相似三角形
1.如图,已知AB∥CD∥EF,那么下列结论正确的是( )
A.
ADBC
BCDFCDBCCDAD B. C. D.
DF
CE
CE
AD
EF
BE
EF
D 1题
A
2.如图所示,给出下列条件:
①BACD; ②ADCACB; C
③
ACABCD
BC
; ④AC2
ADAB.
(第2题图)
其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
3.已知△ABC∽△DEF,且AB:DE=1:2,则△ABC的面积与△DEF的面积之比为(A.1:2 B.1:4 C.2:1 D.4:14.如图,已知等边三角形ABC的边长为2,DE是它的中位线,则下面四个结论: (1)DE=1,(2)△CDE∽△CAB,(3)△CDE的面积与△CAB的面积之比为1:4. 其中正确的有:( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
【参考答案】 1. A 2. C 3. B 4. D ◆考点聚焦
AF
)
1.了解线段的比、成比例线段、黄金分割、相似图形有关概念及性质.
2.探索并掌握三角形相似的性质及条件,•并能利用相似三角形的性质解决简单的实际问题.3.掌握图形位似的概念,能用位似的性质将一个图形放大或缩小.
4.掌握用坐标表示图形的位置与变换,在给定的坐标系中,•会根据坐标描出点的位置或由点的位置写出它的坐标,灵活运用不同方式确定物体的位置. ◆备考兵法
1.证明三角形相似的方法常用的有三个,到底用哪个要根据具体情况而定,要注意基本图形的应用,如“A型”“X型”“母子型”等.
2.用相似三角形的知识解决现实生活中实际问题,关键是要先把实际问题转化为数学问题,识别或作出相似三角形,再利用相似三角形的性质求解,并回答实际问题,注意题目的解一定要符合题意.
3.用直角坐标系中的点描述物体的位置,用坐标的方法来研究图形的运动变换,是较为常见的考法,要注意训练. ◆考点链接
一、相似三角形的定义
三边对应成_________,三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形. 二、相似三角形的判定方法
1. 若DE∥BC(A型和X型)则______________.
2. 射影定理:若CD为Rt△ABC斜边上的高(双直角图形)
则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=________,CD2=_______,BC2=__ ____.
3. 两个角对应相等的两个三角形__________.
4. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似. 5. 三边对应成比例的两个三角形___________. 三、相似三角形的性质
1. 相似三角形的对应边_________,对应角________.
2. 相似三角形的对应边的比叫做________,一般用k表示.
3. 相似三角形的对应角平分线,对应边的________线,对应边上的_______•线的比等于_______比,周长之比也等于________比,面积比等于_________. ◆典例精析
例1(2009山西太原)甲、乙两盏路灯底部间的距离是30米,一天晚上,当小华走到距路
灯乙底部5米处时,发现自己的身影顶部正好接触路灯乙的底部.已知小华的身高为1.5米,那么路灯甲的高为 米.
【答案】9.
【解析】本题考查相似的有关知识,相似三角形的应用.设路灯高为x米,由相似得
1.5x530
,解得x9,所以路灯甲的高为9米,故填9.
例2(2008年浙江丽水)如图,在已建立直角坐标系的4×4正方形方格纸中,△划格点三角形(三角形的三个顶点都是小正方形的顶点),若以格点P,A,B为顶点的三角形与△ABC相似(全等除外),则格点P的坐标是_______.
【答案】 P1(1,4),P2(3,4).
点拨:这种题常见的错误是漏解,平时要多加强这方面的训练,以培养思维的严密性. 拓展变式 在Rt△ABC中,斜边AC上有一动点D(不与点A,C重合),过D点作直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC相似,则满足这样条件的直线共有______条. 【答案】 3
例3 如图,已知平行四边形ABCD中,E是AB边的中点,DE交AC于点F,AC,DE把平行四边形ABCD分成的四部分的面积分别为S1,S2,S3,S4.下面结论:①只有一对相似三角形;②EF:ED=1:2;③S1:S2:S3:S4=1:2:4:5.其中正确的结论是( )
A.①③ B.③ C.① D.①②
【答案】 B
【解析】 ∵AB∥DC,∴△AEF•∽△CDF,•但本题还有一对相似三角形是△ABC•≌△CDA(全等是相似的特例). ∴①是错的. ∵
AECD
EFDF
12
,∴②EF:ED=1:2是错的.
