第19卷第3期(总第105期) 2001年5月
文章编号:1001-4098(2001) 03-0021-04 系 统 工 程 V ol. 19, No. 3Systems Engineering M ay. , 2001
Hurst 指数在股票市场有效性分析中的应用
叶中行, 曹奕剑
(上海交通大学应用数学系, 上海 200030) X
摘 要:Hurst 指数是一个在混沌和分形学科中判断时间序列混沌性和成群性的统计参数。
本文计算了实际股票市场股票对数收益率的Hur st 指数, 认为在一定条件下股票运动并不满
足布朗运动模型, 也就意味着该证券市场不是有效的。本文采用的方法是对短时间(短到分
钟) 内的收益率统计Hur st 指数, 从而判断市场中是否有大户操纵的行为。作者认为Hurst 指
数在证券投资中有一定的参考价值, 对长期的投资决策可以发生影响。
关键词:有效市场; Hurst 指数; 对数收益率; 布朗运动模型
中图分类号:F 121 文献标识码:A
金融资产与普通实物商品的重要区别是价值的来源。金融资产的价值不与商品的使用价值相联系, 更多取决于信用及未来盈利能力。信息能否有效利用, 足以反映金融资产的真正价值, 是一个值得探究的问题。有关这方面的研究称之为有效市场假设。如果在完全有效的资本市场上, 证券价格完全能够反映信息蕴涵的价值。收益率的波动不能用过去的收益率来预测。股票的收益率此时是随机游走, 服从布朗运动模型、正态分布[1, 2]。本文用Hurst 指数研究了实际市场的数据, 认为至少在一部分市场中, 股价的变化并不能反映市场的有效性。在本文所用的采样方法下, 我们认为Hur st 指数还有指导投资的价值。
1 有效市场的条件
有效市场假设用数学语言描述就是所谓的EM H 方程, 即
E P t +1I =P t 1+r t t
其中, E (・û・) 表示条件数学期望, r t 表示在时间t 的无风险利率, P t 表示在时间t 的资产价格, I t 表示在时间t 获取的信息集合。有效市场按照所含信息从多到少的顺序分为强形式、半强形式和弱形式。
一个市场要是有效的, 至少应包括以下因素:其一, 信息的有效性, 即资本市场上价格能否及时、充分地反映信息; 其二, 金融硬软件设施的有效性, 即资本市场的金融服务要完善, 市场规模要充分大到足以消除个体的影响; 其三, 完全保险的有效性, 即个体在市场上能随时进行交易; 其四, 评价的有效性, 即投资者对未来的评价在今后可以为市场所实证。
根据上述的因素, 我们可以设想, 如果一个市场有如下特征之一, 这个市场就不一定是有效的:(1) 市场规X 收稿日期:2000-12-30基金项目:国家自然科学基金资助项目(79790130) :, , , , , () :
22系 统 工 程 2001年模小; (2) 市场的信息通道闭塞; (3) 市场中存在违规行为和虚假消息; (4) T +1交易方式。特别地, 当我们研究在实际市场中的(T +1交易) , 特定的单个股票(市场规模小) , 在某段时间内(有可能被操作) , 以较短的时间间隔(市场的信息来不及传播) , 考察其价格运动行为, 这个股票的价格行为很可能并不反映有效市场假设。
一个时间序列是布朗运动的必要条件是这串时间序列的一个取值范围在0-1间的统计指标Hurst 指数H 为0. 5左右。当该指数远偏离0. 5时, 我们就可以认为该时间序列不满足布朗运动。对于股票的收益率构成的时间序列来说, 我们就可以认为该股票所在的市场不是一个有效的市场。
2 Hurst 指数和R/S 方法
Hur st 指数是水利专家H. E. Hurst 在20世纪中叶提出的一种判别时间序列是否对于时间有依赖的参数。他通过考察河流的泛滥和枯水期发现, 这种时期往往持续几年。这就不同于以往理论上认为每年水流量是独立同分布的高斯变量, 也不同于传统的马氏链的假设。在经验的基础上, 他采用了一个新的Hurst 参数来分析这种时间序列的集群现象, 并且提出了计算该参数的R /S 方法:
考察时间序列X t i , i =1, 2, …, n , P j ∈{i ûi =1, 2, …, n }, 定义:
均值 〈X 〉t =i
积累离差
极差a (t i , t j ) =1j j [3]∑X i =1i k =1t i ∑(X
∑(X j t k -〈X 〉X 〉X 〉t ) =i (〈t -〈t ) , i =1, 2, …, j j i j 1≤i ≤j R (t j ) =max a (t i , t j ) -min a (t i , t j ) 1≤i ≤j
t i
标准差
Hur st 指数H S (t j ) =i =1-〈X 〉t j ) j ∑X =i =1j 2t i 2-(2j -1) 〈X 〉t j t t j R (t j ) ∝t H j , j =2, 3, …, n S (t j )
R (t ) 即log =H log t j +C S (t j )
对上式可以用最小二乘法拟合求得Hurst 指数H .
