高中导数与函数知识点总结归纳
一、基本概念 1. 导数的定义：
设x 0是函数y =f (x ) 定义域的一点，如果自变量x 在x 0处有增量∆x ，则函数值y 也引起相应的增量
∆y =f (x 0+∆x ) -f (x 0) ；比值
率；如果极限lim
∆y f (x 0+∆x ) -f (x 0)
称为函数y =f (x ) 在点x 0到x 0+∆x 之间的平均变化=
∆x ∆x
f (x 0+∆x ) -f (x 0) ∆y
存在，则称函数y =f (x ) 在点x 0处可导，并把这个极限叫做=lim
∆x →0∆x ∆x →0∆x
y =f (x ) 在x 0处的导数。
f (x )在点x 0处的导数记作y 'x =x
=f '(x 0) =lim
∆x →0
f (x 0+∆x ) -f (x 0)
∆x
2 导数的几何意义：（求函数在某点处的切线方程）
函数y =f (x ) 在点x 0处的导数的几何意义就是曲线y =f (x ) 在点(x 0, f (x )) 处的切线的斜率，也就是说，曲
' '
线y =f (x ) 在点P (x 0, f (x )) 处的切线的斜率是f (x 0) ，切线方程为y -y 0=f (x )(x -x 0).
3．基本常见函数的导数:
①C '=0; （C 为常数） ②x n
()'=nx
n -1
;
③(sinx ) '=cos x ; ④(cosx ) '=-sin x ; ⑤(e x ) '=e x ; ⑥(a x ) '=a x ln a ; ⑦(ln x )'=
11
; ⑧(l o g a x )'=log a e . x x
二、导数的运算
1. 导数的四则运算：
法则1：两个函数的和(或差) 的导数, 等于这两个函数的导数的和(或差) ，
即： ⎡f
⎣
' (x )±g (x )⎤⎦=f '(x )±g '(x )
法则2：两个函数的积的导数, 等于第一个函数的导数乘以第二个函数, 加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：⎡f
⎣
'=f 'x g x +f x g 'x
(x )⋅g (x )⎤()()()()⎦
'
常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： (Cf (x ))
=Cf ' (x ). (C 为常数)
法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：
⎡f (x )⎤'f '(x )g (x )-f (x )g '(x )
g (x )≠0)。 (⎢⎥=2
⎡⎣g x ⎦⎣g (x )⎤⎦
2. 复合函数的导数
形如
y =f [ϕ(x )]的函数称为复合函数。法则： f '[ϕ(x )]=f '(μ)*ϕ'(x ) .
三、导数的应用 1. 函数的单调性与导数
（1）设函数
y =f (x ) 在某个区间(a , b ) 可导，
如果如果
f ' (x ) >0，则f (x ) 在此区间上为增函数； f ' (x )
f ' (x ) =0，则f (x ) 为常函数。
（2）如果在某区间内恒有
2．函数的极点与极值：当函数f (x ) 在点x 0处连续时，
' '
①如果在x 0附近的左侧f (x ) ＞0，右侧f (x ) ＜0，那么f (x 0) 是极大值； ' '
②如果在x 0附近的左侧f (x ) ＜0，右侧f (x ) ＞0，那么f (x 0) 是极小值.
3．函数的最值：
一般地，在区间
[a , b ]
上连续的函数
f (x )
在
[a , b ]
上必有最大值与最小值。函数
值点处取得。f (x ) 在区间[a , b ]上的最值只可能在区间端点及极
求函数
f (x ) 在区间[a , b ]上最值的一般步骤：①求函数f (x ) 的导数，令导数f ' (x ) =0解出方程的跟
②在区间[a , b ]列出x ,
f ' (x ), f (x ) 的表格，求出极值及f (a ) 、f (b ) 的值; ③比较端点及极值点处的函数值的大
小，从而得出函数的最值。
4．相关结论总结：
①可导的奇函数函数其导函数为偶函数. ②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.
四、函数的概念
1. 函数的概念
①设
A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f
，对于集合
A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯
）叫做集合
一确定的数
f (x ) 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f
f :A →B ．
A 到B
的一个函数，记作
②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．
③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．
五、函数的性质 1. 函数的单调性
①定义及判定方法
②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数． ③对于复合函数
y =f [g (x )]，令u =g (x ) ，若y =f (u ) 为增，u =g (x ) 为增，则
为减，
y
y =f [g (x )]为增；若y =f (u ) u =g (x )
为减，则
y =f [g (x )]为增；若y =f (u ) 为增，u =g (x ) 为减，则y =f [g (x )]为减；若y =f (u ) 为减，u =g (x ) 为增，则y =f [g (x )]为减．
（2）打“√”函数
a
f (x ) =x +(a >0) 的图像与性质
x
o x
f (x
) 分别在(-∞,
、+∞
) 上为增函数，分别在[
、上为减函数．
2. 最大（小）值（较常用导数求函数最值，类比记忆函数的极值）
①一般地，设函数
y =f (x ) 的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x ∈I ，都有
是函数
f (x ) ≤M
；
（2）存在x 0∈I ，使得
②一般地，设函数
f (x 0) =M ．那么，我们称M f (x ) 的最大值，记作f max (x ) =M ．
y =f (x ) 的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x ∈I ，都有f (x ) ≥m ；
（2）存在x 0∈I ，使得f (x 0) =m ．那么，我们称m 是函数f (x ) 的最小值，记作f max (x ) =m ．
3.奇偶性
①定义及判定方法
②若函数
f (x ) 为奇函数，且在x =0处有定义，则f (0)=0．
③奇函数在
y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．
④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．
高中导数与函数知识点总结归纳
一、基本概念 1. 导数的定义：
设x 0是函数y =f (x ) 定义域的一点，如果自变量x 在x 0处有增量∆x ，则函数值y 也引起相应的增量
∆y =f (x 0+∆x ) -f (x 0) ；比值
率；如果极限lim
∆y f (x 0+∆x ) -f (x 0)
称为函数y =f (x ) 在点x 0到x 0+∆x 之间的平均变化=
∆x ∆x
f (x 0+∆x ) -f (x 0) ∆y
存在，则称函数y =f (x ) 在点x 0处可导，并把这个极限叫做=lim
∆x →0∆x ∆x →0∆x
y =f (x ) 在x 0处的导数。
f (x )在点x 0处的导数记作y 'x =x
=f '(x 0) =lim
∆x →0
f (x 0+∆x ) -f (x 0)
∆x
2 导数的几何意义：（求函数在某点处的切线方程）
函数y =f (x ) 在点x 0处的导数的几何意义就是曲线y =f (x ) 在点(x 0, f (x )) 处的切线的斜率，也就是说，曲
' '
线y =f (x ) 在点P (x 0, f (x )) 处的切线的斜率是f (x 0) ，切线方程为y -y 0=f (x )(x -x 0).
