初中数学竞赛辅导资料（34）
反证法
甲内容提要
1. 反证法是一种间接的证明方法．它的根据是原命题和逆否命题是等价命题，当一个命题不易直接证明时，釆取证明它的逆否命题．
2. 一个命题和它的逆否命题是等价命题，可表示为：A →B ⇔B →A 例如 原命题：对顶角相等 (真命题)
逆否命题：不相等的角不可能是对顶角 (真命题)
又如 原命题：同位角相等，两直线平行 (真命题)
逆否命题：两直线不平行，它们的同位角必不相等 (真命题)
3. 用反证法证明命题，一般有三个步骤：
① 反设 假设命题的结论不成立（即假设命题结论的反面成立）
② 归谬 推出矛盾（和已知或学过的定义、定理、公理相矛盾）
③ 结论 从而得出命题结论正确
例如： 求证两直线平行．用反证法证明时
① 假设这两直线不平行；
② 从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
③从而肯定，非平行不可．
乙例题
例1两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两直线平行 已知：如图∠1＝∠2 A 1 B 求证：AB ∥CD 证明：设AB 与CD 不平行 C 2 D 那么它们必相交，设交点为M D
这时，∠1是△GHM 的外角 A B ∴∠1＞∠2
这与已知条件相矛盾 ∴AB 与CD 不平行的假设不能成立 H
∴AB ∥CD C
例2．求证两条直线相交只有一个交点
证明：假设两条直线相交有两个交点，那么这两条直线都经过相同的两个点，这与“经过两点有且只有一条直线”的直线公理相矛盾，所以假设不能成立，因此两条直线相交只有一个交点．
（从以上两例看出，证明中的三个步骤，最关键的是第二步——推出矛盾．但有的题目，第一步“反设”也要认真对待）．
初中数学竞赛辅导资料（34）
反证法
甲内容提要
1. 反证法是一种间接的证明方法．它的根据是原命题和逆否命题是等价命题，当一个命题不易直接证明时，釆取证明它的逆否命题．
2. 一个命题和它的逆否命题是等价命题，可表示为：A →B ⇔B →A 例如 原命题：对顶角相等 (真命题)
逆否命题：不相等的角不可能是对顶角 (真命题)
又如 原命题：同位角相等，两直线平行 (真命题)
逆否命题：两直线不平行，它们的同位角必不相等 (真命题)
3. 用反证法证明命题，一般有三个步骤：
① 反设 假设命题的结论不成立（即假设命题结论的反面成立）
② 归谬 推出矛盾（和已知或学过的定义、定理、公理相矛盾）
③ 结论 从而得出命题结论正确
例如： 求证两直线平行．用反证法证明时
① 假设这两直线不平行；
② 从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
③从而肯定，非平行不可．
乙例题
例1两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两直线平行 已知：如图∠1＝∠2 A 1 B 求证：AB ∥CD 证明：设AB 与CD 不平行 C 2 D 那么它们必相交，设交点为M D
这时，∠1是△GHM 的外角 A B ∴∠1＞∠2
这与已知条件相矛盾 ∴AB 与CD 不平行的假设不能成立 H
∴AB ∥CD C
例2．求证两条直线相交只有一个交点
证明：假设两条直线相交有两个交点，那么这两条直线都经过相同的两个点，这与“经过两点有且只有一条直线”的直线公理相矛盾，所以假设不能成立，因此两条直线相交只有一个交点．
（从以上两例看出，证明中的三个步骤，最关键的是第二步——推出矛盾．但有的题目，第一步“反设”也要认真对待）．