民大附中招生入学考试【数学备考资料】
专题十二 压轴题
一、选择题1. （ 4分）如图，在平行四边形ABCD 中，CE 是∠DCB 的平分线，F 是AB 的中点，AB=6，BC=4，则AE ：EF ：FB 为【 】
A ．1：2：3 B．2：1：3 C．3：2：1 D．3：1：2
2. （ 4分）三峡工程在6月1日于6月10日下闸蓄水期间，水库水位由106米升至135米，高峡平湖初现人间，假设水库水位匀速上升，那么下列图象中，能正确反映这10天水位h （米）随时间t （天）变化的是【 】
3. （4分）如图，点A 、D 、G 、M 在半圆O 上，四边形ABOC 、DEOF 、HMNO 均为矩形，设BC=a，
EF=b，NH=c，则下列各式中正确的是【 】
（A ）a ＞b ＞c
（B ）a=b=c （C ）c ＞a ＞b
（D ）b ＞c ＞a
4. （ 4分）如下图，在平行四边形ABCD 中，∠DAB=60°，AB=5，BC=3，点P 从起点D 出发，沿DC 、CB 向终点B 匀速运动．设点P 所走过的路程为x ，点P 所经过的线段与线段AD 、AP 所围成图形的面积为y ，y 随x 的变化而变化．在下列图象中，能正确反映y 与x 的函数关系的是【 】
5. （ 4分）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AD=1，AB=
3
，BC=2，P 是BC 边上的一2
个动点(点P 与点B 不重合) ，DE ⊥AP 于点E 。设AP=x，DE=y。在下列图象中，能正确反映y 与x 的函数关系的是【 】
将如图所示的圆心角为90 的扇形纸片AOB 围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径OA 与OB 6. （ 4分）
重合（接缝粘贴部分忽略不计），则围成的圆锥形纸帽是【 】
7. （ 4分）下图所示是一个三棱柱纸盒，在下面四个图中，只有一个是这个纸盒的展开图，那么这个展开图是【 】
8. （ 4分）已知O 为圆锥的顶点，M 为圆锥底面上一点，点P 在OM 上．一只蜗牛从P 点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P 点时所爬过的最短路线的痕迹如左图所示．若沿OM 将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是【 】
9. （ 4分） 如图，C 为⊙O 直径AB 上一动点，过点C 的直线交⊙O 于D 、E 两点，且∠ACD=45°，
DF ⊥AB 于点F ，EG ⊥AB 于点G ，当点C 在AB 上运动时，设AF=x ，DE=y ，下列中图象中，能表示y 与x 的函数关系式的图象大致是【 】
10. （ 4分）美术课上，老师要求同学们将下图所示的白纸只沿虚线裁开，用裁开的纸片和白纸上的阴影部分围成一个立体模型，然后放在桌面上，下列四个示意图中，只有一个符合上述要求，那么这个示．．．．意图是【 】
11. （ 4分）如图在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2，D 是AB 边上的一个动点（不与点A 、B 重合），过点D 作CD 的垂线交射线CA 于点E ．设AD=ｘ，CE=ｙ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系图象大致是【 】
12. （ 4分） 小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点A 出发，沿箭头所示方向经过点B 跑到点C ，共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为t （单位：秒），他与教练的距离为y （单位：米），表示y 与t 的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的【 】
13. （ 4分） 如图，点P 是以O 为圆心，AB 为直径的半圆上的动点，AB=2，设弦AP 的为x ，△APO
面积为y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是【 】
二、填空题
一种圆筒状包装的保鲜膜，如图所示，其规格为20cm×60m，经测量这筒保鲜膜的内径Φ1、1. （ 4分）
外径Φ的长分别为3.2cm ，4.0cm ，则该种保鲜膜的厚度约为 cm（π取3.14
，结果保留两位有
效数字）．
2. （ 4分）观察下列顺序排列的等式：
9×0+1=1 9×1+2=11 9×2+3=21 9×3+4=31 9×4+5=41 …
猜想：第n 个等式（n 为正整数）应为。
3. （ 4分）我们学习过反比例函数．例如，当矩形面积S 一定时，长a 是宽b 的反比例函 数，其函数关系式可以写为a=
S
（S 为常数，S≠0）． b
请你仿照上例另举一个在日常生活、生产或学习中具有反比例函数关系的量的实例，并写出它的函数 关系式．
实例： ； 函数关系式： ．
4. （ 4分）在△ABC 中，∠B=25°，AD 是BC 边上的高，并且AD =BD•DC，则∠BCA 的度数为 5. （ 4分）如果a =2，b =3，那么a 2b 的值等于。
6. （ 4分）如图，在△ABC 中，AB=AC．M 、N 分别是AB 、AC 的中点，D 、E 为BC 上的点，连接DN 、EM ．若AB=13cm，BC=10cm，DE=5cm，则图中阴影部分的面积为 cm 2．
2
7. （ 4分）下图是对称中心为点O 的正六边形。如果用一个含30°角的直角三角板的角，借助点O （使角的顶点落在点O 处），把这个正六边形的面积n 等分，那么n 的所有可能的值是 。
b 2b 5b 11b 88. （ 4分）一组按规律排列的式子：−2，−3，−4，…（ab ≠0），其中第7个式子是a a a a
第n 个式子是 （n 为正整数）．
9. （ 4分）如图，正方形纸片ABCD 的边长为1，M 、N 分别是AD 、BC 边上的点，将纸片的一角沿
过点B 的直线折叠，使A 落在MN 上，落点记为A′，折痕交AD 于点E ，若M 、N 分别是AD 、BC 边的中点，则A′N= ; 若M 、N 分别是AD 、BC 边的上距DC 最近的n 等分点（n ≥2, 且n 为整数），则A′N=
（用含有n 的式子表示）
10. （ 4分）下图为手的示意图，在各个手指间标记字母A ，B ，C ，D. 请你按图中箭头所指方向（即A→B→C→D→C→B→A→B→C→…的方式）从A 开始数连续的正整数1，2，3，4，…，当数到12时，对应的字母是 ；当字母C 第201次出现时，恰好数到的数是 ；当字母C 第2n +1次出，恰好数到的数是 （用含n 的代数式表示）.