3．基本常见函数的导数:
①C '=0; （C 为常数） ②x n
()'=nx
n -1
;
③(sinx ) '=cos x ; ④(cosx ) '=-sin x ; ⑤(e x ) '=e x ; ⑥(a x ) '=a x ln a ; ⑦(ln x )'=
11
; ⑧(l o g a x )'=log a e . x x
二、导数的运算
1. 导数的四则运算：
法则1：两个函数的和(或差) 的导数, 等于这两个函数的导数的和(或差) ，
即： ⎡f
⎣
' (x )±g (x )⎤⎦=f '(x )±g '(x )
法则2：两个函数的积的导数, 等于第一个函数的导数乘以第二个函数, 加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：⎡f
⎣
'=f 'x g x +f x g 'x
(x )⋅g (x )⎤()()()()⎦
'
常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： (Cf (x ))
=Cf ' (x ). (C 为常数)
法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：
⎡f (x )⎤'f '(x )g (x )-f (x )g '(x )
g (x )≠0)。 (⎢⎥=2
⎡⎣g x ⎦⎣g (x )⎤⎦
2. 复合函数的导数
形如
y =f [ϕ(x )]的函数称为复合函数。法则： f '[ϕ(x )]=f '(μ)*ϕ'(x ) .
三、导数的应用 1. 函数的单调性与导数
（1）设函数
y =f (x ) 在某个区间(a , b ) 可导，
如果如果
f ' (x ) >0，则f (x ) 在此区间上为增函数； f ' (x )
f ' (x ) =0，则f (x ) 为常函数。
（2）如果在某区间内恒有
2．函数的极点与极值：当函数f (x ) 在点x 0处连续时，
' '
①如果在x 0附近的左侧f (x ) ＞0，右侧f (x ) ＜0，那么f (x 0) 是极大值； ' '
②如果在x 0附近的左侧f (x ) ＜0，右侧f (x ) ＞0，那么f (x 0) 是极小值.
3．函数的最值：
一般地，在区间
[a , b ]
上连续的函数
f (x )
在
[a , b ]
上必有最大值与最小值。函数
值点处取得。f (x ) 在区间[a , b ]上的最值只可能在区间端点及极
求函数
f (x ) 在区间[a , b ]上最值的一般步骤：①求函数f (x ) 的导数，令导数f ' (x ) =0解出方程的跟
②在区间[a , b ]列出x ,
f ' (x ), f (x ) 的表格，求出极值及f (a ) 、f (b ) 的值; ③比较端点及极值点处的函数值的大
小，从而得出函数的最值。
4．相关结论总结：
①可导的奇函数函数其导函数为偶函数. ②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.
四、函数的概念
1. 函数的概念
①设
A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f
，对于集合
A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯
）叫做集合
一确定的数
f (x ) 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f
f :A →B ．
A 到B
的一个函数，记作
②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．
③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．
五、函数的性质 1. 函数的单调性
①定义及判定方法
②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数． ③对于复合函数
y =f [g (x )]，令u =g (x ) ，若y =f (u ) 为增，u =g (x ) 为增，则
为减，
y
y =f [g (x )]为增；若y =f (u ) u =g (x )
为减，则
y =f [g (x )]为增；若y =f (u ) 为增，u =g (x ) 为减，则y =f [g (x )]为减；若y =f (u ) 为减，u =g (x ) 为增，则y =f [g (x )]为减．
（2）打“√”函数
a
f (x ) =x +(a >0) 的图像与性质
x
o x
f (x
) 分别在(-∞,
、+∞
) 上为增函数，分别在[
、上为减函数．
2. 最大（小）值（较常用导数求函数最值，类比记忆函数的极值）
①一般地，设函数
y =f (x ) 的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x ∈I ，都有
是函数
f (x ) ≤M
；
（2）存在x 0∈I ，使得
②一般地，设函数
f (x 0) =M ．那么，我们称M f (x ) 的最大值，记作f max (x ) =M ．
y =f (x ) 的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x ∈I ，都有f (x ) ≥m ；
（2）存在x 0∈I ，使得f (x 0) =m ．那么，我们称m 是函数f (x ) 的最小值，记作f max (x ) =m ．
3.奇偶性
①定义及判定方法
②若函数
f (x ) 为奇函数，且在x =0处有定义，则f (0)=0．
③奇函数在
y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．
④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．