中考数学专题复习——方程（组）与不等式组
专题1 不等式（组）的实际应用
【专题解读】利用不等式（组）解决实际问题的步骤与列一元一次不等式解应用题的步骤类似，所不同的是，前者需寻求的不等关系往往不止一个，而后者只需找出一个不等关系即可.
在列不等式(组) 时, 审题是基础, 根据不等关系列出不等式组是关键. 解出不等式组的解集后, 要养成检验不等式的解集是否合理, 是否符合实际情况的习惯. 即审题→设一个未知数→找出题中所有的数量关系, 列出不等式组→解不等式组→检验.
例1 2008年8月，北京奥运会帆船比赛将在青岛国际帆船中心举行. 观看帆船比赛的船票分为两种:A 种船票600元/张, B 种船票120元/张. 某旅行社要为一个旅行团代购部分船票, 在购票费不超过5000元的情况下, 购买A , B 两种船票共15张, 要求A 种船票的数量不少于B 种船票数量的一半. 若设购买A 种船票x 张, 请你解答下列问题.
(1)共有几种符合题意的购票方案? 写出解答过程. (2)根据计算判断哪种购票方案更省钱. 解: (1)由题意知购买B 种船票(15－x ) 张. 15-x ⎧
, ⎪x ≥
根据题意, 得⎨ 2
⎪600x +120(15-x ) ≤5000. ⎩
解得5≤x ≤
203
.
因为x 为正整数, 所以满足条件的x 为5或6. 所以共有两种购票方案.
方案一:购买A 种票5张, B 种票10张. 方案二:购买A 种票6张, B 种票9张.
(2)方案一的购票费用为600×5+120×10=4200(元); 方案二的购票费用为600×6+120×9=4680(元). 因为4500元
【解题策略】运用不等式知识解决实际问题, 关键是把实际问题的文字语言转化为数学符号语言.
专题2 求一元一次不等式（组）的特殊值
【专题解读】在此类问题中，一般给出一个一元一次不等式（组），然后在解集的范围内限制取值，解决的方法通常是先求出不等式（组）的解集，再由题意求出符合条件的数值.
例2 求不等式
1+x 2
≥
2x -13
的非负整数解.
分析 先解不等式, 求出x 的取值范围, 在x 的取值范围内找出非负整数解, 求非负整数解时注意不要漏解.
解:解不等式
1+x 2
≥2x -13
, 得x ≤5.
所以不等式的非负整数解是5,4,3,2,1,0. 【解题策略】此题不能忽略0的答案. 专题3 一元一次不等式(组) 中求参数的技巧
【专题解读】由已知不等式(组) 的解集或整数解来确定选定系数的值或待定系数的取值范围, 常用的方法是先用解不等式(组) 的方法解出含待定系数的不等式(组) 的解集, 再代入已给出的条件中, 即可求出待定系数的值.
例3 已知关于x 的不等式组⎨
⎧x -b ≤0, ⎩2x -4≥5
的整数解共有3个, 则b 的取值范围是______.
分析 化简不等式组, 得⎨
⎧x ≤b , ⎩x ≥4.5.
如图9－59所示, 将其表示在数轴上, 其整数解有3个, 即为
x =5,6,7.由图可知7≤b
例4 已知关于x 的不等式(2－a)x >3的解集为x 0 B . a >2 C . a
分析 分析题中不等式解集的特点, 结合不等式的性质3, 可知2－a 2.故选B . 三、思想方法专题 专题4 数形结合思想
【专题解读】在解有关不等式的问题时，有些问题需要我们借助图形来给出解答. 解决此类问题时，要充分利用图形反馈的信息，或将文字信息反馈到图形上，做到有数思形，有形思数，顺利解决问题.
-32-a
, 则a 的取值范围是( )
例5 关于x 的不等式2x －a ≤－1的解集如图9－60所示，则a 的取值是（ ） A ．0 B ．－3 C ．－2 D ．－1
分析 由图9－60可以看出，不等式的解集为x ≤－1，而由不等式2x －a ≤－1，解得x ≤
a -12
a -12
,
所以=－1，解这个方程，得a =－1. 故选D .
专题5 分类讨论思想
【专题解读】在利用不等式(组) 解决实际问题中的方案选择、优化设计以及最大利润等问题时，为了防止漏解和便于比较，我们常常用到分类讨论思想对方案的优劣进行探讨.
例6某校准备组织290名学生进行野外考察活动，行李共有100件, 学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共8辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李.
(1)设租用甲种汽车x 辆, 请你帮助学校设计所有可能的租车方案;
(2)如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元、1800元，那么请你帮助学校选出最省钱的一种租车方案.
分析 本题考查利用不等式组设计方案并做出决策的问题. 根据题中的不等关系可列出不等式组, 解不等式组求出x 的取值, 从而解答本题.
解:(1)设租用甲种汽车x 辆, 则租用乙种汽车(8－x ) 辆. 根据题意得⎨
⎧40x +30(8-x ) ≥290, ⎩10x +20(8-x ) ≥100,
解得5≤x ≤6.
因为x 为整数, 所以x =5或x =6.
故有两种租车方案, 方案一:租用甲种汽车5辆、乙种汽车3辆. 方案二、租用甲种汽车6辆、乙种汽车2辆.
（2）方案一的费用：5×2000+3×1800=15400（元）. 方案二的费用:6×2000+2×1800=15600(元). 因为15400元
答:第一种租车方案更节省费用, 即租用甲种汽车5辆、乙种汽车3辆.
【解题策略】解答设计方案的问题时, 要注意不等式组的解集必须符合实际问题的要求, 不能把数学问题与实际问题相混淆
.
专题2 分式方程 例12 如果方程
1x -2
+3=
1-x 2-x
有增根, 那么增根是 .
分析 因为增根是使分式的分母为零的根, 由分母x -2=0或2-x =0可得x =2. 所以增根是x =2.
答案: x =2
例13 若关于x 的方程
x -4x +a x -3
2
=0有增根, 则a 的值为 ( )
A .13 B . –11 C . 9 D .3
分析 因为所给的关于x 的方程有增根, 即有x -3=0, 所以增根是x =3. 而x =3一定是整式x 2-4x +a =0的根, 将其代入得32-4⨯3+a =0, 所以x =3.
答案: D
例14 a 何值时, 关于x 的方程
2x -2
+
ax x -4
2
=
3x +2
会产生增根?
