第3卷 第3期 2005年7月
西安欧亚学院学报
Vol. 3 No. 3
Journal of Xi Äan Eurasia University Jul. 2005
求极限的几种方法
王 艳, 周文丽, 张俊丽, 汤木兰, 程红梅, 董明辉
(西安欧亚学院基础部, 陕西西安 710065)
摘要:极限是高等数学最重要的基本概念之一, 也是研究变量数学的重要工具和分析方法, 同时
又是高等数学的主要运算) ) ) 微分法和积分法的理论基础. 主要通过利用极限的定义来求, 利用四则运算法则、罗比塔法则、函数连续性等多种方法对极限问题求解. 关键词:关键词:极限; 方法; 高等数学
中图分类号:O171 文献标识码:A 文章编号:
@@@@
O @@@@(2005) 03O 0079O 05
On several solutions of limit
WANG Yan, ZHOU Wen O li, ZHANG Jun O li, TANG Mu O lan, CHENG Hong O mei, DONG Ming O hui
(Basic Courses, Dept. Xi . an Eurasia U niversity , Xi . an Shaanxi 710065, China )
Abstract:Limit is not only one of the most important basic concepts in hig her mathematics, but also an important tool and analytical method in the study of v ariable m athematics. At the same time, limit is also a theoretic foundation of differential calculus and integ ral calculus in higher mathematics. T he authors of this paper introduce several solutions to get the function . s limit, such as using the definition of lim it, four fundamental rules, L . Hospita rules and continuity of functions.
Key words:lim it; solution; higher mathematics 我们在极限的教学过程中, 必须在理解概念的同时, 掌握好计算极限的多种方法和技巧. 由于极限的概念抽象费解, 求法灵活多变, 而且它涉及的数学理论面较广. 所以本文仅就求极限的方法进行一下归纳总结.
一、利用定义求极限
例1 用极限的E -D 定义证明x lim ln x =ln x 0 (x 0>0). y x
证 P E >0, 要使|ln x -ln x 0|
0x 0x 0x 0
x -x 0E
-1
x 0x 0(e E -1) }, 当|x -x 0|
注 用E -D 定义证明时, 由E 找D 的一般思路是:从不等式|f (x ) -A |0) ; 这时, P E >0, 只要取D =g(E ) 即可.
二、利用极限的四则运算法则求极限
利用函数极限的四则运算法则, 我们可以从几个简单的函数极限出发, 计算较复杂函数的极限. 例2 求lim (x tan x -1). x y
解 由于x lim c=c , x lim x =x 0, tan x 在x y y x y x
时极限存在, 于是按四则运算法则有4
收稿日期:2004O 11O 17
作者简介:王艳(1981) ) , 女, 陕西宝鸡人, 西安欧亚学院教师, 从事高等数学研究。
80西安欧亚学院学报
lim (x tan x -1) =lim x #lim tan x -lim 1=-1. P P P P 4x y x y x y x y
2005年
注意:运用极限的四则运算求极限时, 要注意条件:一是都必须存在极限, 二是对有限个数列的和差积商求极限等于它们极限的和差积商(分母不为0) , 如例3就不能先求出各项的极限再求和, 而应该先求和,
后求和的极限.
三、利用左、右极限求极限
求分段函数的极限, 主要是分段点处函数的极限. 因为在非分段点处, 函数的极限的计算方法与非分
段函数没有什么不同.
分段函数在分段点处的极限存在的充要条件:当且仅当函数在分段点处的左、右极限存在且相等时函数在该点的极限存在. 即当x 0是分段点时, 应分别求lim f (x ) 和lim f (x ) , 并判断在该点极限是否相等. -+
x y x
x y x
x +). 例3 求lim (x y 0
1+e |x |解 lim +(
x y 0
1+1+e 1e ) =|x |
43--lim +lim ++-x y 0x y 0
e +1
1-lim -e x y 0
=0+1=1. x
) =lim -|x |x y 0x y 0
1+1+
故原式极限存在, 且等于1.
