第一章 常用逻辑用语
1.3.3 全称命题与特称命题的否定
一、创设情境
数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等与“存在着”、“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语,在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词(用符号分别记为“ ”与“”来表示);由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与存在性命题。在全称命题与存在性命题的逻辑关系中,pq,pq都容易判断,但它们的否定形式是我们困惑的症结所在。
二、活动尝试
问题1:指出下列命题的形式,写出下列命题的否定。
(1)所有的矩形都是平行四边形;
(2)每一个素数都是奇数;
(3)xR,x2-2x+1≥0
分析:(1)xM,p(x),否定:存在一个矩形不是平行四边形;xM,p(x)
(2)xM,p(x),否定:存在一个素数不是奇数;xM,p(x)
(3)xM,p(x),否定:xR,x2-2x+1
这些命题和它们的否定在形式上有什么变化?
结论:从命题形式上看,这三个全称命题的否定都变成了存在性命题.
三、师生探究
问题2:写出命题的否定
2(1)p: x∈R,x+2x+2≤0;
(2)p:有的三角形是等边三角形;
(3)p:有些函数没有反函数;
(4)p:存在一个四边形,它的对角线互相垂直且平分;
分析:(1) xR,x2+2x+2>0;
(2)任何三角形都不是等边三角形;
(3)任何函数都有反函数;
(4)对于所有的四边形,它的对角线不可能互相垂直或平分;
从集合的运算观点剖析:痧U(AB)UA UB,痧U(AB)UA UB
四、数学理论
1.全称命题、存在性命题的否定
一般地,全称命题P: xM,有P(x)成立;其否定命题┓P为:x∈M,使P(x)不成立。存在性命题P:xM,使P(x)成立;其否定命题┓P为: xM,有P(x)不成立。 用符号语言表示:
P:M, p(x)否定为 P: M, P(x)
P:M, p(x)否定为 P: M, P(x)
在具体操作中就是从命题P把全称性的量词改成存在性的量词,存在性的量词改成全称性的量词,并把量词作用范围进行否定。即须遵循下面法则:否定全称得存在,否定存在得全称,否定肯定得否定,否定否定得肯定.
2.关键量词的否定
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五、巩固运用
例1 写出下列全称命题的否定:
(1)p:所有人都晨练;
(2)p:xR,x2+x+1>0;
(3)p:平行四边形的对边相等;
2(4)p: x∈R,x-x+1=0;
解:(1) P:有的人不晨练;(2) x∈R,x2+x+1≤0;(3)存在平行四边形,它的的对边不相等;(4)xR,x2-x+1≠0;
例2 写出下列命题的否定。
(1) 所有自然数的平方是正数。
(2) 任何实数x都是方程5x-12=0的根。
(3) 对任意实数x,存在实数y,使x+y>0.
(4) 有些质数是奇数。
解:(1)的否定:有些自然数的平方不是正数。
(2)的否定:存在实数x不是方程5x-12=0的根。
(3)的否定:存在实数x,对所有实数y,有x+y≤0。
(4)的否定:所有的质数都不是奇数。
解题中会遇到省略了“所有,任何,任意”等量词的简化形式,如“若x>3,则x2>9”。在求解中极易误当为简单命题处理;这种情形下时应先将命题写成完整形式,再依据法则来写出其否定形式。
例3 写出下列命题的否定。
(1) 若x2>4 则x>2.。
(2) 若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。
(3) 可以被5整除的整数,末位是0。
(4) 被8整除的数能被4整除。
(5) 若一个四边形是正方形,则它的四条边相等。
2解(1)否定:存在实数x0,虽然满足x0>4,但x0≤2。或者说:存在小于或等于2的数x0,
2满足x0>4。(完整表达为对任意的实数x, 若x2>4 则x>2)
2(2)否定:虽然实数m≥0,但存在一个x0,使x0+ x0-m=0无实数根。(原意表达:对任意实
数m,若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。)
(3)否定:存在一个可以被5整除的整数,其末位不是0。
