高一下三角函数复习
一、熟记公式和掌握公式的推导 ①万能公式的推导
②正切半角公式的推导
③正、余弦定理的推导
二、注意三角函数函数最值的常见类型及基本计算
①整式型的注意用辅助角公式将函数式化为：y=Asin（ωx+φ）+C 例、已知ƒ（x ）=2cos2x+2sinxcosx ①求ƒ（x ）的最小正周期和单调增区间； ②若x ∈[-
ππ
6，3
]，求ƒ（x ）的最大值和最小值； ③在△ABC 中，若ƒ（A ）=2，b=1，S △=33
2
，求a 及R 。
②关于正弦（或余弦）的二次函数型 例1、求下列函数的值域：
1、y=cos2
x+3sinx 2、y=cos2x-sinx
例2、已知ƒ（x ）=sinx-2mcosx+m-1（x ∈R ），设ƒ（x ）的最大值为g （m ）， 求g （m ）的表达式并求g （m ）的最小值。
③分式型的注意用辅助角公式及化为正切再用重要不等式 例、求下列函数的值域：
2
3-sin x sin x cos x 3-sin x
2、y= 3、y =2
2+sin x 2+cos x sin x +3cos 2x
注：1、同名函数——利用反函数思想，
1、 Y=
2、不同名函数——利用辅助角公式或利用直线的斜率（高二、高三用）
3、化为二倍角的一次分式型，转化为2的类型，也可分子分母直接除以cos 2x ，化为正切的二次分式型
④关于sinx ±cosx 及sinxcosx 型 例、求下列函数的值域：
1、y=sin x +cos x -sin 2x 2、y =
sin x cos x
1+sin x -cos x
注：设sin x +cos x =t (或sin x -cos x =t )，-2≤t ≤2
④基本计算 例1、已知函数
π⎫⎛π⎫， ⎛
f (x )=(1+cot x )sin x +m sin x +⎪sin x -⎪
4⎭⎝4⎭⎝
2
①当m=0时，求
f (x )在区间⎡π, 3π⎤上的取值范围；
f (α)=
3，求m 的值。
5
⎢⎣84⎥⎦
②当tan α=2时，
例2、已知函数f (x ) ＝log 1(sinx －cos x )
2
（1）求它的定义域和值域；（2）求它的单调减区间；
（3）判断它的奇偶性； （4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的一个周期.
三、注意三角函数性质的应用 （一）选择与填空： 1、已知函数⎛kx π⎫（k ＞0）当x 取任意两个奇数之间时，都有最大值和最小值，
y =3sin +⎪
⎝53⎭
则k 的最小正整数值为 2、若函数y=sin2x+acos2x的图像关于直线x=-
π
对称，则a=＿＿＿＿ 8
3-cos 2x
3、函数y=的值域为＿＿＿＿＿
1+sin 2x
4、设函数f (x ) =2sin(πx ) ，若存在x 0∈R ，使得对任意的x ∈R ，都有f (x ) ≤f (x 0) 成立．则关于m 的不等式m 2+m -f (x 0) >0的解为 5、设函数f (x ) =
sin(πx ) ，若存在x 0∈(-1, 1) 同时满足以下条件：①对任意的x ∈R ，2
都有f (x ) ≤f (x 0) 成立；②x 02+[f (x 0)]2
6、已知函数y =2cos x 与y =2sin(2x +ϕ)(0≤ϕ
π的3
π
6
) ，将y =f (x ) 的图像向左平移ϕ（0
位后得到函数y =g (x ) 的图像，若y =g (x ) 的图像上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，则ϕ的值为 ． 8、（2015一模长宁18）. 下面有五个命题： ①函数y =sin x -cos x 的最小正周期是2π； ②终边在y 轴上的角的集合是⎨α
4
4
⎧⎩
α=
k π⎫
, k ∈z ⎬； 2⎭
③在同一坐标系中，函数y =sin x 的图象和函数y =x 的图象有一个公共点；
④把函数y =3sin(2x +
π
3
) 的图象向右平移
π
6
得到y =3sin 2x 的图象；
⑤在∆ABC 中，若a cos B =b cos A ，则∆ABC 是等腰三角形；
其中真命题的序号是 （ ） （1）（2）（3） B ．（2）（3）（4） C ．（3）（4）（5） D ．（1）（4）（5） A ．
9、（2015一模静安理10）：已知tan α、tan β是方程x 2+3x +4=0的两根，α、
ππ
β∈(-, ) ，则α+β.
