基于ARIMA 和马尔科夫链模型的消费者价格指数
预测模型
摘 要
消费者价格指数(CPI ) 是表现通货膨胀的一项重要的经济指标．本文以2004年至2013年河南省居民消费者价格指数指标为历史数据，选用差分方法消除时间序列的非平稳性，创建ARIMA 模型，预测和分析了河南省CPI 数据．而后采用马尔科夫链模型对ARIMA 模型的残差进行修正，进而给出基于ARIMA 和马尔科夫链模型的CPI 预测比单纯的使用
ARIMA 模型更加精确的结论．
关键词：CPI ；ARIMA 模型；马尔科夫链
The Forecast Model Of The Consumer Price Index Based 0n ARIMA And Markov Chain
Model
ABSTRACT
An important economic indicator of inflation is the consumer price index.In this paper,taking the consumer price index of Henan province from 2004 to 2013 as the historical data,choose difference method to eliminate non-stationary time series, creating the model of
ARIMA to predict and analyze the CPI data of Henan province.And then the Markov chain
Model was carried out on the model of the residual’s correction,finally the conclusion is given that based on the Markov chain and ARIMA Model is more accurate than simply using the model of ARIMA .
Key words: CPI ; ARIMA ; the markov chain
目 录
1.引言…………………………………………………………………………1
1.1背景介绍„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1 1.2研究现状„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1 1.3研究方法„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1
2. ARIMA 模型的相关理论综述………………………………………………1
2.1 ARIMA 模型基本理论„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1 2.2马尔科夫理论„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3 2.3 ARIMA 模型的建模步骤„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3
3. CPI 时间序列建立ARIMA (p , d , q ) 模型……………………………………4
3.1判断CPI 序列的平稳性„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4 3.2 判定最优模型„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„9 3.3 模型预测„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„9
4.马尔科夫链残差修正……………………………………………………10
4.1 划分状态空间和转移概率矩阵„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„10
5.结论………………………………………………………………………12 参考文献……………………………………………………………………14 附录…………………………………………………………………………15 致谢…………………………………………………………………………23
基于ARIMA 和马尔科夫链模型的消费者价格指数预测模型
1. 引言
1.1 背景介绍
现今社会经济飞速发展，我国各省区居民生活消费习惯有很大的改观，其中反映居民生活消费习惯的一个指标值是消费者价格指数(CPI ) [1]，是反映家庭所购置的生活消费品及服务价格的变动走向和变化幅度的指数的宏观经济指标，它的变化率能反映出通货膨胀的程度．当CPI 指数在变大时，表明通胀率呈现出上升的趋势，商品以及服务的价格均出现上涨，居民的消费成本相应增加，本国货币购买力正在下降．当CPI 指数逐渐下降时，则恰恰相反．河南省作为中国的农业大省，在国内政策的扶持下经济发展迅速，居民收入持续快速的增长，需求也相应增长较快，分析预测河南省CPI 对引导市场经济活动和国家的宏观经济调控和政府货币政策走向起着非常重要的作用． 1.2 研究现状
由于消费者价格指数在经济生活中的重要性，国内外很多学者都致力于分析研究消费者价格指数的趋势和特征．现今对消费者价格指数的研究多数在于是运用时间序列的方法分析，有些是运用ARMA 模型，有些是运用ARIMA 模型，不同国家，地区使用模型及得出的结果也不尽相同．但是少有运用ARIMA 结合马尔科夫链模型对CPI 进行修正预测分析的．
1.3 研究方法
CPI 是一组时间序列数据．迄今，对时间序列的分析预测有多种方法以及模型，早期
出现了ARMA 模型，又称之为自回归移动平均模型．然而建立ARMA 模型的要求是时间序列务必具有平稳性特征，所以对于有季节性变化，长期趋势波动或随机波动的非平稳时间序列不可以预测，而经济数据CPI 指数是非平稳时间序列．1970年，美国统计学家
G . E . P . Box 和英国统计学G . M . Jenkin 在Times Series Analysis Forescasti ng and Control [2]一
) 模型的理书中，在前人研究的基础上，综合性的说明了创建求和自回归移动平均(ARIMA
论和方法要领[3]．非平稳时间序列的预测因ARIMA 模型的出现而变得更为精确，从而使经济数据的预测分析有较大的创新．
2. ARIMA 模型的相关理论综述
2.1 ARIMA 模型基本理论
2.1.1 随机过程的定义[4]
设T 是实数集合R =(-∞, +∞)的子集，对任意固定t ∈T ，Y t 是随机变量，t ∈T 的全体
{Y t ; t ∈T }是一个随机过程，记为{Y t }.
