概率论在保险理财中的应用
耿兰兰
（绵阳师范学院）
摘要本文从寿险方面阐述说明概率论在保险理赔中的应用，并举案例进行剖析。关键词寿险系统生存保险死亡保险两全保险
１
生存保险评估
求：（１）；
（２）新生婴儿在３０岁前死亡的概率；（３）新生婴儿活过５０岁的概率；
（４）新生婴儿在３０岁和５０岁之间死亡的概率。解：（１）由公式可知
在寿险中，我们视被保人的生存和死亡为随机变量，即保险人的责任给付时间为随机变量，通过讨论生存模型，在此前提下进行保费、准备金、现金价值等的计算。为简化问题，我们假设利率为常数，而不是随机变量。在对生存模型的研究中，为了研究方便下面考察单一生命状态。
年期程存保险是：被保险人若在年内死亡，则保险人分文不付；被保险人活过岁，则保险人支付保额１，以下为具体计算方式：
（２）（３）（４）
根据条件概率定义有又可写成
根据公式，可的出结果如下：
于是保险的的计算化简，特设表示，便成为保额为１元的纯生存保险的保费。为计算方便，我们定义换算符号如下
死亡组
生存组
所以，该公式表明：以选定的生命表为基础，活到岁的人每个储蓄形成一笔基金，在实际利率的条件下，出事基金在年底的累积值将充分提供活到岁的人，每人１元的给付。最后，生存保险的方差为：
试举例阐明：
例１．１２５岁的人投保２５年期村催生存保险，保额为８００元。设年有效利率为０．０６，求保额现值。
解：该保险的精算现值为：
例１．２设为一随即变量，用来表示新生婴儿（即０岁的人）为来存活的时间，又新生婴儿的死亡年龄，也可称为０岁人的“余命”，于是定义其分布函数为，且设
令它表示的分布函数，即现年为岁的人在年内的死亡概率。表示的分布函数，简记为。
令，表示岁的人未来存活的整年数，简称取整余寿。为不大于的最大整数，取值它是一个离散型的随机变量。
定义：
为岁人的生存函数。表示岁的人至少活到岁的概率。表示新生婴儿至少活到岁的概率，这是一种非条件概率，简记为
生存函数的基本特征包括：（１），即新生婴儿能够活到０岁的概率为１，新生婴儿必然能活到０岁；
（２），即新生婴儿不可能活到无穷大，人的寿命都是有极限的；
（３）是一个关于的递减函数；（４）一般还是一个关于的右连续函数；
从上面可以，我们可以得到新生婴儿在岁和岁（）之间死亡的概率为：
例１．３已知的分布如下：
这是一个直观上很明显的结论：岁的人要想活到岁，它
必须先活到岁，然后再从岁活到岁，可称之为生存概率的链锁法则。２
生死合险
生死合险也成两全保险。是被保险人在合同期内不论死亡还是生存都，须给付保险金的保险。它由生存保险和死亡保险组合而成，因而具有“储蓄”和”保障”的双重作用。即年生死合险规定在年合同期内死亡时给付死亡保险金，年期满生存时给付满期保险金。即岁的人在岁之前死亡，则保险人也支付保额为１。我们以表示此险种保额的计算过程。
根据模型
所以
这说明，若以方差来衡量风险，则保险公司卖出一张年两全保险所承担的风险要比售出一张年的死亡保单给某个人，又出售一张年生存保单给另外的人所承担的风险要小，这就是为什么保险公司不单独卖生存保险的原因之一。
例２．１设年龄为２５的男人购买离散型的保额为５０００元的３０年两全保险，试求该保单的纯保费（）。
解：依题意可得故该报单的纯保费是：
例２．２某男人２５岁投保了定期３５年的两全保险，保险金死亡年末制服，利率为０．０６，问：若保险金额１０００００元，求其纯保费；若词人投保时一次缴付１５００元的净保费，其保险金额应该是多少？
解：（１）
（２）设保险金额为，则
３结论
