第一讲 多人(或多次) 相遇与追及问题
1. 学会画图解行程题
2. 能够利用柳卡图解决多次相遇和追及问题
3. 能够利用比例解多人相遇和追及问题
专题一、【多人相遇与追击】
多人相遇追及问题，即在同一直线上，3个或3个以上的对象之间的相遇追及问题。 所有行程问题都是围绕“路程=速度⨯时间”这一条基本关系式展开的，比如我们遇到的两大典型行程题相遇问题和追及问题的本质也是这三个量之间的关系转化．由此还可以得到如下两条关系式：
路程和=速度和⨯相遇时间；
路程差=速度差⨯追及时间；
多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这两条公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．
板块一、多人从两端出发——相遇、追及
【例 1】 （难度级别 ※※）有甲、乙、丙3人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，
丙每分钟走75米．现在甲从东村，乙、丙两人从西村同时出发相向而行，在途
中甲与乙相遇6分钟后，甲又与丙相遇. 那么，东、西两村之间的距离是多少米?
.
【巩固】 （难度等级 ※※）甲、乙、丙三人每分分别行60米、50米和40米，甲从B 地、
乙和丙从A 地同时出发相向而行，途中甲遇到乙后15分又遇到丙．求A ，B 两
地的距离．
【例 2】 （难度等级 ※※※）甲、乙两车的速度分别为 52 千米／时和 40 千米／时，
它们同时从 A 地出发到 B 地去，出发后 6 时，甲车遇到一辆迎面开来的卡车，
1 时后乙车也遇到了这辆卡车。求这辆卡车的速度。
【例 3】 （难度等级 ※※※）李华步行以每小时4千米的速度从学校出发到20.4千米处
的冬令营报到。半小时后，营地老师闻讯前往迎接，每小时比李华多走1.2千米。
又过了1.5小时，张明从学校骑车去营地报到。结果三人同时在途中某地相遇。
问骑车人每小时行驶多少千米？
板块二、多人从同一端出发——追及问题
【例 4】 （难度级别 ※※※）张、李、赵3人都从甲地到乙地．上午6时，张、李两人
一起从甲地出发，张每小时走5千米，李每小时走4千米．赵上午8时从甲地出
发．傍晚6时，赵、张同时达到乙地．那么赵追上李的时间是几时?
【巩固】 （难度级别 ※※※）甲、乙、丙三辆车先后从A 地开往B 地，乙比丙晚出发5
分，出发后45分追上丙；甲比乙晚出发15分，出发后1时追上乙。甲和丙的速
度比是多少？
【例 5】 （难度级别 ※※※）甲、乙、丙三人同时从A 向B 跑，当甲跑到B 时，乙离B
还有20米，丙离B 还有40米；当乙跑到B 时，丙离B 还有24米。问：（1） A ，
B 相距多少米？（2）如果丙从A 跑到B 用24秒，那么甲的速度是多少？
【例 6】 （难度等级 ※※※）甲、乙、丙三车同时从A 地沿同一公路开往B 地，途中有
个骑摩托车的人也在同方向行进，这三辆车分别用7分钟、8分钟、14分钟追上
骑摩托车人。已知甲车每分钟行1000米，丙车每分钟行800米，求乙速车的速
度是多少？
【巩固】 （难度级别 ※※※）快、中、慢3辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前
面的一个骑车人．这3辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上骑车人．现在知
道快车每小时走24千米，中车每小时走20千米，那么，慢车每小时走多少千米?
专题二、【多次相遇与追及】
板块一 由简单行程问题拓展出的多次相遇问题
所有行程问题都是围绕“路程=速度⨯时间”这一条基本关系式展开的，多次相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．
【例 7】 甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒
钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出
发点？
【巩固】 甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒
2米．如果他们同时分别从直路两端出发，10分钟内共相遇几次？
板块二 运用倍比关系解多次相遇问题
1. 两地相向出发：第1次相遇，共走1个全程；
第2次相遇，共走3个全程；
第3次相遇，共走5个全程；
„„„„， „„„„„„；
第N 次相遇，共走2N-1个全程；
注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。
即甲第1次如果走了N 米，以后每次都走2N 米。
2. 同地同向出发：第1次相遇，共走2个全程；
第2次相遇，共走4个全程；
第3次相遇，共走6个全程；
„„„„， „„„„„„；
第N 次相遇，共走2N 个全程；
3、多人多次相遇追及的解题关键
多次相遇追及的解题关键 几个全程
多人相遇追及的解题关键 路程差
【例 8】 上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在
离家4千米的地方追上了他. 然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，
再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？
【例 9】 甲、乙两车分别同时从A 、B 两地相对开出，第一次在离A 地95千米处相遇．相
遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B 地25千米处相遇．求A 、B 两地间的距离是多少千米？
【巩固】 甲、乙二人以均匀的速度分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇
地点离A 地4千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B
地3千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离.