现时（n 为正整数）
11. （ 4分）在下表中，我们把第i 行第j 列的数记为a i ，j （其中i ，j 都是不大于5的正整数），对于表规定如下：当i≥j时，a i ，j =1；当i ＜j 时，a i ，j =0．例如：当i=2，j=1时，a i ，j =a 2，1=1．按中的每个数a i ，j ，
表中的25个数中，共有个1；计算a 1，1•a i ，1+a 1，2•a i ，2+a 1，3•a i ，3+a 1，此规定，a 1，3=4•a i ，4+a 1，5•a i ，5的值为
．
12. （ 4分）在平面直角坐标系xOy 中，我们把横 、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点A （0，4），
点B 是x 轴正半轴上的整点，记△AOB 内部（不包括边界）的整点个数为m ．当m=3时，点B 的横坐标的所有可能值是 ；当点B 的横坐标为4n （n 为正整数）时，m= （用含n 的代数式表示．）
13. （ 4分）如图，在平面直角坐标系x Ｏy 中，已知直线ｌ：y =−x −1，双曲线y =
1
。在ｌ上取点x
A 1，过点A 1作x 轴的垂线交双曲线于点B 1，过点B 1作y 轴的垂线交于点A 2，请继续操作并探究：过点A 2作x 轴的垂线交双曲线于点B 2，过点B 2作y 轴的垂线交于点A 3，…，这样依次得到上的点A 1，A 2，A 3，…，A n ，…。记点A n 的横坐标为a n ，若a 1=2，则a 2，a 2013；若要将上述操作无限次地进行下去，则a 1不能取的值是__________ ．．．
三、解答
1. （ 9分）如图，AB 是⊙O 的直径，AE 平分∠BAF 交⊙O 于点E ，过点E 作直线与AF 垂直交
AF
延长线于D 点，且交AB 延长线于C 点 （1）求证：CD 与⊙O 相切于点E ； （2）若CE•DE=
15
，AD=3，求⊙O 的直径及∠AED 的正切值． 4
2. （ 12分）已知：二次函数y x 2−kx +k +4的图象与y 轴交于点C ，且与x 轴的正半轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧）．若A 、B 两点的横坐标为整数， （1）确定这个二次函数的解析式并求它的顶点坐标；
（2）若点D 的坐标是（0，6），点P （t ，0）是线段AB 上的一个动点，它可与点A 重合，但不与点B 重合．设四边形PBCD 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式；
（3）若点P 与点A 重合，得到四边形ABCD ，以四边形ABCD 的一边为边，画一个三角形，使它的面积等于四边形ABCD 的面积，并注明三角形高线的长．再利用“等底等高的三角形面积相等”的知识，画一个三角形，使它的面积等于四边形ABCD 的面积（画示意图，不写计算和证明过程）．
3. （ 8分）已知：在ΔABC中，AD 为∠BAC 的平分线，以C 为圆心，CD 为半径的半圆交BC 的延长线于点E ，交AD 于点F ，交AE 于点M ，且∠B=∠CAE ，FE ∶FD=4∶3。 （1）求证：AF=DF. （2）求∠AED 的余弦值；
（3）如果BD=10，求ΔABC的面积。
4. （ 8分）已知：抛物线y =ax 2+4ax +t 与x 轴的一个交点为A （－1，0） （1）求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；
（2）D 是抛物线与y 轴的交点，C 是抛物线上的一点，且以AB 为一底的梯形ABCD 的面积为9，求此抛物线的解析式；
（3）E 是第二象限内到x 轴，y 轴的距离 的比为5：2的 点，如果点E 在（2）中的抛物线上，且它与点A 在此抛物线对称轴的同侧，问 ：在抛物线的对称轴上是否存在点P ， 使△APE 的周长最小？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由。
5. （ 8分）已知：如图1，∠ACG ＝900，AC ＝2，点B 为CG 边上的一个动点，连结AB ，将△ACB 沿AB 边所在的直线翻折得到△ADB ，过点D 作DF ⊥CG 于点F ．
⑴ 当BC
时，判断直线FD 与以AB 为直径的⊙O 的位置关系，并加以证明； ⑵ 如图2，点B 在CG 上向点C 运动，直线FD 与以AB 为直径的⊙O 交于D 、H 两点，连结AH ， 当∠CAB ＝∠BAD ＝∠DAH 时，求BC 的长．
6. （ 8分）已知：在平面直角坐标系xOy 中，过点P(0，2) 任作一条与抛物线y ＝ax 2(a＞0) 交于两点的．．直线，设交点分别为A 、B ．若∠AOB ＝90°，
⑴ 判断A 、B 两点纵坐标的乘积是否为一个确定的值，并说明理由； ⑵ 确定抛物线y ＝ax 2(a＞0) 的解析式；
⑶ 当△AOB
的面积为时，求直线AB 的解析式．
7. （ 8分）已知：在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，D 是AC 的中点，⊙O 经过A 、D 、B 三点，CB 的延长线交⊙O 于点E （如图1）．
在满足上述条件的情况下，当∠CAB 的大小变化时，图形也随着改变（如图2），在这个变化过程中，有些线段总保持着相等的关系．
（1）观察上述图形，连接图2中已标明字母的某两点，得到一条新线段与线段CE 相等，请说明理由； （2）在图2中，过点E 作⊙O 的切线，交AC 的延长线于点F ． ①若CF=CD，求sin ∠CAB 的值； ②若
CF
，试用含n 的代数式表示sin ∠CAB （直接写出结果）． =n （n ＞0）
CD
（ 9分）已知：在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y=kx﹣4k 的图象与x 轴交于点A ，抛物线y=ax+bx+c8.