分析 因为所给方程的增根只能是x =2或x =-2，所以应先解所给的关于x 的分式方程，求出其根，然后求a 的值.
解: 方程两边都乘以(x +2)(x -2) , 得2(x +2) ax =3(x -2). 整理得(a -1) x =-10. 当a = 1 时, 方程无解. 当a ≠1时, x =-
10a -1
.
如果方程有增根, 那么(x +2)(x -2) =0, 即x =2或x =-2. 当x =2时, -
10a -110a -1
=2, 所以a =-4;
当x =-2时, -=-2, 所以a = 6 .
所以当a =-4或a = 6原方程会产生增根. 专题4 利用分式方程解应用题
【专题探究】 列分式方程解应用题不同于列整式方程解应用题. 检验时，不仅要检验所得的解是否为分式方程的解，还要检验此解是否符合题意.
例15 在“情系海啸”捐款活动中，某同学对甲、乙两班捐款情况进行统计，得到如下三条信
息.
信息1：甲班共捐款300 元， 乙班共挡捐款232 元. 信息2: 乙班平均每人捐款钱数是甲班平均每人捐款钱数的信息3 : 甲班比乙班多2人.
请根据以上三条信息, 求出甲班平均每人捐款多少元. 解: 设甲班平均每人捐款x 元, 则乙班平均每人捐款
300x
23245x
45
45
.
x 元.
根据题意, 得=+2, 解这个方程得x =5.
经体验, x =5是原方程解.
例16 (08·山西) 某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，上市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第二批进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元.
（1）求第一批购进书包的单价是多少？
（2）若商店销售这两批书包，每个售价都是120元，全部售出生，商店共盈利多少元？ 分析 设第一反批购进书包的单价为x 元，则第二批购进的书包的单价为(x +4) ，第一批购进书包
2000x
个，第二批购进书包
6300x +4
个.
解: 设第一批购进书包的单价为x 元. 依题意, 得
2000x
⨯3=
6300x +4
,
整理, 得20(x +4) =21x , 解得x =80. 答: 第一批购进书包的单价为80元. 解法1: (2)
200080
⨯(120-80) +
630084
⨯(120-84) =1000+2700=3700(元).
答: 商店共盈利3700元. 解法2 :
200080
⨯(1+3) ⨯120-(2000+6300) =12000-8300=3700(元)
答: 商店共盈利3700元. 8. 分式方程
2x +1
=1x
的解是（ ）
A ．x =1 B ．x =－1 C ．x =4. 方程
2x -1
1x
13
D ．x =－
13
-=0的解是__________.
1x -1
15. 当x =___________时，有意义.
14
16. 当x =___________时，22. 解下列方程. (1)
2(x +1) x
2x +11x -322x -1
2
2
2+x 4+3x
的值为.
+
x
x +1x
-3=0；
（2）-
x -1
2
=0； x
（3）=2+
5
3-x
；
(4) +
1-2x
=1；
25. 桂林市城区百条小巷改造工程启动后，甲、乙两个工程队通过公开招标获得某小巷改造工程. 已知甲队完成这项工程的时间是乙队单独完成这项工程时间的
54
倍，由于乙队还有其他任
务，先由甲队独做55天后，再由甲、乙两队合做20天，完成了该项改造工程任务.
（1）若设乙队单独完成这项工程需x 天，请根据题意填写下表：
务各需多少天；
（3）这项改造工程共投资200万元，如果按完成的工程量付款，那么甲、乙两队可获工程款各多少万元？
26. 某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降，今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元.
（1）今年三月份甲种电脑每台售价为多少元？
（2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案？
（3）如果乙种电脑每台售价为3800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金a 元，要使（2）中所有方案获利相同，a 值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？
25. 解：（1）从左则到右，从上到下依次填
55×
45x
+20×(
45x
1x
54x , 45x , x ,
1x
. (2)根据题意，列方程得
54
x =100. 答：甲、乙
1
+) =1，解得x =80是原方程的根，且符合题意. 所以
两队单独完成这条小巷改造工程任务各需100天、80天. （3）甲工程队所获工程款为1
100
×
（55+20）=150（万元），乙工程队所获工程款为分别获得工程款150万元和50万元.
80
×20=50（万元）. 答：甲、乙工程队
26. 解：（1）设今年三月份甲种电脑每台售价为x 元，则
100000x +1000
=
80000x
，解得x =4000
元. 经检验x =4000是原方程的根，且符合题意，所以甲种电脑今年三月份每台售价为4000元. （2）设购进甲种电脑x 台，则48000≤3500x +3000(15－x )≤50000，解得6≤x ≤10.因为x 的正整数解为6，7，8，9，10，所以共有5种进货方案. （3）设总获利为ω元，则ω=（4000－3500）x +（3800－3000－a ）(15－x )=（a －300）x +12000－15a . 当a =300时，（2）中所有方案获利相同，此时，购买甲种电脑6台，乙种电脑9台，对公司更有利.
专题3 一元二次方程
【专题解读】涉及一元二次方程定义的问题，应注意强调二次项系数不为0，不要忽略某些题目中的隐含条件.
例1 已知（m －1）x |m |+1+3x －2＝0是关于x 的一元二次方程，求m 的值.
分析 依题意可知m －1≠0与|m |+1＝2必须同时成立，因此求出满足上述两个条件的m 的值即可.
解：依题意得|m |+1＝2，即|m |＝1， 解得m ＝±1，
又∵m －1≠0，∴m ≠1， 故m ＝－1.
【解题策略】解决此类问题的关键是牢记并理解一元二次方程的定义，特别是二次项系数应为非零数这一隐含条件要注意.
专题2 一元二次方程的解法
【专题解读】解一元二次方程时，主要考虑降次，其解法有直接开平方法、因式分解法、配方法及公式法，在具体的解题过程中，应结合具体的方程的特点选择简单、恰当的方法.
例2 用配方法解一元二次方程2x +1＝3 x. 分析 本题考查配方法解方程的步骤. 解：移项，得2x 2－3 x＝－1， 二次项系数化为1，得x -
3434
2
2
2
32
x =-
12
,
配方，得(x -) =
116
.
12
由此可得x -=±
14
, ∴x 1=1, x 2=
.
【解题策略】在二次系数为1的前提下，方程两边都加上一次项系数一半的平方. 例3 一元二次方程3x 2－x ＝0的解是（ ） A . x ＝0 B . x 1＝0，x 2＝3 C . x =0, x 2=
1
13
D . x =
13
分析 根据本题特点应采用因式分解法，将原方程化为x (3x －1) ＝0，易求出x ＝0或3x －1＝0，问题得解. 故选C .