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(4)否定:存在一个数能被8整除,但不能被4整除.(原意表达为所有能被8整除的数都能被4整除)
(5)否定:存在一个四边形,虽然它是正方形,但四条边中至少有两条不相等。(原意表达为无论哪个四边形,若它是正方形,则它的四条边中任何两条都相等。)
例4 写出下列命题的非命题与否命题,并判断其真假性。
(1)p:若x>y,则5x>5y;
(2)p:若x2+x﹤2,则x2-x﹤2;
(3)p:正方形的四条边相等;
(4)p:已知a,b为实数,若x2+ax+b≤0有非空实解集,则a2-4b≥0。
解:(1) P:若 x>y,则5x≤5y; 假命题
否命题:若x≤y,则5x≤5y;真命题
(2) P:若x2+x﹤2,则x2-x≥2;真命题
否命题:若x2+x≥2,则x2-x≥2);假命题。
(3) P:存在一个四边形,尽管它是正方形,然而四条边中至少有两条边不相等;假命题。
否命题:若一个四边形不是正方形,则它的四条边不相等。假命题。
(4) P:存在两个实数a,b,虽然满足x2+ax+b≤0有非空实解集,但使a2-4b﹤0。假命题。
否命题:已知a,b为实数,若x2+ax+b≤0没有非空实解集,则a2-4b﹤0。真命题。 评注:命题的否定与否命题是完全不同的概念。其理由:
1.任何命题均有否定,无论是真命题还是假命题;而否命题仅针对命题“若P则q”提出来的。
2.命题的否定(非)是原命题的矛盾命题,两者的真假性必然是一真一假,一假一真;而否命题与原命题可能是同真同假,也可能是一真一假。
3. 原命题“若P则q” 的形式,它的非命题“若p,则q”;而它的否命题为 “若┓p,则┓q”,既否定条件又否定结论。
六、回顾反思
在教学中,务必理清各类型命题形式结构、性质关系,才能真正准确地完整地表达出命题的否定,才能避犯逻辑性错误,才能更好把逻辑知识负载于其它知识之上,达到培养和发展学生的逻辑思维能力。
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第一章 常用逻辑用语
1.3.3 全称命题与特称命题的否定
一、创设情境
数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等与“存在着”、“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语,在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词(用符号分别记为“ ”与“”来表示);由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与存在性命题。在全称命题与存在性命题的逻辑关系中,pq,pq都容易判断,但它们的否定形式是我们困惑的症结所在。
二、活动尝试
问题1:指出下列命题的形式,写出下列命题的否定。
(1)所有的矩形都是平行四边形;
(2)每一个素数都是奇数;
(3)xR,x2-2x+1≥0
分析:(1)xM,p(x),否定:存在一个矩形不是平行四边形;xM,p(x)
(2)xM,p(x),否定:存在一个素数不是奇数;xM,p(x)
(3)xM,p(x),否定:xR,x2-2x+1
这些命题和它们的否定在形式上有什么变化?
结论:从命题形式上看,这三个全称命题的否定都变成了存在性命题.
三、师生探究
问题2:写出命题的否定
2(1)p: x∈R,x+2x+2≤0;
(2)p:有的三角形是等边三角形;
(3)p:有些函数没有反函数;
(4)p:存在一个四边形,它的对角线互相垂直且平分;
分析:(1) xR,x2+2x+2>0;
(2)任何三角形都不是等边三角形;
(3)任何函数都有反函数;
(4)对于所有的四边形,它的对角线不可能互相垂直或平分;
从集合的运算观点剖析:痧U(AB)UA UB,痧U(AB)UA UB
四、数学理论
1.全称命题、存在性命题的否定
一般地,全称命题P: xM,有P(x)成立;其否定命题┓P为:x∈M,使P(x)不成立。存在性命题P:xM,使P(x)成立;其否定命题┓P为: xM,有P(x)不成立。 用符号语言表示:
P:M, p(x)否定为 P: M, P(x)
P:M, p(x)否定为 P: M, P(x)
在具体操作中就是从命题P把全称性的量词改成存在性的量词,存在性的量词改成全称性的量词,并把量词作用范围进行否定。即须遵循下面法则:否定全称得存在,否定存在得全称,否定肯定得否定,否定否定得肯定.