经过O 、A 两点．
（1）试用含a 的代数式表示b ；
（2）设抛物线的顶点为D ，以D 为圆心，DA 为半径的圆被x 轴分为劣弧和优弧两部分．若将劣弧沿x 轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D 内，它所在的圆恰与OD 相切，求⊙D 半径的长及抛物线的解析式； （3）设点B 是满足（2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x 轴上方的部分上是否存在这样的点P ，使得∠POA=
2
4
∠OBA ？若存在，求出点P 的坐标；3
9. （ 8分）已知：AB 是半圆O 的直径，点C 在BA 的延长线上运动(点C 与点A 不重合) ，以OC 为直径的半圆M 与半圆O 交于点D ，∠DCB 的平分线与半圆M 交于点E 。 （1）求证：CD 是半圆O 的切线(图①) ；
（2）作EF ⊥AB 于点F(图②) ，猜想EF 与已有的哪条线段的一半相等，并加以证明；
（3）在上述条件下，过点E 作CB 的平行线CD 于点N ，当NA 与半圆O 相切时(图③) ，求∠EOC 的正切值。
10. （ 9分）已知：抛物线y=－x 2+mx+2m2(m＞0) 与x 轴交于A 、B 两点，点A 在点B 的左边，C 是抛物线上一个动点(点C 与点A 、B 不重合) ，D 是OC 的中点，连结BD 并延长，交AC 于点E 。
（1）用含m 的代数式表示点A 、B 的坐标；
（2）求
CE
的值； AE
8
时，求抛物线和直线BE 的解析式。 5
（3）当C 、A 两点到y 轴的距离相等，且S △CED =
，与x 轴分别交于B （1，0）、C 11. （ 8分）已知抛物线y =ax 2+bx +c 与y 轴交于点A （0，3）（5，0）两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点D 为线段OA 的一个三等分点，求直线DC 的解析式；
（3）若一个动点P 自OA 的中点M 出发，先到达x 轴上的某点（设为点E ），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F ），最后运动到点A′求使点P 运动的总路径最短的点E 、点F 的坐标，并求出这个最短总路径的长．
我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形．请12. （ 8分）解答下列问题：
（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；
（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为600时，这对600角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论．
，A （0，2）两13. （ 7分）在平面直角坐标系xOy
中，抛物线y =mx 2++n 经过P
5）点。
（1）求此抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为B ，将直线AB 沿y 轴向下平移两个单位得到直线l ，直线l 与抛物线的对称轴交于C 点，求直线l 的解析式；
（3）在（2）的条件下，求到直线OB ，OC ，BC 距离相等的点的坐标。
14. （ 8分）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形。
（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；
（2）如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，设CD ，BE 相交于点O ，若∠A=60°，∠DCB=∠EBC=
1
∠A 。请你写出图中一个与∠A 相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形； 2
（3）在△ABC 中，如果∠A 是不等于60°的锐角，点D ，E 分别在AB ，AC 上，且∠DCB=∠EBC=探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论。
1
∠A 。2
15. （ 7分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点B 的坐标为（3，0），将直线y=kx沿y 轴向上平移3个单位长度后恰好经过B ，C 两点．
（1）求直线BC 及抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D ，点P 在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB ，求点P 的坐标； （3）连接CD ，求∠OCA 与∠OCD 两角和的度数．
16. （ 8分）请阅读下列材料：
问题：如图1，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A ，B ，E 在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连接PG ，PC ．若∠ABC=∠BEF=60°，探究PG 与PC 的位置关系及
PG
的值． PC
小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及
PG
的值； PC
（2）将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明；
（3）若图1中∠ABC=∠BEF=2α（0°＜α＜90°），将菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出
PG
的值（用含α的式子表示）． PC
17. （ 8分）在平行四边形ABCD 中，过点C 作CE ⊥CD 交AD 于点E ，将线段EC 绕点E 逆时针旋转900得到线段EF(如图1) （1）在图1中画图探究：
①当P 为射线CD 上任意一点（P 1不与C 重合）时，连结EP 1绕点E 逆时针旋转900 得到线段EC 1.
判断直线FC 1与直线CD 的位置关系，并加以证明；
②当P 2为线段DC 的延长线上任意一点时，连结EP 2, 将线段EP 2绕点E 逆时针旋转90
0得到线段
EC 2. 判断直线C 1C 2与直线CD 的位置关系，画出图形并直接写出你的结论. （2）若AD=6，tanB=
4
，AE=1，在①的条件下，设CP 1=x ，S ∆P FC =y ，求y 与x 之间的函数关系式，
113
并写出自变量x 的取值范围.
，B （6，0），18. （ 7分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 三个顶点的坐标分别为A （－6，0）C （0
，），延长AC 到点D ，使CD=（1）求D 点的坐标；
（2）作C 点关于直线DE 的对称点F ，分别连接DF 、EF ，若过B 点的直线y=kx+b将四边形CDFE 分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；
（3）设G 为y 轴上一点，点P 从直线y=kx+b与y 轴的交点出发，先沿y 轴到达G 点，再沿GA 到达A 点，若P 点在y 轴上运动的速度是它在直线GA 上运动速度的2倍，试确定G 点的位置，使P 点按照上述要求到达A 点所用的时间最短．（要求：简述确定G 点位置的方法，但不要求证明）
1
AC ，过点D 作DE ∥AB 交BC 的延长线于点E ． 2
19. （ 8分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y −为原点O 和点A ，点B （2，n ）在这条抛物线上. （1）求B 点的坐标；
（2）点P 在线段OA 上，从O 点出发向A 点运动，过P 点作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E ，延长PE 到点D ，使得ED=PE，以PD 为斜边，在PD 右侧作等腰直角三角形PCD （当P 点运动时，C 点、D 点也随之运动）.
①当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长；
m −125m
x +x +m 2−3m +2与x 轴的交点分别44
②若P 点从O 点出发向A 点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一点Q 从A 点出发向O 点作匀速运动，速度为每秒2个单位（当Q 点到达O 点时停止运动，P 点也同时停止运动）. 过Q 点作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F ，延长QF 到点M ，使得FM=QF，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN （当Q 点运动时，M 点、N 点也随之运动）. 若P 点运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值.
20. （ 7分）问题：已知△ABC 中，∠BAC=2∠ACB ，点D 是△ABC 内一点，且AD=CD，BD=BA.探究∠DBC 与∠ABC 度数的比值. 请你完成下列探究过程：
先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明. （1）当∠BAC=900时，依问题中的条件补全下图. 观察图形，AB 与AC 的数量关系为________________；
当推出∠DAC=150时，可进一步推出∠DBC 的度数为_________； 可得到∠DBC 与∠ABC 度数的比值为_______________.
（2）当∠BAC≠900时，请你画出图形，研究∠DBC 与∠ABC 度数的比值是否与（1）中的结论相同，
写出你的猜想并加以证明.
21. （ 7分）在 ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 于点F ．
（1）在图1中证明CE=CF；
（2）若∠ABC=90°，G 是EF 的中点（如图2），直接写出∠BDG 的度数；
（3）若∠ABC=120°，FG ∥CE ，FG=CE，分别连接DB 、DG （如图3），求∠BDG 的度数．
22. （ 8分）如图，在平面直角坐标系ｘO ｙ中，我把由两条射线AE ，BF 和以AB 为直径的半圆所组成的图形叫作图形C （注：不含AB 线段）．已知A （﹣1，0），B （1，0），AE ∥BF ，且半圆与ｙ轴的交点D 在射线AE 的反向延长线上． （1）求两条射线AE ，BF 所在直线的距离；
（2）当一次函数ｙ=ｘ+b的图象与图形C 恰好只有一个公共点时，写出b 的取值范围；当一次函数ｙ=ｘ+b的图象与图形C 恰好只有两个公共点时，写出b 的取值范围；
（3）已知 AMPQ （四个顶点A ，M ，P ，Q 按顺时针方向排列）的各顶点都在图形C 上，且不都在两条射线上，求点M 的横坐标x 的取值范围．
23. （ 7分）在△ABC 中，BA=BC，∠BAC =α，M 是AC 的中点，P 是线段BM 上的动点，将线段PA 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ 。
（1） 若α=60°且点P 与点M 重合（如图1），线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ，请补全图形，
并写出∠CDB 的度数；
（2） 在图2中，点P 不与点B ，M 重合，线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，猜想∠CDB
，并加以证明； 的大小（用含α的代数式表示）
（3） 对于适当大小的α，当点P 在线段BM 上运动到某一位置（不与点B ，M 重合）时，能使得
线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，且PQ=QD，请直接写出α的范围。
24. （ 8分）在平面直角坐标系xoy 中，对于任意两点P 1（x 1,y 1）与P 2（x 2,y 2）的“非常距 离”，给出如下定义：
若∣x 1－x 2∣≥∣y 1－y 2∣，则点P 1与点P 2的“非常距离”为∣x 1－x 2∣； 若∣x 1－x 2∣＜∣y 1－y 2∣，则点P 1与点P 2的“非常距离”为∣y 1－y 2∣.