本文用以上案例来说明保险理赔的策略实型，阐述其（转５９页）
数学微观经济学中的应用
张永健
（绵阳师范学院数学与计算机科学学院）
摘要数学在社会发展、经济建设和日常生活中的应用范围和方式发生了深刻的变化。其中，用数学模型来分析和求解经济问题，从而获得最佳解决方案和对未来的预测，已成为经济学研究的重要工具。文章阐述了经济数学模型的基本涵义和构建的步骤，以及构建中要注意的问题，并列举了经济数学模型的应用实例。
关键词数学模型构建应用数学与经济的关系在今天可以说是息息相关，任何一项经济学的研究、决策，几乎都不能离开数学的应用。比如，在微观经济中数理统计的“实验设计”、“质量控制，“多元分析”等，对提高产品的质量往往能起到重要的作用。当代西方经济认为，经济学的基本方法是分析经济变量之间的函数关系，建立经济模型，从中引申出经济原则和理论，进行决策和预测。数学模型是数学思想精华的具体体现。１
经济数学模型的涵义及其构建
利用等比数列求和公式得：
若计划Ｎ年内还完，则，由此每月应付的金额是：
另外，若计划每月还ｍ元，使的Ｎ为：
数学模型就是通过对实际问题的抽象和简化，确定变量和参数，并根据某些规律建立起变量及参数间的确定关系的数学问题求解该数学问题的解，或者能解释特定现象的现实性态，或者能预测对象的未来状况，或者能提供处理对象的最优决策或控制等。运用数学建立经济模型，寻求经济管理中的最佳方案，运用数学方法组织、调度、控制生产过程从数据处理中获取经济信息，是经济学者必须具备的素质。
（１）构建经济数学模型的步骤。首先，了解熟悉实际问题和与问题有关的背景知识。其次，通过假设把所要研究的实际问题简化、抽象，明确模型中诸多的影响因素。用数量和参数来表示这些因素。运用数学知识和技巧来描述问题中变量参数之间的关系。第三，使用已知数据、观测数据或者实际问题的有关背景知识对所建模型中的参数给出估计值。第四，运行所得到的模型，把模型的结果与实际观测进行分析比较。
（２）构建经济数学摸型应注意的问题。①若条件不太明确，在建模过程中要通过假设来逐渐明确，从而简化问题。问题的简化是必须的，否则问题很难解决，但简化一定要适当，不能使得出的结论失真。不符合实际。②对于比较复杂的问题，尤其是在问题中要考虑一些随机因素时，需要借助计算机来处理。比如一个大型超市在进行内部装修设计时要考虑设置几个比较合理的出口。由于顾客在出口处接受服务的时间是随机的，且在商场开业之前无法进行试验，因此就要根据多家类似商场的调查资料，使用数理统计学构造一个商场出口处的模型。写成计算机程序，在计算机上反复运行这个模型，根据运行结果对出口处的设置方案作出比较合理的决策。２
经济数学模型的应用实例
如，若Ｒ＝０．５％，总的贷款是６万元，准备２５年还清，则每月的还款数为：
这对夫妇的还款金额为：３８７（元）＊３０（个月）＝１１６１００（元）若他们欲借助某借贷公司的策划，实现既不需多付还款金额又能提前３年还清银行贷款的目标，那么我们应用此数学模型来看一下能否实现。
借贷公司金融策划的前提条件是：每半个月向银行还一次钱，钱数为１９４元。这时，由于还款周期变了，从一个月变为半个月，因而月利率Ｒ＝０．２５％。通过计算我们可以看到，若只改变还款周期，则：
而借贷公司的金融策划若再增加一条附带田间，即先于第一个还款月前预付若干月的还款金额，本例设定先预付６个月（３８７＊６＝２３２２元），此时剩余的还款金额＝６００００－５７６７８，则：
基本上达到业主欲提早三年还清贷款的要求，而此时借贷公司也因为帮助业主提早三年还清贷款而获得了收入。所获收益为：１９４×１０＝１９４０（元）。当然，若先预付的金额再多些，提前三年还清贷款的目标则一定实现。３