根据定义，对每个固定的t ,Y t 是随机变量，当t 取得集合T 中所有值时，就得到随机过程. 通常T 取为：
（1）T =(-∞, +∞) ; T =(0, ∞)
（2）T = -2, -1, 0, 1, 2, ; T =0, 1, 2, 3,
T 取（1）的时候对应下标是连续的情况. T 取（2）时对应下标是离散的情况. 离散
情况一般是连续情况下间隔一定时间取样得到的. 由于足标集经常是表示时间的，则随机过程又称之为时间序列. 2.1.2 白噪声过程
对于一个随机过程{εt , t ∈T }, 如果
E (εt )=0, var (εt )=σ2≤∞, t ∈T ; cov (εt , εt +k )=0, (t +k )∈T , k ≠0 则称{εt }为白噪声过程． 2.1.3 自回归移动平均模型
若时间序列{y t }的函数式能用其当前期和前期的随机误差项和前期值表达，则可以记作：
y t =φ1y t -1+φ2y t -2+ +φp y t -p +u t -θ1u t -1-θ2u t -2- θq u t -q
且可以称该时间序列{y t }服从(p , q ) 阶自回归移动平均模型，记为ARMA (p , q ) . 实参数都是ARMA (p , q ) 模型中的有φ1, φ2, φp 和θ1, θ2, θq 分别表示自回归系数和移动平均系数，待估计的参数. 2.1.4 ARIMA 过程
如果平稳过程{y t }满足下面的表达式：
φ(L ) ∆d y t =θ(L ) εt ，
其中{εt }为白噪声过程，多项式φ(L ) =1-∑φi L 和θ（L ）=1-∑θi L i 的根都在单位圆
i
i =1
i =1
p
q
外，则称{y t }为d 阶单整p 阶自回归q 阶移动平均过程．记为ARIMA (p , d , q ) ，主要用于非
平稳时间序列的分析预测，其中p 表示自回归项，d 表示使非平稳时间序列转变为平稳时间序列所做的差分次数即为单整阶数，q 表示移动平均项． 2.2 马尔科夫理论 2.2.1 马尔科夫过程
马尔科夫过程 探索的是一个系统的情况和它所处状态的转移方向的理论．它主要研究的是使用不同状态下的初始概率和各个状态之间的转移概率来确定状态的转移方向，以便达到对未来预测分析的目的．
马尔科夫过程是在了解“现在”的前提下，“将来”所处的状态与“过去”所处的状态没有直接的关系，即称之为具有无后效性的随机过程． 2.2.2 马尔科夫链转移概率矩阵
按照马尔科夫理论，马尔科夫链是离散的时间和状态下的马尔科夫过程．系统的状态及其转移，即构成了状态转移概率．马尔科夫链的状态转移概率矩阵就是由状态转移概率组成．将ARIMA (p , d , q ) 模型的残差序列分成若干个状态，用A 1、A 2 A n 来表示，时间序
(k ) (k )
列在状态A i 经过k 步转移到A j 的概率用p ij 标记，即状态转移概率p ij =
(k )
n ij
[5]
[6]
N i
，其中，状
(k )
态A i 经过k 步转移到A j 的频数用n ij 表示， 则状态A i 出现在系统中的总频数用N i 表示．则
k 步状态转移概率矩阵应记作：
(k )(k )k )
⎡p 11⎤p 12 p 1(n ⎢(k )(k )(k )⎥p p p 212221⎥P (k )=⎢⎢⎥ （1） ⎢⎥(k )(k )(k )⎢⎣p n 1p n 2 p nn ⎥⎦
2.3 ARIMA 模型的建模步骤
（1）画出CPI 的时序图，从时序图初步观察时间序列的基本趋势，其或是围绕某一特
定值上下波动，或是呈现指数状态的上升或下降的趋势等．根据时序图初步判断时间序列的平稳性．
（2）利用相关函数图和ADF 单位根检验更进一步的观察时间序列是否表现出平稳性特征．
（3）如果为非平稳时间序列，则需要对该非平稳时间序列做平稳化处理．具有线性趋势的一般采用差分做平稳化；具有指数趋势的应先对原始序列取对数然后再做差分处理；具有季节性的时间序列需要建立季节模型．
（4）运用时间序列图表和自相关函数、偏自相关函数以及ADF 检验综合起来判定差分后的时间序列的平稳性．若依然非平稳，继续做差分．若平稳，则得出ARIMA 模型中的单整阶数d 值．
（5）对通过差分后的时间序列创建适合的ARIMA 模型．从（4）中的自相关函数和偏自相关函数初步确定ARIMA 模型中的的实参数p , q ．若差分后的时间序列的自相关函数和偏自相关函数都是拖尾的，则应先拟合为ARIMA 模型．
（6）进行参数估计并检验参数的显著性，验证模型本身是否适应．运用Eviews 软件判定各个模型的残差序列是不是白噪声序列. 如果残差序列是白噪声序列，则表明该模型已经把相关信息提取完全，即可以接受此拟合模型；如果不是白噪声则表明该模型中相关信息的提取不充分，拒绝该模型．
（7）根据赤池信息准则（AIC 值较小）判定最优模型．
（8）根据拟合模型运用软件进行分析预测，结合原始值、拟合值的图表，综合分析模型拟合效果的优劣．
（9）修正实际值与预测值的残差，使用马尔科夫状态转移概率矩阵计算出待预测数据有可能转向的状态区间，联合原预测值进一步预测消费者价格指数序列，计算相对误差，评判修正后的结果是否有所改善．
3. CPI 时间序列建立ARIMA (p , d , q ) 模型
3.1 判断CPI 序列的平稳性 3.1.1 CPI 序列的时序图
使用Eviews 软件画出河南省CPI 序列的时序图，如下图1所示：
图1 CPI 序列的时序图
通过图1可以初步看出CPI 时间序列是非平稳时间序列，则需要对其进行平稳化处理．但是为了进一步无误地确定CPI 序列是否平稳需要使用自相关函数和偏自相关函数的统计特点辅助判别．
3.1.2 自相关函数和偏自相关函数来确定CPI 序列的平稳性
图2 CPI 序列的自相关函数和偏自相关函数图
通过图2可以发现河南省CPI 序列的自相关函数和偏自相关函数都不是明显为零的，因此能够进一步地确定原始CPI 序列是非平稳时间序列，必须经由差分消除其非平稳性，求得单整阶数，以便于建立ARIMA (p , d , q ) 模型． 3.1.3 ADF 检验CPI 序列平稳性并确定单整阶数
在ADF 单位根检验前，应当首先考察CPI 时间序列是不是包含常数项以及时间趋势项，由图1初步得出其包含常数项，但并不包含时间趋势项的结论．而后得出CPI 序列的
ADF 检验结果如下图所示：
t-Statistic
Prob.*
Augmented Dickey-Fuller test statistic Test critical values:
1% level 5% level 10% level
-2.928312 -4.046072 -3.452358 -3.151673
0.1580
图3 CPI 序列的ADF 检验
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
CPI(-1) D(CPI(-1)) D(CPI(-2)) D(CPI(-3)) D(CPI(-4)) D(CPI(-5)) D(CPI(-6)) D(CPI(-7)) D(CPI(-8)) D(CPI(-9)) D(CPI(-10)) D(CPI(-11)) D(CPI(-12))
C
@TREND(2004M01)