例如：点P 1（1,2），点P 2（3,5），因为∣1－3∣＜∣2－5∣，所以点P 1与点P 2的“非常距离”为 ∣2－5∣=3，也就是图1中线段P 1Q 与线段P 2Q 长度的较大值（点Q 为垂直于y 轴的直线P 1Q 与垂直
。 于x 轴的直线P 2Q 的交点）
1
（1）已知点A (−，0) ，B 为y 轴上的一个动点，
2
①若点A 与点B 的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B 的坐标； ②直接写出点A 与点B 的“非常距离”的最小值；
=y （2）已知C 是直线
3
x +3上的一个动点， 4
①如图2，点D 的坐标是（0，1），求点C 与点D 的“非常距离”的最小值及相应的点C 的坐标； ②如图3，E 是以原点O 为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C 与点E 的“非常距离”的最 小值及相应的点E 和点C 的坐标。
25. （ 7分）在△ABC 中，AB=AC，∠BAC=α（0°
（1）如图1，直接写出∠ABD 的大小（用含α的式子表示）；
（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE 的形状并加以证明； （3）在（2）的条件下，连结DE ，若∠DEC=45°，求α的值。
26. （ 8分）对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ，给出如下定义：若⊙C 上存在两个点A ，B ，
使得∠APB=60°，则称P 为⊙C 的关联点。已知点D （（1）当⊙O 的半径为1时，
①在点D ，E ，F 中，⊙O 的关联点是 ；
②过点F 作直线交y 轴正半轴于点G ，使∠GFO=30°，若直线上的点P （m ，n ）是⊙O 的关联点，求m 的取值范围；
（2）若线段EF 上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r 的取值范围。
11，），E （0，－2），F （2，0） 22
答案部分 专题十二 压轴题
一、选择题
1. B 2. B 3.B 4. A 5. B 6. B 7. D 8. D 9. A 10. B 11.B 12. D 13.A 二、填空题 1. 7.5×10 2. 10（n-1）+1
3. 当三角形面积S 一定时，边长a 是这条边上的高h 的反比例函数；a=S 为常数，S ≠0）（答案不
唯一） 4. 650或1150 5. 12或-12 6. 30
7. 2 , 3 , 4 , 6 , 12 8.
h-4
9.
2
；
n
（n ≥2，且n 为整数）
10. B; 603 ; 6n+3 11. 0 , 15 , 1 12. 3或4 ； 6n-3
13. - ; - ; 0和 - 1 三、解答题 1.
（1）证明：连接OE ，
∵AE 平分∠BAF ，∴∠OAE=∠EAD ∵OE=OA ，∴∠OEA=∠
OAE
2
3
∴∠OEA=∠EAD 。 ∴OE//AD ∵∠OED=∠ADC=900 ，且E 在⊙O 上， ∴CD 与⊙O 相切于点E. （2）⊙O 直径2.
（1）这个二次函数的解析式为y=x2 - 8x+12，它的顶点坐标为（4， - 4）； 15
，tan ∠AED =2 4
（2）S 与t 的函数关系式是S=36-3t（2≤ t
4. （ 8分）已知：抛物线y =ax 2+4ax +t 与x 轴的一个交点为A （－1，0） （1）B （- 3，0）；
（2）y= x2 + 4 x + 3或y = - x2- 4x - 3
（3）在抛物线上存在点P(-2，) ，使△APE 的周长最小。
2
⑴
⑵ 2√ －2 6.
⑴A 、B 两点纵坐标的乘积是常数4 ⑵ y = x2；
2⑶直线AB 的解析式为y= 2x - 2或y= - 2x + 2 7. （1）
（2）①sin ∠CAB 的值是8.
（1）b= - 4a
（2）⊙D 半径的长是2√；抛物线的解析式y = 2−2x x2 + 2x （3）存在点P ，坐标为（4+2√, 6+4√4-2√，-6+4√ 9.
2
2
②sin ∠CAB 的值是n ＞0） 3n+2
10.
（1）A （-m ，0），B （2m ，0）； （2）
（3）抛物线y = -x2+2x+8；直线BE 的解析式y = - x + 11. ．
（1）y = x2- x + 3 （2）y = - x + 2
555
4
2
3
3
3
（3）E （2,0），F （3，），点P 运动的最短总路径的长是12.
（1）矩形，等腰梯形（答案不唯一）； （2）
13.
（1）y = x 2 + （2）y =
333
（3）M 1（- 14．
3
0）、M 2（0，2）、M 3（0，- 2）、M 4（-2√0）
（1）平行四边形（答案不唯一）；
（2）与∠A 相等的角是∠BOD （或∠COE ），四边形DBCE 等对边四边形；
15.
（1）直线BC 的解析式：y = x2 + bx + c；抛物线的解析式：y = x2 - 4x + 3； （2）P 的坐标（2，2）或（2 ， -2）； （3）450． 16.
（ 8分）请阅读下列材料：
问题：如图1，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A ，B ，E 在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连接PG ，PC ．若∠ABC=∠BEF=60°，探究PG 与PC 的位置关系及
PG
的值． PC
小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题： （1）PG ⊥PC ，
PG
=√
PC
（2）
（3） 17.
PG
= tan（900 - α） PC
18.
（1）D （3，6√）； （2）y = - √√
19.
（1）B （2，4）；
（2）① OP = 9 ②t 的值分别是，2 ， 73
20. （1）AB=AC；150；1；3
21. （ 7分）在 ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 于点F ．
（1）
（2）450
（3）600
22.
（1）√（2）当一次函数ｙ=ｘ+b的图象与图形C 恰好只有一个公共点时， b 的取值范围b=√ -1
（3）M 的横坐标x 的取值范围是 – 2
（1）∠CDB=300
（2） 2
（3） 450
24.
（1）
① B（0 ， -2）或（0 ， 2） ② （2） 2； ①点C 与点D 的“非常距离”的最小值7 ， 点C 的坐标（ - 7，7）
5555 ②点C 与点E 的“非常距离”的最小值1 ，点E （-，，点C （-，。
25.
（1）300 -
（2） 2α
（3）300
26.
