概率论与数理统计教案
编写人：
第三章：多维随机变量及其分布
一、基本概念
1联合分布函数
设（X , Y ）是二维离散型随机变量，x , y 是任意实数，
F (x , y ) =P (X ≤x , Y ≤Y )
二维随机变量（X , Y ）的联合分布函数。 2. 联合分布函数的性质
（1）单调性F (x , y ) 关于x(y)单调不减；
（2）0≤F (x , y ) ≤1, F (x , -∞) =F (-∞, y ) =0, F (+∞, +∞) =1； (3) F (x , y ) 关于x(y)右连续；
(4)P {x 1
设（X , Y ）是二维离散型随机变量的联合分布函数为F (x , y ) ，则
F X (x ) =P {X ≤x }=P {X ≤x , Y ≤+∞}=F (x , +∞) F Y (y ) =P {Y ≤y }=P {X ≤+∞, Y ≤y }=F (+∞, y )
二维随机变量（X , Y ）的边缘分布函数。
，
二、离散型二维随机变量
1. 离散型二维随机变量的分布律
设(X , Y ) 是一个二维离散型随机变量，它们一切可能取的值为(a i , b j ), i , j =1,2, p ij =p ij p =P =ξa =a b ,2, {X Y ==
b j }i , i ηj ), i , j =1称(p ij ; i , j =1,2,
, 令
) 是二维离散型随机变量(X , Y ) 的联合分布.
二维联合分布的三个性质：
(1)p ij ≥0, i , j =1, 2, (2)∑∑p ij =1
i =1j =1∞
∞
;
(3)P (ξ=a ) =p =p ∞
2. 离散型二维随机变量的分布函数 F (x , y ) =
X ≤x i Y ≤y j
∑∑p ij
3. 离散型二维随机变量的边缘分布
设二维随机变量（X , Y ）的联合概率分布p {X =x i , Y =y j }=p ij (i , j =1,2, 固定的i 关于j 求和而得到
p {X =x i }=p {X =x i , Y ≤+∞}=
) 中对
∑p
j =1∞
∞
ij
=p i .
p {Y =y j }=p {X ≤+∞, Y ≤y j }=∑p ij =p . j
i =1
4. 离散型二维随机变量的条件
对于固定的j 若，p {Y =y j }=p . j >0，称
p {X =x i |Y =y j }=
p {X =x i , Y =y j }
p {Y =y j }
=
p ij p . j
为在Y =y j 的条件下，随机变量X =x i 的条件概率. 同样定义p {Y =y j |X =x i }=变量Y =y j 的条件概率. 条件概率符合概率的性质
p {X =x i , Y =y j }
p {X =x i }
=
p ij p i .
为在X =x i 的条件下，随机
p {X =x i |Y =y j }≥0
∑
i =1
∞
p {X =x i |Y =y j }=1
5. 离散型二维随机变量的独立性
设离散型随机变量(X , Y ) 的联合概率分布列与边缘分布为：
P {X =x i , Y =y j }=p ij ，p {X =x i }=p i . p {Y =y j }=p . j
定理1：离散型随机变量X , Y 独立的充分必要条件是对于任意的i , j 都有 p ij =p i . p . j
例1 从1，2，3，4种任取一个记为X ，在从1X 种任取一个记为Y ， (1)求二维随机变量（X , Y ）的联合分布律
(2)求二维随机变量（X , Y ）的边缘分布律。
234⎫234⎫⎛1⎛1
X ~ 1/41/41/41/4⎪⎪ Y ~ 25/4813/487/483/48⎪⎪
⎝⎭⎝⎭
(3)求Y =1的条件下，X 的概率分布
p {X =1|Y =1}=p 11/p . 1=
1/412
=
25/48251/86
p {X =2|Y =1}=p 12/p . 1==
25/4825 1/124
p {X =3|Y =1}=p 13/p . 1==
25/4825 1/163
p {X =4|Y =1}=p 13/p . 1==
25/4825
(4) 随机变量X , Y 独立吗？
p 11=(1/4) ≠(1/4)(25/48) =p 1. p . 1
X , Y 不独立。
例2 X ~ 0. 5
⎝
⎛0
1⎫1⎫⎛0
⎪，Y ~
0. 40. 6⎪⎪，且p {XY ≠0}=0. 4，求随机变量（X , Y ）0. 5⎪⎝⎭⎭
的联合分布律及p {X ≠Y }。
例3 已知X,Y 独立，完成下表：
例4 已知（X,Y ）的分布律为：
已知{X =0}与{X +Y =1}独立，求a,b
三、连续型二维随机变量
1．定义与性质
如果联F (x , y ) 是一个合分布函数，若存在函数p (x , y ) ，使对任意的(x , y ) ，有 F (x , y ) =
⎰⎰
x y
-∞-∞
p (u , v ) dudv
成立，则称F (x , y ) 是一个连续型的联合分布函数，并且称其中的p (x , y ) 是F (x , y ) 的联合概率密度函数或简称为密度.