-0.131608 0.106002 0.103680 0.134918 0.086436 0.049112 0.157814 0.225313 0.180272 0.059660 -0.071628 0.354315 -0.414382 13.69305 -0.001020
0.044943 0.082642 0.081438 0.078627 0.078536 0.078307 0.078106 0.080758 0.083129 0.083250 0.083930 0.086186 0.092210 4.649327 0.001974
-2.928312 1.282664 1.273119 1.715930 1.100585 0.627172 2.020508 2.789979 2.168576 0.716633 -0.853418 4.111046 -4.493893 2.945168 -0.516915
0.0043 0.2028 0.2062 0.0895 0.2739 0.5321 0.0462 0.0064 0.0327 0.4754 0.3956 0.0001 0.0000 0.0041 0.6065
图4 CPI 序列的ADF 检验
由上图3检验结果分析可得以下结论：在1%、5%和10%三个显著性水平下，单位根检验的临界值分别为-4.046,-3.452和-3.152，可以看出，t 检验统计量值（-2.928）大于相应的D . W . 的临界值，进而判定河南省2004--2013年CPI 时间序列至少存在一个单位根，属于非平稳时间序列．在上图4中给出了单位根检验的辅助回归结果，其中的C （常数项）和
@trend （趋势项）相应的t 统计量的p 值分别为0.0041和0.6065，@trend 检验的p 值较
大，不显著，因此原序列中不应该包括趋势项，但是包括截距项．然后再对河南省CPI 序列的一阶差分序列即D (CPI ) 序列继续做ADF 检验，得到检验结果如下图所示:
t-Statistic Prob.*
Augmented Dickey-Fuller test statistic Test critical values:
1% level 5% level 10% level
-4.431624 -4.046072 -3.452358 -3.151673
0.0030
图 5 D (CPI ) 序列的ADF 检验
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
D(CPI(-1)) D(CPI(-1),2) D(CPI(-2),2) D(CPI(-3),2) D(CPI(-4),2) D(CPI(-5),2) D(CPI(-6),2) D(CPI(-7),2) D(CPI(-8),2) D(CPI(-9),2) D(CPI(-10),2) D(CPI(-11),2)
C
@TREND(2004M01)
-0.780122 -0.107909 -0.026136 0.085334 0.139024 0.139612 0.238418 0.384014 0.474332 0.441881 0.278874 0.547553 0.084915 -0.001230
0.176035 0.175655 0.170932 0.168155 0.164690 0.159001 0.149355 0.135675 0.125334 0.120696 0.109359 0.083418 0.149905 0.002051
-4.431624 -0.614323 -0.152902 0.507472 0.844156 0.878060 1.596316 2.830400 3.784556 3.661117 2.550074 6.563949 0.566461 -0.599619
0.0000 0.5405 0.8788 0.6130 0.4007 0.3822 0.1138 0.0057 0.0003 0.0004 0.0124 0.0000 0.5724 0.5502
图 6 D (CPI ) 序列的ADF 检验
观察图4中分析单位根检验的辅助回归结果，可知C 和@trend 相应的t 统计量的p 值分别为0.5724和0.5502，可以看出p 值较大，不显著，因此模型中不应该包括趋势项和截距项．然后再对一阶差分D (CPI ) 序列继续做既无截距项又无趋势项的ADF 检验，得到检
验结果如下图所示：
t-Statistic
Prob.*
Augmented Dickey-Fuller test statistic Test critical values:
1% level 5% level 10% level
-4.515115 -2.586753 -1.943853 -1.614749
0.0000
图 7 D (CPI ) 序列既无截距项又无趋势项的ADF 检验
分析上图7的所检验出的结果，得出以下结论：在无趋势项和截距项的检验的条件下，在1%、5%和10%三个显著性水平下，单位根检验的临界值分别对应为-2.8887，-1.9439和-1.6147，很显然，上述t 检验统计量值小于相应的D . W . 临界值，从而即可接受河南省2004--2013年D (CPI ) 序列是平稳序列的结论，因此CPI 序列即为单整阶数为1的时间序列，即CPI ~I (1) ． 3.1.4 D (CPI ) 序列的时序图
使用Eviews 软件画出D (CPI ) 序列的时序图，如下图所示：
图 8 D (CPI ) 序列的时序图
D (CPI ) 序列时序图显示其是围绕某一特定值上下波动的，说明通过一阶差分已经消
除了C P I 序列的非平稳性，即河南省C P I 序列的一阶差分序列平稳，可以得到
A R I M (A p , d , q ) 模型，从而可对河南省CPI 进行预测分析．
3.1.5 D (CPI ) 序列的相关图
由ADF 单位根检验得出:CPI ~I (1) ．首先观察D (CPI ) 序列的自相关和偏自相关图以便得到p , q 的各种可能值，从而筛选出最优模型．
图 9 D (CPI ) 序列的自相关和偏自相关图
由上图9D (CPI ) 序列的相关图可以看出，D (CPI ) 序列的自相关和偏自相关系数都是3阶截尾，利用自相关函数和偏自相关函数的统计特征初步判定模型的阶数p =3, q =3，为了得到相对较优的拟合模型，应尝试建立不同的ARIMA (p , d , q ) 模型进行参数估计，因此可以选择MA (3) 、AR (3) 、ARMA (3, 3) 模型拟合，相应的CPI 序列可选择ARIMA (3, 1, 0) 、
ARIMA (0, 1, 3) 和ARIMA (3, 1, 3) ．最后利用AIC 信息准则判定较为理想的模型．
3.2 判定最优模型
使用Eviews 软件判定3.1.5中得出的可能性模型中的最优模型．参见附录2可知
ARI MA (0, 1, 3) 、ARIMA (3, 1, 0) 和ARIMA (3, 1, 3) 模型其残差序列均满足白噪声检验，说明三个
可能模型均是显著有效的，各个模型对重要信息的提取比较充分，最后通过AIC 信息准则，即AIC 值最小得出最优模型．各个模型的AIC 值汇总在下表中：
模型
AIC
ARIMA (0, 1, 3)