lim (-+
=2-1=1. x
四、利用两个重要极限求极限
对于形式为0型的含有三角公式函数的分式函数, 经常利用三角恒等式变换成可利用的重要极限=1的结果来解; 对于形成1]型的幂指函数, 则可化为另一个重要极限lim (1+) x =e 的结果来解. lim x y 0x y ]x x
=1求极限x
. 例4 lim x y 01-cos x (一) 利用lim x y 0
解 1-cos x cos2x cos3x =1-(cos4x +cos2x ) cos2x =2
1-(cos6x +cos2x ) -(1+cos4x ) =
44222(sin x +sin 2x +sin 3x ). 2
1-cos x =2sin 2
故原式=
. 2
222lim [() +() +() ]=(4+16+36) =14. 4x y 0sin 4sin sin
222x
(二) 利用x lim (1+) =e 求极限y ]x
n 例5 n lim tan (+). y ]4n
n
1+tan
n =解 x lim tan (+) =n lim y ]y ]4n 1-tan
n
第3期
1
tan 1n
1王 艳, 等:求极限的几种方法
-11tan
n
-tan
181
) tan
lim [(1+tan n y ]n
]
1
n
/[(1+tan )
n
]
1n
=
e
-1=
e 2
x +1x +1x +1例6 lim () x (a >0, b >0, c >0). x y 0a +b +c
x +1x +1x +1x x x 解 lim =lim (a #+b #+c #) =x y 0x (a +b +c) a +b +c x y 0x x x
ln (a a b b c c ) a +
故有lim (x y 0
(
x +1
b +c x +1
x +1) =
x +1
x +1
x +1
(
1
a x +1+b x +1+c x +1
-1
a +b +c
) #
1a x +1+b x +1+c x +1(-1) x a +b +c
a +b +c
lim (1+x y 0
a +b +c
-1) =
1
a b c a b c ) .
五、利用有界变量与无穷小量乘积为无穷小量的性质求极限
例7 求x lim (1+sin x ) y ]解 当x y ]时,
1+x
1+x
的极限.
是无穷小量,
1+sin x 为有界变量。因此, x lim (1+sin x ) y ]
=0. 1+x
六、利用等价无穷小量的替换定理求极限
[定理] 设A , B , A c , B c 都是同一极限过程中的无穷小, A ~A c , B ~B c , 且lim 由此可知, 当计算lim
存在, 则有lim =lim . 比较困难时, 可以转化成lim 来计算, 这种方法称为无穷小等价带换法. 2
当x y 0时, 常用的等价无穷小有sin x ~x , tan x ~x , e x -1~x , ln (1+x ) ~x , 1-cos x ~x ,
2
n arcsin x ~x , arctan x ~x , 1+x ~等.
n
A +B 例8 lim . P
x y (1-sin x ) (1-sin x ) 解 lim x y
+B
A (A +B ) l n si n x
=lim =(1-sin x ) (1-sin x ) x y (1-e ) (1-e ) lim P
x y
==lim P
(-A ln sin x ) (-B ln sin x ) x y |ln sin x |
(A +B ) ln sin x
=.
x y (-ln sin x ) lim 注 11此题利用1-e u ~-u(因为u y 0时, e u -1~u ) 进行等价代换, 使计算简化;
21当x y 2时, sin x y 1, ln sin x y 0, 故有|ln sin x |=-ln sin x.
七、利用某些恒等式求极限
+++, +). 1. 33. 55. 7(2n -1) (2n +1) 解 设x n ==#=(-) ,
(2n -1) (2n +1) 2(2n -1) (2n +1) 22n -12n +1
则 原式=lim [(1-) +-+-+, +-) ]=lim (1-) =. n y ]n y ]233557(2n -1) (2n +1) 2n +12
例10 求极限lim (cos #cos #cos cos ). n y ]2例9 求极限n lim (y ]
82西安欧亚学院学报2005年
sin , 注意到sin #cos =, 解 sin n #cos n =2222222n -1
故有sin n (cos #cos 2#####cos n ) =n sin1, 因此, 原式=n lim sin1/sin =sin1. n y ]2222222n
八、利用有关公式求极限
这种方法是利用已知的等差数列、等比数列前n 项的和的公式, 例如:1+2+, +n =22+, n 2=, 13+23+, n 3=[]2等来求极限.
62
333例11 求极限lim (-). n y ]4n 3
2
]=lim =. 解 原式=lim [-n y ]n y ]4n 44n 2
1++, +n
2例12 求极限lim . n y ]1+3+, +n
3
解 此类题的分子、分母都能直接求出前n 项的和, 故先求和再求极限.
2(1-n +1) 1-n +1[1-() n +1]/(1-)
原式=lim =lim =lim =. n y ]n y ]n +13n y ]3
[1-(3) ]/(1-3) 1-2(1-3) 3
2
, 1+2
九、利用夹逼准则求极限
[定理]设数列x n , y n 及z n , 满足:(1) y n F x n F z n (n =1, 2, , , ) , (2) n lim y n =a =lim z n , 则有y ]n y ]
n y ]
lim x n =a.