∴S△AEF:S△CDF =1:4,S△AEF:S△ADF =1:2. ∴S1:S2:S3:S4=1:2:4:5,③正确.
点拨 ①利用相似三角形的特征和等高三角形的面积比等于底边之比;(共底三角形的面积之比等于高之比)
②和全等三角形一样,中考试题往往把需要证明的两个相似三角形置于其他图形(如等边三角形、等腰直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形)中,在解题时要充分挖掘其中隐含的相等角、成比例的线段和平行线,注意从复杂的图形中分离出基本的相似三角形.
拓展变式 点E是ABCD的边BC延长线上的一点,AE与CD相交于点G,则图中相似三角形共有( )
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 【答案】 C ◆迎考精练 一、选择题
1.(2009年江苏省)如图,在55方格纸中,将图①中的三角形甲平移到图②
中所示的位置,与三角形乙拼成一个矩形,那么,下面的平移方法中,正确的是( ) A.先向下平移3格,再向右平移1格 B.先向下平移2格,再向右平移1格 C.先向下平移2格,再向右平移2格 D.先向下平移3格,再向右平移2格
2.(2009年浙江杭州)如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x,那么x的值( )
A.只有1个 B.可以有2个 C.有2个以上但有限 D.有无数个
3.(2009年浙江宁波)如图,菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,M、N分别是边AB、
AD的中点,连接OM、ON、MN,则下列叙述正确的是( )A.△AOM和△AON都是等边三角形 B.四边形MBON和四边形MODN都是菱形 C.四边形AMON与四边形ABCD是位似图形 D.四边形MBCO和四边形NDCO都是等腰梯形
B
O C
D
4.(2009年浙江义乌)在中华经典美文阅读中,小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比。已知这本书的长为20cm,则它的宽约为( )
A.12.36cm B.13.6cm C.32.36cm D.7.64cm
5.(2009年湖南娄底)小明在一次军事夏令营活动中,进行打靶训练,在用枪瞄准目标点B时,要使眼睛O、准星A、目标B在同一条直线上,如图所示,在射击时,小明有轻微的抖动,致使准星A偏离到A′,若OA=0.2米,OB=40米,AA′=0.0015米,则小明射击到的点B′偏离目标点B的长度BB′为 ( )
A.3米 B.0.3米 C.0.03米 D.0.2米
6.(2009年甘肃白银)如图,小东用长为3.2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度,移动竹竿,使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时,竹竿与这一点相距8m、与旗杆相距22m,则旗杆的高为( )
A.12m
B.10m
C.8m
D.7m
7.(2009年天津市)在△ABC和△DEF中,AB2DE,AC2DF,AD,如果△ABC的周长是16,面积是12,那么△DEF的周长、面积依次为( )
A.8,3 B.8,6 C.4,3 D.4,6 二、填空题
1. (2009年山东滨州)在平面直角坐标系中,△ABC顶点A的坐标为(2,3),若以原点O为位似中心,画△ABC的位似图形△ABC,使△ABC与△ABC的相似比等于则点A的坐标为 .
2.(2009年黑龙江牡丹江)如图,Rt△ABC中,ACB90°,直线EF∥BD,交AB于点
E,交AC于点G,交AD于点F,若S△AEG
13
S四边形EBCG,则
CFAD
.
12
,
B
G C 第2题
F D
3.(2009年湖北孝感)如图,点M是△ABC内一点,过点M分别作直线平行于△ABC的各边,所形成的三个小三角形△1、△2、△3(图中阴影部分)的面积分别是4,9和49.则△ABC的面积是 .
