[教学内容] 五（上）第15～16页例4、例5，“试一试”和“练一练”，练习三第1～3题。
[教材简析] 三角形面积计算公式的推导，是研究探究性学习的一个比较典型的案例。教材在推导三角形面积计算公式时先通过例４用图呈现了一个三角形的面积是它所在的平行四边形面积的一半这个十分重要的数量关系。由此产生研究三角形面积计算的方向和思路：能否从平行四边形面积算出三角形的面积? 再通过例5“从第127页上选一个三角形剪下来，看看与下面哪个三角形可以拼成平行四边形”的思维策略，组织学生动手操作、合作交流，经历探索面积计算公式的过程，这就为学生提供了操作的物质条件和具体的方法指导。
本设计充分重视直观操作对三角形面积的认识的支撑作用，通过看、比、贴、剪、旋转等活动，调动学习的主动性和积极性，感受并探索三角形面积计算公式的推导过程。通过创设问题情境，凸显数学思考，让学生经历猜想、实验、发现、归纳等数学活动，积累探索学习的经验，提升数学思维水平，与此同时注重数学学习与生活实际紧密联系，适当引导学生在数学知识学习过程中感受数学的文化价值。
[教学目标]
1. 引导学生用多种方法来推导三角形面积计算公式，沟通长方形、平行四边形和三角形间的内在联系。
2. 理解三角形的面积与形状无关，与底与高有联系，并会用面积计算公式计算三角形面积。
3. 通过操作让学生进一步学习用转化的思想方法解决新的问题。引导学生积极探索解决问题的策略，发展动手操作、观察、分析推理能力，培养创新的意识。
[教学重点] 探究三角形面计算公式的由来，掌握三角形面积计算方法。 [教学难点] 理解三角形面积与平行四边形、长方形面积之间的关系，沟通相互之间的联系。
[教学准备]
课件、学具（剪下书后三角形、剪刀等）、教具：准备三个三角形、以及长方形、正方形、平行四边形纸片各一张。
[教学过程]
一、创设情境，引发猜想
1. 教师出示一张三角形图片，要求学生指出它的底和高。并提问：猜想一下，它会与我们已经学过的什么图形的面积有关？
(学生可能回答与平行四边形、长方形有关)
4dm
2. 观察与联想：这里有几幅图，你们觉得三角形的面积可能与哪幅图的面积有关，能根据这几幅图很快地说出刚才这个三角形的面积吗？
预设1：与第一个平行四边形的面积有关，三角形正好是它的一半，面积是4×2÷2＝4平方分米。
引导讨论三角形与第一个平行四边形之间的关系：
提问：为什么三角形面积是它的一半？！能比划一下是怎么看的？ 生比划，教师将三角形图片贴上去（如图）追问：另一半跟这个三角形有什么关系？你怎么看出来的？
（一模一样大。用这个三角形跟上面的三角形比
一比就知道了。）
4dm
电脑演示：先旋转180度，再平移重合（略） 预设2：三角形与正方形的面积一样大。 教师引导学生说说你的发现。
（将三角形分成两半，正好可以拼成正方形。） 电脑演示割拼过程（略）
进而引导发现三角形的面积正好是正方形面积的一半。 预设3：三角形与中间长方形面积也有一半的关系。 教师适时引问：为什么呢？
在学生猜想后指出：没关系。这个问题，我们后面再讨论！
【设计意图】⑴研究新的数学问题，需要明确的方向和清晰的思路。这一点在教学中尤为重要。这里的“转化”是启迪学生思维的关键，教学中创设了才想的情景，旨在帮助学生迅速地江三角形的面积予以有的旧知识联结起来。这个情