如果二维随机变量(ξ, η) 的联合分布函数F (x , y ) 是连续型分布函数，就称(ξ, η) 是二维的连续型随机变量.
密度函数的性质：由分布函数的性质可知，任一二元密度函数p (x , y ) 必具有下述性质：
(1)p (x , y ) ≥0; (2)⎰
∞-∞-∞
⎰
∞
p (x , y ) dxdy =F (+∞, +∞) =1
反过来，任意一个具有上述两个性质的二元函数p (x , y ) ，必定可以作为某个二维随机变量的密度函数. 此外，密度函数还具有性质：
（3）若p (x , y ) 在点(x , y ) 连续，F (x , y ) 是相应的分布函数，则有
∂2F (x , y )
=p (x , y )
∂x ∂y
（4）若G 是平面上的某一区域，则 P {(ξ, η) ∈G }=
⎰⎰p (x , y ) dxdy
G
2．连续型随机变量的边缘分布
若（X , Y ）联合分布函数已知，那么，它的两个分量X 与Y 的分布函数称为边际分布函数可由联合分布函数F (x , y ) 求得， 概率密度
f X (x ) =
⎰
+∞
-∞
f (x , y ) dy , f Y (y ) =⎰f (x , y ) dx
-∞
+∞
3. 连续型随机变量条件分布
若（X , Y ）概率密度为f (x , y ) ，边缘概率密度f Y (y ) >0，称
f X |Y (x |y ) =
f (x , y ) f Y (y )
为在Y =y 的条件下，随机变量X 的条件概率密度. 类似地，称f Y |X (y |x ) =
f (x , y )
f X (x ) >0
f X (x )
为在X =x 的条件下，随机变量Y 的条件概率密度.
设随机变量(X , Y ) 的联合分布为F (x , y ) ，如果对任意的x , y 都 F (x , y ) =P {X ≤x , Y ≤y }=P {X ≤x }P {Y ≤y }=F X (x ) F Y (y ) 则称X , Y 是独立的
4. 随机变量的独立性
设随机变量(X , Y ) 的联合分布为F (x , y ) ，如果对任意的x , y 都 F (x , y ) =P {X ≤x , Y ≤y }=P {X ≤x }P {Y ≤y }=F X (x ) F Y (y ) 则称X , Y 是独立的
定理2：如果(X , Y ) 是二维连续型随机变量，则X 与也都是连续型随机变量，它们的Y 密度函数分别为f X (x ), f Y (y ) ，这时容易验证X 与Y 独立的充要条件为：
f (x , y ) =f X (x ) f Y (y ) 几乎处处成立。
说明：(1)F (x , y ) =F X (x ) F Y (y ) 或f (x , y ) =f X (x ) f Y (y ) 点点成立，则X 与Y 独立。 (2)X与Y 独立, 则F (x , y ) =F X (x ) F Y (y ) 点点成立f (x , y ) =f X (x ) f Y (y ) 不一定点点成立。
(3)在个别点f (x , y ) ≠f X (x ) f Y (y ) ，则X 与Y 可能还独立；在一点
F (x , y ) ≠F X (x ) F Y (y ) ，则X 与Y 一定不独立。
例1：已知随机变两（X,Y ）的概率密度为
⎧Ae -2x -y
f (x , y ) =⎨
⎩0
(1)求A
+∞
+∞
x >0, y >0
其他
⎰-∞⎰-∞
f (x , y ) dxdy =1
⎰0⎰0
+∞+∞
Ae -2x -y d x d y =
1
A =1, A =2 2
(2)求分布函数
当x >0, y >0时，
F (x , y ) =⎰
x
-∞-∞
⎰
y
f (u , v ) dudv =2⎰
x
y -2x -y e dudv 00
⎰
=[1-e -2x ][1-e -y ] 其他，F (x , y ) =0
⎧⎪(1-e -2x ) (1-e -y )
F (x , y ) =⎨
⎪0⎩
（3）求p {X ≤Y } p {X ≤Y }=
x >0, y >0其他
⎰0⎰0
+∞x
2e -2x -y d x d y =
1
3
(4) 求边缘概率密度f X (x ), f Y (y )
+∞-2x -y ⎧⎪⎰⎪2e -2x x >02e dy x >0⎧