【解题策略】方程易转化为两个一次式乘积为0的形式，可采用因式分解法来解方程. 例4 解方程x 2－2x －2＝0.
分析 结合方程特点，本题可采用公式法或配方法求解. 解法1：∵a ＝1，b ＝－2，c ＝－2， ∴b 2－4ac ＝（－2）2－4×1×（－2）＝12， ∴x
＝
-b ±
2a
=
-(-2) ±2
=1±
x 1=1+x 2=1-
解法2：移项，得x 2－2x ＝2， 配方得x 2－2x +1＝3，
2
即（x －1）＝3，∴x －1
＝
x 1=1+
x 2=1-
【解题策略】 一元二次方程的解法中，配方法及公式法是“万能”的方法. 专题3 与方程的根有关的问题
【专题解读】 这部分内容主要考查已知方程的一根求字母的值，或者是根与系数及判别式相联系的问题.
例5 解下列方程，将所得到的解填入下面表格中：
（1 （2）一般地，对于关于x 的方程x 2+px +q ＝0（p ，q 为常数，且p 2－4q ≥0）来说，是否也具备（1）中你所发现的规律？如果具备，请你写出规律，并说明理由；如果不具备，请举出反例.
分析 这是一道探究规律的试题，解决此题应按照题中所给顺序逐项认真完成，仔细观察，能发现一元二次方程的根与系数的关系.
解：填表如下：
于常数项.
（2）对方程x 2+px +q ＝0（p ，q 为常数，且p 2－4q ≥0）来说也具备同样的规律. 设方程x 2+px +q ＝0的两根为x 1，x 2，则x 1+x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ， 理由如下：
∵p －4q ≥0，∴方程x +px +q ＝0有两个实数根， ∴x 1=
222
x 2=
22
-2p 2
∴x 1+x 22
+
==-p ,
x 1·x 2
2
2
4q 4
4
=
p -(p -4q )
4
22
= =q ，
即x 1+x 2＝－p ，x 1·x 2＝q .
例6 若a 是关于x 的方程x 2+bx +a ＝0的根，且a ≠0，则由此可得求得下列代数式的值恒为常数的是（ ）
A . ab B .
b a
C . a +b D . a －b
分析 此题应由根的意义入手，将a 代入方程等得到关于a ，b 的一个方程，再通过因式分解进行求解. 把x ＝a 代入方程x 2+bx +a ＝0，得a 2+ab +a ＝0，∴a (a +b +1)＝0，又∵a ≠0，∴a +b +1＝0，即a +b ＝－1. 故选C .
【解题策略】本题将方程解的意义、方程的解法融为一体，体现了消元、降次的转化思想，具有一定的探究性，而且此题在设计思路上跳出了固定套路，是一道具有创新意识的题.
专题4 一元二次方程的应用
【专题解读】利用一元二次方程解决实际问题时，应根据具体问题找到等量关系，进而列出方程，另外，对方程的解要注意合理进行取舍.
例7 乌鲁木齐农牧区校舍改造工程初见成效，农牧区最漂亮的房子是校舍，2005年市政府对农牧区校舍改造的投入资金是5786万元，2007年校舍改造的投入资金是8050.9万元，若设这两年投入农牧区校舍改造资金的年平均增长率为x ，则根据题意列方程得 .
分析 本题考查一元二次方程在增长率问题中的应用. 因两年投入农牧区校舍改造资金的年平均增长率为x ，则2006年投入资金是5786（1+x ）万元，2007年的投入资金是5786（1+x ）
2
万元，故所求方程为5786（1+x ）2＝8058.9.
【解题策略】有关增长率问题的常用公式为a （1+x ）n ＝b （n 为正整数）. 二、规律方法专题
专题5 一元二次方程的解法技巧
【专题解读】除了常见的几种一元二次方程的解法外，对于特殊类型的方程，可采用特殊
的方法.
1. 换元法
例8 如果（2m +2n +1）（2m +2n －1）＝63，那么m +n 的值是 .
分析 把m +n 看做一个整体求解. 设m +n ＝x ，则原方程化为（2x +1）（2x －1）＝63，整理，得4x 2＝64，解得x ＝±4，∴m +n ＝±4. 故填±4.
例9 解方程（3x +2）－8（3x +2）+15＝0.
分析 此题可以把原方程展开为一般形式，运用公式法、因式分解法或配方法求解，但都比较麻烦，观察题目的结构可知把3x +2看做一个整体，设为t ，则原方程就可化成关于未知数t 的一元二次方程.
解：设3x +2＝t ，原方程化为t 2－8t +15＝0， ∴t 1＝3，t 2＝5.
当t ＝3时，3x +2＝3，∴x ＝
13
2
；
当t ＝5时，3x +2＝5，∴x ＝1. ∴原方程的根为x 1＝
13
，x 2＝1.
【解题策略】 本题也可直接分解为[(3x +2)－3][ (3x +2)－5]＝0，即（3x －1）（3x －3）＝0，用因式分解法解得x 1＝
13
，x 2＝1.
例10 解方程（x +2）（x +3）（x －4）（x －5）＝44.
分析 解方程的基本思想是“降次”，例如把一元二次方程降次，转化为两个一元二次方程. 本题是一个一元四次方程，我们可尝试用因式分解法把方程的左边进行因式分解（方程的右边为0）.
解：原方程转化为（x +2）（x +3）（x －4）（x －5）－44＝0， [（x +2）（x －4）][ （x +3）（x －5）] －44＝0， （x 2－2x －8）（x 2－2x －15）－44＝0，
令x 2－2x ＝y ，则原方程化为（y －8）（y －15）－44＝0， ∴y 2－23y +76＝0， ∴y 1＝4，y 2＝19.
当y ＝4时，x 2－2x ＝4
，∴x 1=1+
x 2=1-
当y ＝19时，x 2－2x ＝19
，∴x 3=1+x 4=1- ∴
原方程的根是x 1=1+2. 配方法
例11 先用配方法说明：无论x 取何值，代数式x －6x +10的值部大于0；再求出当x 取何值时，代数式x 2－6x +10的值最小，最小值是多少.
解：x 2－6x +10＝x 2－6x +32+（10－32）＝（x －3）2+1.
2
x 2=
1-x 3=1+x 4=1-
∵（x －3）≥0，∴（x －3）+1＞0，
∴无论x 取何值，代数式x 2－6x +10的值部大于0. 当x －3＝0，即x ＝3时，(x －6x +10)最小＝1.