景的创设，既保留了一定的空间，又巧妙地点名了思路。⑵这里提供三个图，意图有二：一是尽可能地丰富联结旧知的点，避免教学探究过于单调直接，而是为后面的拓展进行孕伏，虽然学生没有说清楚这些图与三角形的联系。
二、实践探索，验证猜想
1. 出示第二个三角形。⑴提问：这个三角形还能像上面一样，割拼成一个长方形、正方形或者平行四边形吗？
在学生大胆猜想后引导想像一下，并在比划出来。
指导实践：我们来动手做一个这样的平行四边形。先来说
说，怎样做？然后指导学生有选择地利用书后P127的三角形图形做一做。
学生动手实践，教师巡视，再组织集体交流。教师先请学生演示，然后电脑演示（略）
⑵提问：观察一下，原来一个三角形的面积可以怎么算出来？ （3×2÷2＝3平方厘米） 3×2算的是什么？为什么除以2？
（是拼成的平行四边形的面积。因为一个三角形的面积应该等于平行四边形面积的一半。）
2. 出示第三个三角形（贴在黑板上）。
⑴提问：现在我们不摆了。你们能想象出与它有联系的图形面积，再计算出这个三角形的面积？
形
⑵预设1：可以把它转成平行四边来计算（如图），4×1÷2＝2平方厘米，
预设2：还可以转化成长方形来计（如图），4×1÷2＝2平方厘米，
3. 观察推理
算
⑴引导学生仔细观察：这三个三角形，求它们的面积都运用了什么办法？（都转成平行四边形或者长方形。）
⑵先填表，再观察：三角形与转化后的平行四边形面积有什么关系？底与高又有什么联系？
⑶计算任意一个三角形的面积你们有办法计算吗？怎么计算？ 特别指出：这里的底乘以高其实就是哪个图形的面积？ （就是转化后的平行四边形的面积。） 板书：三角形的面积=底×高÷2.
如字母来表示三角形的面积公式，怎么表示？ 板书：S ＝a ×h ÷2
【设计意图】这里从动手实践到空间想想，较好地实现知识的内化。同时，这里呈现的三角形，包含了各种形状的图形，素材丰富全面，促使学生对三角形面积认识不再是个案的体会，而是实现了三角形本质联系的体验，同时也体现了数学学习的严谨性和确定性。从这一片段的教学来看，教师在学生学习活动中的引领作用不可忽视。
三、拓展延伸，文化渗透
1. 现在我们回过头来看，第一个三角形与第二个平行四边形有什么联系。教师将三角形移至第二个平行四边形上面（如图），指导学生观察：这个三角形面积与平行四边形的面积有什么关系？
引导学生发现，三角形的面积正好等于平行四边形的面积。只要把露出的三角形的尖部分剪下来，再帖到右边，就能得到平行四边形了。
教师适时引问：上面的尖子，是不是随便剪呢？
指导学生开展小组讨论一下，并边尝试剪一剪：沿着三角形两条要的中点连线剪下来就能拼成平行四边形了。
电脑演示剪贴过程（略）
观察一下，现在三角形的面积、底和高分别于平行四边形有什么联系？ 学生回答后板书：平行四边形面积=底×高
三角形面积=底×（高÷2）=底×高÷2
2. 再看第三幅图（如下），你们能看懂这个三角形与长方形的联系吗？
引导学生观察发现，这种转化的办法和刚才差不多，只是分别从左右两边分别见下一个三角形，在分别贴上出，就能拼成一个正
方形了。电脑演示（略）
教师适时指出：这个办法，我们古人早就想出来了。请大家自学课本P16“你知道吗？”
提问：什么叫“半广以乘正从”？
（广就是三角形的底，半广就是低的一半，用底的一半乘高，就是三角形的面积。因为三角形的面积就是长方形的面积，长方形的面积是长乘宽，这里的长就是三角形的底的一半，宽就是高。）
板书：长方形面积=长×宽 三角形面积=底÷2×高=底×高÷2