ARIMA (3, 1, 0) ARIMA (3, 1, 3)
2.487 2.50 2.478
图 10 各个模型的AIC 值
3.3 模型预测
(3, 1, 3) 模型最优．运用Eviews 软件进行预测，画出实际值与预测通过比较得出ARIMA
值的综合图如下，预测值在附录3中给出：
图 11 实际值与预测值
由预测值与实际值的拟合图可以看出拟合效果较好，实际值与预测值走势相同，只是
(3, 1, 3) 模型是相对较为适合河南省消费者价格指每个时点的值稍有偏差，进而表明ARIMA
数的预测的．
4. 马尔科夫链修正残差
4.1 划分状态空间和转移概率矩阵
根据残差相对值序列将状态值划为四个状态空间，取各状态空间分别每月所对应的初始状态如下A 1=[-2, -1],A 2=[-1, 0],A 3=[0, 1],A 4=[1, 2], 根据状态划分规定，表所示：
表1 CPI 每月所对应的初始状态
日期 2012年10 2012年11 2012年12 2013年01 2013年02 2013年03 2013年04 2013年05 2013年06 2013年07
实际值 101.4 101.6 102.2 101.8 103.7 102.2 102.5 102.4 103.2 103.2
预测值 101.9087944 100.9843649 101.9982615 101.9073551 102.1660148 103.7486129 102.2438274 102.6470648 102.1944187 103.4422156
残差 -0.50879436 0.615635102 0.20173849 -0.107355099 1.533985218 -1.548612902 0.256172608 -0.247064779 1.005581255 -0.242215589
残差相对值 初始状态 -0.50% 0.61% 0.20% -0.11% 1.48% -1.52% 0.25% -0.24% 0.97% -0.23%
A 2
A 3 A 3
A 2
A 4 A 1
A 3
A 2
A 3
A 2
由公式（1）和表1计算2013年08月转移概率并得出其状态转移矩阵，如下所示：
⎛0 0 = 0 1⎝
010⎫⎛010
⎪ 21⎪ 1110 33333⎪(2)
P = ⎪
31⎪ 0110
2244⎪
001000⎪⎭⎝
0⎫⎛001
⎪
0110⎪⎪(3) 22
⎪ P =
0100⎪
⎪ 2
0100⎪⎭⎝
0⎫⎛0100⎫
⎪ ⎪
0110⎪0⎪⎪(4) 22⎪
⎪ P = ⎪ 1⎪ 1010⎪
22⎪2⎪
0010⎪0⎪⎝⎭⎭
P (1)
利用转移概率矩阵进一步得到转移状态预测表（2013年09月和10月的状态转移矩阵和转移状态预测表在附录中给出）：
表2 转移状态预测表
年月 2013年04 2013年05 2013年06 2013年07 合计
初始状态
转移步数
4 3 2 1
状态0 1/2 0 1/3 0 5/6
状态1 0 1/2 1/3 0 5/6
状态2 1/2 1/2 1/3 1 7/3
状态3 0 0 0 0 0
A 3
A 2
A 3
A 2
根据上面的转移状态预测表可以看出2013年08月消费者价格指数处于状态2的概率最大，所以8月份的预测值与实际值的残差相对值最有可能转移到状态3，即位于[0,1]区间
(3, 1, 3) 模型预测的08月的消费者价格指数为103.0, 则经过马尔科夫链修正后内．由ARIMA
的预测值为103.0*[1+(1%/2)%]=103.0052，由于实际值为103.1, 计算其相对误差在下表中显示：
表3 模型对比
ARIMA (3, 1, 3) 模型
时间 实际值
预测值
2013年8月 2013年9月 2013年10月
103.1 103.4 103.5
103 103.4 103.2
相对误差率% 0.97% 0.00% 0.29% 0.42%
经马尔科夫链修正后 预测值 103.0052 103.4 103.21
相对误差率% 0.92% 0.00% 0.28% 0.4%
平均相对误差绝对值(MAPE )
MAPE
(3, 1, 3) 和马尔科夫链模型结合的相对误差率比较低，其MAPE 从表3可以看出，ARIMA
也相对较低，在一定程度上提高了预测精度，说明两个模型结合的预测效果较好，修正是有一定作用的．这也与统计学的理论相符合，即多个模型结合会使预测更为精确，虽然有时候只是一点点的变动，但是也足以得到重视．
5. 结论
本文首先对非平稳时间序列即河南省CPI 数据建立ARIMA 模型进行预测分析，然后再利用马尔科夫链对残差进行修正，进一步预测河南省CPI ．这样使ARIMA 模型和马尔科夫链模型有机结合，既利用了时间序列模型提取了充分的信息量，建立了比较可靠的模型，又经过马尔科夫转移概率矩阵修正残差，考虑了CPI 数据的随机特征，综合了两者的优点，
使得模型预测较为精准，比较严密，这样修正残差的综合预测方法也为其他的时间序列的预测分析问题提供了一种可以实践的新路径．
参考文献
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附 录
附录1：历史数据
基于ARIMA 和马尔科夫链模型的消费者价格指数
预测模型
摘 要
消费者价格指数(CPI ) 是表现通货膨胀的一项重要的经济指标．本文以2004年至2013年河南省居民消费者价格指数指标为历史数据，选用差分方法消除时间序列的非平稳性，创建ARIMA 模型，预测和分析了河南省CPI 数据．而后采用马尔科夫链模型对ARIMA 模型的残差进行修正，进而给出基于ARIMA 和马尔科夫链模型的CPI 预测比单纯的使用
ARIMA 模型更加精确的结论．
关键词：CPI ；ARIMA 模型；马尔科夫链
The Forecast Model Of The Consumer Price Index Based 0n ARIMA And Markov Chain
Model
ABSTRACT
An important economic indicator of inflation is the consumer price index.In this paper,taking the consumer price index of Henan province from 2004 to 2013 as the historical data,choose difference method to eliminate non-stationary time series, creating the model of
ARIMA to predict and analyze the CPI data of Henan province.And then the Markov chain
Model was carried out on the model of the residual’s correction,finally the conclusion is given that based on the Markov chain and ARIMA Model is more accurate than simply using the model of ARIMA .