f X (x ) =⎰f (x , y ) dy =⎨0 =⎨
-∞
⎪o t h e r ⎪⎩0o t h e r ⎩0
+∞-2x -y ⎧+∞⎪⎰⎪e -y y >02e dx y >0⎧
f Y (y ) =⎰f (x , y ) dx =⎨0=⎨
-∞
⎪other ⎪⎩0other ⎩0
+∞
(5) 求条件概率密度f X |Y (x |y )
当y ≤0时，f X |Y (x |y ) 不存在； 当y >0时，
f (x , y ) ⎧⎪2e -2x
f X |Y (x |y ) ==⎨
f Y (y ) ⎪⎩0
x >0other
(6) 求p {X ≤2|X ≤2}
p {X ≤2|Y ≤2}=
p {X ≤2, Y ≤2}F (2, 2)
==1-e -4
P {Y ≤2}F Y (2)
(7)X , Y 独立吗？f (x , y ) =f X (x ) f Y (y ) 点点成立，则X 与Y 独立。
例2：已知随机变量（X,Y ）时区域D 上的分布，D 由x.y =0, x +y =1围成，问X,Y 是否独立？
⎧2
解：f (x , y ) =⎨
⎩0
F (, ) =
22
12
12
（x ，y ) ∈D
其他
2d x d y =
1
⎰0⎰0
2
1-x ⎧+∞⎪⎰2dy 0≤x ≤1⎧2-2x
f X (x ) =⎰f (x , y ) dy =⎨0=⎨
-∞
⎪o t h e r ⎩0⎩0
11
32F X () =⎰f X (x ) dx =⎰2[2-2x ]dx =
2-∞04
3
同理：F Y () =
24
F (, ) ≠F X () F Y ()
2222
0≤x ≤1
o t h e r
所以X,Y 不否独立。
例3：甲乙两人到达同一地点的时间X,Y 服从[7,8]上的均匀分布，X,Y 独立，求X ，Y 的差不超过
1
小时的概率。 4
f X (x ) =⎨X,Y 独立
⎧1⎩07≤x ≤8⎧1
f Y (y ) =⎨o t h e r ⎩0
7≤x ≤8
other
⎧1
f (x , y ) =f X (x ) f Y (y ) =⎨
⎩0
7≤x ≤8, 7≤x ≤8
other
13
p {X -Y ≤=⎰⎰1dxdy =
44
D
例4．若二维连续随机变量(X , Y ) 的联合概率密度为
f (x , y ) =
1
2πσ1σ2-ρ
2
-
12(1-ρ)
[
(x -μ1) 2
e
σ1
-2ρ
(x -μ1)(y -μ2)
12
+
(y -μ2) 2
σ2]
（ -∞
2
则称(X , Y ) 服从二维正态分布，记作 (X , Y ) ~N (μ1, μ2, σ12, σ2, ρ) 。
2
说明：（1）二维正态分布的边缘分布是一维正态分布X ~N (μ1, σ12) ，Y ~N (μ2, σ2 ) ；
（2）二维随机变量(X , Y ) 的边缘分布都是是一维正态分布，则(X , Y ) 不一定服从二维正态分布；
（3）ρ=
cov(X , Y )
σ1σ2
2
是相关系数，X , Y 独立的充分必要条件是ρ=0；
（4）X ~N (μ1, σ1) ，Y ~N (μ2, σ2) ，且X , Y 独立，则
2
aX +bY ~N (a μ1+b μ2, a 2σ12+b 2σ2)
2
四、二维随机变量函数的分布
1. 离散型随机变量函数的分布
例1．已知二维随机变量(X , Y ) 的分布为
求：(1)Z =X +Y (2) Z =max {X ，Y } (3) Z =min {X ，Y } 解：(1)Z =X +Y
p {Z =2}=P {X =1, Y =1}=1/4
p {Z =3}=P {X =1, Y =2}+P {X =2, Y =1}=1/2 p {Z =4}=P {X =2, Y =2}=1/4
34⎫⎛2
⎪ Z ~ ⎪ 1/41/21/4⎝⎭
(2) Z =max {X ，Y } Z ~ 1/4
⎝
⎛1
2⎫⎪ ⎪3/4⎭
2⎫⎛1
(3) Z =min {X ，Y } Z ~ 3/41/4⎪⎪
⎝⎭
2. 连续型随机变量函数的分布
已知（X , Y ）联合概率密度f (x , y ) ，求Z =g (X , Y ) 的概率密度。这类问题主要通过分布函数法求解。具体过程如下：
(1)划出f (x , y ) ≠0的区域D ； (2)作等值线g (x , y ) =z
