、已知(a -3)
解析：我们先研究函数
y =x
-
35
=
的性质：定义域
{x x ≠0}；增减性：减函数；奇偶性：奇函数
⎧a -3>1+2a ⎧a -3
由题意可得：⑴⎨⇒-
2⎩1+2a >0⎩(a -3)(1+2a )>0
综上：a ∈(-∞, -4) (-
1
, 3) 2
-23
23
例6、比较下列各组数的大小：
⎛⎛10⎫
（1）1.5， （2） -，（3）3.81.7，1； -⎪，1.1； 2⎝7⎭⎝⎭
1
3
13
13134-3
-
23
1.41.5
5. ，3.9，（－1.8）；（4）3，
2
535
解析：（1）∵所给的三个数之中1.5和1.7的指数相同，且1的任何次幂都是1，因此，比较幂1.5、1.7、1的大小就是比较
1.5、1.7、1的大小，也就是比较函数y =x 中，当自变量分别取1.5、1.7和1时对应函数值的大小关系，因为自变量的值的大小关系容易确定，只需确定函数y =x 的单调性即可，又函数y =x 在（0，+∞）上单调递增，且1.7＞1.5＞1，所以1.7＞1.5＞1．
1
3
13
13
13
13
13
13
13
1313
⎛⎫（2） 2⎪⎪⎝⎭
∵幂函数
-
2
3
⎛⎫= 2⎪⎪⎝⎭
-23
-
23
⎛10⎫⎛7⎫ -⎪= ⎪⎝7⎭⎝10⎭
23
-
23
，1.1
-
43
=⎡）⎤⎣(1.1⎦
2
2
2-3
=1.21．
-
23
y =x
-23
在（0，+∞）上单调递减，且
-23
710
1.21，
23
⎛7⎫∴ ⎪⎝10⎭
＞2⎝⎭
＞1.21
2
-3
，即（－
107
）
23
＞（－
2
25
-
）＞1.1
-
43
．
（3）利用幂函数和指数函数的单调性可以发现0＜3.8
-
23
＜1，3.9＞1，（－1.8）
1.5
3
5
＜0，从而可以比较出它们的大小．
（4）它们的底和指数也都不同，而且都大于1，我们插入一个中间数3
，利用幂函数和指数函数的单调性可以发现
31.4＜31.5＜51.5．