Key words: CPI ; ARIMA ; the markov chain
目 录
1.引言…………………………………………………………………………1
1.1背景介绍„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1 1.2研究现状„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1 1.3研究方法„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1
2. ARIMA 模型的相关理论综述………………………………………………1
2.1 ARIMA 模型基本理论„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1 2.2马尔科夫理论„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3 2.3 ARIMA 模型的建模步骤„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3
3. CPI 时间序列建立ARIMA (p , d , q ) 模型……………………………………4
3.1判断CPI 序列的平稳性„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4 3.2 判定最优模型„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„9 3.3 模型预测„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„9
4.马尔科夫链残差修正……………………………………………………10
4.1 划分状态空间和转移概率矩阵„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„10
5.结论………………………………………………………………………12 参考文献……………………………………………………………………14 附录…………………………………………………………………………15 致谢…………………………………………………………………………23
基于ARIMA 和马尔科夫链模型的消费者价格指数预测模型
1. 引言
1.1 背景介绍
现今社会经济飞速发展，我国各省区居民生活消费习惯有很大的改观，其中反映居民生活消费习惯的一个指标值是消费者价格指数(CPI ) [1]，是反映家庭所购置的生活消费品及服务价格的变动走向和变化幅度的指数的宏观经济指标，它的变化率能反映出通货膨胀的程度．当CPI 指数在变大时，表明通胀率呈现出上升的趋势，商品以及服务的价格均出现上涨，居民的消费成本相应增加，本国货币购买力正在下降．当CPI 指数逐渐下降时，则恰恰相反．河南省作为中国的农业大省，在国内政策的扶持下经济发展迅速，居民收入持续快速的增长，需求也相应增长较快，分析预测河南省CPI 对引导市场经济活动和国家的宏观经济调控和政府货币政策走向起着非常重要的作用． 1.2 研究现状
由于消费者价格指数在经济生活中的重要性，国内外很多学者都致力于分析研究消费者价格指数的趋势和特征．现今对消费者价格指数的研究多数在于是运用时间序列的方法分析，有些是运用ARMA 模型，有些是运用ARIMA 模型，不同国家，地区使用模型及得出的结果也不尽相同．但是少有运用ARIMA 结合马尔科夫链模型对CPI 进行修正预测分析的．
1.3 研究方法
CPI 是一组时间序列数据．迄今，对时间序列的分析预测有多种方法以及模型，早期
出现了ARMA 模型，又称之为自回归移动平均模型．然而建立ARMA 模型的要求是时间序列务必具有平稳性特征，所以对于有季节性变化，长期趋势波动或随机波动的非平稳时间序列不可以预测，而经济数据CPI 指数是非平稳时间序列．1970年，美国统计学家
G . E . P . Box 和英国统计学G . M . Jenkin 在Times Series Analysis Forescasti ng and Control [2]一
) 模型的理书中，在前人研究的基础上，综合性的说明了创建求和自回归移动平均(ARIMA
论和方法要领[3]．非平稳时间序列的预测因ARIMA 模型的出现而变得更为精确，从而使经济数据的预测分析有较大的创新．
2. ARIMA 模型的相关理论综述
2.1 ARIMA 模型基本理论
2.1.1 随机过程的定义[4]
设T 是实数集合R =(-∞, +∞)的子集，对任意固定t ∈T ，Y t 是随机变量，t ∈T 的全体
{Y t ; t ∈T }是一个随机过程，记为{Y t }.