例12 若实数m ，n ，p 满足m －n ＝8，mn +p 2+16＝0，则m +n +p 的值为（ ） A . －1 B . 0 C .1 D .2
分析 本题有三个未知数m ，n ，p 给出两个关系式，思路应放在消元转化上. 由m －n ＝8，得m ＝n +8，将m ＝n +8代入mn +p 2+16＝0中，得n (n －8)+p 2+16＝0，∴n 2+8n +16+p 2
＝0，即（n +4）2+p ＝0，又∵（n +4）≥0，p ≥0，且（n +4）+p ＝0，∴⎨
⎧n =-4, 解得⎨∴m +n +p =4+(-4) +0=0. 故选B .
⎩p =0,
2
2
2
2
2
2
22
⎧n +4=0，⎩p =0,
3. 构造法
例13 解方程3x +11x +10＝0.
解：原方程两边同时乘3，得(3x ) +11×3x +30=0， ∴（3x +5）(3x +6)=0, ∴3x +5=0,或3x +6=0， ∴x 1=-
53
, x 2=-2.
2
2
4. 特殊解法
例14 解方程（x －1994）（x －1995）=1996×1997.
分析 观察方程可知1994+1997=1995+1996，1994－1996=1995－1997，并且一元二次方程最多只有两个实数解，则可用特殊的简便解法求解.
解：方程组⎨
⎧x -1994=1997, ⎩x -1995=1996
的解一定是原方程的解，
解得x =3991， 方程组⎨
⎧x -1994=-1996, ⎩x -1995=-1997
的解也一定是原方程的解，
解得x =－2，
∵原方程最多只有两个实数解， ∴原方程的解为x 1=3991，x 2=－2.
【解题策略】解本题也可采用换元法. 设x －1995=t ，则x －1994=t +1，原方程化为t （t +1）
=1996×1997，∴t 2+t －1996×1997=0，∴（t +1997）（t －1996）=0，∴t +1997=0,或t －1996=0，∴t 1=－1997，t 2=1996.当t =－1997时，x －1995=－1997，∴x =－2；当t =1996时，x －1995=1996,∴x =3991.∴原方程的解为x 1=－2，x 2=3991.
三、思想方法专题 专题6 建模思想
【专题解读】 建模思想是指根据实际问题中数量之间的关系建立方程模型表达这个等量关系，通过解方程来解决实际问题.
例15 经过两年的连续治理，某城市的大气环境有了明显改善，其每年每平方公里的降尘量从50吨下降到40.5吨，则平均每年下降的百分率是 .
分析 根据题意，设所求百分率为x ，则有50（1－x ）2=40.5，解得x 1=1.9，x 2=0.1，而1.9＞1，不合题意，舍去，故x =0.1.故平均每年下降的百分率是10%.故填10%.
【解题策略】利用一元二次方程解实际问题时，方程的解一定要符合实际意义. 在建立方程模型解决实际问题时，应找准对应的数量关系.
综合验收评估测试题
（时间：1 20分钟 满分：120分）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 将方程3x (x +2)－4x +6=6x 2+4化为一元二次方程的一般形式后，其二次项系数和一次系数分别为（ ）
A . －3，－6 B .3，6 C .3，－6 D .3，－2 2. 方程2x (x －3)=5（x －3）的根是（ ） A . x =
52
B .3
52
52
C . x 1=3, x 2= D . x 1=-, x 2=-3
3. 若关于x 的一元二次方程kx 2－2x －1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） A . k ＜－1 B . k ＞－1，且k ≠0 C . k＜1 D . k ＜1，且k ≠0
4. 若一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)中的a +b +c =0，则该方程必有一根为（ ） A .0 B .1 C . －1 D .±1
5. 下列方程没有实数根的是（ ）
A .4（x 2+2）=3x B .5(x 2－1) －x =0 C . x －x =100 D .9x －24x +16=0 6. 若代数式x 2+8x +m 是一个完全平方式，则m 的值为（ ）
A .4 B . －4 C .16 D . －16
7. 三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x －16x +60=0的一个实数根，则该三角形的面积是（ ）
A .24 B .24
或 C .48 D
.
8. 为解决药价偏高给老百姓带来的求医难的问题，国家决定对某药品价格连续两次降价，若设平均每次降价的百分率为x ，该药品的原价是m 元，降价后的价格是y 元，则y 与x 之间的函数关系式是（ ）
A . y =2m (1－x ) B . y=2m (1+x ) C . y=m (1－x ) D . y=m (1+x )
2
2 2
2
2
9. 关于x 的方程（m －3）x m 2－8m +17+6x －1=0是一元二次方程的条件是（ ） A . m =2 B . m =3 C . m =5 D . m =3或m =5 10. 已知ac ＜0，则方程ax －bx +c =0的根的情况是（ ）
A . 有两个相等的实数根 B . 有两个不相等的实数根 C . 没有实数根 D . 只有一个实数根 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 方程x －2x －3=0的根是 . 12. x 2+6x + =(x +3)2.
13. 已知方程mx 2－mx +2=0有两个相等的实数根，则m 的值为 . 14. 若x =1是一元二次方程x 2+x +c +=0的一个解，则c 2= . 15. 当x x +2x -3x -1
2
2
2
的值为0.
16. 要用一条长30 cm 的铁丝围成一个斜边长为13 cm 的直角三角形，则两直角边长分别为 .
17. 已知一元二次方程有一个根是2. （填一个即可） 18. 若关于x 的一元二次方程x +(k +3)x +k =0的一个根是－2，则另一个根是三、解答题（第19~24小题各9分，第25小题12分，共66分） 19. 请用两种不同的方法解方程（x +3）（x +1）=2x +6.
2
2. 当m 为何值时，关于x 的一元二次方程x 2-4x +m -这两个实数根是多少？
12
=0有两个相等的实数根？此时
21. 已知关于x 的一元二次方程x 2+(m －2) x －m －1=0，试说明无论m 取何值，这个方程总有两个不相等的实数根.
2
（c -1）=0，求方程ax +bx +c =0的22. 已知a ，b ，c
b +4+
2
解.
23. 在高尔夫球比赛中，某运动员打出的球在空中飞行的高度h (m ) 与打出后的飞行时间（t s ）之间的关系式是h =－t (t －7).