4.(2009年山东日照)将三角形纸片(△ABC)按如图所示的方式折叠,使点B落在边AC上,记为点B′,折痕为EF.已知AB=AC=3,BC=4,若以点B′,F,C为顶点的三角形与△ABC相似,那么BF的长度是 .
A
B′
F
(第4题图)
C
5.(2009年福建莆田)如图,A、B两处被池塘隔开,为了测量A、B两处的距离,在AB外选一适当的点C,连接AC、BC,并分别取线段AC、BC的中点E、F,测得EF=20m,则AB=__________m.
第5题图
三、解答题
1.(2009年湖南郴州)如图,在DABC中,已知DE∥BC,AD=4,DB=8,DE=3, (1)求
C
2.(2009年湖南常德)如图,△ABC内接于⊙O,AD是△ABC的边BC上的高,AE是⊙O的直径,连接BE,△ABE与△ADC相似吗?请证明你的结论.
3.(2009年湖北武汉)如图1,在Rt△ABC中,BAC90°,AD⊥BC于点D,点O是AC边上一点,连接BO交AD于F,OE⊥OB交BC边于点E.
(1)求证:△ABF∽△COE; (2)当O为AC边中点,
ACAB
2时,如图2,求
OFOE
ADAB
E
的值,(2)求BC的长
的值;
(3)当O为AC边中点,B
A
O 图1
A ACAB
n时,请直接写出
OFOE
的值.
O 图2
C
4.(2009年安徽)如图,M为线段AB的中点,AE与BD交于点C,∠DME=∠A=∠B=α,
且DM交AC于F,ME交BC于G.
(1)写出图中三对相似三角形,并证明其中的一对;
(2)连结FG,如果α=45°,AB
=,AF=3,求FG的长.
B
D
第4题图
E
5.(2009年吉林省)如图,⊙O中,弦AB、CD相交于AB的中点E,连接AD并延长至点F,使DFAD,连接BC、BF.
B 第5题图
(1)求证:△CBE∽△AFB; (2)当
6.(2009年广东梅州)如图,梯形ABCD中,AB∥CD,点F在BC上,连DF与AB的延长线交于点G.
(1)求证:△CDF∽△BGF;
EF(2)当点F是BC的中点时,过F作EF∥CD交AD于点E,若AB6cm,
4cm
BEFB
58
F
时,求
CBAD
的值
,
求CD的长.
C B
G
6题
【参考答案】 选择题 1. D 2. B 3. C 4. A 5. B 6. A 7. A 填空题 1. (4,6) 2.
12
3. 144 4.
127
或2;
5. 40 解答题
1. 解:(1)∵AD=4,DB=8
∴AB=AD+DB=4+8=12 ∴
ADAB
=
412
=13
(2)∵DE∥BC,所以△ADE∽△ABC
∴
DEBC
=ADAB
∵DE=3
∴
3BC
=13
∴BC=9
2. △ABE 与△ADC相似.理由如下: 在△ABE与△ADC中
∵AE是⊙O的直径, ∴∠ABE=90o, ∵AD是△ABC的边BC上的高,
∴∠ADC=90, ∴∠ABE=∠ADC. 又∵同弧所对的圆周角相等, ∴∠BEA=∠DCA. ∴△ABE ~△ADC.
3. 解:(1)AD⊥BC,DACC90°.
BAC90°,BAFC. OE⊥OB,BOACOE90°, BOAABF90°,ABFCOE. △ABF∽△COE;
o
A
O
C
(2)解法一:作OG⊥AC,交AD的延长线于G.
AC2AB,O是AC边的中点,ABOCOA.
由(1)有△ABF∽△COE,△ABF≌△COE,
BFOE.
BADDAC90°,DABABD90°,DACABD,
又BACAOG90°,ABOA.
