面积最小求点坐标
在平时的做题中,我们会看到这么一类型题:给出几个已知条件,围成一个Δ,而后求SΔ最小时,有关点的坐标,这类题主要出现在解析几何中,有关直线方程的问题中更是常见,下面就这类题讲一些解题技巧与方法.
例1.已知直线l:y=4x和点P(6,4),在l上求一点Q,使直线PQ,l及x轴在第一
象限上围成的三角形面积最小,并求出面积的最小值.
解:设Q(t,4t)(t 1,t≠6),PQ在x轴上的截距为a. 4t-44= t-66-a
5t(t-1 0,a 0) 得a=t-1则有
15t10t2t2t2-1+11S=⨯⨯4t==10()=10()=10(t+1+)2t-1t-1t-1t-1t-1 1 =10[(t-1)++2]≥40t-1
当t-1=1时取等号,得t=2,4t=8. t-1
10t2
⇒10t2-tS+S=0,∆=S2-40S≥0,S≥40) (另附:S=t-1
∴当Q(2,8)时,S取最小值40.
例2.如下图过点P(1,2)的直线l交x,y两轴正向于A、B两点，求ΔAOB面积最小
时，直线l的方程.
解：∵直线与x，y两轴各有一交点
∴l既不与x轴平行，也不与y轴平行，即l的斜率存在.
设直线l的方程为y=kx+b(k＜0）
∵点P(1,2)在直线l上
∴2=k+b,即b=2-k,∴l的方程为:y=kx+2-k,
令y=0,直线在x轴上的截距为k-2 k
∴S∆AOB
21k-2k2-4k+4=⋅⋅(2-k)=- 2k2k即k+(2S-4)k+4=0由∆≥0解得S≥4或S≤0(舍去)
当且仅当k=-2时取等号
∴直线l的方程为:y=-2x+4.
例3.已知定点A(0,a)和直线y=b(0＜a＜b),动点P、Q分别在x轴和y=b
上
移动，且∠APQ=π,求△APQ面积最小时点P、Q的坐标. 2
解：设∠PAN=θ(0 θ 90︒)
∴=ab-a,QA=cosθsinθ 1a(b-a)a(b-a)S=PA⋅QA==22sinθcosθsin2θ
S 0,a 0,b-a 0
∴0 sin2θ≤1
又∵S最小，∴sin2θ=1
又∵0＜θ＜90°,∴θ=45° 即AN=PN,AM=MQ,即Q(b-a,b),P(a,0).
通过上述三道题,我们介绍了一种解决最值问题的有效方法：选择自变量,然后建立关于这个变量的函数式,最后用代数方法求解极值.使用该方法时,首先要注意自变量的设定,不仅可以设斜率(例2),还可以设直线在一条坐标轴上的截距(例1),也可设角为自变量(例3).其次,用代数方法求极值有多种手段,注意积累.
面积最小求点坐标
在平时的做题中,我们会看到这么一类型题:给出几个已知条件,围成一个Δ,而后求SΔ最小时,有关点的坐标,这类题主要出现在解析几何中,有关直线方程的问题中更是常见,下面就这类题讲一些解题技巧与方法.
例1.已知直线l:y=4x和点P(6,4),在l上求一点Q,使直线PQ,l及x轴在第一
象限上围成的三角形面积最小,并求出面积的最小值.
解:设Q(t,4t)(t 1,t≠6),PQ在x轴上的截距为a. 4t-44= t-66-a
5t(t-1 0,a 0) 得a=t-1则有
15t10t2t2t2-1+11S=⨯⨯4t==10()=10()=10(t+1+)2t-1t-1t-1t-1t-1 1 =10[(t-1)++2]≥40t-1
当t-1=1时取等号,得t=2,4t=8. t-1
10t2
⇒10t2-tS+S=0,∆=S2-40S≥0,S≥40) (另附:S=t-1
∴当Q(2,8)时,S取最小值40.
例2.如下图过点P(1,2)的直线l交x,y两轴正向于A、B两点，求ΔAOB面积最小
时，直线l的方程.
解：∵直线与x，y两轴各有一交点
∴l既不与x轴平行，也不与y轴平行，即l的斜率存在.
设直线l的方程为y=kx+b(k＜0）
∵点P(1,2)在直线l上
∴2=k+b,即b=2-k,∴l的方程为:y=kx+2-k,
令y=0,直线在x轴上的截距为k-2 k
∴S∆AOB
21k-2k2-4k+4=⋅⋅(2-k)=- 2k2k即k+(2S-4)k+4=0由∆≥0解得S≥4或S≤0(舍去)
当且仅当k=-2时取等号
∴直线l的方程为:y=-2x+4.
例3.已知定点A(0,a)和直线y=b(0＜a＜b),动点P、Q分别在x轴和y=b
上
移动，且∠APQ=π,求△APQ面积最小时点P、Q的坐标. 2
解：设∠PAN=θ(0 θ 90︒)
∴=ab-a,QA=cosθsinθ 1a(b-a)a(b-a)S=PA⋅QA==22sinθcosθsin2θ
S 0,a 0,b-a 0
∴0 sin2θ≤1
又∵S最小，∴sin2θ=1
又∵0＜θ＜90°,∴θ=45° 即AN=PN,AM=MQ,即Q(b-a,b),P(a,0).
通过上述三道题,我们介绍了一种解决最值问题的有效方法：选择自变量,然后建立关于这个变量的函数式,最后用代数方法求解极值.使用该方法时,首先要注意自变量的设定,不仅可以设斜率(例2),还可以设直线在一条坐标轴上的截距(例1),也可设角为自变量(例3).其次,用代数方法求极值有多种手段,注意积累.