对于标准的布朗运动, 其Hurst 指数为0. 5。Hurst 指数H 不为0. 5, 称之为分形布朗运动B H (t ) , 并且B H (t ) 服从分布N (L t , R t H ) 。经过计算, 经验表明, 用R/S 法估计的Hurst 指数会比理论值偏高。而且时间序列越长, 估计的精度也越高。
3 Hurst 指数的表现特性
时间序列的Hurst 指数居于0-1之间。以0. 5为间隔, 时间序列在不同的区间会表现不同的特性:
(1) H ∈(0, 0. 5) :A ntipersistent 分形布朗运动
此时, 时间序列的未来数据倾向于返回历史点, 因此其发散的比标准布朗运动慢。可以证明, 该序列在理论上会无数次的返回它的历史出发点。
(2) H =0. 5:标准布朗运动
此时, B H (t ) 随机游走, 表现马氏链特性。
(3) H ∈(0. 5, 1) :长期Persistence 和无周期的循环
此时, 时间序列有混沌性。B H (t ) 的增量会表现出长期增长的特性。因此, 一定范围的记录会持续相当长的时期, 从而形成一个个大的循环。但是这些循环没有固定的周期, 难以依靠过去的数据预测未来的变化。
[4]
第3期 叶中行, 曹奕剑:Hurst 指数在股票市场有效性分析中的应用
此时, 时间序列为一条直线。未来完全可以用现在进行预测。23
3 市场的实证研究
相当多的经验数据统计表明, 在金融市场中, 某些金融商品的收益率并不是与过往收益率无关的标准的随机游走运动。在本文中, 选取了在沪市上市的5种股票和沪市的指数这6个代表来考察它们的有效性。在采样中, 我们获得的是股票的交易价格S i (i =0, 1, 2, …, N ) , 为了得到需要考察的复利收益率, 首先需要做变换:
X i =ln
并且X 0=0。
我们考察的收益率是以分钟为间隔的。这基于四点考虑:其一, 取样的准确性。Hur st 指数的计算需要很长的时间序列才能保证准确。如果以天或周为间隔取样, 至少需要一年以上的数据。在这期间, 股票有分红和配股等因素。限于各种原因, 剔除这种人为影响是不容易的。因此会最终影响到结果。其二, 有效市场的限制。我们做这项研究, 并不是从根本上否认有效市场假设。信息在一定时间后自然会完全融于价格中去, 但是在短期内可能市场还来不及消化。其三, 投资的指导价值。以长期数据进行分析理论上是可能的。但是, 考虑到时间同尺度的时滞关系, 以天采样的数据在时间序列上可能要用一年或更长的时间来表现。这段时间内, 情况可能完全改变了, 因此也就不具有应用的价值。第四, 收益率期望的影响。收益率的期望并不总为0, 长期时这种现象更明显。而在这么小的间隔下, 这个数字是很小的。我们可以撇开收益率的期望, 简化问题。
在采样过程中, 首先通过网络获得在2000年6月12—23日10个交易日的沪市指数以及其中5种股票每天的JP G 格式股价走势图, 转成BM P 格式, 用M A T LA B 将每张图片导入, 提取走势线上的像素点, 形成每天的曲线。然后, 通过给出最初点、最末点代表的股价, 按比例确定曲线上每一像素点的具体股价。随后用插值方法取得待考察股票在一个交易日241分钟内共241个时间点的股价数据。不考虑交易停止的时间, 将每种股票在10天内的价格数据连接, 形成长达2410个的股价数据。最后对该数据生成每个分钟内的收益率X i , 计算Hurst 指数, 结果列于表1。
表1 6种股票的Hurst 指数间隔分钟
1
2
3
5
10
151A 00010. 71530. 68380. 67440. 64960. 65420. [1**********]. 58000. 55560. 54800. 55840. 57690. [1**********]. 63830. 65420. 65010. 69040. 68420. [1**********]. 34560. 33590. 37350. 34520. 41190. [1**********]. 37420. 39800. 41070. 42280. 40320. [1**********]. 52460. 57580. 56190. 52910. 52800. 5592S i S i -1