△ABC≌△OAG,OGAC2AB. OG⊥OA,AB∥OG,△ABF∽△GOF, OFBF
OGAB
,
OFOE
OFBF
OGAB
2.
A
O
C
解法二:BAC90°,AC2AB,AD⊥BC于D,
Rt△BAD∽Rt△BCA.
ADBD
ACAB
2.
设AB
1,则AC2,BC
AD
BD
12AD
BO
,
BDFBOE90°,△BDF∽△BOE, BDDF
BOOE
.
由(1)知BFOE,设OEBF
x,,x
DFx
F.
在△DFB中x
2
15
110
x,x
2
3
.
OFOBBF
OE
OF
2. (3)
OFOE
n.
4. (1)证:△AMF∽△BGM,△DMG∽△DBM,△EMF∽△EAM(写出两对即可)以下证明△AMF∽△BGM.
∵∠AFM=∠DME+∠E=∠A+∠E=∠BMG,∠A=∠B ∴△AMF∽△BGM.
(2)解:当α=45°时,可得AC⊥BC且AC=BC
∵M为AB的中点,∴AM=BM
= 又∵AMF∽△BGM,∴∴BG
AMBMAF
AFAM
3
BMBG
83
又ACBC454,∴CG4
53
83
43
,CF431
∴FG
5. (1)证明:AEEB,ADDF,
ED是△ABF的中位线,
ED∥BF,
CEBABF,
又CA,
△CBE∽△AFB,
(2)解:由(1)知, △CBE∽△AFB,
CB5AF
BEFB
8.
又AF2AD,
CBAD
54
.
6. (1)证明:∵梯形ABCD,AB∥CD,∴CDFFGB,DCFGBF, ∴△CDF∽△BGF. (2) 由(1)△CDF∽△BGF, 又F是BC的中点,BFFC ∴△CDF≌△BGF, ∴DFFG,CDBG, 又∵EF∥CD,AB∥CD
∴EF∥AG,得2EFBGABBG. ∴BG2EFAB2462, ∴CDBG2cm.
C B G
6题图
相似三角形
1.如图,已知AB∥CD∥EF,那么下列结论正确的是( )
A.
ADBC
BCDFCDBCCDAD B. C. D.
DF
CE
CE
AD
EF
BE
EF
D 1题
A
2.如图所示,给出下列条件:
①BACD; ②ADCACB; C
③
ACABCD
BC
; ④AC2
ADAB.
(第2题图)
其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
3.已知△ABC∽△DEF,且AB:DE=1:2,则△ABC的面积与△DEF的面积之比为(A.1:2 B.1:4 C.2:1 D.4:14.如图,已知等边三角形ABC的边长为2,DE是它的中位线,则下面四个结论: (1)DE=1,(2)△CDE∽△CAB,(3)△CDE的面积与△CAB的面积之比为1:4. 其中正确的有:( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
【参考答案】 1. A 2. C 3. B 4. D ◆考点聚焦
AF
)
1.了解线段的比、成比例线段、黄金分割、相似图形有关概念及性质.
2.探索并掌握三角形相似的性质及条件,•并能利用相似三角形的性质解决简单的实际问题.3.掌握图形位似的概念,能用位似的性质将一个图形放大或缩小.
4.掌握用坐标表示图形的位置与变换,在给定的坐标系中,•会根据坐标描出点的位置或由点的位置写出它的坐标,灵活运用不同方式确定物体的位置. ◆备考兵法
1.证明三角形相似的方法常用的有三个,到底用哪个要根据具体情况而定,要注意基本图形的应用,如“A型”“X型”“母子型”等.
2.用相似三角形的知识解决现实生活中实际问题,关键是要先把实际问题转化为数学问题,识别或作出相似三角形,再利用相似三角形的性质求解,并回答实际问题,注意题目的解一定要符合题意.
3.用直角坐标系中的点描述物体的位置,用坐标的方法来研究图形的运动变换,是较为常见的考法,要注意训练. ◆考点链接
一、相似三角形的定义
三边对应成_________,三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形. 二、相似三角形的判定方法
1. 若DE∥BC(A型和X型)则______________.