(3)平行移动等值线，寻找等值线与D 相交的关键点a , b 。 (4)当z ≤a 时，F Z (z ) =0, 当z ≥b 时，F Z (z ) =1, 当a
⎰⎰f (x , y ) dxdy
D 1'
(5) f (z ) =F Z (z )
例2．设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
⎧1, 0
f (x , y ) =⎨
其他. ⎩0,
求： Z =2X -Y 的概率密度f Z (z ).
解：令F Z (z ) =P {Z ≤z }=P {2X -Y ≤z }， 当z
当0≤z
=z -12z ; 4
3) 当z ≥2时，F Z (z ) =P {2X -Y ≤z }=1.
⎧0, z
⎧10
例3．X,Y 独立且都服从[0,1]上的均匀分布，，求Z =X +Y 的概率密度。
⎧1 解： f X (x ) =⎨⎩0
X,Y 独立，所以 0≤x ≤1⎧1 f Y (y ) =⎨o t h e r ⎩00≤x ≤1 other
⎧1f (x , y ) =f X (x ) f Y (y ) =⎨⎩00≤x ≤1, 0≤x ≤1 other
当z ≤0时，F Z (z ) =P {X +Y ≤z }=0；
当0
当1
1 =1-(2-z ) 2; 212z ； 2
当z ≥2时，F Z (z ) =P {Y +y ≤z }=1.
⎧z 0≤z
⎪0o t h . e r ⎩
例4．练习册P 32 10题
例5．设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
f (x , y ) =⎨⎧3x , 0
求： Z =X -Y 的概率密度f Z (z ).
例6．设随机变量X 与Y 独立，其中X 的概率分布为X ~ 0. 3⎝
密度为f(y)，求随机变量Z=X+Y的概率密度. ⎛12⎫⎪，而Y 的概率⎪0. 7⎭
解：F Z (z ) =P {X +Y ≤z }
=p {X =1}p {X +Y ≤z |X =1}+p {X =2}p {X +Y ≤z |X =2} =0. 3p {Y ≤z -1|X =1}+0. 7p {Y ≤z -2|X =2}
=0. 3p {Y ≤z -1}+0. 7p {Y ≤z -2} (因为X 与Y 独立) =0. 3⎰z -1
-∞f (y ) dy +0. 7⎰z -2-∞f (y ) dy
f Z (z ) =0. 3f (z -1) +0. 7f (z -2)
例7 Z =max{X , Y },Z =min{X , Y }的分布
F Z (z ) =P {max{X , Y }≤z }=P {X ≤z , Y ≤z }；
F Z (z ) =P {min{X , Y }≤z }=1-P {min{X , Y }≥z }=1-P {X ≥z , Y ≥z }； 设随机变量X 与Y 独立，F X (x ), F Y (y ) 分别是他们的分布函数，Z =min{X , Y }， 求F Z (z )
解：F Z (z ) =P {min{X , Y }≤z }=1-P {min{X , Y }≥z }=1-P {X ≥z , Y ≥z } =1-[1-F X (z )][1-F Y (z )]=F X (z ) +F Y (z ) -F X (z ) F Y (z )
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编写人：
第三章：多维随机变量及其分布
一、基本概念
1联合分布函数
设（X , Y ）是二维离散型随机变量，x , y 是任意实数，
F (x , y ) =P (X ≤x , Y ≤Y )
二维随机变量（X , Y ）的联合分布函数。 2. 联合分布函数的性质
（1）单调性F (x , y ) 关于x(y)单调不减；
（2）0≤F (x , y ) ≤1, F (x , -∞) =F (-∞, y ) =0, F (+∞, +∞) =1； (3) F (x , y ) 关于x(y)右连续；
(4)P {x 1
设（X , Y ）是二维离散型随机变量的联合分布函数为F (x , y ) ，则
F X (x ) =P {X ≤x }=P {X ≤x , Y ≤+∞}=F (x , +∞) F Y (y ) =P {Y ≤y }=P {X ≤+∞, Y ≤y }=F (+∞, y )