根据此准则, 如果某数列的极限不容易直接求得, 可以将它适当缩小和放大, 并且使得缩小和放大以后得到的两个新数列的极限分别存在并且相等, 从而得到原数列的极限.
+2+, +2).
n +n +1n +n +2n +n +n
解 因为, 2+2+, +2F x n F 2+2+, +2,
n +n +n n +n +n n +n +n n +n +1n +n +1n +n +1
n(n +1) n (n +1) n (n +1) n (n +1) 即2F x n F 2, 又lim =lim =. 22n y ]n +n +n n y ]n +n +12n +n +n n +n +1
故由夹逼定理知, 原式=lim x . n =n y ]2
例14 证明 lim a =1 (a >0). n y ]例13 求:n lim (y ]
2
证 (1) 设a E 1, 令a =1+b, 则b E 0, 因为a E 1, a E 1;
2又(1+) n =1+n #+() +, +() n , 并且展式中的每一项为非负值, 略去第三项及
n n 2n n
n 以后各项, 则有(1+) n E 1+b, 即(1+) E 1+b =a.
n n n 故有1F a F n , 又n lim (1+) =lim =1, 得lim =1. y ]n y ]n y ]n
==1. (2) 设01, 由(1) 知n lim =lim y ]n y ]a A lim A n y ]
n
第3期王 艳, 等:求极限的几种方法83
十、利用泰勒展开式求极限
有些不定式的极限用以上几种方法不见效时, 有时可用函数的泰勒展开式近似代替, 舍去高阶无穷小部分, 再求极限.
x
例15 n lim [(x -x +) e -x +1].y ]2
1
32x 32
解 n lim [(x -x +) e -x +1]=lim {(x -x +) [1++++o () ]-23y ]n y ]22x 2x 6x x 33x [1+lim [+o() ]=-+o () ]}=n
y ]6x 6. 2x 8x x
3
2
1
十一、利用单调有界准则求极限
[定理] 单调增加有上界或单调减少有下界的数列必有极限.
一般方法步骤:(1) 证明数列单调有界; (2) 建立数列相邻两项之间的关系式; (3) 对上述关系式两端取极限, 得到关于极限a 的方程, 从中解出a 即可.
例16 设x 1=10, x n +1=解 由x 1=10及x 2
6+x n (n =1, 2, , ) , 试证数列{x n }极限存在, 并求此极限.
16=4知x 1>x 2; 假设x k >x k +1, 则有x k +1=
6+x k >
6+x k +
1
6+x 1=
=x k +2, 则对一切自然数n, x n >x n +1, 都成立, 即数列{x n }单调减少; 由x 1=10及x n +1=x n >0(n =1, 2, , ) , 即数列有下界;
根据极限存在准则知n lim x n 存在, 设其为a, 对x n +1=y ]
或-2, 注意到x n >0(n =1, 2, , ) , 故得n lim x n =3. y ]
6+x n 两边取极限, 得a =
n , 易知
6+a 解得a =3
十二、利用洛必达法则求极限
) 例17 求极限x lim (y ]x
) lim ln () =lim e ln (解 利用等价关系, x lim () =e x y ]y ]x y ]x
=lim =0, lim ln y ]. 先看x lim y ]x y ]1+x x y ]x x
ln ()
型的极限问题, 可直接利用洛必达法则如下:所以:x lim 是当x y ]时的y ]x ln () -ln (1+x )
lim =lim =lim [-x y ]x y ]ln (1+x ) x y ]x (1+x ) ln (x +1) x ]=0-0=0. x 所以, x lim y ]x
1
=
1ln (1+x ) lim ln e x y ]
=e 0=1.
十三、利用函数连续性求极限
e x x >0
例18 已知:f (x ) =在x =0可导, 求a 、b 的值.