2. 射影定理:若CD为Rt△ABC斜边上的高(双直角图形)
则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=________,CD2=_______,BC2=__ ____.
3. 两个角对应相等的两个三角形__________.
4. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似. 5. 三边对应成比例的两个三角形___________. 三、相似三角形的性质
1. 相似三角形的对应边_________,对应角________.
2. 相似三角形的对应边的比叫做________,一般用k表示.
3. 相似三角形的对应角平分线,对应边的________线,对应边上的_______•线的比等于_______比,周长之比也等于________比,面积比等于_________. ◆典例精析
例1(2009山西太原)甲、乙两盏路灯底部间的距离是30米,一天晚上,当小华走到距路
灯乙底部5米处时,发现自己的身影顶部正好接触路灯乙的底部.已知小华的身高为1.5米,那么路灯甲的高为 米.
【答案】9.
【解析】本题考查相似的有关知识,相似三角形的应用.设路灯高为x米,由相似得
1.5x530
,解得x9,所以路灯甲的高为9米,故填9.
例2(2008年浙江丽水)如图,在已建立直角坐标系的4×4正方形方格纸中,△划格点三角形(三角形的三个顶点都是小正方形的顶点),若以格点P,A,B为顶点的三角形与△ABC相似(全等除外),则格点P的坐标是_______.
【答案】 P1(1,4),P2(3,4).
点拨:这种题常见的错误是漏解,平时要多加强这方面的训练,以培养思维的严密性. 拓展变式 在Rt△ABC中,斜边AC上有一动点D(不与点A,C重合),过D点作直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC相似,则满足这样条件的直线共有______条. 【答案】 3
例3 如图,已知平行四边形ABCD中,E是AB边的中点,DE交AC于点F,AC,DE把平行四边形ABCD分成的四部分的面积分别为S1,S2,S3,S4.下面结论:①只有一对相似三角形;②EF:ED=1:2;③S1:S2:S3:S4=1:2:4:5.其中正确的结论是( )
A.①③ B.③ C.① D.①②
【答案】 B
【解析】 ∵AB∥DC,∴△AEF•∽△CDF,•但本题还有一对相似三角形是△ABC•≌△CDA(全等是相似的特例). ∴①是错的. ∵
AECD
EFDF
12
,∴②EF:ED=1:2是错的.
∴S△AEF:S△CDF =1:4,S△AEF:S△ADF =1:2. ∴S1:S2:S3:S4=1:2:4:5,③正确.
点拨 ①利用相似三角形的特征和等高三角形的面积比等于底边之比;(共底三角形的面积之比等于高之比)
②和全等三角形一样,中考试题往往把需要证明的两个相似三角形置于其他图形(如等边三角形、等腰直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形)中,在解题时要充分挖掘其中隐含的相等角、成比例的线段和平行线,注意从复杂的图形中分离出基本的相似三角形.