根据定义，对每个固定的t ,Y t 是随机变量，当t 取得集合T 中所有值时，就得到随机过程. 通常T 取为：
（1）T =(-∞, +∞) ; T =(0, ∞)
（2）T = -2, -1, 0, 1, 2, ; T =0, 1, 2, 3,
T 取（1）的时候对应下标是连续的情况. T 取（2）时对应下标是离散的情况. 离散
情况一般是连续情况下间隔一定时间取样得到的. 由于足标集经常是表示时间的，则随机过程又称之为时间序列. 2.1.2 白噪声过程
对于一个随机过程{εt , t ∈T }, 如果
E (εt )=0, var (εt )=σ2≤∞, t ∈T ; cov (εt , εt +k )=0, (t +k )∈T , k ≠0 则称{εt }为白噪声过程． 2.1.3 自回归移动平均模型
若时间序列{y t }的函数式能用其当前期和前期的随机误差项和前期值表达，则可以记作：
y t =φ1y t -1+φ2y t -2+ +φp y t -p +u t -θ1u t -1-θ2u t -2- θq u t -q
且可以称该时间序列{y t }服从(p , q ) 阶自回归移动平均模型，记为ARMA (p , q ) . 实参数都是ARMA (p , q ) 模型中的有φ1, φ2, φp 和θ1, θ2, θq 分别表示自回归系数和移动平均系数，待估计的参数. 2.1.4 ARIMA 过程
如果平稳过程{y t }满足下面的表达式：
φ(L ) ∆d y t =θ(L ) εt ，
其中{εt }为白噪声过程，多项式φ(L ) =1-∑φi L 和θ（L ）=1-∑θi L i 的根都在单位圆
i
i =1
i =1
p
q
外，则称{y t }为d 阶单整p 阶自回归q 阶移动平均过程．记为ARIMA (p , d , q ) ，主要用于非
平稳时间序列的分析预测，其中p 表示自回归项，d 表示使非平稳时间序列转变为平稳时间序列所做的差分次数即为单整阶数，q 表示移动平均项． 2.2 马尔科夫理论 2.2.1 马尔科夫过程
马尔科夫过程 探索的是一个系统的情况和它所处状态的转移方向的理论．它主要研究的是使用不同状态下的初始概率和各个状态之间的转移概率来确定状态的转移方向，以便达到对未来预测分析的目的．
马尔科夫过程是在了解“现在”的前提下，“将来”所处的状态与“过去”所处的状态没有直接的关系，即称之为具有无后效性的随机过程． 2.2.2 马尔科夫链转移概率矩阵
按照马尔科夫理论，马尔科夫链是离散的时间和状态下的马尔科夫过程．系统的状态及其转移，即构成了状态转移概率．马尔科夫链的状态转移概率矩阵就是由状态转移概率组成．将ARIMA (p , d , q ) 模型的残差序列分成若干个状态，用A 1、A 2 A n 来表示，时间序
(k ) (k )
列在状态A i 经过k 步转移到A j 的概率用p ij 标记，即状态转移概率p ij =
(k )
n ij
[5]
[6]
N i
，其中，状
(k )
态A i 经过k 步转移到A j 的频数用n ij 表示， 则状态A i 出现在系统中的总频数用N i 表示．则
k 步状态转移概率矩阵应记作：
(k )(k )k )
⎡p 11⎤p 12 p 1(n ⎢(k )(k )(k )⎥p p p 212221⎥P (k )=⎢⎢⎥ （1） ⎢⎥(k )(k )(k )⎢⎣p n 1p n 2 p nn ⎥⎦
2.3 ARIMA 模型的建模步骤
（1）画出CPI 的时序图，从时序图初步观察时间序列的基本趋势，其或是围绕某一特
定值上下波动，或是呈现指数状态的上升或下降的趋势等．根据时序图初步判断时间序列的平稳性．
（2）利用相关函数图和ADF 单位根检验更进一步的观察时间序列是否表现出平稳性特征．
（3）如果为非平稳时间序列，则需要对该非平稳时间序列做平稳化处理．具有线性趋势的一般采用差分做平稳化；具有指数趋势的应先对原始序列取对数然后再做差分处理；具有季节性的时间序列需要建立季节模型．
（4）运用时间序列图表和自相关函数、偏自相关函数以及ADF 检验综合起来判定差分后的时间序列的平稳性．若依然非平稳，继续做差分．若平稳，则得出ARIMA 模型中的单整阶数d 值．
（5）对通过差分后的时间序列创建适合的ARIMA 模型．从（4）中的自相关函数和偏自相关函数初步确定ARIMA 模型中的的实参数p , q ．若差分后的时间序列的自相关函数和偏自相关函数都是拖尾的，则应先拟合为ARIMA 模型．
（6）进行参数估计并检验参数的显著性，验证模型本身是否适应．运用Eviews 软件判定各个模型的残差序列是不是白噪声序列. 如果残差序列是白噪声序列，则表明该模型已经把相关信息提取完全，即可以接受此拟合模型；如果不是白噪声则表明该模型中相关信息的提取不充分，拒绝该模型．
（7）根据赤池信息准则（AIC 值较小）判定最优模型．
（8）根据拟合模型运用软件进行分析预测，结合原始值、拟合值的图表，综合分析模型拟合效果的优劣．
（9）修正实际值与预测值的残差，使用马尔科夫状态转移概率矩阵计算出待预测数据有可能转向的状态区间，联合原预测值进一步预测消费者价格指数序列，计算相对误差，评判修正后的结果是否有所改善．
3. CPI 时间序列建立ARIMA (p , d , q ) 模型
3.1 判断CPI 序列的平稳性 3.1.1 CPI 序列的时序图
使用Eviews 软件画出河南省CPI 序列的时序图，如下图1所示：
图1 CPI 序列的时序图
通过图1可以初步看出CPI 时间序列是非平稳时间序列，则需要对其进行平稳化处理．但是为了进一步无误地确定CPI 序列是否平稳需要使用自相关函数和偏自相关函数的统计特点辅助判别．
3.1.2 自相关函数和偏自相关函数来确定CPI 序列的平稳性
图2 CPI 序列的自相关函数和偏自相关函数图
通过图2可以发现河南省CPI 序列的自相关函数和偏自相关函数都不是明显为零的，因此能够进一步地确定原始CPI 序列是非平稳时间序列，必须经由差分消除其非平稳性，求得单整阶数，以便于建立ARIMA (p , d , q ) 模型． 3.1.3 ADF 检验CPI 序列平稳性并确定单整阶数
在ADF 单位根检验前，应当首先考察CPI 时间序列是不是包含常数项以及时间趋势项，由图1初步得出其包含常数项，但并不包含时间趋势项的结论．而后得出CPI 序列的
ADF 检验结果如下图所示：
t-Statistic
Prob.*
Augmented Dickey-Fuller test statistic Test critical values:
1% level 5% level 10% level
