1. 掌握二次函数的概念，形如y =ax 2+bx +c (a ≠0) 的函数，叫做二次函数，定义域x ∈R 。
特别地，b =c =0时，y =ax 2(a ≠0) 是二次函数特例。
2. 能由实际问题确定函数解析式和自变量取值范围，明确它有三个待定系数a ，b ，c ，(a ≠0) ，需三个相等关系，才可解。
3. 二次函数解析式有三种：
（1）y =ax 2+bx +c (a ≠0) 一般式
（2）y =a (x -h )+k 顶点式；h ，k 顶点
（3）y =a (x -x 1)(x -x 2) 双根式；x 1，02()()(x ，0)是图象与x 轴交点坐标。 2
4. 二次函数图象：抛物线
分布象限，可能在两个象限（1），三个象限（2），四个象限（3）。
5. 抛物线y =ax 2(a ≠0) 与抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0) 形状、大小相同，只有位置不同。
6. 描点法画抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0) 了解开口、顶点、对称轴、最值。
（1）a 决定开口：
a >0开口向上，a
a 表示开口宽窄，a 越大开口越窄。
⎛b 4ac -b 2⎫b 4ac -b 2
， （2）顶点 -时，y 有最值为。 ⎪，当x =-2a 4a 2a ⎝⎭4a
（3）对称轴x =-b 2a
2 （4）与y 轴交点（0，c ），有且仅有一个 （5）与x 轴交点A （x 1，0），B （x 2，0），令y =0则ax +bx +c =0。
①△＞0，有x 1≠x 2，两交点A 、B 。
②△＝0，有x 1=x 2，一个交点。
③△＜0，没有实数x 1，x 2与x 轴无交点。
7. y =ax 2+bx +c 配方可得y =a (x -h )+k (a ≠0)
y =ax 2向右（h >0）或向左（h 0)向下(k
移k 个单位，便得y =a (x -h )+k ，即y =ax 2+bx +c (a ≠0) 。
8. 五点法作抛物线 2
⎛b 4ac -b 2⎫b ， （1）找顶点 -。 ⎪，画对称轴x =-2a 4a 2a ⎝⎭
（2）找图象上关于直线x =-b 对称的四个点（如与坐标轴的交点等）。 2a
（3）把上述五个点连成光滑曲线。
二. 例题解析
例1. 已知抛物线y =125x -3x +，五点法作图。 22
解： y =125x -3x + 22
12x -6x +52 1=x 2-6x +9-9+52=(())
1(x -3)2-42 12=(x -3)-22=[]
∴此抛物线的顶点为M 3，-2
∴对称轴为x =3
令y =0，即解方程
∴x 1=1，x 2=5
∴抛物线与x 轴交于点A （1，0），B （5，0）
令x =0则y =()125x -3x +=0 2255，得抛物线与y 轴交于点C （0，） 22
又C （0，55⎫⎛）关于对称轴x =3的对称点为D 6，⎪ ⎝22⎭
125x -3x +的草图。
22 将C 、A 、M 、B 、D 五点连成光滑曲线，此即为抛物线y =
例2. 已知抛物线y =ax 2+bx +c 如图，试确定：
（1）a ，b ，c 及b -4ac 的符号；
（2）a +b +c 与a -b +c 的符号。
2
例3. 求二次函数解析式：
（1）抛物线过（0，2），（1，1），（3，5）；
（2）顶点M （-1，2），且过N （2，1）；
（3）与x 轴交于A （-1，0），B （2，0），并经过点M （1，2）。
解：
例4. 已知二次函数y =m -4x (2)m 2-m 在x =0时，y 取最大值，且抛物线与直线y =x -2相交，试写出二次函数的解析式，并求出抛物线与直线的交点坐标。
解：
2 例5. 已知函数y 1=ax +bx +c ，它的顶点为（-3，-2），y 1与y 2=2x +m 交于点（1，6），求y 1、y 2的解析
式。
解：：
例6. 抛物线过（-1，-1）点，它的对称轴是直线x +2=0，且在x 轴上截取长度为22的线段，求解析式。
（答题时间：35分钟）
一. 选择题。
1. 用配方法将122x +3x +2化成a (x +b )+c 的形式（ ） 2
152 A. (x +3)- 22
C. 1⎛3⎫5B. x +⎪- 2⎝2⎭4D. 21(x +3)2+2 2 1(x +3)2-7 2
2. 对于函数y =ax 2(a
A. 在定义域内，y 随x 增大而增大
B. 在定义域内，y 随x 增大而减小
C. 在-∞，0内，y 随x 增大而增大
D. 在0，+∞内，y 随x 增大而增大
3. 已知a 0，那么y =ax 2+bx +c 的图象（ ）
()()