适时让学生说说读后感想，进行我国数学史文化教育。
【设计意图】这里的拓展，既拓宽了学生计算三角形面积计算新思路，又有机教学渗透文化历史教育。尽管要解决的问题具有挑战性，探究的过程也有一定的难度，但由于前面由浅入深的认知铺垫，学生的原有认知经验不断被激活，探究意识与能力不断增强，相信学生在这一环节中一定会有更多的收获。
四、练习巩固，内化新知
⑴你能求出下列三角形的面积吗？
14m
8dm
m
先独立练习，然后交流反馈：第二题围绕如何选条件来展开，第四题讨论能
不能用20×12÷2来计算？为什么？
【设计意图】突出三角形面积计算与底与高之间的对应关系。 ⑵思考：比较下面两个涂色的三角形面积，哪个大？为什么？
5cm
3cm
3cm
5cm
【设计意图】引导学生探究三角形面积与哪些因素有关系，与形状有没有关系。
五、总结全课，布置作业 1. 说说本节课有哪些收获？ 2. 作业：完成练习三第2、3题。 [资料链接]
《九章算术》方田章论述了许多平面图形的面积计算方法。如：方田章第一题“今有田广十五步，从(音纵zong) 十六步。问为田几何。”“答曰：一亩”。这里“广”就是宽，“从”即纵，指其长度。“方田术曰：广从步数相乘得积步，(得积步就是得到乘积的平方步数) 以亩法二百四十步(实质应为积步) 除
之，即亩数。百亩为一顷。”当时称长方形为方田或直田。称三角形为圭田，面积公式为“术曰：半广以乘正从”。这里广是指三角形的底边，正从是指底边上的高，刘徽在注文中对这一计算公式实质上作了证明：“半广者，以盈补虚，为直田也。”“亦可以半正从以乘广”(如图) 。盈是多余，虚乃不足。“以盈补虚”就是以多余部分填补不足的部分，这就是我国古代数学推导平面图形面积公式所用的传统的“出入相补”的方法，由上图“以盈补虚”变圭田为与之等积的直田，于是得到了圭田的面积计算公式。
[教学内容] 五（上）第15～16页例4、例5，“试一试”和“练一练”，练习三第1～3题。
[教材简析] 三角形面积计算公式的推导，是研究探究性学习的一个比较典型的案例。教材在推导三角形面积计算公式时先通过例４用图呈现了一个三角形的面积是它所在的平行四边形面积的一半这个十分重要的数量关系。由此产生研究三角形面积计算的方向和思路：能否从平行四边形面积算出三角形的面积? 再通过例5“从第127页上选一个三角形剪下来，看看与下面哪个三角形可以拼成平行四边形”的思维策略，组织学生动手操作、合作交流，经历探索面积计算公式的过程，这就为学生提供了操作的物质条件和具体的方法指导。
本设计充分重视直观操作对三角形面积的认识的支撑作用，通过看、比、贴、剪、旋转等活动，调动学习的主动性和积极性，感受并探索三角形面积计算公式的推导过程。通过创设问题情境，凸显数学思考，让学生经历猜想、实验、发现、归纳等数学活动，积累探索学习的经验，提升数学思维水平，与此同时注重数学学习与生活实际紧密联系，适当引导学生在数学知识学习过程中感受数学的文化价值。
[教学目标]
1. 引导学生用多种方法来推导三角形面积计算公式，沟通长方形、平行四边形和三角形间的内在联系。
2. 理解三角形的面积与形状无关，与底与高有联系，并会用面积计算公式计算三角形面积。
3. 通过操作让学生进一步学习用转化的思想方法解决新的问题。引导学生积极探索解决问题的策略，发展动手操作、观察、分析推理能力，培养创新的意识。