（1）① D , E ② 0≤m ≤√（2）r ≥1
民大附中招生入学考试【数学备考资料】
专题十二 压轴题
一、选择题1. （ 4分）如图，在平行四边形ABCD 中，CE 是∠DCB 的平分线，F 是AB 的中点，AB=6，BC=4，则AE ：EF ：FB 为【 】
A ．1：2：3 B．2：1：3 C．3：2：1 D．3：1：2
2. （ 4分）三峡工程在6月1日于6月10日下闸蓄水期间，水库水位由106米升至135米，高峡平湖初现人间，假设水库水位匀速上升，那么下列图象中，能正确反映这10天水位h （米）随时间t （天）变化的是【 】
3. （4分）如图，点A 、D 、G 、M 在半圆O 上，四边形ABOC 、DEOF 、HMNO 均为矩形，设BC=a，
EF=b，NH=c，则下列各式中正确的是【 】
（A ）a ＞b ＞c
（B ）a=b=c （C ）c ＞a ＞b
（D ）b ＞c ＞a
4. （ 4分）如下图，在平行四边形ABCD 中，∠DAB=60°，AB=5，BC=3，点P 从起点D 出发，沿DC 、CB 向终点B 匀速运动．设点P 所走过的路程为x ，点P 所经过的线段与线段AD 、AP 所围成图形的面积为y ，y 随x 的变化而变化．在下列图象中，能正确反映y 与x 的函数关系的是【 】
5. （ 4分）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AD=1，AB=
3
，BC=2，P 是BC 边上的一2
个动点(点P 与点B 不重合) ，DE ⊥AP 于点E 。设AP=x，DE=y。在下列图象中，能正确反映y 与x 的函数关系的是【 】
将如图所示的圆心角为90 的扇形纸片AOB 围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径OA 与OB 6. （ 4分）
重合（接缝粘贴部分忽略不计），则围成的圆锥形纸帽是【 】
7. （ 4分）下图所示是一个三棱柱纸盒，在下面四个图中，只有一个是这个纸盒的展开图，那么这个展开图是【 】
8. （ 4分）已知O 为圆锥的顶点，M 为圆锥底面上一点，点P 在OM 上．一只蜗牛从P 点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P 点时所爬过的最短路线的痕迹如左图所示．若沿OM 将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是【 】
9. （ 4分） 如图，C 为⊙O 直径AB 上一动点，过点C 的直线交⊙O 于D 、E 两点，且∠ACD=45°，
DF ⊥AB 于点F ，EG ⊥AB 于点G ，当点C 在AB 上运动时，设AF=x ，DE=y ，下列中图象中，能表示y 与x 的函数关系式的图象大致是【 】
10. （ 4分）美术课上，老师要求同学们将下图所示的白纸只沿虚线裁开，用裁开的纸片和白纸上的阴影部分围成一个立体模型，然后放在桌面上，下列四个示意图中，只有一个符合上述要求，那么这个示．．．．意图是【 】
11. （ 4分）如图在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2，D 是AB 边上的一个动点（不与点A 、B 重合），过点D 作CD 的垂线交射线CA 于点E ．设AD=ｘ，CE=ｙ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系图象大致是【 】
12. （ 4分） 小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点A 出发，沿箭头所示方向经过点B 跑到点C ，共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为t （单位：秒），他与教练的距离为y （单位：米），表示y 与t 的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的【 】
13. （ 4分） 如图，点P 是以O 为圆心，AB 为直径的半圆上的动点，AB=2，设弦AP 的为x ，△APO
面积为y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是【 】
二、填空题
一种圆筒状包装的保鲜膜，如图所示，其规格为20cm×60m，经测量这筒保鲜膜的内径Φ1、1. （ 4分）
外径Φ的长分别为3.2cm ，4.0cm ，则该种保鲜膜的厚度约为 cm（π取3.14
，结果保留两位有
效数字）．
2. （ 4分）观察下列顺序排列的等式：
9×0+1=1 9×1+2=11 9×2+3=21 9×3+4=31 9×4+5=41 …
猜想：第n 个等式（n 为正整数）应为。
3. （ 4分）我们学习过反比例函数．例如，当矩形面积S 一定时，长a 是宽b 的反比例函 数，其函数关系式可以写为a=
S
（S 为常数，S≠0）． b
请你仿照上例另举一个在日常生活、生产或学习中具有反比例函数关系的量的实例，并写出它的函数 关系式．
实例： ； 函数关系式： ．
4. （ 4分）在△ABC 中，∠B=25°，AD 是BC 边上的高，并且AD =BD•DC，则∠BCA 的度数为 5. （ 4分）如果a =2，b =3，那么a 2b 的值等于。
6. （ 4分）如图，在△ABC 中，AB=AC．M 、N 分别是AB 、AC 的中点，D 、E 为BC 上的点，连接DN 、EM ．若AB=13cm，BC=10cm，DE=5cm，则图中阴影部分的面积为 cm 2．
2
7. （ 4分）下图是对称中心为点O 的正六边形。如果用一个含30°角的直角三角板的角，借助点O （使角的顶点落在点O 处），把这个正六边形的面积n 等分，那么n 的所有可能的值是 。
b 2b 5b 11b 88. （ 4分）一组按规律排列的式子：−2，−3，−4，…（ab ≠0），其中第7个式子是a a a a
第n 个式子是 （n 为正整数）．
9. （ 4分）如图，正方形纸片ABCD 的边长为1，M 、N 分别是AD 、BC 边上的点，将纸片的一角沿
过点B 的直线折叠，使A 落在MN 上，落点记为A′，折痕交AD 于点E ，若M 、N 分别是AD 、BC 边的中点，则A′N= ; 若M 、N 分别是AD 、BC 边的上距DC 最近的n 等分点（n ≥2, 且n 为整数），则A′N=
（用含有n 的式子表示）
10. （ 4分）下图为手的示意图，在各个手指间标记字母A ，B ，C ，D. 请你按图中箭头所指方向（即A→B→C→D→C→B→A→B→C→…的方式）从A 开始数连续的正整数1，2，3，4，…，当数到12时，对应的字母是 ；当字母C 第201次出现时，恰好数到的数是 ；当字母C 第2n +1次出，恰好数到的数是 （用含n 的代数式表示）.