总结
最优化问题是人们日常生活中经常碰到的。人们要做件事情，总希望能获得最佳效益。比如市场经济的发展导致住房也成为商品。每个人都要考虑买房，然而多数人前期自备金不是特别多，但未来预期收入一般都能稳步增长，因此更依赖银行贷款。
假定某夫妇为买房要向银行贷款，月利率为Ｒ且为复利，还清贷款所需的月数为Ｎ，表示第Ｎ个月尚欠银行的钱数。他们想知道若买房每个月需偿还多少钱（用ｍ表示，为常数）。
显然，＝表示此钱已还清：所用公式是：下一个月所欠钱数＝这个月所欠钱数＋利息这个月所还钱数。从而本问题的数学模型可建立如下：
在当今社会，用数学工具来分析和求解问题已成为对各经济领域进行研究，从而获得最佳解决方案的迫切需要。即使个人日常生活中遇到一些问题，例如购物、申请贷款、经营股票、参加竞赛、装饰住房、日常锻炼等，因这些活动都含有多种因素，要对每种活动作出较理想的决策，也可以求助于数学模型。在计算机的帮助下，用数学模型来解决诸如生产计划、物质分配、工程设计、保险业务、商业销售，甚至天气预报与经济预测等复杂的问题则更为准确和可靠。
参考文献
［１］杨泽忠．数学思想方法导论［Ｍｌ．济南：黄河出版社，２００６［２］高鸿业．西方经济学［Ｍ］．北京：中国人名大学出版社，２００６［３］王冬琳．数学建模及实验［Ｍｌ．北京：国防工业出版社，２００４
（收稿日期：２００９・０６・０９）
所以第Ｎ个月尚欠银行的钱数为：求解上式，只要把的表达式依次代入，可得：
（接２９页）中如何体现数学思想，同理，如何运用数学思想来辩证理解保险理赔的策略实型，达到保险理赔策略实型方案的数学分析。
（收稿日期：２００９・０６・０５）
概率论在保险理财中的应用
耿兰兰
（绵阳师范学院）
摘要本文从寿险方面阐述说明概率论在保险理赔中的应用，并举案例进行剖析。关键词寿险系统生存保险死亡保险两全保险
１
生存保险评估
求：（１）；
（２）新生婴儿在３０岁前死亡的概率；（３）新生婴儿活过５０岁的概率；
（４）新生婴儿在３０岁和５０岁之间死亡的概率。解：（１）由公式可知
在寿险中，我们视被保人的生存和死亡为随机变量，即保险人的责任给付时间为随机变量，通过讨论生存模型，在此前提下进行保费、准备金、现金价值等的计算。为简化问题，我们假设利率为常数，而不是随机变量。在对生存模型的研究中，为了研究方便下面考察单一生命状态。
年期程存保险是：被保险人若在年内死亡，则保险人分文不付；被保险人活过岁，则保险人支付保额１，以下为具体计算方式：
（２）（３）（４）
根据条件概率定义有又可写成
根据公式，可的出结果如下：
于是保险的的计算化简，特设表示，便成为保额为１元的纯生存保险的保费。为计算方便，我们定义换算符号如下
死亡组
生存组
所以，该公式表明：以选定的生命表为基础，活到岁的人每个储蓄形成一笔基金，在实际利率的条件下，出事基金在年底的累积值将充分提供活到岁的人，每人１元的给付。最后，生存保险的方差为：
试举例阐明：
例１．１２５岁的人投保２５年期村催生存保险，保额为８００元。设年有效利率为０．０６，求保额现值。
解：该保险的精算现值为：
例１．２设为一随即变量，用来表示新生婴儿（即０岁的人）为来存活的时间，又新生婴儿的死亡年龄，也可称为０岁人的“余命”，于是定义其分布函数为，且设
令它表示的分布函数，即现年为岁的人在年内的死亡概率。表示的分布函数，简记为。
令，表示岁的人未来存活的整年数，简称取整余寿。为不大于的最大整数，取值它是一个离散型的随机变量。