2.关键量词的否定
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五、巩固运用
例1 写出下列全称命题的否定:
(1)p:所有人都晨练;
(2)p:xR,x2+x+1>0;
(3)p:平行四边形的对边相等;
2(4)p: x∈R,x-x+1=0;
解:(1) P:有的人不晨练;(2) x∈R,x2+x+1≤0;(3)存在平行四边形,它的的对边不相等;(4)xR,x2-x+1≠0;
例2 写出下列命题的否定。
(1) 所有自然数的平方是正数。
(2) 任何实数x都是方程5x-12=0的根。
(3) 对任意实数x,存在实数y,使x+y>0.
(4) 有些质数是奇数。
解:(1)的否定:有些自然数的平方不是正数。
(2)的否定:存在实数x不是方程5x-12=0的根。
(3)的否定:存在实数x,对所有实数y,有x+y≤0。
(4)的否定:所有的质数都不是奇数。
解题中会遇到省略了“所有,任何,任意”等量词的简化形式,如“若x>3,则x2>9”。在求解中极易误当为简单命题处理;这种情形下时应先将命题写成完整形式,再依据法则来写出其否定形式。
例3 写出下列命题的否定。
(1) 若x2>4 则x>2.。
(2) 若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。
(3) 可以被5整除的整数,末位是0。
(4) 被8整除的数能被4整除。
(5) 若一个四边形是正方形,则它的四条边相等。
2解(1)否定:存在实数x0,虽然满足x0>4,但x0≤2。或者说:存在小于或等于2的数x0,
2满足x0>4。(完整表达为对任意的实数x, 若x2>4 则x>2)
2(2)否定:虽然实数m≥0,但存在一个x0,使x0+ x0-m=0无实数根。(原意表达:对任意实
数m,若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。)
(3)否定:存在一个可以被5整除的整数,其末位不是0。
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(4)否定:存在一个数能被8整除,但不能被4整除.(原意表达为所有能被8整除的数都能被4整除)
(5)否定:存在一个四边形,虽然它是正方形,但四条边中至少有两条不相等。(原意表达为无论哪个四边形,若它是正方形,则它的四条边中任何两条都相等。)
例4 写出下列命题的非命题与否命题,并判断其真假性。
(1)p:若x>y,则5x>5y;
(2)p:若x2+x﹤2,则x2-x﹤2;
(3)p:正方形的四条边相等;
(4)p:已知a,b为实数,若x2+ax+b≤0有非空实解集,则a2-4b≥0。
解:(1) P:若 x>y,则5x≤5y; 假命题
否命题:若x≤y,则5x≤5y;真命题
(2) P:若x2+x﹤2,则x2-x≥2;真命题
否命题:若x2+x≥2,则x2-x≥2);假命题。
(3) P:存在一个四边形,尽管它是正方形,然而四条边中至少有两条边不相等;假命题。
否命题:若一个四边形不是正方形,则它的四条边不相等。假命题。
(4) P:存在两个实数a,b,虽然满足x2+ax+b≤0有非空实解集,但使a2-4b﹤0。假命题。
否命题:已知a,b为实数,若x2+ax+b≤0没有非空实解集,则a2-4b﹤0。真命题。 评注:命题的否定与否命题是完全不同的概念。其理由:
1.任何命题均有否定,无论是真命题还是假命题;而否命题仅针对命题“若P则q”提出来的。
2.命题的否定(非)是原命题的矛盾命题,两者的真假性必然是一真一假,一假一真;而否命题与原命题可能是同真同假,也可能是一真一假。
3. 原命题“若P则q” 的形式,它的非命题“若p,则q”;而它的否命题为 “若┓p,则┓q”,既否定条件又否定结论。
六、回顾反思
在教学中,务必理清各类型命题形式结构、性质关系,才能真正准确地完整地表达出命题的否定,才能避犯逻辑性错误,才能更好把逻辑知识负载于其它知识之上,达到培养和发展学生的逻辑思维能力。
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