现时（n 为正整数）
11. （ 4分）在下表中，我们把第i 行第j 列的数记为a i ，j （其中i ，j 都是不大于5的正整数），对于表规定如下：当i≥j时，a i ，j =1；当i ＜j 时，a i ，j =0．例如：当i=2，j=1时，a i ，j =a 2，1=1．按中的每个数a i ，j ，
表中的25个数中，共有个1；计算a 1，1•a i ，1+a 1，2•a i ，2+a 1，3•a i ，3+a 1，此规定，a 1，3=4•a i ，4+a 1，5•a i ，5的值为
．
12. （ 4分）在平面直角坐标系xOy 中，我们把横 、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点A （0，4），
点B 是x 轴正半轴上的整点，记△AOB 内部（不包括边界）的整点个数为m ．当m=3时，点B 的横坐标的所有可能值是 ；当点B 的横坐标为4n （n 为正整数）时，m= （用含n 的代数式表示．）
13. （ 4分）如图，在平面直角坐标系x Ｏy 中，已知直线ｌ：y =−x −1，双曲线y =
1
。在ｌ上取点x
A 1，过点A 1作x 轴的垂线交双曲线于点B 1，过点B 1作y 轴的垂线交于点A 2，请继续操作并探究：过点A 2作x 轴的垂线交双曲线于点B 2，过点B 2作y 轴的垂线交于点A 3，…，这样依次得到上的点A 1，A 2，A 3，…，A n ，…。记点A n 的横坐标为a n ，若a 1=2，则a 2，a 2013；若要将上述操作无限次地进行下去，则a 1不能取的值是__________ ．．．
三、解答
1. （ 9分）如图，AB 是⊙O 的直径，AE 平分∠BAF 交⊙O 于点E ，过点E 作直线与AF 垂直交
AF
延长线于D 点，且交AB 延长线于C 点 （1）求证：CD 与⊙O 相切于点E ； （2）若CE•DE=
15
，AD=3，求⊙O 的直径及∠AED 的正切值． 4
2. （ 12分）已知：二次函数y x 2−kx +k +4的图象与y 轴交于点C ，且与x 轴的正半轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧）．若A 、B 两点的横坐标为整数， （1）确定这个二次函数的解析式并求它的顶点坐标；
（2）若点D 的坐标是（0，6），点P （t ，0）是线段AB 上的一个动点，它可与点A 重合，但不与点B 重合．设四边形PBCD 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式；
（3）若点P 与点A 重合，得到四边形ABCD ，以四边形ABCD 的一边为边，画一个三角形，使它的面积等于四边形ABCD 的面积，并注明三角形高线的长．再利用“等底等高的三角形面积相等”的知识，画一个三角形，使它的面积等于四边形ABCD 的面积（画示意图，不写计算和证明过程）．
3. （ 8分）已知：在ΔABC中，AD 为∠BAC 的平分线，以C 为圆心，CD 为半径的半圆交BC 的延长线于点E ，交AD 于点F ，交AE 于点M ，且∠B=∠CAE ，FE ∶FD=4∶3。 （1）求证：AF=DF. （2）求∠AED 的余弦值；
（3）如果BD=10，求ΔABC的面积。
4. （ 8分）已知：抛物线y =ax 2+4ax +t 与x 轴的一个交点为A （－1，0） （1）求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；
（2）D 是抛物线与y 轴的交点，C 是抛物线上的一点，且以AB 为一底的梯形ABCD 的面积为9，求此抛物线的解析式；
（3）E 是第二象限内到x 轴，y 轴的距离 的比为5：2的 点，如果点E 在（2）中的抛物线上，且它与点A 在此抛物线对称轴的同侧，问 ：在抛物线的对称轴上是否存在点P ， 使△APE 的周长最小？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由。
5. （ 8分）已知：如图1，∠ACG ＝900，AC ＝2，点B 为CG 边上的一个动点，连结AB ，将△ACB 沿AB 边所在的直线翻折得到△ADB ，过点D 作DF ⊥CG 于点F ．
⑴ 当BC
时，判断直线FD 与以AB 为直径的⊙O 的位置关系，并加以证明； ⑵ 如图2，点B 在CG 上向点C 运动，直线FD 与以AB 为直径的⊙O 交于D 、H 两点，连结AH ， 当∠CAB ＝∠BAD ＝∠DAH 时，求BC 的长．
6. （ 8分）已知：在平面直角坐标系xOy 中，过点P(0，2) 任作一条与抛物线y ＝ax 2(a＞0) 交于两点的．．直线，设交点分别为A 、B ．若∠AOB ＝90°，
⑴ 判断A 、B 两点纵坐标的乘积是否为一个确定的值，并说明理由； ⑵ 确定抛物线y ＝ax 2(a＞0) 的解析式；
⑶ 当△AOB
的面积为时，求直线AB 的解析式．
7. （ 8分）已知：在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，D 是AC 的中点，⊙O 经过A 、D 、B 三点，CB 的延长线交⊙O 于点E （如图1）．
在满足上述条件的情况下，当∠CAB 的大小变化时，图形也随着改变（如图2），在这个变化过程中，有些线段总保持着相等的关系．
（1）观察上述图形，连接图2中已标明字母的某两点，得到一条新线段与线段CE 相等，请说明理由； （2）在图2中，过点E 作⊙O 的切线，交AC 的延长线于点F ． ①若CF=CD，求sin ∠CAB 的值； ②若
CF
，试用含n 的代数式表示sin ∠CAB （直接写出结果）． =n （n ＞0）
CD
（ 9分）已知：在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y=kx﹣4k 的图象与x 轴交于点A ，抛物线y=ax+bx+c8.