定义：
为岁人的生存函数。表示岁的人至少活到岁的概率。表示新生婴儿至少活到岁的概率，这是一种非条件概率，简记为
生存函数的基本特征包括：（１），即新生婴儿能够活到０岁的概率为１，新生婴儿必然能活到０岁；
（２），即新生婴儿不可能活到无穷大，人的寿命都是有极限的；
（３）是一个关于的递减函数；（４）一般还是一个关于的右连续函数；
从上面可以，我们可以得到新生婴儿在岁和岁（）之间死亡的概率为：
例１．３已知的分布如下：
这是一个直观上很明显的结论：岁的人要想活到岁，它
必须先活到岁，然后再从岁活到岁，可称之为生存概率的链锁法则。２
生死合险
生死合险也成两全保险。是被保险人在合同期内不论死亡还是生存都，须给付保险金的保险。它由生存保险和死亡保险组合而成，因而具有“储蓄”和”保障”的双重作用。即年生死合险规定在年合同期内死亡时给付死亡保险金，年期满生存时给付满期保险金。即岁的人在岁之前死亡，则保险人也支付保额为１。我们以表示此险种保额的计算过程。
根据模型
所以
这说明，若以方差来衡量风险，则保险公司卖出一张年两全保险所承担的风险要比售出一张年的死亡保单给某个人，又出售一张年生存保单给另外的人所承担的风险要小，这就是为什么保险公司不单独卖生存保险的原因之一。
例２．１设年龄为２５的男人购买离散型的保额为５０００元的３０年两全保险，试求该保单的纯保费（）。
解：依题意可得故该报单的纯保费是：
例２．２某男人２５岁投保了定期３５年的两全保险，保险金死亡年末制服，利率为０．０６，问：若保险金额１０００００元，求其纯保费；若词人投保时一次缴付１５００元的净保费，其保险金额应该是多少？
解：（１）
（２）设保险金额为，则
３结论
本文用以上案例来说明保险理赔的策略实型，阐述其（转５９页）
数学微观经济学中的应用
张永健
（绵阳师范学院数学与计算机科学学院）
摘要数学在社会发展、经济建设和日常生活中的应用范围和方式发生了深刻的变化。其中，用数学模型来分析和求解经济问题，从而获得最佳解决方案和对未来的预测，已成为经济学研究的重要工具。文章阐述了经济数学模型的基本涵义和构建的步骤，以及构建中要注意的问题，并列举了经济数学模型的应用实例。
关键词数学模型构建应用数学与经济的关系在今天可以说是息息相关，任何一项经济学的研究、决策，几乎都不能离开数学的应用。比如，在微观经济中数理统计的“实验设计”、“质量控制，“多元分析”等，对提高产品的质量往往能起到重要的作用。当代西方经济认为，经济学的基本方法是分析经济变量之间的函数关系，建立经济模型，从中引申出经济原则和理论，进行决策和预测。数学模型是数学思想精华的具体体现。１
经济数学模型的涵义及其构建
利用等比数列求和公式得：
若计划Ｎ年内还完，则，由此每月应付的金额是：
另外，若计划每月还ｍ元，使的Ｎ为：
数学模型就是通过对实际问题的抽象和简化，确定变量和参数，并根据某些规律建立起变量及参数间的确定关系的数学问题求解该数学问题的解，或者能解释特定现象的现实性态，或者能预测对象的未来状况，或者能提供处理对象的最优决策或控制等。运用数学建立经济模型，寻求经济管理中的最佳方案，运用数学方法组织、调度、控制生产过程从数据处理中获取经济信息，是经济学者必须具备的素质。
（１）构建经济数学模型的步骤。首先，了解熟悉实际问题和与问题有关的背景知识。其次，通过假设把所要研究的实际问题简化、抽象，明确模型中诸多的影响因素。用数量和参数来表示这些因素。运用数学知识和技巧来描述问题中变量参数之间的关系。第三，使用已知数据、观测数据或者实际问题的有关背景知识对所建模型中的参数给出估计值。第四，运行所得到的模型，把模型的结果与实际观测进行分析比较。