拓展变式 点E是ABCD的边BC延长线上的一点,AE与CD相交于点G,则图中相似三角形共有( )
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 【答案】 C ◆迎考精练 一、选择题
1.(2009年江苏省)如图,在55方格纸中,将图①中的三角形甲平移到图②
中所示的位置,与三角形乙拼成一个矩形,那么,下面的平移方法中,正确的是( ) A.先向下平移3格,再向右平移1格 B.先向下平移2格,再向右平移1格 C.先向下平移2格,再向右平移2格 D.先向下平移3格,再向右平移2格
2.(2009年浙江杭州)如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x,那么x的值( )
A.只有1个 B.可以有2个 C.有2个以上但有限 D.有无数个
3.(2009年浙江宁波)如图,菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,M、N分别是边AB、
AD的中点,连接OM、ON、MN,则下列叙述正确的是( )A.△AOM和△AON都是等边三角形 B.四边形MBON和四边形MODN都是菱形 C.四边形AMON与四边形ABCD是位似图形 D.四边形MBCO和四边形NDCO都是等腰梯形
B
O C
D
4.(2009年浙江义乌)在中华经典美文阅读中,小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比。已知这本书的长为20cm,则它的宽约为( )
A.12.36cm B.13.6cm C.32.36cm D.7.64cm
5.(2009年湖南娄底)小明在一次军事夏令营活动中,进行打靶训练,在用枪瞄准目标点B时,要使眼睛O、准星A、目标B在同一条直线上,如图所示,在射击时,小明有轻微的抖动,致使准星A偏离到A′,若OA=0.2米,OB=40米,AA′=0.0015米,则小明射击到的点B′偏离目标点B的长度BB′为 ( )
A.3米 B.0.3米 C.0.03米 D.0.2米
6.(2009年甘肃白银)如图,小东用长为3.2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度,移动竹竿,使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时,竹竿与这一点相距8m、与旗杆相距22m,则旗杆的高为( )
A.12m
B.10m
C.8m
D.7m
7.(2009年天津市)在△ABC和△DEF中,AB2DE,AC2DF,AD,如果△ABC的周长是16,面积是12,那么△DEF的周长、面积依次为( )
A.8,3 B.8,6 C.4,3 D.4,6 二、填空题
1. (2009年山东滨州)在平面直角坐标系中,△ABC顶点A的坐标为(2,3),若以原点O为位似中心,画△ABC的位似图形△ABC,使△ABC与△ABC的相似比等于则点A的坐标为 .
2.(2009年黑龙江牡丹江)如图,Rt△ABC中,ACB90°,直线EF∥BD,交AB于点
E,交AC于点G,交AD于点F,若S△AEG
13
S四边形EBCG,则
CFAD
.
12
,
B
G C 第2题
F D
3.(2009年湖北孝感)如图,点M是△ABC内一点,过点M分别作直线平行于△ABC的各边,所形成的三个小三角形△1、△2、△3(图中阴影部分)的面积分别是4,9和49.则△ABC的面积是 .
4.(2009年山东日照)将三角形纸片(△ABC)按如图所示的方式折叠,使点B落在边AC上,记为点B′,折痕为EF.已知AB=AC=3,BC=4,若以点B′,F,C为顶点的三角形与△ABC相似,那么BF的长度是 .
A
B′
F
(第4题图)
C
5.(2009年福建莆田)如图,A、B两处被池塘隔开,为了测量A、B两处的距离,在AB外选一适当的点C,连接AC、BC,并分别取线段AC、BC的中点E、F,测得EF=20m,则AB=__________m.
第5题图
三、解答题
1.(2009年湖南郴州)如图,在DABC中,已知DE∥BC,AD=4,DB=8,DE=3, (1)求
C
2.(2009年湖南常德)如图,△ABC内接于⊙O,AD是△ABC的边BC上的高,AE是⊙O的直径,连接BE,△ABE与△ADC相似吗?请证明你的结论.
3.(2009年湖北武汉)如图1,在Rt△ABC中,BAC90°,AD⊥BC于点D,点O是AC边上一点,连接BO交AD于F,OE⊥OB交BC边于点E.
(1)求证:△ABF∽△COE; (2)当O为AC边中点,
ACAB
2时,如图2,求
OFOE
ADAB
E
的值,(2)求BC的长
的值;
(3)当O为AC边中点,B
A
O 图1
A ACAB
n时,请直接写出
OFOE
的值.
O 图2
C
4.(2009年安徽)如图,M为线段AB的中点,AE与BD交于点C,∠DME=∠A=∠B=α,
且DM交AC于F,ME交BC于G.
(1)写出图中三对相似三角形,并证明其中的一对;
(2)连结FG,如果α=45°,AB
=,AF=3,求FG的长.
B
D
第4题图
E
5.(2009年吉林省)如图,⊙O中,弦AB、CD相交于AB的中点E,连接AD并延长至点F,使DFAD,连接BC、BF.