由此可见, 上述这些股票的收益率序列并不都接近标准布朗运动。考虑到R /S 方法本身得到的Hurst 指数相对偏大, 中山火炬(600872) 在多个数据点上比较接近于布朗运动。上指(1A 0001) 、武钢股份(600005) 、多佳股份(600086) 的Hurst 指数远大于0. 5, 倾向于混沌运动, 有时滞性。这种混沌表现在收益率变化的增量会持续相当长的时间。而第一百货(600631) 、东方明珠(600832) 的收益率是A ntiper sistent 的。这表明它们的收
24系 统 工 程 2001年4 Hurst 指数与未来收益的关系
以上股票的收益情况是怎样的呢? 从2000年6月到2000年11月间, 600005从5元上涨到过8元, 600086从11元上涨到过24元。整体收益率超过了60%。第二组的600631的波动范围在10元至13元之间, 600832的波动在42元至35元之间。波动范围明显小于第一组。
为什么在短短10天内考察的分钟收益率的Hur st 指数可以预测在未来几个月中的股价收益率波动情况呢? 注意到我们考察的是分钟的收益率, 在这么短的时间间隔下, 可以反映在这两个星期该股票是否为人操作。Hurst 指数小于0. 5时, 收益率无规则地返回原来的历史数据点。这一方面表明收益率的增量变化缓慢, 另一方面表明市场上不存在人为的、有规律的操作。此时, Hurst 指数看起来应在0. 5左右, 但情况又与标准的独立同分布的布朗运动不同。因为, 考察的时间间隔很小, 股票价格的变化范围不大, 收益率的时间序列中有很多是相同的数据。所以, Hur st 指数会小于0. 5。而当Hur st 指数远大于0. 5时, 收益率有成群现象。这一方面表明收益率的增量会持续较长的时间, 另一方面也暗示着市场中有成批的、有规律的操作, 也就是可能有人在建仓或出仓。如果是建仓的话, 那就决定了在未来几个月中股票会达到一个相对较高的价格。因此, 对现在的Hurst 指数可以预测一定时间后的股价波动率的变化, 有投资的参考价值。
对那些Hurst 指数远大于0. 5的股票来说, 其分钟收益率的增量就大, 自然总的收益率的波动也会很高。基于以上理由, 在投机中我们可以首先寻找那些Hur st 指数异乎寻常大的股票, 然后研究其过去的走向形势, 判断股票的基本形势是建仓还是出仓, 对看涨的或没有经过高峰的股票进行投资。
参考文献:
[1] 沈艺峰. 资金市场分析[M ].北京:中国经济出版社, 1995.
[2] 房汉廷. 现代资本市场的理论与实证分析[M ].北京:东方出版社, 1995.
[3] 叶中行, 杨利平. 上证指数的混沌特性分析[J].上海交通大学学报, 1998, 32(3) :129-132.
[4] M andelbr ot B B. T he fractal g eo metr y o f nature[M ].New Yo rk:W. H. Fr eeman and Company , 1977.
Application of Hurst Exponent
in Analysis of S tock Market ′s Efficiency
YE Zhong -x ing, CAO Yi-jian
(D epartm ent Of A pplied M athematics , Shang hai Jiaotong U niversity , Shang hai 200030, China )
Abstract :Hurst exponent can be used to testify the chaotic and gro uping char acter s of time series. T his ex ponent of the lo g -r etur n r ate for a real sto ck market is calculated and it is found that this market w as no t efficient . T he Hur st ex ponent using a tiny -interval sampling prov ided insig ht to whether there is someone contr olling the price of st ock. Hur st ex ponent is v aluable in the invest ment in stock m arket.