（1）经过多少秒球飞行的高度为10 m ？ （2）经过多少秒球双落到地面上？
24. 如图22-13所示，在长为10 cm ，宽为8 cm 的矩形的四周截四个全等的小正方形，使得留下的图形的面积是原矩形面积的80%，求所截去的小正方形的边长.
25. 某商店从厂家以每件21元的价格构进一批商品，该商店可以自己定价，
若每件商品售价为a 元，则可卖出（350－10a ）件，但特价局限定每件商品加价不能超过进价的20%，商店计划要赚400元，需要卖出多少价商品？每件商品的售价为多少元？
参考答案
1. D [提示：先化成一般形式为3x 2－2x －2=0.] 2. C [提示：用因式分解法求解即可.]
3. B [提示：k ≠0，(－2) －4k （－1）＞0，k ＞－1，且k ≠0.]
4. B [提示：由已知可得a +b +c =0，而当x =1时，方程ax 2+bx +c =0可化为a +b +c =0，所以该方程必有一根是1.]
2
5. A [提示：用根的判别式△=b －4ac 逐一判断.] 6. C [提示：m 等于8的一半的平方为16.]
7. B [提示：由x －16x +60=0可知x =6，或x =10，因为三角形两边长为6和8，所以三角形的第三边的边长x 应满足三角形三边关系，即2＜x ＜14，所以三角形的第三边长为6或10. 当第三边长为10时，由勾股定理的逆定理可知62+82=102，即这是一个直角三角形，其面积为
12
⨯6⨯8=24；当x =6时，这个三角形是一个等腰三角形，则其底边上的高
为
2
2
=
=12
⨯8⨯2⨯=综上所述，这个
三角形的面积为24
或
8. C
9. C [提示：m －8m +17=2，且m －3≠0，∴m =5.]
10. B [提示：△=（－b ）2－4ac =b 2－4ac ，∵ac ＜0，∴△＞0.] 11.x 1=3，x 2=－1 12.9
13.8[提示：由题意可知△=（－m ）2－4·m ·2=0，且m ≠0，所以m =8.] 14.4[提示：把x =1代入x +x +c =0，得c =－2，∴c =4.] 15. －3[提示：x 2+2x －3=0，且x －1≠0.]
16.5 cm 和12 cm [提示：设其中一条直角边长为x cm ，则另一直角边长为（17－x ）cm ，由题意，得x 2+（17－x ）2=132，解得x 1=5，x 2=12.]
17. x 2=4（答案不唯一）
18. x =1[提示：把x =－2代入x +(k +3)x +k =0，得4－2（k +3）+k =0，∴k =－2，∴方程为x +x－2=0，解得x 1=－2，x 2=1.]
19. 解法1：（因式分解法）（x +3）(x +1)－（2x +6）=0，∴（x +3）(x +1－2)=0，∴x +3=0或x －1=0，∴x 1=－3，x 2=1.解法2：去括号得x 2+4x +3=2x +6，x 2+2x －3=0，x 2+2x =3，∴x 2+2x +1=4. ∴（x +1）=4，∴x +1=±2. ∴x 1=－3，x 2=1.
20. 解：依题意得△=（－4）2－4 m -
⎝⎛
991⎫
，所以m =, 故当m =时，=16-4m +2=0⎪
222⎭
2
2
2
2
2
2
此方程有两个相等的实数根，此时x 1=x 2=2.
21. 解：△=（m －2）－4×1×（－m －1）=m －4m +4+4m +4=m +8，∵无论m 取什么值，m ≥0，∴m +8＞0，∴△m +8＞0，∴无论m 取何实数，原方程总有两个不相等的实数根.
2
22.
b +4+(c -1) =0,
2222
22
=0, b +4=0, c -1=0. ∴a =3,b =－4, c =1.∴方程为3x 2－4x +1=0，b 2－4ac =(－4) 2－4×3×1=4.
∴x =
4±
=4+26
2⨯3
x 1=1，x 2= , ∴
13
.
23. 解：（1）由题意可知10=－t (t －7) ，∴t 2－7t +10=0，∴t 1=2,t 2=5，∴经过2 s 或5 s 球飞行的高度为10 m .(2)当h =0时，－t (t －7)=0，∴t 1=0,t 2=7，∵t =0不符合题意，故舍去. ∴t =7，即经过7 s 球双落到地面上.
24. 解：设截去小正方形的边长为x cm ，由题意，得10×8－4x 2=10×8×80%，解得x 1=2,x 2=－2（舍去）. 答：所截去的小正方形的边长为2 cm .
25. 提示：求出方程的解后，一定要检验所求得的解是否符合要求，不符合要求的要舍去. 解：设每件商品的售价为x 元，才能使商店赚400元，依题意，得（x －21）（350－10x ）=400整理，得x 2－56x +775=0，解得x 1=25，x 2=31.又因为21×（1+20%）=25.2，而x 1＜25.2，x 2＞25.2，所以x 2=31（舍去）. 当x =25时，
40025-21
=100（件）.
答：该商品需要卖出100件商品，每件商品售价为25元才能使商店赚400元.
综合验收评估测试题
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题
⎧2x -y =m ,
1．在方程组⎨中，若未知数x,y 满足x+y>0，则m 的取值范围在数轴上的表示
2y -x =1⎩
是图9－61中的（ ）
2．已知关于x 的不等式（1－a ）x >2的解集为x 0 B ．a >1 C ．a
21-a
，则a 的取值范围是（ ）
3．如果不等式组⎨
⎧x >2m +1, ⎩x >m +2
的解集是x >－1，那么m 的值是（ ）
A ．1 B ．3 C ．－1 D ．－3
4．若三个连续的自然数的和不大于12，则符合条件的自然数有（ ） A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组
⎧x
5．已知关于x 的不等式组⎨x >-1, 无解，则a 的取值范围是（ ）
⎪x >a ⎩
A ．a ≤－1 B ．a ≥2 C ．－12 6.
函数y =
x 的取值范围是（ ）
A ．x >－2 B ．x ≥－2 C ．x ≠－2 D ．x ≤－2
7. 已知三角形的两边长分别为4cm 和9cm ，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（ ）
A ．13cm B ．6cm C ．5cm D ．4cm 8. 如果a0 B ．a+b
a b
9. 不等式3－2x ≤7的解集是（ ）
A ．x ≥－2 B ．x ≤－2 C ．x ≤－5 D ．x ≥－5 10．若不等式组⎨
⎧x +a ≥0, ⎩1-2x >x -2
有解，则a 的取值范围是（ ）
A ．x >－1 B ．a ≥－1 C ．a ≤1 D ．a
⎧x -a
11．若a
x -b >0⎩
12. 当a
⎧3x -2>4,
13. 不等式组⎨的解集是_________.