经过O 、A 两点．
（1）试用含a 的代数式表示b ；
（2）设抛物线的顶点为D ，以D 为圆心，DA 为半径的圆被x 轴分为劣弧和优弧两部分．若将劣弧沿x 轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D 内，它所在的圆恰与OD 相切，求⊙D 半径的长及抛物线的解析式； （3）设点B 是满足（2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x 轴上方的部分上是否存在这样的点P ，使得∠POA=
2
4
∠OBA ？若存在，求出点P 的坐标；3
9. （ 8分）已知：AB 是半圆O 的直径，点C 在BA 的延长线上运动(点C 与点A 不重合) ，以OC 为直径的半圆M 与半圆O 交于点D ，∠DCB 的平分线与半圆M 交于点E 。 （1）求证：CD 是半圆O 的切线(图①) ；
（2）作EF ⊥AB 于点F(图②) ，猜想EF 与已有的哪条线段的一半相等，并加以证明；
（3）在上述条件下，过点E 作CB 的平行线CD 于点N ，当NA 与半圆O 相切时(图③) ，求∠EOC 的正切值。
10. （ 9分）已知：抛物线y=－x 2+mx+2m2(m＞0) 与x 轴交于A 、B 两点，点A 在点B 的左边，C 是抛物线上一个动点(点C 与点A 、B 不重合) ，D 是OC 的中点，连结BD 并延长，交AC 于点E 。
（1）用含m 的代数式表示点A 、B 的坐标；
（2）求
CE
的值； AE
8
时，求抛物线和直线BE 的解析式。 5
（3）当C 、A 两点到y 轴的距离相等，且S △CED =
，与x 轴分别交于B （1，0）、C 11. （ 8分）已知抛物线y =ax 2+bx +c 与y 轴交于点A （0，3）（5，0）两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点D 为线段OA 的一个三等分点，求直线DC 的解析式；
（3）若一个动点P 自OA 的中点M 出发，先到达x 轴上的某点（设为点E ），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F ），最后运动到点A′求使点P 运动的总路径最短的点E 、点F 的坐标，并求出这个最短总路径的长．
我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形．请12. （ 8分）解答下列问题：
（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；
（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为600时，这对600角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论．
，A （0，2）两13. （ 7分）在平面直角坐标系xOy
中，抛物线y =mx 2++n 经过P
5）点。
（1）求此抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为B ，将直线AB 沿y 轴向下平移两个单位得到直线l ，直线l 与抛物线的对称轴交于C 点，求直线l 的解析式；
（3）在（2）的条件下，求到直线OB ，OC ，BC 距离相等的点的坐标。
14. （ 8分）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形。
（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；
（2）如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，设CD ，BE 相交于点O ，若∠A=60°，∠DCB=∠EBC=
1
∠A 。请你写出图中一个与∠A 相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形； 2
（3）在△ABC 中，如果∠A 是不等于60°的锐角，点D ，E 分别在AB ，AC 上，且∠DCB=∠EBC=探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论。
1
∠A 。2
15. （ 7分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点B 的坐标为（3，0），将直线y=kx沿y 轴向上平移3个单位长度后恰好经过B ，C 两点．
（1）求直线BC 及抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D ，点P 在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB ，求点P 的坐标； （3）连接CD ，求∠OCA 与∠OCD 两角和的度数．
16. （ 8分）请阅读下列材料：
问题：如图1，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A ，B ，E 在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连接PG ，PC ．若∠ABC=∠BEF=60°，探究PG 与PC 的位置关系及
PG
的值． PC
小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及
PG
的值； PC
（2）将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明；
（3）若图1中∠ABC=∠BEF=2α（0°＜α＜90°），将菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出
PG
的值（用含α的式子表示）． PC
17. （ 8分）在平行四边形ABCD 中，过点C 作CE ⊥CD 交AD 于点E ，将线段EC 绕点E 逆时针旋转900得到线段EF(如图1) （1）在图1中画图探究：
①当P 为射线CD 上任意一点（P 1不与C 重合）时，连结EP 1绕点E 逆时针旋转900 得到线段EC 1.
判断直线FC 1与直线CD 的位置关系，并加以证明；
②当P 2为线段DC 的延长线上任意一点时，连结EP 2, 将线段EP 2绕点E 逆时针旋转90
0得到线段
EC 2. 判断直线C 1C 2与直线CD 的位置关系，画出图形并直接写出你的结论. （2）若AD=6，tanB=
4
，AE=1，在①的条件下，设CP 1=x ，S ∆P FC =y ，求y 与x 之间的函数关系式，
113
并写出自变量x 的取值范围.
，B （6，0），18. （ 7分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 三个顶点的坐标分别为A （－6，0）C （0
，），延长AC 到点D ，使CD=（1）求D 点的坐标；
（2）作C 点关于直线DE 的对称点F ，分别连接DF 、EF ，若过B 点的直线y=kx+b将四边形CDFE 分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；
（3）设G 为y 轴上一点，点P 从直线y=kx+b与y 轴的交点出发，先沿y 轴到达G 点，再沿GA 到达A 点，若P 点在y 轴上运动的速度是它在直线GA 上运动速度的2倍，试确定G 点的位置，使P 点按照上述要求到达A 点所用的时间最短．（要求：简述确定G 点位置的方法，但不要求证明）
1
AC ，过点D 作DE ∥AB 交BC 的延长线于点E ． 2
19. （ 8分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y −为原点O 和点A ，点B （2，n ）在这条抛物线上. （1）求B 点的坐标；
（2）点P 在线段OA 上，从O 点出发向A 点运动，过P 点作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E ，延长PE 到点D ，使得ED=PE，以PD 为斜边，在PD 右侧作等腰直角三角形PCD （当P 点运动时，C 点、D 点也随之运动）.
①当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长；
m −125m
x +x +m 2−3m +2与x 轴的交点分别44
②若P 点从O 点出发向A 点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一点Q 从A 点出发向O 点作匀速运动，速度为每秒2个单位（当Q 点到达O 点时停止运动，P 点也同时停止运动）. 过Q 点作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F ，延长QF 到点M ，使得FM=QF，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN （当Q 点运动时，M 点、N 点也随之运动）. 若P 点运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值.
20. （ 7分）问题：已知△ABC 中，∠BAC=2∠ACB ，点D 是△ABC 内一点，且AD=CD，BD=BA.探究∠DBC 与∠ABC 度数的比值. 请你完成下列探究过程：
先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明. （1）当∠BAC=900时，依问题中的条件补全下图. 观察图形，AB 与AC 的数量关系为________________；
当推出∠DAC=150时，可进一步推出∠DBC 的度数为_________； 可得到∠DBC 与∠ABC 度数的比值为_______________.
（2）当∠BAC≠900时，请你画出图形，研究∠DBC 与∠ABC 度数的比值是否与（1）中的结论相同，
写出你的猜想并加以证明.
21. （ 7分）在 ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 于点F ．
（1）在图1中证明CE=CF；
（2）若∠ABC=90°，G 是EF 的中点（如图2），直接写出∠BDG 的度数；
（3）若∠ABC=120°，FG ∥CE ，FG=CE，分别连接DB 、DG （如图3），求∠BDG 的度数．
22. （ 8分）如图，在平面直角坐标系ｘO ｙ中，我把由两条射线AE ，BF 和以AB 为直径的半圆所组成的图形叫作图形C （注：不含AB 线段）．已知A （﹣1，0），B （1，0），AE ∥BF ，且半圆与ｙ轴的交点D 在射线AE 的反向延长线上． （1）求两条射线AE ，BF 所在直线的距离；
（2）当一次函数ｙ=ｘ+b的图象与图形C 恰好只有一个公共点时，写出b 的取值范围；当一次函数ｙ=ｘ+b的图象与图形C 恰好只有两个公共点时，写出b 的取值范围；
（3）已知 AMPQ （四个顶点A ，M ，P ，Q 按顺时针方向排列）的各顶点都在图形C 上，且不都在两条射线上，求点M 的横坐标x 的取值范围．
23. （ 7分）在△ABC 中，BA=BC，∠BAC =α，M 是AC 的中点，P 是线段BM 上的动点，将线段PA 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ 。
（1） 若α=60°且点P 与点M 重合（如图1），线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ，请补全图形，
并写出∠CDB 的度数；
（2） 在图2中，点P 不与点B ，M 重合，线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，猜想∠CDB
，并加以证明； 的大小（用含α的代数式表示）
（3） 对于适当大小的α，当点P 在线段BM 上运动到某一位置（不与点B ，M 重合）时，能使得
线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，且PQ=QD，请直接写出α的范围。
24. （ 8分）在平面直角坐标系xoy 中，对于任意两点P 1（x 1,y 1）与P 2（x 2,y 2）的“非常距 离”，给出如下定义：
若∣x 1－x 2∣≥∣y 1－y 2∣，则点P 1与点P 2的“非常距离”为∣x 1－x 2∣； 若∣x 1－x 2∣＜∣y 1－y 2∣，则点P 1与点P 2的“非常距离”为∣y 1－y 2∣.