[教学重点] 探究三角形面计算公式的由来，掌握三角形面积计算方法。 [教学难点] 理解三角形面积与平行四边形、长方形面积之间的关系，沟通相互之间的联系。
[教学准备]
课件、学具（剪下书后三角形、剪刀等）、教具：准备三个三角形、以及长方形、正方形、平行四边形纸片各一张。
[教学过程]
一、创设情境，引发猜想
1. 教师出示一张三角形图片，要求学生指出它的底和高。并提问：猜想一下，它会与我们已经学过的什么图形的面积有关？
(学生可能回答与平行四边形、长方形有关)
4dm
2. 观察与联想：这里有几幅图，你们觉得三角形的面积可能与哪幅图的面积有关，能根据这几幅图很快地说出刚才这个三角形的面积吗？
预设1：与第一个平行四边形的面积有关，三角形正好是它的一半，面积是4×2÷2＝4平方分米。
引导讨论三角形与第一个平行四边形之间的关系：
提问：为什么三角形面积是它的一半？！能比划一下是怎么看的？ 生比划，教师将三角形图片贴上去（如图）追问：另一半跟这个三角形有什么关系？你怎么看出来的？
（一模一样大。用这个三角形跟上面的三角形比
一比就知道了。）
4dm
电脑演示：先旋转180度，再平移重合（略） 预设2：三角形与正方形的面积一样大。 教师引导学生说说你的发现。
（将三角形分成两半，正好可以拼成正方形。） 电脑演示割拼过程（略）
进而引导发现三角形的面积正好是正方形面积的一半。 预设3：三角形与中间长方形面积也有一半的关系。 教师适时引问：为什么呢？
在学生猜想后指出：没关系。这个问题，我们后面再讨论！
【设计意图】⑴研究新的数学问题，需要明确的方向和清晰的思路。这一点在教学中尤为重要。这里的“转化”是启迪学生思维的关键，教学中创设了才想的情景，旨在帮助学生迅速地江三角形的面积予以有的旧知识联结起来。这个情
景的创设，既保留了一定的空间，又巧妙地点名了思路。⑵这里提供三个图，意图有二：一是尽可能地丰富联结旧知的点，避免教学探究过于单调直接，而是为后面的拓展进行孕伏，虽然学生没有说清楚这些图与三角形的联系。
二、实践探索，验证猜想
1. 出示第二个三角形。⑴提问：这个三角形还能像上面一样，割拼成一个长方形、正方形或者平行四边形吗？
在学生大胆猜想后引导想像一下，并在比划出来。
指导实践：我们来动手做一个这样的平行四边形。先来说
说，怎样做？然后指导学生有选择地利用书后P127的三角形图形做一做。
学生动手实践，教师巡视，再组织集体交流。教师先请学生演示，然后电脑演示（略）
⑵提问：观察一下，原来一个三角形的面积可以怎么算出来？ （3×2÷2＝3平方厘米） 3×2算的是什么？为什么除以2？
（是拼成的平行四边形的面积。因为一个三角形的面积应该等于平行四边形面积的一半。）
2. 出示第三个三角形（贴在黑板上）。
⑴提问：现在我们不摆了。你们能想象出与它有联系的图形面积，再计算出这个三角形的面积？
形
⑵预设1：可以把它转成平行四边来计算（如图），4×1÷2＝2平方厘米，
预设2：还可以转化成长方形来计（如图），4×1÷2＝2平方厘米，
3. 观察推理
算
⑴引导学生仔细观察：这三个三角形，求它们的面积都运用了什么办法？（都转成平行四边形或者长方形。）
⑵先填表，再观察：三角形与转化后的平行四边形面积有什么关系？底与高又有什么联系？
⑶计算任意一个三角形的面积你们有办法计算吗？怎么计算？ 特别指出：这里的底乘以高其实就是哪个图形的面积？ （就是转化后的平行四边形的面积。） 板书：三角形的面积=底×高÷2.