二维随机变量（X , Y ）的边缘分布函数。
，
二、离散型二维随机变量
1. 离散型二维随机变量的分布律
设(X , Y ) 是一个二维离散型随机变量，它们一切可能取的值为(a i , b j ), i , j =1,2, p ij =p ij p =P =ξa =a b ,2, {X Y ==
b j }i , i ηj ), i , j =1称(p ij ; i , j =1,2,
, 令
) 是二维离散型随机变量(X , Y ) 的联合分布.
二维联合分布的三个性质：
(1)p ij ≥0, i , j =1, 2, (2)∑∑p ij =1
i =1j =1∞
∞
;
(3)P (ξ=a ) =p =p ∞
2. 离散型二维随机变量的分布函数 F (x , y ) =
X ≤x i Y ≤y j
∑∑p ij
3. 离散型二维随机变量的边缘分布
设二维随机变量（X , Y ）的联合概率分布p {X =x i , Y =y j }=p ij (i , j =1,2, 固定的i 关于j 求和而得到
p {X =x i }=p {X =x i , Y ≤+∞}=
) 中对
∑p
j =1∞
∞
ij
=p i .
p {Y =y j }=p {X ≤+∞, Y ≤y j }=∑p ij =p . j
i =1
4. 离散型二维随机变量的条件
对于固定的j 若，p {Y =y j }=p . j >0，称
p {X =x i |Y =y j }=
p {X =x i , Y =y j }
p {Y =y j }
=
p ij p . j
为在Y =y j 的条件下，随机变量X =x i 的条件概率. 同样定义p {Y =y j |X =x i }=变量Y =y j 的条件概率. 条件概率符合概率的性质
p {X =x i , Y =y j }
p {X =x i }
=
p ij p i .
为在X =x i 的条件下，随机
p {X =x i |Y =y j }≥0
∑
i =1
∞
p {X =x i |Y =y j }=1
5. 离散型二维随机变量的独立性
设离散型随机变量(X , Y ) 的联合概率分布列与边缘分布为：
P {X =x i , Y =y j }=p ij ，p {X =x i }=p i . p {Y =y j }=p . j
定理1：离散型随机变量X , Y 独立的充分必要条件是对于任意的i , j 都有 p ij =p i . p . j
例1 从1，2，3，4种任取一个记为X ，在从1X 种任取一个记为Y ， (1)求二维随机变量（X , Y ）的联合分布律
(2)求二维随机变量（X , Y ）的边缘分布律。
234⎫234⎫⎛1⎛1
X ~ 1/41/41/41/4⎪⎪ Y ~ 25/4813/487/483/48⎪⎪
⎝⎭⎝⎭
(3)求Y =1的条件下，X 的概率分布
p {X =1|Y =1}=p 11/p . 1=
1/412
=
25/48251/86
p {X =2|Y =1}=p 12/p . 1==
25/4825 1/124
p {X =3|Y =1}=p 13/p . 1==
25/4825 1/163
p {X =4|Y =1}=p 13/p . 1==
25/4825
(4) 随机变量X , Y 独立吗？
p 11=(1/4) ≠(1/4)(25/48) =p 1. p . 1
X , Y 不独立。
例2 X ~ 0. 5
⎝
⎛0
1⎫1⎫⎛0
⎪，Y ~
0. 40. 6⎪⎪，且p {XY ≠0}=0. 4，求随机变量（X , Y ）0. 5⎪⎝⎭⎭
的联合分布律及p {X ≠Y }。
例3 已知X,Y 独立，完成下表：
例4 已知（X,Y ）的分布律为：
已知{X =0}与{X +Y =1}独立，求a,b
三、连续型二维随机变量
1．定义与性质
如果联F (x , y ) 是一个合分布函数，若存在函数p (x , y ) ，使对任意的(x , y ) ，有 F (x , y ) =
⎰⎰
x y
-∞-∞
p (u , v ) dudv
成立，则称F (x , y ) 是一个连续型的联合分布函数，并且称其中的p (x , y ) 是F (x , y ) 的联合概率密度函数或简称为密度.