2x +3>5⎩
⎧x >3,
14．如果一元一次不等式组⎨的解集为x >3，那么a 的取值范围是______.
x >a ⎩
15. 已知一元一次方程3x －m +1=2x －1的根是负数，那么m 的取值范围是________.
16．若代数式1-
x -22
的值不小于
1+3x 3
的值，则x 的取值范围是________.
⎧2x -5
17．不等式组⎨x +1的所有整数解的和是________.
≥1⎪
⎩2
x ⎧x +4
>+1, ⎪
18．若关于x 的不等式组⎨3的解集为x
⎪x +a
三、解答题
19．解不等式5x －12≤2(4x －3). 20．解下列不等式（组）. （1）x -
x 2
3x -825x +73
+1≥
2(10-x )
73x -54
;
（2）-≥1-；
1⎧1x -x >-1, ⎪
（3）⎨2 3
⎪2(x -3) -3(x -2)
（4）5≤
3x +52
-1≤8.
⎧x +y =-7-a ,
21．已知方程组⎨的解x 为非正数，y 为负数，求a 的取值范围.
x -y =1+3a ⎩
22．已知正整数x 满足
x -27
5
2x
的值.
23．若干名学生合影留念，照相费为2.85元（含两张照片）. 若想另外加洗一张照片, 则又需收费0.48元, 预定每人平均交钱不超过1元, 并都能分到一张照片, 则参加照相的至少有几名学生?
24. 星期天，小明和七名同学共8人去郊游，途中，他用20元钱去买饮料，商店只有可乐和奶茶，已知可乐2元一杯，奶茶3元一杯，且20元钱刚好用完.
(1)有几种购买方式? 每种方式可乐和奶茶各买多少杯? (2)每人至少一杯饮料且奶茶至少两杯时, 有几种购买方式?
25. 据统计，2008年底义乌市共有耕地267000亩，户籍人口724000人，2004年底至2008年底户籍人口平均每两年约增加2%，假设今后几年继续保持这样的增长速度. （本题计算结果
精确到个位）
（1）预计2012年底义乌市户籍人口约是多少人；
（2）为确保2012年底义乌市人均耕地面积不低于现有水平，预计2008年底至2012年底平均每年耕地总面积至少应该增加多少亩.
26．迎接大运，美化深圳，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A ，B 两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A 种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B 种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆.
(1)某校九年级(一) 班课外活动小组承接了这个园林造型搭配方案的设计, 则符合题意的搭配方案有几种? 请你帮助设计出来;
(2)若搭配一个A 种造型的成本是800元, 搭配一个B 种造型的成本是960元, 试说明(1)中哪种方案成本最低, 最低成本是多少元?
中考数学专题复习——方程（组）与不等式组
专题1 不等式（组）的实际应用
【专题解读】利用不等式（组）解决实际问题的步骤与列一元一次不等式解应用题的步骤类似，所不同的是，前者需寻求的不等关系往往不止一个，而后者只需找出一个不等关系即可.
在列不等式(组) 时, 审题是基础, 根据不等关系列出不等式组是关键. 解出不等式组的解集后, 要养成检验不等式的解集是否合理, 是否符合实际情况的习惯. 即审题→设一个未知数→找出题中所有的数量关系, 列出不等式组→解不等式组→检验.
例1 2008年8月，北京奥运会帆船比赛将在青岛国际帆船中心举行. 观看帆船比赛的船票分为两种:A 种船票600元/张, B 种船票120元/张. 某旅行社要为一个旅行团代购部分船票, 在购票费不超过5000元的情况下, 购买A , B 两种船票共15张, 要求A 种船票的数量不少于B 种船票数量的一半. 若设购买A 种船票x 张, 请你解答下列问题.
(1)共有几种符合题意的购票方案? 写出解答过程. (2)根据计算判断哪种购票方案更省钱. 解: (1)由题意知购买B 种船票(15－x ) 张. 15-x ⎧
, ⎪x ≥
根据题意, 得⎨ 2
⎪600x +120(15-x ) ≤5000. ⎩
解得5≤x ≤
203
.
因为x 为正整数, 所以满足条件的x 为5或6. 所以共有两种购票方案.
方案一:购买A 种票5张, B 种票10张. 方案二:购买A 种票6张, B 种票9张.
(2)方案一的购票费用为600×5+120×10=4200(元); 方案二的购票费用为600×6+120×9=4680(元). 因为4500元
【解题策略】运用不等式知识解决实际问题, 关键是把实际问题的文字语言转化为数学符号语言.
专题2 求一元一次不等式（组）的特殊值
【专题解读】在此类问题中，一般给出一个一元一次不等式（组），然后在解集的范围内限制取值，解决的方法通常是先求出不等式（组）的解集，再由题意求出符合条件的数值.
例2 求不等式
1+x 2
≥
2x -13
的非负整数解.
分析 先解不等式, 求出x 的取值范围, 在x 的取值范围内找出非负整数解, 求非负整数解时注意不要漏解.
解:解不等式
1+x 2
≥2x -13
, 得x ≤5.
所以不等式的非负整数解是5,4,3,2,1,0. 【解题策略】此题不能忽略0的答案. 专题3 一元一次不等式(组) 中求参数的技巧
【专题解读】由已知不等式(组) 的解集或整数解来确定选定系数的值或待定系数的取值范围, 常用的方法是先用解不等式(组) 的方法解出含待定系数的不等式(组) 的解集, 再代入已给出的条件中, 即可求出待定系数的值.
例3 已知关于x 的不等式组⎨
⎧x -b ≤0, ⎩2x -4≥5
的整数解共有3个, 则b 的取值范围是______.
分析 化简不等式组, 得⎨
⎧x ≤b , ⎩x ≥4.5.
如图9－59所示, 将其表示在数轴上, 其整数解有3个, 即为
x =5,6,7.由图可知7≤b
例4 已知关于x 的不等式(2－a)x >3的解集为x 0 B . a >2 C . a
分析 分析题中不等式解集的特点, 结合不等式的性质3, 可知2－a 2.故选B . 三、思想方法专题 专题4 数形结合思想
【专题解读】在解有关不等式的问题时，有些问题需要我们借助图形来给出解答. 解决此类问题时，要充分利用图形反馈的信息，或将文字信息反馈到图形上，做到有数思形，有形思数，顺利解决问题.