（２）构建经济数学摸型应注意的问题。①若条件不太明确，在建模过程中要通过假设来逐渐明确，从而简化问题。问题的简化是必须的，否则问题很难解决，但简化一定要适当，不能使得出的结论失真。不符合实际。②对于比较复杂的问题，尤其是在问题中要考虑一些随机因素时，需要借助计算机来处理。比如一个大型超市在进行内部装修设计时要考虑设置几个比较合理的出口。由于顾客在出口处接受服务的时间是随机的，且在商场开业之前无法进行试验，因此就要根据多家类似商场的调查资料，使用数理统计学构造一个商场出口处的模型。写成计算机程序，在计算机上反复运行这个模型，根据运行结果对出口处的设置方案作出比较合理的决策。２
经济数学模型的应用实例
如，若Ｒ＝０．５％，总的贷款是６万元，准备２５年还清，则每月的还款数为：
这对夫妇的还款金额为：３８７（元）＊３０（个月）＝１１６１００（元）若他们欲借助某借贷公司的策划，实现既不需多付还款金额又能提前３年还清银行贷款的目标，那么我们应用此数学模型来看一下能否实现。
借贷公司金融策划的前提条件是：每半个月向银行还一次钱，钱数为１９４元。这时，由于还款周期变了，从一个月变为半个月，因而月利率Ｒ＝０．２５％。通过计算我们可以看到，若只改变还款周期，则：
而借贷公司的金融策划若再增加一条附带田间，即先于第一个还款月前预付若干月的还款金额，本例设定先预付６个月（３８７＊６＝２３２２元），此时剩余的还款金额＝６００００－５７６７８，则：
基本上达到业主欲提早三年还清贷款的要求，而此时借贷公司也因为帮助业主提早三年还清贷款而获得了收入。所获收益为：１９４×１０＝１９４０（元）。当然，若先预付的金额再多些，提前三年还清贷款的目标则一定实现。３
总结
最优化问题是人们日常生活中经常碰到的。人们要做件事情，总希望能获得最佳效益。比如市场经济的发展导致住房也成为商品。每个人都要考虑买房，然而多数人前期自备金不是特别多，但未来预期收入一般都能稳步增长，因此更依赖银行贷款。
假定某夫妇为买房要向银行贷款，月利率为Ｒ且为复利，还清贷款所需的月数为Ｎ，表示第Ｎ个月尚欠银行的钱数。他们想知道若买房每个月需偿还多少钱（用ｍ表示，为常数）。
显然，＝表示此钱已还清：所用公式是：下一个月所欠钱数＝这个月所欠钱数＋利息这个月所还钱数。从而本问题的数学模型可建立如下：
在当今社会，用数学工具来分析和求解问题已成为对各经济领域进行研究，从而获得最佳解决方案的迫切需要。即使个人日常生活中遇到一些问题，例如购物、申请贷款、经营股票、参加竞赛、装饰住房、日常锻炼等，因这些活动都含有多种因素，要对每种活动作出较理想的决策，也可以求助于数学模型。在计算机的帮助下，用数学模型来解决诸如生产计划、物质分配、工程设计、保险业务、商业销售，甚至天气预报与经济预测等复杂的问题则更为准确和可靠。
参考文献
［１］杨泽忠．数学思想方法导论［Ｍｌ．济南：黄河出版社，２００６［２］高鸿业．西方经济学［Ｍ］．北京：中国人名大学出版社，２００６［３］王冬琳．数学建模及实验［Ｍｌ．北京：国防工业出版社，２００４
（收稿日期：２００９・０６・０９）
所以第Ｎ个月尚欠银行的钱数为：求解上式，只要把的表达式依次代入，可得：
（接２９页）中如何体现数学思想，同理，如何运用数学思想来辩证理解保险理赔的策略实型，达到保险理赔策略实型方案的数学分析。
（收稿日期：２００９・０６・０５）