文科高考立体几何专项复习
一、解答题（本大题共8小题，共0分）
1．如图，三棱柱ABC -A B C 中，侧面BCC B 是菱形，BC =4且∠CBB
1
1
1
1
1
1
=60︒
，
底面ABC
是等腰三角形，AB =AC =，O 是BC 边上一点，B O ⊥
1
平面ABC ．
（Ⅰ）求证：AO ⊥平面BCC 1
B 1
；
（Ⅱ）求直线BC 1
与平面ACC 1
A 1
所成角的余弦值．
2．（2008北京理16） 如图，在三棱锥P -A B C 中，A C
=B C =2，∠ACB =90 ，P C ⊥A C
.
（Ⅰ）求证：P C ⊥A B
；
（Ⅱ）求二面角B -AP -C 的大小； （Ⅲ）求点C 到平面APB 的距离
.
AP =BP =AB
，
3. 如图，菱形ABCD 所在平面与矩形ACEF 所在平面互相垂直，已知BD=2
3
AF ，且点M 是线段EF 的中点
.
（1）求证：AM ∥平面BDE ；
（2）求平面DEF 与平面BEF 所成的角.
4．如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ABC=90°，BC=2，AB=4，
CC 1=4，E 在BB 1上，且EB 1=1，D 、F 分别为CC 1、A 1C 1的中点。
（1）求证：B 1D ⊥平面ABD ； （2）求异面直线BD 与EF 所成的角； （3）求点F 到平面ABD 的距离。
5．(2007年辽宁理18) 如图，在直三棱柱ABC -A B C 中，∠ACB =90，
1
1
1
A C =B C =a
，D ，E 分别为棱A B ，B C 的中点，M 为棱A A 上的点，二面
1
角M -D E -A 为30
．
；
（I ）证明：A B
1
1
⊥C 1D
（II ）求M A 的长，并求点C 到平面M D E 的距离．
6．（2009年陕西理18）如图，在直三棱柱ABC -A B C 中， AB=1
，
1
1
1
AC =AA 1=
ABC=60.
(Ⅰ) 证明：AB ⊥
A 1C
；
1
（Ⅱ）求二面角A —A C —B 的大小。
7．（2008四川（延考）理19）如图，一张平行四边形的硬纸片ABC 中，AD =BD =
1，AB =到达平面ABC
D
。沿它的对角线B D 把△BD C 折起，使点C
D
外点C 的位置。
（Ⅰ）证明：平面ABC
D ⊥平面C BC 0；
（Ⅱ）如果△A B C 为等腰三角形，求二面角A -B D -C 的大小。
8．如图所示，在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、H 分 别是棱BB 1、CC 1、DD 1的中点。
（1）求证：BH//平面A 1EFD 1；
（2）求直线AF 与平面A 1EFD 1所成的角的正弦值。
一、解答题
文科高考yue 参考答案
1．解:(Ⅰ)∵⊥面ABC, 面ABC,∴⊥, 又∵∠CB,∴,故O 是BC 的中点,
由, 得AO⊥BC ∵⊥面ABC, 面ABC,∴⊥AO,又,
∴AO⊥面
(Ⅱ)以O 为原点,OC 、O 、OA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴, 建立
如图空间直角坐标系。在△ABC中,,∴。故,,,∴,
设为平面的一个法向量, 则, 令, 得
∴为平面的一个法向量, 又,
记直线与平面所成角为,, 则, 故∴直线与平面所成角的余弦值为。 2．解法一:(Ⅰ)取中点, 连结
.
,
.
,
.
, 平面
. 平面
,
.
(Ⅱ)又
又取
,
.
,
, . , 即, 且
平面. 中点. 连结
. ,
. 是在平面内的射影,
,
.
是二面角
在
中,
. ,
的平面角.
,
,
二面角的大小为. (Ⅲ)由(Ⅰ)知平面
, 平面平面. 过作, 垂足为
. 平面平面
,
平面
.
的长即为点到平面的距离. 由(Ⅰ)知, 又, 且
平面
. 平面
, . 在
中,
.
.
点到平面
的距离为
. ,
,
,
(Ⅰ)
,
.
,
又
,
.
, 平面
. 平面
, .
(Ⅱ)如图, 以为原点建立空间直角坐标系则. 设
.
,
, . 中点, 连结
,
,
. 是二面角,
,
.
二面角
的大小为
.
,
的平面角
.
,
.
取.
(Ⅲ)
, 在平面内的射影为正面的距离.
如(Ⅱ)建立空间直角坐标系
, 点的坐标为
.
的中心, 且.
的长为点到平
.
点到平面
的距离为
.
3．
【结束】
4．解:(1)
由条件得
,
又面
BCC1B, 面ABD (2)取B1C1的中点G, 连接GE 、GF, 则EG//BD, 或其补角为BD 、EF 所成角面BCC1B1,GF//A1B1面BCC1B1, 在
中,
与EF 所成角为 (3)设F 到面ABD 的距离为, 作B 作BH AC 于H, 则BH 面
ACC1A1
5．(I)证明:连结, 三棱柱是直三棱柱
,
平面
, 为在平面内的射影
. 中, , 为中点
,
,
.