【例 10】 如图，甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向
绕此圆形路线运动，当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60
米处又第二次相遇. 求此圆形场地的周长．
【巩固】 如图，A 、B 是圆的直径的两端，小张在A 点，小王在B 点同时出发反向行走，他
们在C 点第一次相遇，C 离A 点80米；在D 点第二次相遇，D 点离B 点6O 米. 求
这个圆的周长.
模块三 解多次相遇问题的工具——柳卡
柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。
【例 11】 每天中午有一条轮船从哈佛开往纽约，且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往
哈佛．轮船在途中均要航行七天七夜．试问：某条从哈佛开出的轮船在到达纽约
前（途中）能遇上几艘从纽约开来的轮船？
【解析】 这就是著名的柳卡问题．下面介绍的法国数学家柳卡·斯图姆给出的一个非常直观
巧妙的解法．
他先画了如下一幅图：
这是一张运行图．在平面上画两条平行线，以一条直线表示哈佛，另一条直线表示纽约．那么，从哈佛或纽约开出的轮船，就可用图中的两组平行线簇来表示．图中的每条线段分别表示每条船的运行情况．粗线表示从哈佛驶出的轮船在海上的航行，它与其他线段的交点即为与对方开来轮船相遇的情况．
从图中可以看出，某天中午从哈佛开出的一条轮船（图中用实线表示）会与从纽约开出的15艘轮船相遇（图中用虚线表示）．而且在这相遇的15艘船中，有1艘是在出发时遇到（从纽约刚到达哈佛），1艘是到达纽约时遇到（刚好从纽约开出），剩下13艘则在海上相遇；另外，还可从图中看到，轮船相遇的时间是每天中午和子夜．如果不仔细思考，可能认为仅遇到7艘轮船．这个错误，主要是只考虑以后开出的轮船而忽略了已在海上的轮船．
【例 12】 甲、乙两人在一条长为30米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒1米，乙的速
度是每秒0.6米．如果他们同时分别从直路的两端出发，当他们跑了10分钟后，共相遇几次？
【例 13】 (2009年迎春杯复赛高年级组) A 、B 两地位于同一条河上，B 地在A 地下游100
千米处．甲船从A 地、乙船从B 地同时出发，相向而行，甲船到达B 地、乙船到
达A 地后，都立即按原来路线返航．水速为2米/秒，且两船在静水中的速度相
同．如果两船两次相遇的地点相距20千米，那么两船在静水中的速度是 米/秒．
多人(或多次) 相遇与追及 测试题
1. （难度级别 ※※）(2009年四中入学测试题) 在公路上，汽车A 、B 、C 分别以80km /h ，70km /h ，50km /h 的速度匀速行驶，若汽车A 从甲站开往乙站的同时，汽车B 、C 从乙站开往甲站，并且在途中，汽车A 在与汽车B 相遇后的两小时又与汽车C 相遇，求甲、乙两站相距多少km ？
1. （难度等级 ※※※）甲、乙、丙三辆车同时从 A 地出发到 B 地去，甲、乙两车的速
度分别为 60 千米／时和 48千米／时。有一辆迎面开来的卡车分别在他们出发后5时、6时、8 时先后与甲、乙、丙三辆车相遇。求丙车的速度。
2. （难度级别 ※※※）甲、乙、丙三辆车同时从A 地出发到B 地去，出发后6分甲车超
过了一名长跑运动员，2分后乙车也超过去了，又过了2分丙车也超了过去。已知甲车每分走1000米，乙车每分走800米，丙车每分钟走多少米？
3. 甲、乙二人以均匀的速度分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点
离A 地6千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B 地4千米处第二次相遇，求两人第5次相遇地点距B 多远.
