量子力学2014-2015试题A

2014-2015第2学期量子力学试题A

（试题共2页，答案请写到答题纸上）

一．填空（每空2分，共20分，）

1.微观体系的状态被一个波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。波函数一般应满足（）、（）和（）三个条件。

2.力学量用（）算符表示。表示力学量的算符有组成（）的本征函数。真实力学量的任何测量值必须为实数，这个性质决定了表征力学量的算符的（）特性。 3.体系的状态波函数满足（）方程。根据玻恩的解释，描写粒子的波乃是（）。 4.在全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态，这一原理叫做

（）。

5.定态的几率密度和几率流密度都与（）无关。

二．（5分）图1描述的是双原子分子的微小振动问题。设分子在水平方向（x）作微小振动。（1）写出分子间的作用势；（2）写出系统的哈密顿量；（3）写出系统的定态薛定谔方程；（4）给出此薛定谔方程的解。

图1

三．（5分）图2给出一维线性谐振子基态的能量和波函数。KE表示动能。试根据图2回答下列问题：（1）什么是经典允许区和经典不允许区？（2）在图上标出经典允许区和经典不允许区；（3）说明经典谐振子和量子谐振子的差别。

图2

四．计算题（每小题10分，共70分）



1．设一体系未受微扰作用时只有两个能级E01及E02，现在受到微扰H'的作用，微扰矩阵元

为H’12=H’21=a，H’11=H’22=b，a和b都是实数，用微扰公式求能量至二级修正值。 2．设氢原子处于状态(r,,)

1R21(r)Y10(,)R21(r)Y11(,). 22

求氢原子能量、轨道角动量平方以及轨道角动量z方向分量的可能值，这些可能值出现的几

率和这些力学量的平均值。

3．一电荷为e、质量为的线性谐振子受恒定电场ε作用，电场沿正x方向.（1）试写出

体系的哈密顿算符；（2）可否用微扰理论计算此算符的本征值和本征矢？为什么？（3）求此哈密顿算符的本征值和本征函数。 4.在Sz表象，Sx



01

，（1）求的本征值及所属的本征函数；（2）电子处于SSz本x210



征值为的态，求测量Sx本征值为的概率各为多少？

5.设有一物理体系（Q表象），态空间是三维的，基矢为│1>，│2>和│3>。请回答下面问

题：

100100

ˆ的矩阵表示为H010，Bb001，其中ˆ和算符B（1）算符H0

001010

ˆ对易。 ˆ和B0,b为常数，求证：H

ˆ满足Lˆ│1>=│1>；Lˆ│2>=0；Lˆ│3>= -│3>，求Lˆ的矩阵表示以及Lˆ本（2）算符L

征函数的矩阵表示。

ˆ满足Sˆ│1>=│3>；Sˆ│2>=│2>；Sˆ│3>=│1>，求Sˆ的矩阵表示以及Sˆ的本（3）算符S

征值。

ˆ2的矩阵表示。（4）求Lzˆ的矩阵表示。（5）求S

6.两个角动量系统，j1=j2=

。问 2

（1）耦合表象的基矢有几个？各是什么？（用狄拉克符号表示）（2）非耦合表象的基矢有几个？各是什么？（用狄拉克符号表示）（3）矢量耦合系数有几个？各是什么？

（4）写出耦合表象的基矢和非耦合表象的基矢之间的关系。（用狄拉克符号表示）

7．考虑两个一维粒子组成的体系。粒子1、2具有同一质量m，二者没有相互作用，并且都置于宽度为a的同一无限深势阱中。

（1）求体系哈密顿算符的本征值和本征波函数。给出两个最低能级的简并度。（2）t=0时体系处于态

(0)

11

112

21

122，其中

1和2为粒子1或2的本征波函数。求时刻t体系的态、能量的可能值和相应概

率。

参考公式：

1.第二个角动量为电子自旋角动量时的矢量耦合系数

j1,,j1,m22

j,m1,1,11

222j,m1,1,11

222

j,m1,1,1

22211j,m1,1,1 j1,,j1,m122222

2. 一维谐振子问题：势场为U(x)m2x2,(x)，定态解为

122x1

n(x)Nne2Hn(x),En(n),(n0,1,2,3,)。