Key words :Efficient M arkets; L og -Return Rate; Hurst Ex ponent; Br ownian M ot ion
第19卷第3期(总第105期) 2001年5月
文章编号:1001-4098(2001) 03-0021-04 系 统 工 程 V ol. 19, No. 3Systems Engineering M ay. , 2001
Hurst 指数在股票市场有效性分析中的应用
叶中行, 曹奕剑
(上海交通大学应用数学系, 上海 200030) X
摘 要:Hurst 指数是一个在混沌和分形学科中判断时间序列混沌性和成群性的统计参数。
本文计算了实际股票市场股票对数收益率的Hur st 指数, 认为在一定条件下股票运动并不满
足布朗运动模型, 也就意味着该证券市场不是有效的。本文采用的方法是对短时间(短到分
钟) 内的收益率统计Hur st 指数, 从而判断市场中是否有大户操纵的行为。作者认为Hurst 指
数在证券投资中有一定的参考价值, 对长期的投资决策可以发生影响。
关键词:有效市场; Hurst 指数; 对数收益率; 布朗运动模型
中图分类号:F 121 文献标识码:A
金融资产与普通实物商品的重要区别是价值的来源。金融资产的价值不与商品的使用价值相联系, 更多取决于信用及未来盈利能力。信息能否有效利用, 足以反映金融资产的真正价值, 是一个值得探究的问题。有关这方面的研究称之为有效市场假设。如果在完全有效的资本市场上, 证券价格完全能够反映信息蕴涵的价值。收益率的波动不能用过去的收益率来预测。股票的收益率此时是随机游走, 服从布朗运动模型、正态分布[1, 2]。本文用Hurst 指数研究了实际市场的数据, 认为至少在一部分市场中, 股价的变化并不能反映市场的有效性。在本文所用的采样方法下, 我们认为Hur st 指数还有指导投资的价值。
1 有效市场的条件
有效市场假设用数学语言描述就是所谓的EM H 方程, 即
E P t +1I =P t 1+r t t
其中, E (・û・) 表示条件数学期望, r t 表示在时间t 的无风险利率, P t 表示在时间t 的资产价格, I t 表示在时间t 获取的信息集合。有效市场按照所含信息从多到少的顺序分为强形式、半强形式和弱形式。
一个市场要是有效的, 至少应包括以下因素:其一, 信息的有效性, 即资本市场上价格能否及时、充分地反映信息; 其二, 金融硬软件设施的有效性, 即资本市场的金融服务要完善, 市场规模要充分大到足以消除个体的影响; 其三, 完全保险的有效性, 即个体在市场上能随时进行交易; 其四, 评价的有效性, 即投资者对未来的评价在今后可以为市场所实证。
根据上述的因素, 我们可以设想, 如果一个市场有如下特征之一, 这个市场就不一定是有效的:(1) 市场规X 收稿日期:2000-12-30基金项目:国家自然科学基金资助项目(79790130) :, , , , , () :
22系 统 工 程 2001年模小; (2) 市场的信息通道闭塞; (3) 市场中存在违规行为和虚假消息; (4) T +1交易方式。特别地, 当我们研究在实际市场中的(T +1交易) , 特定的单个股票(市场规模小) , 在某段时间内(有可能被操作) , 以较短的时间间隔(市场的信息来不及传播) , 考察其价格运动行为, 这个股票的价格行为很可能并不反映有效市场假设。
一个时间序列是布朗运动的必要条件是这串时间序列的一个取值范围在0-1间的统计指标Hurst 指数H 为0. 5左右。当该指数远偏离0. 5时, 我们就可以认为该时间序列不满足布朗运动。对于股票的收益率构成的时间序列来说, 我们就可以认为该股票所在的市场不是一个有效的市场。
2 Hurst 指数和R/S 方法
Hur st 指数是水利专家H. E. Hurst 在20世纪中叶提出的一种判别时间序列是否对于时间有依赖的参数。他通过考察河流的泛滥和枯水期发现, 这种时期往往持续几年。这就不同于以往理论上认为每年水流量是独立同分布的高斯变量, 也不同于传统的马氏链的假设。在经验的基础上, 他采用了一个新的Hurst 参数来分析这种时间序列的集群现象, 并且提出了计算该参数的R /S 方法:
考察时间序列X t i , i =1, 2, …, n , P j ∈{i ûi =1, 2, …, n }, 定义:
均值 〈X 〉t =i
积累离差
极差a (t i , t j ) =1j j [3]∑X i =1i k =1t i ∑(X
∑(X j t k -〈X 〉X 〉X 〉t ) =i (〈t -〈t ) , i =1, 2, …, j j i j 1≤i ≤j R (t j ) =max a (t i , t j ) -min a (t i , t j ) 1≤i ≤j
t i
标准差
Hur st 指数H S (t j ) =i =1-〈X 〉t j ) j ∑X =i =1j 2t i 2-(2j -1) 〈X 〉t j t t j R (t j ) ∝t H j , j =2, 3, …, n S (t j )
R (t ) 即log =H log t j +C S (t j )
对上式可以用最小二乘法拟合求得Hurst 指数H .