-2.928312 -4.046072 -3.452358 -3.151673
0.1580
图3 CPI 序列的ADF 检验
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
CPI(-1) D(CPI(-1)) D(CPI(-2)) D(CPI(-3)) D(CPI(-4)) D(CPI(-5)) D(CPI(-6)) D(CPI(-7)) D(CPI(-8)) D(CPI(-9)) D(CPI(-10)) D(CPI(-11)) D(CPI(-12))
C
@TREND(2004M01)
-0.131608 0.106002 0.103680 0.134918 0.086436 0.049112 0.157814 0.225313 0.180272 0.059660 -0.071628 0.354315 -0.414382 13.69305 -0.001020
0.044943 0.082642 0.081438 0.078627 0.078536 0.078307 0.078106 0.080758 0.083129 0.083250 0.083930 0.086186 0.092210 4.649327 0.001974
-2.928312 1.282664 1.273119 1.715930 1.100585 0.627172 2.020508 2.789979 2.168576 0.716633 -0.853418 4.111046 -4.493893 2.945168 -0.516915
0.0043 0.2028 0.2062 0.0895 0.2739 0.5321 0.0462 0.0064 0.0327 0.4754 0.3956 0.0001 0.0000 0.0041 0.6065
图4 CPI 序列的ADF 检验
由上图3检验结果分析可得以下结论：在1%、5%和10%三个显著性水平下，单位根检验的临界值分别为-4.046,-3.452和-3.152，可以看出，t 检验统计量值（-2.928）大于相应的D . W . 的临界值，进而判定河南省2004--2013年CPI 时间序列至少存在一个单位根，属于非平稳时间序列．在上图4中给出了单位根检验的辅助回归结果，其中的C （常数项）和
@trend （趋势项）相应的t 统计量的p 值分别为0.0041和0.6065，@trend 检验的p 值较
大，不显著，因此原序列中不应该包括趋势项，但是包括截距项．然后再对河南省CPI 序列的一阶差分序列即D (CPI ) 序列继续做ADF 检验，得到检验结果如下图所示:
t-Statistic Prob.*
Augmented Dickey-Fuller test statistic Test critical values:
1% level 5% level 10% level
-4.431624 -4.046072 -3.452358 -3.151673
0.0030
图 5 D (CPI ) 序列的ADF 检验
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
D(CPI(-1)) D(CPI(-1),2) D(CPI(-2),2) D(CPI(-3),2) D(CPI(-4),2) D(CPI(-5),2) D(CPI(-6),2) D(CPI(-7),2) D(CPI(-8),2) D(CPI(-9),2) D(CPI(-10),2) D(CPI(-11),2)
C
@TREND(2004M01)
-0.780122 -0.107909 -0.026136 0.085334 0.139024 0.139612 0.238418 0.384014 0.474332 0.441881 0.278874 0.547553 0.084915 -0.001230
0.176035 0.175655 0.170932 0.168155 0.164690 0.159001 0.149355 0.135675 0.125334 0.120696 0.109359 0.083418 0.149905 0.002051
-4.431624 -0.614323 -0.152902 0.507472 0.844156 0.878060 1.596316 2.830400 3.784556 3.661117 2.550074 6.563949 0.566461 -0.599619
0.0000 0.5405 0.8788 0.6130 0.4007 0.3822 0.1138 0.0057 0.0003 0.0004 0.0124 0.0000 0.5724 0.5502
图 6 D (CPI ) 序列的ADF 检验
观察图4中分析单位根检验的辅助回归结果，可知C 和@trend 相应的t 统计量的p 值分别为0.5724和0.5502，可以看出p 值较大，不显著，因此模型中不应该包括趋势项和截距项．然后再对一阶差分D (CPI ) 序列继续做既无截距项又无趋势项的ADF 检验，得到检
验结果如下图所示：
t-Statistic
Prob.*
Augmented Dickey-Fuller test statistic Test critical values:
1% level 5% level 10% level
-4.515115 -2.586753 -1.943853 -1.614749
0.0000
图 7 D (CPI ) 序列既无截距项又无趋势项的ADF 检验
分析上图7的所检验出的结果，得出以下结论：在无趋势项和截距项的检验的条件下，在1%、5%和10%三个显著性水平下，单位根检验的临界值分别对应为-2.8887，-1.9439和-1.6147，很显然，上述t 检验统计量值小于相应的D . W . 临界值，从而即可接受河南省2004--2013年D (CPI ) 序列是平稳序列的结论，因此CPI 序列即为单整阶数为1的时间序列，即CPI ~I (1) ． 3.1.4 D (CPI ) 序列的时序图
使用Eviews 软件画出D (CPI ) 序列的时序图，如下图所示：
图 8 D (CPI ) 序列的时序图
D (CPI ) 序列时序图显示其是围绕某一特定值上下波动的，说明通过一阶差分已经消
除了C P I 序列的非平稳性，即河南省C P I 序列的一阶差分序列平稳，可以得到
A R I M (A p , d , q ) 模型，从而可对河南省CPI 进行预测分析．
3.1.5 D (CPI ) 序列的相关图