,
.
(II)解法一:过点作
的平行线, 交的延长线于, 连结
.
分别为的中点
, .
又,
.
. 平面
, 为在平面内的射影.
. 为二面角
在
中,
的平面角, ,
,
.
.
作, 垂足为
,
,
, 平面
,
平面平面
,
平面. 在
中, , 即到平面, 平面
,
,
, 的距离为
.
到平面的距离与到平面的距离相等, 为. 过点作的平行线, 交的延长线于, 连接
.
分别为的中点
, .
又,
. 平面
, 是在平面内的射影
,
. 为二面角的平面角, . 在
中,
,
,
.
设到平面的距离为
,
.
,
,
,
,
, 即到平面6．(1)证: 三棱柱
的距离为.
为直三棱柱
,
在
中,
,
又
(2)解如图, 作由三垂线定理知
交
于点D 点, 连结BD,
, 由正弦定理
为二面角
在
的平面角
解答二(1)证三棱柱
,
由正弦定理
,
为直三棱柱
,
如图, 建立空间直角坐标系, 则
(2) 解, 如图可取设平面的法向量为
为平面,
的法向量
则
不妨取
7．(Ⅰ)证明:
因为, , 所以, 。 因为折叠过程中, , 所以, 又, 故平面。 又平面, 所以平面平面。 (Ⅱ)解法一
:
如图, 延长到, 使, 连结, 。
因为, , , , 所以为正方形, 由于, 都与平面垂直, 所以, 可知。 因此只有时,△为等腰三角形。 在△中, , 又, 所以△为等边三角形, 。 由(Ⅰ)可知,, 所以为二面角的平面角,
即二面角
的大小为。
。
以为坐标原点, 射线, 分别为轴正半轴和轴正半轴, 建立如图的空间直角坐标系, 则, , 。 由(Ⅰ)可设点的坐标为, 其中,
则有
。 ①
因为△为等腰三角形, 所以或。 若, 则有。
则此得若, , 不合题意。 , 则有。 ②
联立①和②得, 。故点的坐标为。
由于, , 所以与
夹角的大小等于二面角
的大小。 又所以
,
,
即二面角
的大小为
8．(1)证明:连结D 1 E,
………………6分
(2)解:过A 作AG⊥A1 E,垂足为G 。 ∵A1 D1 ⊥平面A 1 ABB1 ,∴A1 D1 ⊥AG,
∴AG⊥平面A 1 EFD1 。
连结FG, 则∠AFG为所求的角。
即直线AF 与平面A 1 EFD1 所成的角的正弦值为
文科高考立体几何专项复习
一、解答题（本大题共8小题，共0分）
1．如图，三棱柱ABC -A B C 中，侧面BCC B 是菱形，BC =4且∠CBB
1
1
1
1
1
1
=60︒
，
底面ABC
是等腰三角形，AB =AC =，O 是BC 边上一点，B O ⊥
1
平面ABC ．
（Ⅰ）求证：AO ⊥平面BCC 1
B 1
；
（Ⅱ）求直线BC 1
与平面ACC 1
A 1
所成角的余弦值．
2．（2008北京理16） 如图，在三棱锥P -A B C 中，A C
=B C =2，∠ACB =90 ，P C ⊥A C
.
（Ⅰ）求证：P C ⊥A B
；
（Ⅱ）求二面角B -AP -C 的大小； （Ⅲ）求点C 到平面APB 的距离
.
AP =BP =AB
，
3. 如图，菱形ABCD 所在平面与矩形ACEF 所在平面互相垂直，已知BD=2
3
AF ，且点M 是线段EF 的中点
.
（1）求证：AM ∥平面BDE ；
（2）求平面DEF 与平面BEF 所成的角.
4．如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ABC=90°，BC=2，AB=4，
CC 1=4，E 在BB 1上，且EB 1=1，D 、F 分别为CC 1、A 1C 1的中点。
（1）求证：B 1D ⊥平面ABD ； （2）求异面直线BD 与EF 所成的角； （3）求点F 到平面ABD 的距离。
5．(2007年辽宁理18) 如图，在直三棱柱ABC -A B C 中，∠ACB =90，
1
1
1
A C =B C =a
，D ，E 分别为棱A B ，B C 的中点，M 为棱A A 上的点，二面
1
角M -D E -A 为30
．
；
（I ）证明：A B
1
1
⊥C 1D
（II ）求M A 的长，并求点C 到平面M D E 的距离．
6．（2009年陕西理18）如图，在直三棱柱ABC -A B C 中， AB=1
，
1
1
1
AC =AA 1=
ABC=60.