bx +a x F 0
解 因为f (x ) 在x =0可导, 故f (x ) 在x =0也连续, 即lim f (x ) =lim f (x ) =f (0). 而lim f (x ) =-++
x y 0
x y 0
x y 0
e 0=1, lim f (x ) =a, f (0) =a, 故a =1. -x y 0
由可导定义知, lim f c (x ) =lim f c (x ) =f c (0). -+
x y 0
x y 0
=b, lim f c (x ) =lim =1, 故b =1. 又因为lim f c (x ) =lim --++x x x y 0y 0x 0
x
第3卷 第3期 2005年7月
西安欧亚学院学报
Vol. 3 No. 3
Journal of Xi Äan Eurasia University Jul. 2005
求极限的几种方法
王 艳, 周文丽, 张俊丽, 汤木兰, 程红梅, 董明辉
(西安欧亚学院基础部, 陕西西安 710065)
摘要:极限是高等数学最重要的基本概念之一, 也是研究变量数学的重要工具和分析方法, 同时
又是高等数学的主要运算) ) ) 微分法和积分法的理论基础. 主要通过利用极限的定义来求, 利用四则运算法则、罗比塔法则、函数连续性等多种方法对极限问题求解. 关键词:关键词:极限; 方法; 高等数学
中图分类号:O171 文献标识码:A 文章编号:
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O @@@@(2005) 03O 0079O 05
On several solutions of limit
WANG Yan, ZHOU Wen O li, ZHANG Jun O li, TANG Mu O lan, CHENG Hong O mei, DONG Ming O hui
(Basic Courses, Dept. Xi . an Eurasia U niversity , Xi . an Shaanxi 710065, China )
Abstract:Limit is not only one of the most important basic concepts in hig her mathematics, but also an important tool and analytical method in the study of v ariable m athematics. At the same time, limit is also a theoretic foundation of differential calculus and integ ral calculus in higher mathematics. T he authors of this paper introduce several solutions to get the function . s limit, such as using the definition of lim it, four fundamental rules, L . Hospita rules and continuity of functions.
Key words:lim it; solution; higher mathematics 我们在极限的教学过程中, 必须在理解概念的同时, 掌握好计算极限的多种方法和技巧. 由于极限的概念抽象费解, 求法灵活多变, 而且它涉及的数学理论面较广. 所以本文仅就求极限的方法进行一下归纳总结.
一、利用定义求极限
例1 用极限的E -D 定义证明x lim ln x =ln x 0 (x 0>0). y x
证 P E >0, 要使|ln x -ln x 0|
0x 0x 0x 0
x -x 0E
-1
x 0x 0(e E -1) }, 当|x -x 0|
注 用E -D 定义证明时, 由E 找D 的一般思路是:从不等式|f (x ) -A |0) ; 这时, P E >0, 只要取D =g(E ) 即可.
二、利用极限的四则运算法则求极限
利用函数极限的四则运算法则, 我们可以从几个简单的函数极限出发, 计算较复杂函数的极限. 例2 求lim (x tan x -1). x y
解 由于x lim c=c , x lim x =x 0, tan x 在x y y x y x
时极限存在, 于是按四则运算法则有4
收稿日期:2004O 11O 17
作者简介:王艳(1981) ) , 女, 陕西宝鸡人, 西安欧亚学院教师, 从事高等数学研究。
80西安欧亚学院学报
lim (x tan x -1) =lim x #lim tan x -lim 1=-1. P P P P 4x y x y x y x y
2005年
注意:运用极限的四则运算求极限时, 要注意条件:一是都必须存在极限, 二是对有限个数列的和差积商求极限等于它们极限的和差积商(分母不为0) , 如例3就不能先求出各项的极限再求和, 而应该先求和,
后求和的极限.
三、利用左、右极限求极限
求分段函数的极限, 主要是分段点处函数的极限. 因为在非分段点处, 函数的极限的计算方法与非分
段函数没有什么不同.
分段函数在分段点处的极限存在的充要条件:当且仅当函数在分段点处的左、右极限存在且相等时函数在该点的极限存在. 即当x 0是分段点时, 应分别求lim f (x ) 和lim f (x ) , 并判断在该点极限是否相等. -+
x y x
x y x
x +). 例3 求lim (x y 0
1+e |x |解 lim +(
x y 0
1+1+e 1e ) =|x |
43--lim +lim ++-x y 0x y 0
e +1
1-lim -e x y 0
=0+1=1. x
) =lim -|x |x y 0x y 0
1+1+
故原式极限存在, 且等于1.