22
10、y =sin 2x (-
11、已知函数y ＝2cos x ，x ∈［0，2π］和y ＝2，则它们的图象所围成的一个封闭的平面图形的面积是_____________
π
12、求使函数y ＝sin(2x ＋θ) ＋3 cos(2x ＋θ) 为奇函数，且在［0，4 ］上是增函数的θ
的一个值为 （ ） 5π4π2ππA. 3 B. 3 C. 3 D. 3
（二）解答：设
的周期为π，对于任意的x ∈R ，f (x )=a sin ωx +b cos ωx （ω>0）
π⎫都有f (x )≤f ⎛ ⎪=4，
⎝12⎭
①求a 、b 的值；
②若α、β是方程f (x )=0的两根，α、β的终边不共线，求tan （α+β）
2
四、注意三角代换的作用
注：若x +y=r，可令x=rcosθ，y=rsinθ；
（也可以是x +y≤r ，可令x=acosθ，y=asinθ其中a ≤r ） 若x 、y ∈R ，且x+y=1，可令x=cosθ，y=sinθ，等等。
例1、①已知x +y=a，m +n=b，a 、b ∈R ，a 、b 为常数，求mx+ny的最大值。
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
*22
*
x 22
②已知+y=1，求：1）xy 的最大值； 2）x+y的最大值。
4
2222
③已知a 、b ∈R 且a +b≤1，求证：｜a +2ab-b｜≤2。
例2、（1）矩形ABCD 内接于半径为r 的圆，求矩形面积最大值。
（2）矩形ABCD 内接于半径为r 的半圆，求矩形面积最大值。
π
（3）如图，矩形MNPQ 内接于半径为r 的扇形，∠AOB =3 注：对于（3）若没有图形给定，应有两种情况。
例3、如图，ABCD 是边长为10海里的正方形海域. 现有一架飞机在该海域失事，两艘海事搜救船在A 处同时出发，沿直线AP 、AQ 向前联合搜索，且∠PAQ =
π
4
（其中点P 、Q
分别在边BC 、CD 上），搜索区域为平面四边形APCQ 围成的海平面. 设∠PAB =θ，搜索区域的面积为S .
（1）试建立S 与tan θ的关系式，并指出θ的取值范围； （2）求S 的最大值，并求此时θ的值.
例4、（2015一模青浦）如图，摩天轮上一点P 在t 时刻距离地面高度
C
P
B
满足y =A sin(ωt +ϕ) +b ，ϕ∈[-π, π]，已知某摩天轮的半径为50米，点O 距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P 的起始位置在摩天轮的最低点处．
（1）根据条件写出y （米）关于t （分钟）的解析式；
（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P 距离地面超过85米?
例5、（2015一模静安）在锐角∆ABC 中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 所对的边长，且满
sin A 3
. =
a 2b
（1）求∠B 的大小；
足
（2
）若b =， ∆
ABC 的面积S ∆ABC =
a +c 的值.
例6、如图，点A 、B 是单位圆O 上的两点，点C 是圆O 与x 轴的正半轴的交点，将锐角α的终边OA 按逆时针方向旋转
π
到OB . 3
1+sin 2α⎛34⎫
（1）若点A 的坐标为 , ⎪，求的值；
1+cos 2α⎝55⎭
（2）用α表示BC ，并求BC 的取值范围.