4. 已知点（-1，3）（3，3）在抛物线y =ax +bx +c 上，则抛物线的对称轴是（ ） A. x =-2a b B. x =2 C. x =3 D. x =1
5. 一次函数y =ax +b 和二次函数y =ax 2+bx +c 在同一坐标系内的图象（ ）
6. 函数y =-3x 2+3x +
B. -3的最大值为（ ） 2C. A. 9 43 23 2D. 不存在
二. 填空题。
7. y =(m +1)x m
8. 抛物线y =2+1+(m -1)x +3是二次函数，则m =____________。 5x -2-2x 2的开口向____________，对称轴是____________，顶点坐标是____________。 2
9. 抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点是（2，3），且过点（3，1），则a =___________，b =____________，c =____________。
125 10. 函数y =-x -3x -图象沿y 轴向下平移2个单位，再沿x 轴向右平移3个单位，得到函数____________22
的图象。
三. 解答题。
22 12. 抛物线y =-x +(2m +2)x -m +4m -3，m 为非负整数，它的图象与x 轴交于A 和B ，A 在原点左边，()
B 在原点右边。
（1）求这个抛物线解析式。
（2）一次函数y =kx +b 的图象过A 点与这个抛物线交于C ，且S ∆ABC =10，求一次函数解析式。
[参考答案]
一. 选择题。
1. A 2. C
二. 填空题。
7. 1
8. 下；x = 3. C 4. D 5. C 6. C 5⎛539⎫； ，-⎪ 8⎝832⎭
9. -2，8，-5
10. ≤-3，≥-3，-3，大，1 11. y =-12x 2
三. 解答题。
12. （1）∆>0⇒m
∴-7-2
又∵m 为非负整数
∴m =0
∴抛物线为y =-x 2+2x +3
（2）又A （-1，0），B （3，0） ∴AB =4
设C 点纵坐标为a 1a ·4=10 2
2 ∴a =±5 当a =5时，方程x -2x +2=0无解
当a =-5时，方程x -2x -8=0 2
∴C (4，-5)，A (-1，0)
∴y =-x -1
C 2(-2，-5)，A (-1，0)
∴y =5x +5
1. 掌握二次函数的概念，形如y =ax 2+bx +c (a ≠0) 的函数，叫做二次函数，定义域x ∈R 。
特别地，b =c =0时，y =ax 2(a ≠0) 是二次函数特例。
2. 能由实际问题确定函数解析式和自变量取值范围，明确它有三个待定系数a ，b ，c ，(a ≠0) ，需三个相等关系，才可解。
3. 二次函数解析式有三种：
（1）y =ax 2+bx +c (a ≠0) 一般式
（2）y =a (x -h )+k 顶点式；h ，k 顶点
（3）y =a (x -x 1)(x -x 2) 双根式；x 1，02()()(x ，0)是图象与x 轴交点坐标。 2
4. 二次函数图象：抛物线
分布象限，可能在两个象限（1），三个象限（2），四个象限（3）。
5. 抛物线y =ax 2(a ≠0) 与抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0) 形状、大小相同，只有位置不同。
6. 描点法画抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0) 了解开口、顶点、对称轴、最值。
（1）a 决定开口：
a >0开口向上，a
a 表示开口宽窄，a 越大开口越窄。
⎛b 4ac -b 2⎫b 4ac -b 2
， （2）顶点 -时，y 有最值为。 ⎪，当x =-2a 4a 2a ⎝⎭4a
（3）对称轴x =-b 2a
2 （4）与y 轴交点（0，c ），有且仅有一个 （5）与x 轴交点A （x 1，0），B （x 2，0），令y =0则ax +bx +c =0。
①△＞0，有x 1≠x 2，两交点A 、B 。
②△＝0，有x 1=x 2，一个交点。
③△＜0，没有实数x 1，x 2与x 轴无交点。
7. y =ax 2+bx +c 配方可得y =a (x -h )+k (a ≠0)
y =ax 2向右（h >0）或向左（h 0)向下(k
移k 个单位，便得y =a (x -h )+k ，即y =ax 2+bx +c (a ≠0) 。
8. 五点法作抛物线 2
⎛b 4ac -b 2⎫b ， （1）找顶点 -。 ⎪，画对称轴x =-2a 4a 2a ⎝⎭
（2）找图象上关于直线x =-b 对称的四个点（如与坐标轴的交点等）。 2a
（3）把上述五个点连成光滑曲线。
二. 例题解析