B 第5题图
(1)求证:△CBE∽△AFB; (2)当
6.(2009年广东梅州)如图,梯形ABCD中,AB∥CD,点F在BC上,连DF与AB的延长线交于点G.
(1)求证:△CDF∽△BGF;
EF(2)当点F是BC的中点时,过F作EF∥CD交AD于点E,若AB6cm,
4cm
BEFB
58
F
时,求
CBAD
的值
,
求CD的长.
C B
G
6题
【参考答案】 选择题 1. D 2. B 3. C 4. A 5. B 6. A 7. A 填空题 1. (4,6) 2.
12
3. 144 4.
127
或2;
5. 40 解答题
1. 解:(1)∵AD=4,DB=8
∴AB=AD+DB=4+8=12 ∴
ADAB
=
412
=13
(2)∵DE∥BC,所以△ADE∽△ABC
∴
DEBC
=ADAB
∵DE=3
∴
3BC
=13
∴BC=9
2. △ABE 与△ADC相似.理由如下: 在△ABE与△ADC中
∵AE是⊙O的直径, ∴∠ABE=90o, ∵AD是△ABC的边BC上的高,
∴∠ADC=90, ∴∠ABE=∠ADC. 又∵同弧所对的圆周角相等, ∴∠BEA=∠DCA. ∴△ABE ~△ADC.
3. 解:(1)AD⊥BC,DACC90°.
BAC90°,BAFC. OE⊥OB,BOACOE90°, BOAABF90°,ABFCOE. △ABF∽△COE;
o
A
O
C
(2)解法一:作OG⊥AC,交AD的延长线于G.
AC2AB,O是AC边的中点,ABOCOA.
由(1)有△ABF∽△COE,△ABF≌△COE,
BFOE.
BADDAC90°,DABABD90°,DACABD,
又BACAOG90°,ABOA.
△ABC≌△OAG,OGAC2AB. OG⊥OA,AB∥OG,△ABF∽△GOF, OFBF
OGAB
,
OFOE
OFBF
OGAB
2.
A
O
C
解法二:BAC90°,AC2AB,AD⊥BC于D,
Rt△BAD∽Rt△BCA.
ADBD
ACAB
2.
设AB
1,则AC2,BC
AD
BD
12AD
BO
,
BDFBOE90°,△BDF∽△BOE, BDDF
BOOE
.
由(1)知BFOE,设OEBF
x,,x
DFx
F.
在△DFB中x
2
15
110
x,x
2
3
.
OFOBBF
OE
OF
2. (3)
OFOE
n.
4. (1)证:△AMF∽△BGM,△DMG∽△DBM,△EMF∽△EAM(写出两对即可)以下证明△AMF∽△BGM.
∵∠AFM=∠DME+∠E=∠A+∠E=∠BMG,∠A=∠B ∴△AMF∽△BGM.
(2)解:当α=45°时,可得AC⊥BC且AC=BC
∵M为AB的中点,∴AM=BM
= 又∵AMF∽△BGM,∴∴BG
AMBMAF
AFAM
3
BMBG
83
又ACBC454,∴CG4
53
83
43
,CF431
∴FG
5. (1)证明:AEEB,ADDF,
ED是△ABF的中位线,
ED∥BF,
CEBABF,
又CA,
△CBE∽△AFB,
(2)解:由(1)知, △CBE∽△AFB,
CB5AF
BEFB
8.
又AF2AD,
CBAD
54
.
6. (1)证明:∵梯形ABCD,AB∥CD,∴CDFFGB,DCFGBF, ∴△CDF∽△BGF. (2) 由(1)△CDF∽△BGF, 又F是BC的中点,BFFC ∴△CDF≌△BGF, ∴DFFG,CDBG, 又∵EF∥CD,AB∥CD
∴EF∥AG,得2EFBGABBG. ∴BG2EFAB2462, ∴CDBG2cm.
C B G
6题图