lim (-+
=2-1=1. x
四、利用两个重要极限求极限
对于形式为0型的含有三角公式函数的分式函数, 经常利用三角恒等式变换成可利用的重要极限=1的结果来解; 对于形成1]型的幂指函数, 则可化为另一个重要极限lim (1+) x =e 的结果来解. lim x y 0x y ]x x
=1求极限x
. 例4 lim x y 01-cos x (一) 利用lim x y 0
解 1-cos x cos2x cos3x =1-(cos4x +cos2x ) cos2x =2
1-(cos6x +cos2x ) -(1+cos4x ) =
44222(sin x +sin 2x +sin 3x ). 2
1-cos x =2sin 2
故原式=
. 2
222lim [() +() +() ]=(4+16+36) =14. 4x y 0sin 4sin sin
222x
(二) 利用x lim (1+) =e 求极限y ]x
n 例5 n lim tan (+). y ]4n
n
1+tan
n =解 x lim tan (+) =n lim y ]y ]4n 1-tan
n
第3期
1
tan 1n
1王 艳, 等:求极限的几种方法
-11tan
n
-tan
181
) tan
lim [(1+tan n y ]n
]
1
n
/[(1+tan )
n
]
1n
=
e
-1=
e 2
x +1x +1x +1例6 lim () x (a >0, b >0, c >0). x y 0a +b +c
x +1x +1x +1x x x 解 lim =lim (a #+b #+c #) =x y 0x (a +b +c) a +b +c x y 0x x x
ln (a a b b c c ) a +
故有lim (x y 0
(
x +1
b +c x +1
x +1) =
x +1
x +1
x +1
(
1
a x +1+b x +1+c x +1
-1
a +b +c
) #
1a x +1+b x +1+c x +1(-1) x a +b +c
a +b +c
lim (1+x y 0
a +b +c
-1) =
1
a b c a b c ) .
五、利用有界变量与无穷小量乘积为无穷小量的性质求极限
例7 求x lim (1+sin x ) y ]解 当x y ]时,
1+x
1+x
的极限.
是无穷小量,
1+sin x 为有界变量。因此, x lim (1+sin x ) y ]
=0. 1+x
六、利用等价无穷小量的替换定理求极限
[定理] 设A , B , A c , B c 都是同一极限过程中的无穷小, A ~A c , B ~B c , 且lim 由此可知, 当计算lim
存在, 则有lim =lim . 比较困难时, 可以转化成lim 来计算, 这种方法称为无穷小等价带换法. 2
当x y 0时, 常用的等价无穷小有sin x ~x , tan x ~x , e x -1~x , ln (1+x ) ~x , 1-cos x ~x ,
2
n arcsin x ~x , arctan x ~x , 1+x ~等.
n
A +B 例8 lim . P
x y (1-sin x ) (1-sin x ) 解 lim x y
+B
A (A +B ) l n si n x
=lim =(1-sin x ) (1-sin x ) x y (1-e ) (1-e ) lim P
x y
==lim P
(-A ln sin x ) (-B ln sin x ) x y |ln sin x |
(A +B ) ln sin x
=.
x y (-ln sin x ) lim 注 11此题利用1-e u ~-u(因为u y 0时, e u -1~u ) 进行等价代换, 使计算简化;
21当x y 2时, sin x y 1, ln sin x y 0, 故有|ln sin x |=-ln sin x.
七、利用某些恒等式求极限
+++, +). 1. 33. 55. 7(2n -1) (2n +1) 解 设x n ==#=(-) ,
(2n -1) (2n +1) 2(2n -1) (2n +1) 22n -12n +1
则 原式=lim [(1-) +-+-+, +-) ]=lim (1-) =. n y ]n y ]233557(2n -1) (2n +1) 2n +12
例10 求极限lim (cos #cos #cos cos ). n y ]2例9 求极限n lim (y ]
82西安欧亚学院学报2005年
sin , 注意到sin #cos =, 解 sin n #cos n =2222222n -1
故有sin n (cos #cos 2#####cos n ) =n sin1, 因此, 原式=n lim sin1/sin =sin1. n y ]2222222n
八、利用有关公式求极限
这种方法是利用已知的等差数列、等比数列前n 项的和的公式, 例如:1+2+, +n =22+, n 2=, 13+23+, n 3=[]2等来求极限.
62
333例11 求极限lim (-). n y ]4n 3
2
]=lim =. 解 原式=lim [-n y ]n y ]4n 44n 2
1++, +n
2例12 求极限lim . n y ]1+3+, +n
3
解 此类题的分子、分母都能直接求出前n 项的和, 故先求和再求极限.
2(1-n +1) 1-n +1[1-() n +1]/(1-)
原式=lim =lim =lim =. n y ]n y ]n +13n y ]3
[1-(3) ]/(1-3) 1-2(1-3) 3
2
, 1+2
九、利用夹逼准则求极限
[定理]设数列x n , y n 及z n , 满足:(1) y n F x n F z n (n =1, 2, , , ) , (2) n lim y n =a =lim z n , 则有y ]n y ]
n y ]
lim x n =a.