第一讲 多人(或多次) 相遇与追及问题
1. 学会画图解行程题
2. 能够利用柳卡图解决多次相遇和追及问题
3. 能够利用比例解多人相遇和追及问题
专题一、【多人相遇与追击】
多人相遇追及问题，即在同一直线上，3个或3个以上的对象之间的相遇追及问题。 所有行程问题都是围绕“路程=速度⨯时间”这一条基本关系式展开的，比如我们遇到的两大典型行程题相遇问题和追及问题的本质也是这三个量之间的关系转化．由此还可以得到如下两条关系式：
路程和=速度和⨯相遇时间；
路程差=速度差⨯追及时间；
多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这两条公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．
板块一、多人从两端出发——相遇、追及
【例 1】 （难度级别 ※※）有甲、乙、丙3人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，
丙每分钟走75米．现在甲从东村，乙、丙两人从西村同时出发相向而行，在途
中甲与乙相遇6分钟后，甲又与丙相遇. 那么，东、西两村之间的距离是多少米?
.
【巩固】 （难度等级 ※※）甲、乙、丙三人每分分别行60米、50米和40米，甲从B 地、
乙和丙从A 地同时出发相向而行，途中甲遇到乙后15分又遇到丙．求A ，B 两
地的距离．
【例 2】 （难度等级 ※※※）甲、乙两车的速度分别为 52 千米／时和 40 千米／时，
它们同时从 A 地出发到 B 地去，出发后 6 时，甲车遇到一辆迎面开来的卡车，
1 时后乙车也遇到了这辆卡车。求这辆卡车的速度。
【例 3】 （难度等级 ※※※）李华步行以每小时4千米的速度从学校出发到20.4千米处
的冬令营报到。半小时后，营地老师闻讯前往迎接，每小时比李华多走1.2千米。
又过了1.5小时，张明从学校骑车去营地报到。结果三人同时在途中某地相遇。
问骑车人每小时行驶多少千米？
板块二、多人从同一端出发——追及问题
【例 4】 （难度级别 ※※※）张、李、赵3人都从甲地到乙地．上午6时，张、李两人
一起从甲地出发，张每小时走5千米，李每小时走4千米．赵上午8时从甲地出
发．傍晚6时，赵、张同时达到乙地．那么赵追上李的时间是几时?
【巩固】 （难度级别 ※※※）甲、乙、丙三辆车先后从A 地开往B 地，乙比丙晚出发5
分，出发后45分追上丙；甲比乙晚出发15分，出发后1时追上乙。甲和丙的速
度比是多少？
【例 5】 （难度级别 ※※※）甲、乙、丙三人同时从A 向B 跑，当甲跑到B 时，乙离B
还有20米，丙离B 还有40米；当乙跑到B 时，丙离B 还有24米。问：（1） A ，
B 相距多少米？（2）如果丙从A 跑到B 用24秒，那么甲的速度是多少？
【例 6】 （难度等级 ※※※）甲、乙、丙三车同时从A 地沿同一公路开往B 地，途中有
个骑摩托车的人也在同方向行进，这三辆车分别用7分钟、8分钟、14分钟追上
骑摩托车人。已知甲车每分钟行1000米，丙车每分钟行800米，求乙速车的速
度是多少？
【巩固】 （难度级别 ※※※）快、中、慢3辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前
面的一个骑车人．这3辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上骑车人．现在知
道快车每小时走24千米，中车每小时走20千米，那么，慢车每小时走多少千米?
专题二、【多次相遇与追及】
板块一 由简单行程问题拓展出的多次相遇问题
所有行程问题都是围绕“路程=速度⨯时间”这一条基本关系式展开的，多次相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．
【例 7】 甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒
钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出
发点？
【巩固】 甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒
2米．如果他们同时分别从直路两端出发，10分钟内共相遇几次？
板块二 运用倍比关系解多次相遇问题
1. 两地相向出发：第1次相遇，共走1个全程；
第2次相遇，共走3个全程；
第3次相遇，共走5个全程；
„„„„， „„„„„„；
第N 次相遇，共走2N-1个全程；
注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。
即甲第1次如果走了N 米，以后每次都走2N 米。
2. 同地同向出发：第1次相遇，共走2个全程；
第2次相遇，共走4个全程；
第3次相遇，共走6个全程；
„„„„， „„„„„„；
第N 次相遇，共走2N 个全程；
3、多人多次相遇追及的解题关键
多次相遇追及的解题关键 几个全程
多人相遇追及的解题关键 路程差
【例 8】 上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在
离家4千米的地方追上了他. 然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，
再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？
【例 9】 甲、乙两车分别同时从A 、B 两地相对开出，第一次在离A 地95千米处相遇．相
遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B 地25千米处相遇．求A 、B 两地间的距离是多少千米？
【巩固】 甲、乙二人以均匀的速度分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇
地点离A 地4千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B
地3千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离.