例如：点P 1（1,2），点P 2（3,5），因为∣1－3∣＜∣2－5∣，所以点P 1与点P 2的“非常距离”为 ∣2－5∣=3，也就是图1中线段P 1Q 与线段P 2Q 长度的较大值（点Q 为垂直于y 轴的直线P 1Q 与垂直
。 于x 轴的直线P 2Q 的交点）
1
（1）已知点A (−，0) ，B 为y 轴上的一个动点，
2
①若点A 与点B 的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B 的坐标； ②直接写出点A 与点B 的“非常距离”的最小值；
=y （2）已知C 是直线
3
x +3上的一个动点， 4
①如图2，点D 的坐标是（0，1），求点C 与点D 的“非常距离”的最小值及相应的点C 的坐标； ②如图3，E 是以原点O 为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C 与点E 的“非常距离”的最 小值及相应的点E 和点C 的坐标。
25. （ 7分）在△ABC 中，AB=AC，∠BAC=α（0°
（1）如图1，直接写出∠ABD 的大小（用含α的式子表示）；
（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE 的形状并加以证明； （3）在（2）的条件下，连结DE ，若∠DEC=45°，求α的值。
26. （ 8分）对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ，给出如下定义：若⊙C 上存在两个点A ，B ，
使得∠APB=60°，则称P 为⊙C 的关联点。已知点D （（1）当⊙O 的半径为1时，
①在点D ，E ，F 中，⊙O 的关联点是 ；
②过点F 作直线交y 轴正半轴于点G ，使∠GFO=30°，若直线上的点P （m ，n ）是⊙O 的关联点，求m 的取值范围；
（2）若线段EF 上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r 的取值范围。
11，），E （0，－2），F （2，0） 22
答案部分 专题十二 压轴题
一、选择题
1. B 2. B 3.B 4. A 5. B 6. B 7. D 8. D 9. A 10. B 11.B 12. D 13.A 二、填空题 1. 7.5×10 2. 10（n-1）+1
3. 当三角形面积S 一定时，边长a 是这条边上的高h 的反比例函数；a=S 为常数，S ≠0）（答案不
唯一） 4. 650或1150 5. 12或-12 6. 30
7. 2 , 3 , 4 , 6 , 12 8.
h-4
9.
2
；
n
（n ≥2，且n 为整数）
10. B; 603 ; 6n+3 11. 0 , 15 , 1 12. 3或4 ； 6n-3
13. - ; - ; 0和 - 1 三、解答题 1.
（1）证明：连接OE ，
∵AE 平分∠BAF ，∴∠OAE=∠EAD ∵OE=OA ，∴∠OEA=∠
OAE
2
3
∴∠OEA=∠EAD 。 ∴OE//AD ∵∠OED=∠ADC=900 ，且E 在⊙O 上， ∴CD 与⊙O 相切于点E. （2）⊙O 直径2.
（1）这个二次函数的解析式为y=x2 - 8x+12，它的顶点坐标为（4， - 4）； 15
，tan ∠AED =2 4
（2）S 与t 的函数关系式是S=36-3t（2≤ t
4. （ 8分）已知：抛物线y =ax 2+4ax +t 与x 轴的一个交点为A （－1，0） （1）B （- 3，0）；
（2）y= x2 + 4 x + 3或y = - x2- 4x - 3
（3）在抛物线上存在点P(-2，) ，使△APE 的周长最小。
2
⑴
⑵ 2√ －2 6.
⑴A 、B 两点纵坐标的乘积是常数4 ⑵ y = x2；
2⑶直线AB 的解析式为y= 2x - 2或y= - 2x + 2 7. （1）
（2）①sin ∠CAB 的值是8.
（1）b= - 4a
（2）⊙D 半径的长是2√；抛物线的解析式y = 2−2x x2 + 2x （3）存在点P ，坐标为（4+2√, 6+4√4-2√，-6+4√ 9.
2
2
②sin ∠CAB 的值是n ＞0） 3n+2
10.
（1）A （-m ，0），B （2m ，0）； （2）
（3）抛物线y = -x2+2x+8；直线BE 的解析式y = - x + 11. ．
（1）y = x2- x + 3 （2）y = - x + 2
555
4
2
3
3
3
（3）E （2,0），F （3，），点P 运动的最短总路径的长是12.
（1）矩形，等腰梯形（答案不唯一）； （2）
13.
（1）y = x 2 + （2）y =
333
（3）M 1（- 14．
3
0）、M 2（0，2）、M 3（0，- 2）、M 4（-2√0）
（1）平行四边形（答案不唯一）；
（2）与∠A 相等的角是∠BOD （或∠COE ），四边形DBCE 等对边四边形；
15.
（1）直线BC 的解析式：y = x2 + bx + c；抛物线的解析式：y = x2 - 4x + 3； （2）P 的坐标（2，2）或（2 ， -2）； （3）450． 16.
（ 8分）请阅读下列材料：
问题：如图1，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A ，B ，E 在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连接PG ，PC ．若∠ABC=∠BEF=60°，探究PG 与PC 的位置关系及
PG
的值． PC
小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题： （1）PG ⊥PC ，
PG
=√
PC
（2）
（3） 17.
PG
= tan（900 - α） PC
18.
（1）D （3，6√）； （2）y = - √√
19.
（1）B （2，4）；
（2）① OP = 9 ②t 的值分别是，2 ， 73
20. （1）AB=AC；150；1；3
21. （ 7分）在 ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 于点F ．
（1）
（2）450
（3）600
22.
（1）√（2）当一次函数ｙ=ｘ+b的图象与图形C 恰好只有一个公共点时， b 的取值范围b=√ -1
（3）M 的横坐标x 的取值范围是 – 2
（1）∠CDB=300
（2） 2
（3） 450
24.
（1）
① B（0 ， -2）或（0 ， 2） ② （2） 2； ①点C 与点D 的“非常距离”的最小值7 ， 点C 的坐标（ - 7，7）
5555 ②点C 与点E 的“非常距离”的最小值1 ，点E （-，，点C （-，。
25.
（1）300 -
（2） 2α
（3）300
26.
（1）① D , E ② 0≤m ≤√（2）r ≥1