对于标准的布朗运动, 其Hurst 指数为0. 5。Hurst 指数H 不为0. 5, 称之为分形布朗运动B H (t ) , 并且B H (t ) 服从分布N (L t , R t H ) 。经过计算, 经验表明, 用R/S 法估计的Hurst 指数会比理论值偏高。而且时间序列越长, 估计的精度也越高。
3 Hurst 指数的表现特性
时间序列的Hurst 指数居于0-1之间。以0. 5为间隔, 时间序列在不同的区间会表现不同的特性:
(1) H ∈(0, 0. 5) :A ntipersistent 分形布朗运动
此时, 时间序列的未来数据倾向于返回历史点, 因此其发散的比标准布朗运动慢。可以证明, 该序列在理论上会无数次的返回它的历史出发点。
(2) H =0. 5:标准布朗运动
此时, B H (t ) 随机游走, 表现马氏链特性。
(3) H ∈(0. 5, 1) :长期Persistence 和无周期的循环
此时, 时间序列有混沌性。B H (t ) 的增量会表现出长期增长的特性。因此, 一定范围的记录会持续相当长的时期, 从而形成一个个大的循环。但是这些循环没有固定的周期, 难以依靠过去的数据预测未来的变化。
[4]
第3期 叶中行, 曹奕剑:Hurst 指数在股票市场有效性分析中的应用
此时, 时间序列为一条直线。未来完全可以用现在进行预测。23
3 市场的实证研究
相当多的经验数据统计表明, 在金融市场中, 某些金融商品的收益率并不是与过往收益率无关的标准的随机游走运动。在本文中, 选取了在沪市上市的5种股票和沪市的指数这6个代表来考察它们的有效性。在采样中, 我们获得的是股票的交易价格S i (i =0, 1, 2, …, N ) , 为了得到需要考察的复利收益率, 首先需要做变换:
X i =ln
并且X 0=0。
我们考察的收益率是以分钟为间隔的。这基于四点考虑:其一, 取样的准确性。Hur st 指数的计算需要很长的时间序列才能保证准确。如果以天或周为间隔取样, 至少需要一年以上的数据。在这期间, 股票有分红和配股等因素。限于各种原因, 剔除这种人为影响是不容易的。因此会最终影响到结果。其二, 有效市场的限制。我们做这项研究, 并不是从根本上否认有效市场假设。信息在一定时间后自然会完全融于价格中去, 但是在短期内可能市场还来不及消化。其三, 投资的指导价值。以长期数据进行分析理论上是可能的。但是, 考虑到时间同尺度的时滞关系, 以天采样的数据在时间序列上可能要用一年或更长的时间来表现。这段时间内, 情况可能完全改变了, 因此也就不具有应用的价值。第四, 收益率期望的影响。收益率的期望并不总为0, 长期时这种现象更明显。而在这么小的间隔下, 这个数字是很小的。我们可以撇开收益率的期望, 简化问题。
在采样过程中, 首先通过网络获得在2000年6月12—23日10个交易日的沪市指数以及其中5种股票每天的JP G 格式股价走势图, 转成BM P 格式, 用M A T LA B 将每张图片导入, 提取走势线上的像素点, 形成每天的曲线。然后, 通过给出最初点、最末点代表的股价, 按比例确定曲线上每一像素点的具体股价。随后用插值方法取得待考察股票在一个交易日241分钟内共241个时间点的股价数据。不考虑交易停止的时间, 将每种股票在10天内的价格数据连接, 形成长达2410个的股价数据。最后对该数据生成每个分钟内的收益率X i , 计算Hurst 指数, 结果列于表1。
表1 6种股票的Hurst 指数间隔分钟
1
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151A 00010. 71530. 68380. 67440. 64960. 65420. [1**********]. 58000. 55560. 54800. 55840. 57690. [1**********]. 63830. 65420. 65010. 69040. 68420. [1**********]. 34560. 33590. 37350. 34520. 41190. [1**********]. 37420. 39800. 41070. 42280. 40320. [1**********]. 52460. 57580. 56190. 52910. 52800. 5592S i S i -1