由ADF 单位根检验得出:CPI ~I (1) ．首先观察D (CPI ) 序列的自相关和偏自相关图以便得到p , q 的各种可能值，从而筛选出最优模型．
图 9 D (CPI ) 序列的自相关和偏自相关图
由上图9D (CPI ) 序列的相关图可以看出，D (CPI ) 序列的自相关和偏自相关系数都是3阶截尾，利用自相关函数和偏自相关函数的统计特征初步判定模型的阶数p =3, q =3，为了得到相对较优的拟合模型，应尝试建立不同的ARIMA (p , d , q ) 模型进行参数估计，因此可以选择MA (3) 、AR (3) 、ARMA (3, 3) 模型拟合，相应的CPI 序列可选择ARIMA (3, 1, 0) 、
ARIMA (0, 1, 3) 和ARIMA (3, 1, 3) ．最后利用AIC 信息准则判定较为理想的模型．
3.2 判定最优模型
使用Eviews 软件判定3.1.5中得出的可能性模型中的最优模型．参见附录2可知
ARI MA (0, 1, 3) 、ARIMA (3, 1, 0) 和ARIMA (3, 1, 3) 模型其残差序列均满足白噪声检验，说明三个
可能模型均是显著有效的，各个模型对重要信息的提取比较充分，最后通过AIC 信息准则，即AIC 值最小得出最优模型．各个模型的AIC 值汇总在下表中：
模型
AIC
ARIMA (0, 1, 3)
ARIMA (3, 1, 0) ARIMA (3, 1, 3)
2.487 2.50 2.478
图 10 各个模型的AIC 值
3.3 模型预测
(3, 1, 3) 模型最优．运用Eviews 软件进行预测，画出实际值与预测通过比较得出ARIMA
值的综合图如下，预测值在附录3中给出：
图 11 实际值与预测值
由预测值与实际值的拟合图可以看出拟合效果较好，实际值与预测值走势相同，只是
(3, 1, 3) 模型是相对较为适合河南省消费者价格指每个时点的值稍有偏差，进而表明ARIMA
数的预测的．
4. 马尔科夫链修正残差
4.1 划分状态空间和转移概率矩阵
根据残差相对值序列将状态值划为四个状态空间，取各状态空间分别每月所对应的初始状态如下A 1=[-2, -1],A 2=[-1, 0],A 3=[0, 1],A 4=[1, 2], 根据状态划分规定，表所示：
表1 CPI 每月所对应的初始状态
日期 2012年10 2012年11 2012年12 2013年01 2013年02 2013年03 2013年04 2013年05 2013年06 2013年07
实际值 101.4 101.6 102.2 101.8 103.7 102.2 102.5 102.4 103.2 103.2
预测值 101.9087944 100.9843649 101.9982615 101.9073551 102.1660148 103.7486129 102.2438274 102.6470648 102.1944187 103.4422156
残差 -0.50879436 0.615635102 0.20173849 -0.107355099 1.533985218 -1.548612902 0.256172608 -0.247064779 1.005581255 -0.242215589
残差相对值 初始状态 -0.50% 0.61% 0.20% -0.11% 1.48% -1.52% 0.25% -0.24% 0.97% -0.23%
A 2
A 3 A 3
A 2
A 4 A 1
A 3
A 2
A 3
A 2
由公式（1）和表1计算2013年08月转移概率并得出其状态转移矩阵，如下所示：
⎛0 0 = 0 1⎝
010⎫⎛010
⎪ 21⎪ 1110 33333⎪(2)
P = ⎪
31⎪ 0110
2244⎪
001000⎪⎭⎝
0⎫⎛001
⎪
0110⎪⎪(3) 22
⎪ P =
0100⎪
⎪ 2
0100⎪⎭⎝
0⎫⎛0100⎫
⎪ ⎪
0110⎪0⎪⎪(4) 22⎪
⎪ P = ⎪ 1⎪ 1010⎪
22⎪2⎪
0010⎪0⎪⎝⎭⎭
P (1)
利用转移概率矩阵进一步得到转移状态预测表（2013年09月和10月的状态转移矩阵和转移状态预测表在附录中给出）：
表2 转移状态预测表
年月 2013年04 2013年05 2013年06 2013年07 合计
初始状态
转移步数
4 3 2 1
状态0 1/2 0 1/3 0 5/6
状态1 0 1/2 1/3 0 5/6
状态2 1/2 1/2 1/3 1 7/3
状态3 0 0 0 0 0
A 3
A 2
A 3
A 2
根据上面的转移状态预测表可以看出2013年08月消费者价格指数处于状态2的概率最大，所以8月份的预测值与实际值的残差相对值最有可能转移到状态3，即位于[0,1]区间
(3, 1, 3) 模型预测的08月的消费者价格指数为103.0, 则经过马尔科夫链修正后内．由ARIMA
的预测值为103.0*[1+(1%/2)%]=103.0052，由于实际值为103.1, 计算其相对误差在下表中显示：
表3 模型对比
ARIMA (3, 1, 3) 模型
时间 实际值
预测值
2013年8月 2013年9月 2013年10月
103.1 103.4 103.5
103 103.4 103.2
相对误差率% 0.97% 0.00% 0.29% 0.42%
经马尔科夫链修正后 预测值 103.0052 103.4 103.21
相对误差率% 0.92% 0.00% 0.28% 0.4%
平均相对误差绝对值(MAPE )
MAPE
(3, 1, 3) 和马尔科夫链模型结合的相对误差率比较低，其MAPE 从表3可以看出，ARIMA
也相对较低，在一定程度上提高了预测精度，说明两个模型结合的预测效果较好，修正是有一定作用的．这也与统计学的理论相符合，即多个模型结合会使预测更为精确，虽然有时候只是一点点的变动，但是也足以得到重视．
5. 结论
本文首先对非平稳时间序列即河南省CPI 数据建立ARIMA 模型进行预测分析，然后再利用马尔科夫链对残差进行修正，进一步预测河南省CPI ．这样使ARIMA 模型和马尔科夫链模型有机结合，既利用了时间序列模型提取了充分的信息量，建立了比较可靠的模型，又经过马尔科夫转移概率矩阵修正残差，考虑了CPI 数据的随机特征，综合了两者的优点，
使得模型预测较为精准，比较严密，这样修正残差的综合预测方法也为其他的时间序列的预测分析问题提供了一种可以实践的新路径．
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附 录
附录1：历史数据