如果二维随机变量(ξ, η) 的联合分布函数F (x , y ) 是连续型分布函数，就称(ξ, η) 是二维的连续型随机变量.
密度函数的性质：由分布函数的性质可知，任一二元密度函数p (x , y ) 必具有下述性质：
(1)p (x , y ) ≥0; (2)⎰
∞-∞-∞
⎰
∞
p (x , y ) dxdy =F (+∞, +∞) =1
反过来，任意一个具有上述两个性质的二元函数p (x , y ) ，必定可以作为某个二维随机变量的密度函数. 此外，密度函数还具有性质：
（3）若p (x , y ) 在点(x , y ) 连续，F (x , y ) 是相应的分布函数，则有
∂2F (x , y )
=p (x , y )
∂x ∂y
（4）若G 是平面上的某一区域，则 P {(ξ, η) ∈G }=
⎰⎰p (x , y ) dxdy
G
2．连续型随机变量的边缘分布
若（X , Y ）联合分布函数已知，那么，它的两个分量X 与Y 的分布函数称为边际分布函数可由联合分布函数F (x , y ) 求得， 概率密度
f X (x ) =
⎰
+∞
-∞
f (x , y ) dy , f Y (y ) =⎰f (x , y ) dx
-∞
+∞
3. 连续型随机变量条件分布
若（X , Y ）概率密度为f (x , y ) ，边缘概率密度f Y (y ) >0，称
f X |Y (x |y ) =
f (x , y ) f Y (y )
为在Y =y 的条件下，随机变量X 的条件概率密度. 类似地，称f Y |X (y |x ) =
f (x , y )
f X (x ) >0
f X (x )
为在X =x 的条件下，随机变量Y 的条件概率密度.
设随机变量(X , Y ) 的联合分布为F (x , y ) ，如果对任意的x , y 都 F (x , y ) =P {X ≤x , Y ≤y }=P {X ≤x }P {Y ≤y }=F X (x ) F Y (y ) 则称X , Y 是独立的
4. 随机变量的独立性
设随机变量(X , Y ) 的联合分布为F (x , y ) ，如果对任意的x , y 都 F (x , y ) =P {X ≤x , Y ≤y }=P {X ≤x }P {Y ≤y }=F X (x ) F Y (y ) 则称X , Y 是独立的
定理2：如果(X , Y ) 是二维连续型随机变量，则X 与也都是连续型随机变量，它们的Y 密度函数分别为f X (x ), f Y (y ) ，这时容易验证X 与Y 独立的充要条件为：
f (x , y ) =f X (x ) f Y (y ) 几乎处处成立。
说明：(1)F (x , y ) =F X (x ) F Y (y ) 或f (x , y ) =f X (x ) f Y (y ) 点点成立，则X 与Y 独立。 (2)X与Y 独立, 则F (x , y ) =F X (x ) F Y (y ) 点点成立f (x , y ) =f X (x ) f Y (y ) 不一定点点成立。
(3)在个别点f (x , y ) ≠f X (x ) f Y (y ) ，则X 与Y 可能还独立；在一点
F (x , y ) ≠F X (x ) F Y (y ) ，则X 与Y 一定不独立。
例1：已知随机变两（X,Y ）的概率密度为
⎧Ae -2x -y
f (x , y ) =⎨
⎩0
(1)求A
+∞
+∞
x >0, y >0
其他
⎰-∞⎰-∞
f (x , y ) dxdy =1
⎰0⎰0
+∞+∞
Ae -2x -y d x d y =
1
A =1, A =2 2
(2)求分布函数
当x >0, y >0时，
F (x , y ) =⎰
x
-∞-∞
⎰
y
f (u , v ) dudv =2⎰
x
y -2x -y e dudv 00
⎰
=[1-e -2x ][1-e -y ] 其他，F (x , y ) =0
⎧⎪(1-e -2x ) (1-e -y )
F (x , y ) =⎨
⎪0⎩