由此可见, 上述这些股票的收益率序列并不都接近标准布朗运动。考虑到R /S 方法本身得到的Hurst 指数相对偏大, 中山火炬(600872) 在多个数据点上比较接近于布朗运动。上指(1A 0001) 、武钢股份(600005) 、多佳股份(600086) 的Hurst 指数远大于0. 5, 倾向于混沌运动, 有时滞性。这种混沌表现在收益率变化的增量会持续相当长的时间。而第一百货(600631) 、东方明珠(600832) 的收益率是A ntiper sistent 的。这表明它们的收
24系 统 工 程 2001年4 Hurst 指数与未来收益的关系
以上股票的收益情况是怎样的呢? 从2000年6月到2000年11月间, 600005从5元上涨到过8元, 600086从11元上涨到过24元。整体收益率超过了60%。第二组的600631的波动范围在10元至13元之间, 600832的波动在42元至35元之间。波动范围明显小于第一组。
为什么在短短10天内考察的分钟收益率的Hur st 指数可以预测在未来几个月中的股价收益率波动情况呢? 注意到我们考察的是分钟的收益率, 在这么短的时间间隔下, 可以反映在这两个星期该股票是否为人操作。Hurst 指数小于0. 5时, 收益率无规则地返回原来的历史数据点。这一方面表明收益率的增量变化缓慢, 另一方面表明市场上不存在人为的、有规律的操作。此时, Hurst 指数看起来应在0. 5左右, 但情况又与标准的独立同分布的布朗运动不同。因为, 考察的时间间隔很小, 股票价格的变化范围不大, 收益率的时间序列中有很多是相同的数据。所以, Hur st 指数会小于0. 5。而当Hur st 指数远大于0. 5时, 收益率有成群现象。这一方面表明收益率的增量会持续较长的时间, 另一方面也暗示着市场中有成批的、有规律的操作, 也就是可能有人在建仓或出仓。如果是建仓的话, 那就决定了在未来几个月中股票会达到一个相对较高的价格。因此, 对现在的Hurst 指数可以预测一定时间后的股价波动率的变化, 有投资的参考价值。
对那些Hurst 指数远大于0. 5的股票来说, 其分钟收益率的增量就大, 自然总的收益率的波动也会很高。基于以上理由, 在投机中我们可以首先寻找那些Hur st 指数异乎寻常大的股票, 然后研究其过去的走向形势, 判断股票的基本形势是建仓还是出仓, 对看涨的或没有经过高峰的股票进行投资。
参考文献:
[1] 沈艺峰. 资金市场分析[M ].北京:中国经济出版社, 1995.
[2] 房汉廷. 现代资本市场的理论与实证分析[M ].北京:东方出版社, 1995.
[3] 叶中行, 杨利平. 上证指数的混沌特性分析[J].上海交通大学学报, 1998, 32(3) :129-132.
[4] M andelbr ot B B. T he fractal g eo metr y o f nature[M ].New Yo rk:W. H. Fr eeman and Company , 1977.
Application of Hurst Exponent
in Analysis of S tock Market ′s Efficiency
YE Zhong -x ing, CAO Yi-jian
(D epartm ent Of A pplied M athematics , Shang hai Jiaotong U niversity , Shang hai 200030, China )
Abstract :Hurst exponent can be used to testify the chaotic and gro uping char acter s of time series. T his ex ponent of the lo g -r etur n r ate for a real sto ck market is calculated and it is found that this market w as no t efficient . T he Hur st ex ponent using a tiny -interval sampling prov ided insig ht to whether there is someone contr olling the price of st ock. Hur st ex ponent is v aluable in the invest ment in stock m arket.
Key words :Efficient M arkets; L og -Return Rate; Hurst Ex ponent; Br ownian M ot ion