例7、△ABC 为边长是2a 的正三角形，D 、E 分别是AB 、AC 上的动点，且DE 平分三角形ABC 的面积，
①设AD=x，DE=y，（x ≥a ）试将y 表示为x 的函数y=ƒ（x ）； ②求ƒ（x ）的最大值和最小值。
例8、某兴趣小组要测量电视塔AE 的高度H （单位：m ）。如示意图，垂直放置的标杆BC 的高h ＝4m ，仰角∠ABE ＝α，∠ADE ＝β。该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d （单位：m ），使α与β之差最大，可以提高测量的精度。若电视塔的实际高度为125m ，试问d 为多少时，α－β最大？
附：（2014上海文理）
如图，某公司要在A 、B 两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D 为顶端，AC 长35米，CB 长80米．设点A 、B 在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为α和β． （1）设计中CD 是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD 的长至多为多少（结果精确到0.01米）？ （2）施工完成后，
CD
与铅垂方向有偏差．现在实测得
α=38.12, β=18.45，求CD 的长（结果精确到0.01米）．
高一下三角函数复习
一、熟记公式和掌握公式的推导 ①万能公式的推导
②正切半角公式的推导
③正、余弦定理的推导
二、注意三角函数函数最值的常见类型及基本计算
①整式型的注意用辅助角公式将函数式化为：y=Asin（ωx+φ）+C 例、已知ƒ（x ）=2cos2x+2sinxcosx ①求ƒ（x ）的最小正周期和单调增区间； ②若x ∈[-
ππ
6，3
]，求ƒ（x ）的最大值和最小值； ③在△ABC 中，若ƒ（A ）=2，b=1，S △=33
2
，求a 及R 。
②关于正弦（或余弦）的二次函数型 例1、求下列函数的值域：
1、y=cos2
x+3sinx 2、y=cos2x-sinx
例2、已知ƒ（x ）=sinx-2mcosx+m-1（x ∈R ），设ƒ（x ）的最大值为g （m ）， 求g （m ）的表达式并求g （m ）的最小值。
③分式型的注意用辅助角公式及化为正切再用重要不等式 例、求下列函数的值域：
2
3-sin x sin x cos x 3-sin x
2、y= 3、y =2
2+sin x 2+cos x sin x +3cos 2x
注：1、同名函数——利用反函数思想，
1、 Y=
2、不同名函数——利用辅助角公式或利用直线的斜率（高二、高三用）
3、化为二倍角的一次分式型，转化为2的类型，也可分子分母直接除以cos 2x ，化为正切的二次分式型
④关于sinx ±cosx 及sinxcosx 型 例、求下列函数的值域：
1、y=sin x +cos x -sin 2x 2、y =
sin x cos x
1+sin x -cos x
注：设sin x +cos x =t (或sin x -cos x =t )，-2≤t ≤2
④基本计算 例1、已知函数
π⎫⎛π⎫， ⎛
f (x )=(1+cot x )sin x +m sin x +⎪sin x -⎪
4⎭⎝4⎭⎝
2
①当m=0时，求
f (x )在区间⎡π, 3π⎤上的取值范围；
f (α)=
3，求m 的值。
5
⎢⎣84⎥⎦
②当tan α=2时，
例2、已知函数f (x ) ＝log 1(sinx －cos x )
2
（1）求它的定义域和值域；（2）求它的单调减区间；
（3）判断它的奇偶性； （4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的一个周期.
三、注意三角函数性质的应用 （一）选择与填空： 1、已知函数⎛kx π⎫（k ＞0）当x 取任意两个奇数之间时，都有最大值和最小值，
y =3sin +⎪
⎝53⎭
则k 的最小正整数值为 2、若函数y=sin2x+acos2x的图像关于直线x=-
π
对称，则a=＿＿＿＿ 8
3-cos 2x
3、函数y=的值域为＿＿＿＿＿
1+sin 2x
4、设函数f (x ) =2sin(πx ) ，若存在x 0∈R ，使得对任意的x ∈R ，都有f (x ) ≤f (x 0) 成立．则关于m 的不等式m 2+m -f (x 0) >0的解为 5、设函数f (x ) =
sin(πx ) ，若存在x 0∈(-1, 1) 同时满足以下条件：①对任意的x ∈R ，2
都有f (x ) ≤f (x 0) 成立；②x 02+[f (x 0)]2
6、已知函数y =2cos x 与y =2sin(2x +ϕ)(0≤ϕ
π的3
π
6
) ，将y =f (x ) 的图像向左平移ϕ（0
位后得到函数y =g (x ) 的图像，若y =g (x ) 的图像上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，则ϕ的值为 ． 8、（2015一模长宁18）. 下面有五个命题： ①函数y =sin x -cos x 的最小正周期是2π； ②终边在y 轴上的角的集合是⎨α
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4
⎧⎩
α=
k π⎫
, k ∈z ⎬； 2⎭
③在同一坐标系中，函数y =sin x 的图象和函数y =x 的图象有一个公共点；
④把函数y =3sin(2x +
π
3
) 的图象向右平移
π
6
得到y =3sin 2x 的图象；
⑤在∆ABC 中，若a cos B =b cos A ，则∆ABC 是等腰三角形；
其中真命题的序号是 （ ） （1）（2）（3） B ．（2）（3）（4） C ．（3）（4）（5） D ．（1）（4）（5） A ．
9、（2015一模静安理10）：已知tan α、tan β是方程x 2+3x +4=0的两根，α、
ππ
β∈(-, ) ，则α+β.