（3）求p {X ≤Y } p {X ≤Y }=
x >0, y >0其他
⎰0⎰0
+∞x
2e -2x -y d x d y =
1
3
(4) 求边缘概率密度f X (x ), f Y (y )
+∞-2x -y ⎧⎪⎰⎪2e -2x x >02e dy x >0⎧
f X (x ) =⎰f (x , y ) dy =⎨0 =⎨
-∞
⎪o t h e r ⎪⎩0o t h e r ⎩0
+∞-2x -y ⎧+∞⎪⎰⎪e -y y >02e dx y >0⎧
f Y (y ) =⎰f (x , y ) dx =⎨0=⎨
-∞
⎪other ⎪⎩0other ⎩0
+∞
(5) 求条件概率密度f X |Y (x |y )
当y ≤0时，f X |Y (x |y ) 不存在； 当y >0时，
f (x , y ) ⎧⎪2e -2x
f X |Y (x |y ) ==⎨
f Y (y ) ⎪⎩0
x >0other
(6) 求p {X ≤2|X ≤2}
p {X ≤2|Y ≤2}=
p {X ≤2, Y ≤2}F (2, 2)
==1-e -4
P {Y ≤2}F Y (2)
(7)X , Y 独立吗？f (x , y ) =f X (x ) f Y (y ) 点点成立，则X 与Y 独立。
例2：已知随机变量（X,Y ）时区域D 上的分布，D 由x.y =0, x +y =1围成，问X,Y 是否独立？
⎧2
解：f (x , y ) =⎨
⎩0
F (, ) =
22
12
12
（x ，y ) ∈D
其他
2d x d y =
1
⎰0⎰0
2
1-x ⎧+∞⎪⎰2dy 0≤x ≤1⎧2-2x
f X (x ) =⎰f (x , y ) dy =⎨0=⎨
-∞
⎪o t h e r ⎩0⎩0
11
32F X () =⎰f X (x ) dx =⎰2[2-2x ]dx =
2-∞04
3
同理：F Y () =
24
F (, ) ≠F X () F Y ()
2222
0≤x ≤1
o t h e r
所以X,Y 不否独立。
例3：甲乙两人到达同一地点的时间X,Y 服从[7,8]上的均匀分布，X,Y 独立，求X ，Y 的差不超过
1
小时的概率。 4
f X (x ) =⎨X,Y 独立
⎧1⎩07≤x ≤8⎧1
f Y (y ) =⎨o t h e r ⎩0
7≤x ≤8
other
⎧1
f (x , y ) =f X (x ) f Y (y ) =⎨
⎩0
7≤x ≤8, 7≤x ≤8
other
13
p {X -Y ≤=⎰⎰1dxdy =
44
D
例4．若二维连续随机变量(X , Y ) 的联合概率密度为
f (x , y ) =
1
2πσ1σ2-ρ
2
-
12(1-ρ)
[
(x -μ1) 2
e
σ1
-2ρ
(x -μ1)(y -μ2)
12
+
(y -μ2) 2
σ2]
（ -∞
2
则称(X , Y ) 服从二维正态分布，记作 (X , Y ) ~N (μ1, μ2, σ12, σ2, ρ) 。
2
说明：（1）二维正态分布的边缘分布是一维正态分布X ~N (μ1, σ12) ，Y ~N (μ2, σ2 ) ；
（2）二维随机变量(X , Y ) 的边缘分布都是是一维正态分布，则(X , Y ) 不一定服从二维正态分布；
（3）ρ=
cov(X , Y )
σ1σ2
2
是相关系数，X , Y 独立的充分必要条件是ρ=0；
（4）X ~N (μ1, σ1) ，Y ~N (μ2, σ2) ，且X , Y 独立，则
2
aX +bY ~N (a μ1+b μ2, a 2σ12+b 2σ2)
2
四、二维随机变量函数的分布
1. 离散型随机变量函数的分布
例1．已知二维随机变量(X , Y ) 的分布为
求：(1)Z =X +Y (2) Z =max {X ，Y } (3) Z =min {X ，Y } 解：(1)Z =X +Y
p {Z =2}=P {X =1, Y =1}=1/4
p {Z =3}=P {X =1, Y =2}+P {X =2, Y =1}=1/2 p {Z =4}=P {X =2, Y =2}=1/4