-32-a
, 则a 的取值范围是( )
例5 关于x 的不等式2x －a ≤－1的解集如图9－60所示，则a 的取值是（ ） A ．0 B ．－3 C ．－2 D ．－1
分析 由图9－60可以看出，不等式的解集为x ≤－1，而由不等式2x －a ≤－1，解得x ≤
a -12
a -12
,
所以=－1，解这个方程，得a =－1. 故选D .
专题5 分类讨论思想
【专题解读】在利用不等式(组) 解决实际问题中的方案选择、优化设计以及最大利润等问题时，为了防止漏解和便于比较，我们常常用到分类讨论思想对方案的优劣进行探讨.
例6某校准备组织290名学生进行野外考察活动，行李共有100件, 学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共8辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李.
(1)设租用甲种汽车x 辆, 请你帮助学校设计所有可能的租车方案;
(2)如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元、1800元，那么请你帮助学校选出最省钱的一种租车方案.
分析 本题考查利用不等式组设计方案并做出决策的问题. 根据题中的不等关系可列出不等式组, 解不等式组求出x 的取值, 从而解答本题.
解:(1)设租用甲种汽车x 辆, 则租用乙种汽车(8－x ) 辆. 根据题意得⎨
⎧40x +30(8-x ) ≥290, ⎩10x +20(8-x ) ≥100,
解得5≤x ≤6.
因为x 为整数, 所以x =5或x =6.
故有两种租车方案, 方案一:租用甲种汽车5辆、乙种汽车3辆. 方案二、租用甲种汽车6辆、乙种汽车2辆.
（2）方案一的费用：5×2000+3×1800=15400（元）. 方案二的费用:6×2000+2×1800=15600(元). 因为15400元
答:第一种租车方案更节省费用, 即租用甲种汽车5辆、乙种汽车3辆.
【解题策略】解答设计方案的问题时, 要注意不等式组的解集必须符合实际问题的要求, 不能把数学问题与实际问题相混淆
.
专题2 分式方程 例12 如果方程
1x -2
+3=
1-x 2-x
有增根, 那么增根是 .
分析 因为增根是使分式的分母为零的根, 由分母x -2=0或2-x =0可得x =2. 所以增根是x =2.
答案: x =2
例13 若关于x 的方程
x -4x +a x -3
2
=0有增根, 则a 的值为 ( )
A .13 B . –11 C . 9 D .3
分析 因为所给的关于x 的方程有增根, 即有x -3=0, 所以增根是x =3. 而x =3一定是整式x 2-4x +a =0的根, 将其代入得32-4⨯3+a =0, 所以x =3.
答案: D
例14 a 何值时, 关于x 的方程
2x -2
+
ax x -4
2
=
3x +2
会产生增根?
分析 因为所给方程的增根只能是x =2或x =-2，所以应先解所给的关于x 的分式方程，求出其根，然后求a 的值.
解: 方程两边都乘以(x +2)(x -2) , 得2(x +2) ax =3(x -2). 整理得(a -1) x =-10. 当a = 1 时, 方程无解. 当a ≠1时, x =-
10a -1
.
如果方程有增根, 那么(x +2)(x -2) =0, 即x =2或x =-2. 当x =2时, -
10a -110a -1
=2, 所以a =-4;
当x =-2时, -=-2, 所以a = 6 .
所以当a =-4或a = 6原方程会产生增根. 专题4 利用分式方程解应用题
【专题探究】 列分式方程解应用题不同于列整式方程解应用题. 检验时，不仅要检验所得的解是否为分式方程的解，还要检验此解是否符合题意.
例15 在“情系海啸”捐款活动中，某同学对甲、乙两班捐款情况进行统计，得到如下三条信
息.
信息1：甲班共捐款300 元， 乙班共挡捐款232 元. 信息2: 乙班平均每人捐款钱数是甲班平均每人捐款钱数的信息3 : 甲班比乙班多2人.
请根据以上三条信息, 求出甲班平均每人捐款多少元. 解: 设甲班平均每人捐款x 元, 则乙班平均每人捐款
300x
23245x
45
45
.
x 元.
根据题意, 得=+2, 解这个方程得x =5.
经体验, x =5是原方程解.
例16 (08·山西) 某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，上市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第二批进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元.
（1）求第一批购进书包的单价是多少？
（2）若商店销售这两批书包，每个售价都是120元，全部售出生，商店共盈利多少元？ 分析 设第一反批购进书包的单价为x 元，则第二批购进的书包的单价为(x +4) ，第一批购进书包
2000x
个，第二批购进书包
6300x +4
个.
解: 设第一批购进书包的单价为x 元. 依题意, 得
2000x
⨯3=
6300x +4
,
整理, 得20(x +4) =21x , 解得x =80. 答: 第一批购进书包的单价为80元. 解法1: (2)
200080
⨯(120-80) +
630084
⨯(120-84) =1000+2700=3700(元).
答: 商店共盈利3700元. 解法2 :
200080
⨯(1+3) ⨯120-(2000+6300) =12000-8300=3700(元)
答: 商店共盈利3700元. 8. 分式方程
2x +1
=1x
的解是（ ）
A ．x =1 B ．x =－1 C ．x =4. 方程
2x -1
1x
13
D ．x =－
13
-=0的解是__________.
1x -1
15. 当x =___________时，有意义.
14
16. 当x =___________时，22. 解下列方程. (1)
2(x +1) x
2x +11x -322x -1
2
2
2+x 4+3x
的值为.
+
x
x +1x
-3=0；
（2）-
x -1
2
=0； x
（3）=2+
5
3-x
；
(4) +
1-2x
=1；
25. 桂林市城区百条小巷改造工程启动后，甲、乙两个工程队通过公开招标获得某小巷改造工程. 已知甲队完成这项工程的时间是乙队单独完成这项工程时间的
54
倍，由于乙队还有其他任
务，先由甲队独做55天后，再由甲、乙两队合做20天，完成了该项改造工程任务.
（1）若设乙队单独完成这项工程需x 天，请根据题意填写下表：
务各需多少天；
（3）这项改造工程共投资200万元，如果按完成的工程量付款，那么甲、乙两队可获工程款各多少万元？
26. 某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降，今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元.