22
10、y =sin 2x (-
11、已知函数y ＝2cos x ，x ∈［0，2π］和y ＝2，则它们的图象所围成的一个封闭的平面图形的面积是_____________
π
12、求使函数y ＝sin(2x ＋θ) ＋3 cos(2x ＋θ) 为奇函数，且在［0，4 ］上是增函数的θ
的一个值为 （ ） 5π4π2ππA. 3 B. 3 C. 3 D. 3
（二）解答：设
的周期为π，对于任意的x ∈R ，f (x )=a sin ωx +b cos ωx （ω>0）
π⎫都有f (x )≤f ⎛ ⎪=4，
⎝12⎭
①求a 、b 的值；
②若α、β是方程f (x )=0的两根，α、β的终边不共线，求tan （α+β）
2
四、注意三角代换的作用
注：若x +y=r，可令x=rcosθ，y=rsinθ；
（也可以是x +y≤r ，可令x=acosθ，y=asinθ其中a ≤r ） 若x 、y ∈R ，且x+y=1，可令x=cosθ，y=sinθ，等等。
例1、①已知x +y=a，m +n=b，a 、b ∈R ，a 、b 为常数，求mx+ny的最大值。
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②已知+y=1，求：1）xy 的最大值； 2）x+y的最大值。
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2222
③已知a 、b ∈R 且a +b≤1，求证：｜a +2ab-b｜≤2。
例2、（1）矩形ABCD 内接于半径为r 的圆，求矩形面积最大值。
（2）矩形ABCD 内接于半径为r 的半圆，求矩形面积最大值。
π
（3）如图，矩形MNPQ 内接于半径为r 的扇形，∠AOB =3 注：对于（3）若没有图形给定，应有两种情况。
例3、如图，ABCD 是边长为10海里的正方形海域. 现有一架飞机在该海域失事，两艘海事搜救船在A 处同时出发，沿直线AP 、AQ 向前联合搜索，且∠PAQ =
π
4
（其中点P 、Q
分别在边BC 、CD 上），搜索区域为平面四边形APCQ 围成的海平面. 设∠PAB =θ，搜索区域的面积为S .
（1）试建立S 与tan θ的关系式，并指出θ的取值范围； （2）求S 的最大值，并求此时θ的值.
例4、（2015一模青浦）如图，摩天轮上一点P 在t 时刻距离地面高度
C
P
B
满足y =A sin(ωt +ϕ) +b ，ϕ∈[-π, π]，已知某摩天轮的半径为50米，点O 距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P 的起始位置在摩天轮的最低点处．
（1）根据条件写出y （米）关于t （分钟）的解析式；
（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P 距离地面超过85米?
例5、（2015一模静安）在锐角∆ABC 中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 所对的边长，且满
sin A 3
. =
a 2b
（1）求∠B 的大小；
足
（2
）若b =， ∆
ABC 的面积S ∆ABC =
a +c 的值.
例6、如图，点A 、B 是单位圆O 上的两点，点C 是圆O 与x 轴的正半轴的交点，将锐角α的终边OA 按逆时针方向旋转
π
到OB . 3
1+sin 2α⎛34⎫
（1）若点A 的坐标为 , ⎪，求的值；
1+cos 2α⎝55⎭
（2）用α表示BC ，并求BC 的取值范围.
例7、△ABC 为边长是2a 的正三角形，D 、E 分别是AB 、AC 上的动点，且DE 平分三角形ABC 的面积，
①设AD=x，DE=y，（x ≥a ）试将y 表示为x 的函数y=ƒ（x ）； ②求ƒ（x ）的最大值和最小值。
例8、某兴趣小组要测量电视塔AE 的高度H （单位：m ）。如示意图，垂直放置的标杆BC 的高h ＝4m ，仰角∠ABE ＝α，∠ADE ＝β。该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d （单位：m ），使α与β之差最大，可以提高测量的精度。若电视塔的实际高度为125m ，试问d 为多少时，α－β最大？
附：（2014上海文理）
如图，某公司要在A 、B 两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D 为顶端，AC 长35米，CB 长80米．设点A 、B 在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为α和β． （1）设计中CD 是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD 的长至多为多少（结果精确到0.01米）？ （2）施工完成后，
CD
与铅垂方向有偏差．现在实测得
α=38.12, β=18.45，求CD 的长（结果精确到0.01米）．