【例 10】 如图，甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向
绕此圆形路线运动，当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60
米处又第二次相遇. 求此圆形场地的周长．
【巩固】 如图，A 、B 是圆的直径的两端，小张在A 点，小王在B 点同时出发反向行走，他
们在C 点第一次相遇，C 离A 点80米；在D 点第二次相遇，D 点离B 点6O 米. 求
这个圆的周长.
模块三 解多次相遇问题的工具——柳卡
柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。
【例 11】 每天中午有一条轮船从哈佛开往纽约，且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往
哈佛．轮船在途中均要航行七天七夜．试问：某条从哈佛开出的轮船在到达纽约
前（途中）能遇上几艘从纽约开来的轮船？
【解析】 这就是著名的柳卡问题．下面介绍的法国数学家柳卡·斯图姆给出的一个非常直观
巧妙的解法．
他先画了如下一幅图：
这是一张运行图．在平面上画两条平行线，以一条直线表示哈佛，另一条直线表示纽约．那么，从哈佛或纽约开出的轮船，就可用图中的两组平行线簇来表示．图中的每条线段分别表示每条船的运行情况．粗线表示从哈佛驶出的轮船在海上的航行，它与其他线段的交点即为与对方开来轮船相遇的情况．
从图中可以看出，某天中午从哈佛开出的一条轮船（图中用实线表示）会与从纽约开出的15艘轮船相遇（图中用虚线表示）．而且在这相遇的15艘船中，有1艘是在出发时遇到（从纽约刚到达哈佛），1艘是到达纽约时遇到（刚好从纽约开出），剩下13艘则在海上相遇；另外，还可从图中看到，轮船相遇的时间是每天中午和子夜．如果不仔细思考，可能认为仅遇到7艘轮船．这个错误，主要是只考虑以后开出的轮船而忽略了已在海上的轮船．
【例 12】 甲、乙两人在一条长为30米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒1米，乙的速
度是每秒0.6米．如果他们同时分别从直路的两端出发，当他们跑了10分钟后，共相遇几次？
【例 13】 (2009年迎春杯复赛高年级组) A 、B 两地位于同一条河上，B 地在A 地下游100
千米处．甲船从A 地、乙船从B 地同时出发，相向而行，甲船到达B 地、乙船到
达A 地后，都立即按原来路线返航．水速为2米/秒，且两船在静水中的速度相
同．如果两船两次相遇的地点相距20千米，那么两船在静水中的速度是 米/秒．
多人(或多次) 相遇与追及 测试题
1. （难度级别 ※※）(2009年四中入学测试题) 在公路上，汽车A 、B 、C 分别以80km /h ，70km /h ，50km /h 的速度匀速行驶，若汽车A 从甲站开往乙站的同时，汽车B 、C 从乙站开往甲站，并且在途中，汽车A 在与汽车B 相遇后的两小时又与汽车C 相遇，求甲、乙两站相距多少km ？
1. （难度等级 ※※※）甲、乙、丙三辆车同时从 A 地出发到 B 地去，甲、乙两车的速
度分别为 60 千米／时和 48千米／时。有一辆迎面开来的卡车分别在他们出发后5时、6时、8 时先后与甲、乙、丙三辆车相遇。求丙车的速度。
2. （难度级别 ※※※）甲、乙、丙三辆车同时从A 地出发到B 地去，出发后6分甲车超
过了一名长跑运动员，2分后乙车也超过去了，又过了2分丙车也超了过去。已知甲车每分走1000米，乙车每分走800米，丙车每分钟走多少米？
3. 甲、乙二人以均匀的速度分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点
离A 地6千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B 地4千米处第二次相遇，求两人第5次相遇地点距B 多远.