例1. 已知抛物线y =125x -3x +，五点法作图。 22
解： y =125x -3x + 22
12x -6x +52 1=x 2-6x +9-9+52=(())
1(x -3)2-42 12=(x -3)-22=[]
∴此抛物线的顶点为M 3，-2
∴对称轴为x =3
令y =0，即解方程
∴x 1=1，x 2=5
∴抛物线与x 轴交于点A （1，0），B （5，0）
令x =0则y =()125x -3x +=0 2255，得抛物线与y 轴交于点C （0，） 22
又C （0，55⎫⎛）关于对称轴x =3的对称点为D 6，⎪ ⎝22⎭
125x -3x +的草图。
22 将C 、A 、M 、B 、D 五点连成光滑曲线，此即为抛物线y =
例2. 已知抛物线y =ax 2+bx +c 如图，试确定：
（1）a ，b ，c 及b -4ac 的符号；
（2）a +b +c 与a -b +c 的符号。
2
例3. 求二次函数解析式：
（1）抛物线过（0，2），（1，1），（3，5）；
（2）顶点M （-1，2），且过N （2，1）；
（3）与x 轴交于A （-1，0），B （2，0），并经过点M （1，2）。
解：
例4. 已知二次函数y =m -4x (2)m 2-m 在x =0时，y 取最大值，且抛物线与直线y =x -2相交，试写出二次函数的解析式，并求出抛物线与直线的交点坐标。
解：
2 例5. 已知函数y 1=ax +bx +c ，它的顶点为（-3，-2），y 1与y 2=2x +m 交于点（1，6），求y 1、y 2的解析
式。
解：：
例6. 抛物线过（-1，-1）点，它的对称轴是直线x +2=0，且在x 轴上截取长度为22的线段，求解析式。
（答题时间：35分钟）
一. 选择题。
1. 用配方法将122x +3x +2化成a (x +b )+c 的形式（ ） 2
152 A. (x +3)- 22
C. 1⎛3⎫5B. x +⎪- 2⎝2⎭4D. 21(x +3)2+2 2 1(x +3)2-7 2
2. 对于函数y =ax 2(a
A. 在定义域内，y 随x 增大而增大
B. 在定义域内，y 随x 增大而减小
C. 在-∞，0内，y 随x 增大而增大
D. 在0，+∞内，y 随x 增大而增大
3. 已知a 0，那么y =ax 2+bx +c 的图象（ ）
()()
4. 已知点（-1，3）（3，3）在抛物线y =ax +bx +c 上，则抛物线的对称轴是（ ） A. x =-2a b B. x =2 C. x =3 D. x =1
5. 一次函数y =ax +b 和二次函数y =ax 2+bx +c 在同一坐标系内的图象（ ）
6. 函数y =-3x 2+3x +
B. -3的最大值为（ ） 2C. A. 9 43 23 2D. 不存在
二. 填空题。
7. y =(m +1)x m
8. 抛物线y =2+1+(m -1)x +3是二次函数，则m =____________。 5x -2-2x 2的开口向____________，对称轴是____________，顶点坐标是____________。 2
9. 抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点是（2，3），且过点（3，1），则a =___________，b =____________，c =____________。
125 10. 函数y =-x -3x -图象沿y 轴向下平移2个单位，再沿x 轴向右平移3个单位，得到函数____________22
的图象。
三. 解答题。
22 12. 抛物线y =-x +(2m +2)x -m +4m -3，m 为非负整数，它的图象与x 轴交于A 和B ，A 在原点左边，()
B 在原点右边。
（1）求这个抛物线解析式。
（2）一次函数y =kx +b 的图象过A 点与这个抛物线交于C ，且S ∆ABC =10，求一次函数解析式。
[参考答案]
一. 选择题。
1. A 2. C
二. 填空题。
7. 1
8. 下；x = 3. C 4. D 5. C 6. C 5⎛539⎫； ，-⎪ 8⎝832⎭
9. -2，8，-5
10. ≤-3，≥-3，-3，大，1 11. y =-12x 2
三. 解答题。
12. （1）∆>0⇒m
∴-7-2
又∵m 为非负整数
∴m =0
∴抛物线为y =-x 2+2x +3
（2）又A （-1，0），B （3，0） ∴AB =4
设C 点纵坐标为a 1a ·4=10 2
2 ∴a =±5 当a =5时，方程x -2x +2=0无解
当a =-5时，方程x -2x -8=0 2
∴C (4，-5)，A (-1，0)
∴y =-x -1
C 2(-2，-5)，A (-1，0)
∴y =5x +5