34⎫⎛2
⎪ Z ~ ⎪ 1/41/21/4⎝⎭
(2) Z =max {X ，Y } Z ~ 1/4
⎝
⎛1
2⎫⎪ ⎪3/4⎭
2⎫⎛1
(3) Z =min {X ，Y } Z ~ 3/41/4⎪⎪
⎝⎭
2. 连续型随机变量函数的分布
已知（X , Y ）联合概率密度f (x , y ) ，求Z =g (X , Y ) 的概率密度。这类问题主要通过分布函数法求解。具体过程如下：
(1)划出f (x , y ) ≠0的区域D ； (2)作等值线g (x , y ) =z
(3)平行移动等值线，寻找等值线与D 相交的关键点a , b 。 (4)当z ≤a 时，F Z (z ) =0, 当z ≥b 时，F Z (z ) =1, 当a
⎰⎰f (x , y ) dxdy
D 1'
(5) f (z ) =F Z (z )
例2．设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
⎧1, 0
f (x , y ) =⎨
其他. ⎩0,
求： Z =2X -Y 的概率密度f Z (z ).
解：令F Z (z ) =P {Z ≤z }=P {2X -Y ≤z }， 当z
当0≤z
=z -12z ; 4
3) 当z ≥2时，F Z (z ) =P {2X -Y ≤z }=1.
⎧0, z
⎧10
例3．X,Y 独立且都服从[0,1]上的均匀分布，，求Z =X +Y 的概率密度。
⎧1 解： f X (x ) =⎨⎩0
X,Y 独立，所以 0≤x ≤1⎧1 f Y (y ) =⎨o t h e r ⎩00≤x ≤1 other
⎧1f (x , y ) =f X (x ) f Y (y ) =⎨⎩00≤x ≤1, 0≤x ≤1 other
当z ≤0时，F Z (z ) =P {X +Y ≤z }=0；
当0
当1
1 =1-(2-z ) 2; 212z ； 2
当z ≥2时，F Z (z ) =P {Y +y ≤z }=1.
⎧z 0≤z
⎪0o t h . e r ⎩
例4．练习册P 32 10题
例5．设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
f (x , y ) =⎨⎧3x , 0
求： Z =X -Y 的概率密度f Z (z ).
例6．设随机变量X 与Y 独立，其中X 的概率分布为X ~ 0. 3⎝
密度为f(y)，求随机变量Z=X+Y的概率密度. ⎛12⎫⎪，而Y 的概率⎪0. 7⎭
解：F Z (z ) =P {X +Y ≤z }
=p {X =1}p {X +Y ≤z |X =1}+p {X =2}p {X +Y ≤z |X =2} =0. 3p {Y ≤z -1|X =1}+0. 7p {Y ≤z -2|X =2}
=0. 3p {Y ≤z -1}+0. 7p {Y ≤z -2} (因为X 与Y 独立) =0. 3⎰z -1
-∞f (y ) dy +0. 7⎰z -2-∞f (y ) dy
f Z (z ) =0. 3f (z -1) +0. 7f (z -2)
例7 Z =max{X , Y },Z =min{X , Y }的分布
F Z (z ) =P {max{X , Y }≤z }=P {X ≤z , Y ≤z }；
F Z (z ) =P {min{X , Y }≤z }=1-P {min{X , Y }≥z }=1-P {X ≥z , Y ≥z }； 设随机变量X 与Y 独立，F X (x ), F Y (y ) 分别是他们的分布函数，Z =min{X , Y }， 求F Z (z )
解：F Z (z ) =P {min{X , Y }≤z }=1-P {min{X , Y }≥z }=1-P {X ≥z , Y ≥z } =1-[1-F X (z )][1-F Y (z )]=F X (z ) +F Y (z ) -F X (z ) F Y (z )