如字母来表示三角形的面积公式，怎么表示？ 板书：S ＝a ×h ÷2
【设计意图】这里从动手实践到空间想想，较好地实现知识的内化。同时，这里呈现的三角形，包含了各种形状的图形，素材丰富全面，促使学生对三角形面积认识不再是个案的体会，而是实现了三角形本质联系的体验，同时也体现了数学学习的严谨性和确定性。从这一片段的教学来看，教师在学生学习活动中的引领作用不可忽视。
三、拓展延伸，文化渗透
1. 现在我们回过头来看，第一个三角形与第二个平行四边形有什么联系。教师将三角形移至第二个平行四边形上面（如图），指导学生观察：这个三角形面积与平行四边形的面积有什么关系？
引导学生发现，三角形的面积正好等于平行四边形的面积。只要把露出的三角形的尖部分剪下来，再帖到右边，就能得到平行四边形了。
教师适时引问：上面的尖子，是不是随便剪呢？
指导学生开展小组讨论一下，并边尝试剪一剪：沿着三角形两条要的中点连线剪下来就能拼成平行四边形了。
电脑演示剪贴过程（略）
观察一下，现在三角形的面积、底和高分别于平行四边形有什么联系？ 学生回答后板书：平行四边形面积=底×高
三角形面积=底×（高÷2）=底×高÷2
2. 再看第三幅图（如下），你们能看懂这个三角形与长方形的联系吗？
引导学生观察发现，这种转化的办法和刚才差不多，只是分别从左右两边分别见下一个三角形，在分别贴上出，就能拼成一个正
方形了。电脑演示（略）
教师适时指出：这个办法，我们古人早就想出来了。请大家自学课本P16“你知道吗？”
提问：什么叫“半广以乘正从”？
（广就是三角形的底，半广就是低的一半，用底的一半乘高，就是三角形的面积。因为三角形的面积就是长方形的面积，长方形的面积是长乘宽，这里的长就是三角形的底的一半，宽就是高。）
板书：长方形面积=长×宽 三角形面积=底÷2×高=底×高÷2
适时让学生说说读后感想，进行我国数学史文化教育。
【设计意图】这里的拓展，既拓宽了学生计算三角形面积计算新思路，又有机教学渗透文化历史教育。尽管要解决的问题具有挑战性，探究的过程也有一定的难度，但由于前面由浅入深的认知铺垫，学生的原有认知经验不断被激活，探究意识与能力不断增强，相信学生在这一环节中一定会有更多的收获。
四、练习巩固，内化新知
⑴你能求出下列三角形的面积吗？
14m
8dm
m
先独立练习，然后交流反馈：第二题围绕如何选条件来展开，第四题讨论能
不能用20×12÷2来计算？为什么？
【设计意图】突出三角形面积计算与底与高之间的对应关系。 ⑵思考：比较下面两个涂色的三角形面积，哪个大？为什么？
5cm
3cm
3cm
5cm
【设计意图】引导学生探究三角形面积与哪些因素有关系，与形状有没有关系。
五、总结全课，布置作业 1. 说说本节课有哪些收获？ 2. 作业：完成练习三第2、3题。 [资料链接]
《九章算术》方田章论述了许多平面图形的面积计算方法。如：方田章第一题“今有田广十五步，从(音纵zong) 十六步。问为田几何。”“答曰：一亩”。这里“广”就是宽，“从”即纵，指其长度。“方田术曰：广从步数相乘得积步，(得积步就是得到乘积的平方步数) 以亩法二百四十步(实质应为积步) 除
之，即亩数。百亩为一顷。”当时称长方形为方田或直田。称三角形为圭田，面积公式为“术曰：半广以乘正从”。这里广是指三角形的底边，正从是指底边上的高，刘徽在注文中对这一计算公式实质上作了证明：“半广者，以盈补虚，为直田也。”“亦可以半正从以乘广”(如图) 。盈是多余，虚乃不足。“以盈补虚”就是以多余部分填补不足的部分，这就是我国古代数学推导平面图形面积公式所用的传统的“出入相补”的方法，由上图“以盈补虚”变圭田为与之等积的直田，于是得到了圭田的面积计算公式。