根据此准则, 如果某数列的极限不容易直接求得, 可以将它适当缩小和放大, 并且使得缩小和放大以后得到的两个新数列的极限分别存在并且相等, 从而得到原数列的极限.
+2+, +2).
n +n +1n +n +2n +n +n
解 因为, 2+2+, +2F x n F 2+2+, +2,
n +n +n n +n +n n +n +n n +n +1n +n +1n +n +1
n(n +1) n (n +1) n (n +1) n (n +1) 即2F x n F 2, 又lim =lim =. 22n y ]n +n +n n y ]n +n +12n +n +n n +n +1
故由夹逼定理知, 原式=lim x . n =n y ]2
例14 证明 lim a =1 (a >0). n y ]例13 求:n lim (y ]
2
证 (1) 设a E 1, 令a =1+b, 则b E 0, 因为a E 1, a E 1;
2又(1+) n =1+n #+() +, +() n , 并且展式中的每一项为非负值, 略去第三项及
n n 2n n
n 以后各项, 则有(1+) n E 1+b, 即(1+) E 1+b =a.
n n n 故有1F a F n , 又n lim (1+) =lim =1, 得lim =1. y ]n y ]n y ]n
==1. (2) 设01, 由(1) 知n lim =lim y ]n y ]a A lim A n y ]
n
第3期王 艳, 等:求极限的几种方法83
十、利用泰勒展开式求极限
有些不定式的极限用以上几种方法不见效时, 有时可用函数的泰勒展开式近似代替, 舍去高阶无穷小部分, 再求极限.
x
例15 n lim [(x -x +) e -x +1].y ]2
1
32x 32
解 n lim [(x -x +) e -x +1]=lim {(x -x +) [1++++o () ]-23y ]n y ]22x 2x 6x x 33x [1+lim [+o() ]=-+o () ]}=n
y ]6x 6. 2x 8x x
3
2
1
十一、利用单调有界准则求极限
[定理] 单调增加有上界或单调减少有下界的数列必有极限.
一般方法步骤:(1) 证明数列单调有界; (2) 建立数列相邻两项之间的关系式; (3) 对上述关系式两端取极限, 得到关于极限a 的方程, 从中解出a 即可.
例16 设x 1=10, x n +1=解 由x 1=10及x 2
6+x n (n =1, 2, , ) , 试证数列{x n }极限存在, 并求此极限.
16=4知x 1>x 2; 假设x k >x k +1, 则有x k +1=
6+x k >
6+x k +
1
6+x 1=
=x k +2, 则对一切自然数n, x n >x n +1, 都成立, 即数列{x n }单调减少; 由x 1=10及x n +1=x n >0(n =1, 2, , ) , 即数列有下界;
根据极限存在准则知n lim x n 存在, 设其为a, 对x n +1=y ]
或-2, 注意到x n >0(n =1, 2, , ) , 故得n lim x n =3. y ]
6+x n 两边取极限, 得a =
n , 易知
6+a 解得a =3
十二、利用洛必达法则求极限
) 例17 求极限x lim (y ]x
) lim ln () =lim e ln (解 利用等价关系, x lim () =e x y ]y ]x y ]x
=lim =0, lim ln y ]. 先看x lim y ]x y ]1+x x y ]x x
ln ()
型的极限问题, 可直接利用洛必达法则如下:所以:x lim 是当x y ]时的y ]x ln () -ln (1+x )
lim =lim =lim [-x y ]x y ]ln (1+x ) x y ]x (1+x ) ln (x +1) x ]=0-0=0. x 所以, x lim y ]x
1
=
1ln (1+x ) lim ln e x y ]
=e 0=1.
十三、利用函数连续性求极限
e x x >0
例18 已知:f (x ) =在x =0可导, 求a 、b 的值.
bx +a x F 0
解 因为f (x ) 在x =0可导, 故f (x ) 在x =0也连续, 即lim f (x ) =lim f (x ) =f (0). 而lim f (x ) =-++
x y 0
x y 0
x y 0
e 0=1, lim f (x ) =a, f (0) =a, 故a =1. -x y 0
由可导定义知, lim f c (x ) =lim f c (x ) =f c (0). -+
x y 0
x y 0
=b, lim f c (x ) =lim =1, 故b =1. 又因为lim f c (x ) =lim --++x x x y 0y 0x 0
x