(Ⅰ) 证明：AB ⊥
A 1C
；
1
（Ⅱ）求二面角A —A C —B 的大小。
7．（2008四川（延考）理19）如图，一张平行四边形的硬纸片ABC 中，AD =BD =
1，AB =到达平面ABC
D
。沿它的对角线B D 把△BD C 折起，使点C
D
外点C 的位置。
（Ⅰ）证明：平面ABC
D ⊥平面C BC 0；
（Ⅱ）如果△A B C 为等腰三角形，求二面角A -B D -C 的大小。
8．如图所示，在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、H 分 别是棱BB 1、CC 1、DD 1的中点。
（1）求证：BH//平面A 1EFD 1；
（2）求直线AF 与平面A 1EFD 1所成的角的正弦值。
一、解答题
文科高考yue 参考答案
1．解:(Ⅰ)∵⊥面ABC, 面ABC,∴⊥, 又∵∠CB,∴,故O 是BC 的中点,
由, 得AO⊥BC ∵⊥面ABC, 面ABC,∴⊥AO,又,
∴AO⊥面
(Ⅱ)以O 为原点,OC 、O 、OA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴, 建立
如图空间直角坐标系。在△ABC中,,∴。故,,,∴,
设为平面的一个法向量, 则, 令, 得
∴为平面的一个法向量, 又,
记直线与平面所成角为,, 则, 故∴直线与平面所成角的余弦值为。 2．解法一:(Ⅰ)取中点, 连结
.
,
.
,
.
, 平面
. 平面
,
.
(Ⅱ)又
又取
,
.
,
, . , 即, 且
平面. 中点. 连结
. ,
. 是在平面内的射影,
,
.
是二面角
在
中,
. ,
的平面角.
,
,
二面角的大小为. (Ⅲ)由(Ⅰ)知平面
, 平面平面. 过作, 垂足为
. 平面平面
,
平面
.
的长即为点到平面的距离. 由(Ⅰ)知, 又, 且
平面
. 平面
, . 在
中,
.
.
点到平面
的距离为
. ,
,
,
(Ⅰ)
,
.
,
又
,
.
, 平面
. 平面
, .
(Ⅱ)如图, 以为原点建立空间直角坐标系则. 设
.
,
, . 中点, 连结
,
,
. 是二面角,
,
.
二面角
的大小为
.
,
的平面角
.
,
.
取.
(Ⅲ)
, 在平面内的射影为正面的距离.
如(Ⅱ)建立空间直角坐标系
, 点的坐标为
.
的中心, 且.
的长为点到平
.
点到平面
的距离为
.
3．
【结束】
4．解:(1)
由条件得
,
又面
BCC1B, 面ABD (2)取B1C1的中点G, 连接GE 、GF, 则EG//BD, 或其补角为BD 、EF 所成角面BCC1B1,GF//A1B1面BCC1B1, 在
中,
与EF 所成角为 (3)设F 到面ABD 的距离为, 作B 作BH AC 于H, 则BH 面
ACC1A1
5．(I)证明:连结, 三棱柱是直三棱柱
,
平面
, 为在平面内的射影
. 中, , 为中点
,
,
.
,
.
(II)解法一:过点作
的平行线, 交的延长线于, 连结
.
分别为的中点
, .
又,
.
. 平面
, 为在平面内的射影.
. 为二面角
在
中,
的平面角, ,
,
.
.
作, 垂足为
,
,
, 平面
,
平面平面
,
平面. 在
中, , 即到平面, 平面
,
,
, 的距离为
.
到平面的距离与到平面的距离相等, 为. 过点作的平行线, 交的延长线于, 连接
.
分别为的中点
, .
又,
. 平面
, 是在平面内的射影
,
. 为二面角的平面角, . 在
中,
,
,
.
设到平面的距离为
,
.
,
,
,
,
, 即到平面6．(1)证: 三棱柱
的距离为.
为直三棱柱
,
在
中,
,
又
(2)解如图, 作由三垂线定理知
交
于点D 点, 连结BD,
, 由正弦定理
为二面角
在
的平面角
解答二(1)证三棱柱
,
由正弦定理
,
为直三棱柱
,
如图, 建立空间直角坐标系, 则
(2) 解, 如图可取设平面的法向量为
为平面,
的法向量
则
不妨取
7．(Ⅰ)证明:
因为, , 所以, 。 因为折叠过程中, , 所以, 又, 故平面。 又平面, 所以平面平面。 (Ⅱ)解法一
:
如图, 延长到, 使, 连结, 。
因为, , , , 所以为正方形, 由于, 都与平面垂直, 所以, 可知。 因此只有时,△为等腰三角形。 在△中, , 又, 所以△为等边三角形, 。 由(Ⅰ)可知,, 所以为二面角的平面角,
即二面角
的大小为。
。
以为坐标原点, 射线, 分别为轴正半轴和轴正半轴, 建立如图的空间直角坐标系, 则, , 。 由(Ⅰ)可设点的坐标为, 其中,
则有
。 ①
因为△为等腰三角形, 所以或。 若, 则有。
则此得若, , 不合题意。 , 则有。 ②
联立①和②得, 。故点的坐标为。
由于, , 所以与
夹角的大小等于二面角
的大小。 又所以
,
,
即二面角
的大小为
8．(1)证明:连结D 1 E,
………………6分
(2)解:过A 作AG⊥A1 E,垂足为G 。 ∵A1 D1 ⊥平面A 1 ABB1 ,∴A1 D1 ⊥AG,
∴AG⊥平面A 1 EFD1 。
连结FG, 则∠AFG为所求的角。
即直线AF 与平面A 1 EFD1 所成的角的正弦值为