（1）今年三月份甲种电脑每台售价为多少元？
（2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案？
（3）如果乙种电脑每台售价为3800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金a 元，要使（2）中所有方案获利相同，a 值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？
25. 解：（1）从左则到右，从上到下依次填
55×
45x
+20×(
45x
1x
54x , 45x , x ,
1x
. (2)根据题意，列方程得
54
x =100. 答：甲、乙
1
+) =1，解得x =80是原方程的根，且符合题意. 所以
两队单独完成这条小巷改造工程任务各需100天、80天. （3）甲工程队所获工程款为1
100
×
（55+20）=150（万元），乙工程队所获工程款为分别获得工程款150万元和50万元.
80
×20=50（万元）. 答：甲、乙工程队
26. 解：（1）设今年三月份甲种电脑每台售价为x 元，则
100000x +1000
=
80000x
，解得x =4000
元. 经检验x =4000是原方程的根，且符合题意，所以甲种电脑今年三月份每台售价为4000元. （2）设购进甲种电脑x 台，则48000≤3500x +3000(15－x )≤50000，解得6≤x ≤10.因为x 的正整数解为6，7，8，9，10，所以共有5种进货方案. （3）设总获利为ω元，则ω=（4000－3500）x +（3800－3000－a ）(15－x )=（a －300）x +12000－15a . 当a =300时，（2）中所有方案获利相同，此时，购买甲种电脑6台，乙种电脑9台，对公司更有利.
专题3 一元二次方程
【专题解读】涉及一元二次方程定义的问题，应注意强调二次项系数不为0，不要忽略某些题目中的隐含条件.
例1 已知（m －1）x |m |+1+3x －2＝0是关于x 的一元二次方程，求m 的值.
分析 依题意可知m －1≠0与|m |+1＝2必须同时成立，因此求出满足上述两个条件的m 的值即可.
解：依题意得|m |+1＝2，即|m |＝1， 解得m ＝±1，
又∵m －1≠0，∴m ≠1， 故m ＝－1.
【解题策略】解决此类问题的关键是牢记并理解一元二次方程的定义，特别是二次项系数应为非零数这一隐含条件要注意.
专题2 一元二次方程的解法
【专题解读】解一元二次方程时，主要考虑降次，其解法有直接开平方法、因式分解法、配方法及公式法，在具体的解题过程中，应结合具体的方程的特点选择简单、恰当的方法.
例2 用配方法解一元二次方程2x +1＝3 x. 分析 本题考查配方法解方程的步骤. 解：移项，得2x 2－3 x＝－1， 二次项系数化为1，得x -
3434
2
2
2
32
x =-
12
,
配方，得(x -) =
116
.
12
由此可得x -=±
14
, ∴x 1=1, x 2=
.
【解题策略】在二次系数为1的前提下，方程两边都加上一次项系数一半的平方. 例3 一元二次方程3x 2－x ＝0的解是（ ） A . x ＝0 B . x 1＝0，x 2＝3 C . x =0, x 2=
1
13
D . x =
13
分析 根据本题特点应采用因式分解法，将原方程化为x (3x －1) ＝0，易求出x ＝0或3x －1＝0，问题得解. 故选C .
【解题策略】方程易转化为两个一次式乘积为0的形式，可采用因式分解法来解方程. 例4 解方程x 2－2x －2＝0.
分析 结合方程特点，本题可采用公式法或配方法求解. 解法1：∵a ＝1，b ＝－2，c ＝－2， ∴b 2－4ac ＝（－2）2－4×1×（－2）＝12， ∴x
＝
-b ±
2a
=
-(-2) ±2
=1±
x 1=1+x 2=1-
解法2：移项，得x 2－2x ＝2， 配方得x 2－2x +1＝3，
2
即（x －1）＝3，∴x －1
＝
x 1=1+
x 2=1-
【解题策略】 一元二次方程的解法中，配方法及公式法是“万能”的方法. 专题3 与方程的根有关的问题
【专题解读】 这部分内容主要考查已知方程的一根求字母的值，或者是根与系数及判别式相联系的问题.
例5 解下列方程，将所得到的解填入下面表格中：
（1 （2）一般地，对于关于x 的方程x 2+px +q ＝0（p ，q 为常数，且p 2－4q ≥0）来说，是否也具备（1）中你所发现的规律？如果具备，请你写出规律，并说明理由；如果不具备，请举出反例.
分析 这是一道探究规律的试题，解决此题应按照题中所给顺序逐项认真完成，仔细观察，能发现一元二次方程的根与系数的关系.
解：填表如下：
于常数项.
（2）对方程x 2+px +q ＝0（p ，q 为常数，且p 2－4q ≥0）来说也具备同样的规律. 设方程x 2+px +q ＝0的两根为x 1，x 2，则x 1+x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ， 理由如下：
∵p －4q ≥0，∴方程x +px +q ＝0有两个实数根， ∴x 1=
222
x 2=
22
-2p 2
∴x 1+x 22
+
==-p ,
x 1·x 2
2
2
4q 4
4
=
p -(p -4q )
4
22
= =q ，
即x 1+x 2＝－p ，x 1·x 2＝q .
例6 若a 是关于x 的方程x 2+bx +a ＝0的根，且a ≠0，则由此可得求得下列代数式的值恒为常数的是（ ）
A . ab B .
b a
C . a +b D . a －b
分析 此题应由根的意义入手，将a 代入方程等得到关于a ，b 的一个方程，再通过因式分解进行求解. 把x ＝a 代入方程x 2+bx +a ＝0，得a 2+ab +a ＝0，∴a (a +b +1)＝0，又∵a ≠0，∴a +b +1＝0，即a +b ＝－1. 故选C .
【解题策略】本题将方程解的意义、方程的解法融为一体，体现了消元、降次的转化思想，具有一定的探究性，而且此题在设计思路上跳出了固定套路，是一道具有创新意识的题.
专题4 一元二次方程的应用
【专题解读】利用一元二次方程解决实际问题时，应根据具体问题找到等量关系，进而列出方程，另外，对方程的解要注意合理进行取舍.
例7 乌鲁木齐农牧区校舍改造工程初见成效，农牧区最漂亮的房子是校舍，2005年市政府对农牧区校舍改造的投入资金是5786万元，2007年校舍改造的投入资金是8050.9万元，若设这两年投入农牧区校舍改造资金的年平均增长率为x ，则根据题意列方程得 .
分析 本题考查一元二次方程在增长率问题中的应用. 因两年投入农牧区校舍改造资金的年平均增长率为x ，则2006年投入资金是5786（1+x ）万元，2007年的投入资金是5786（1+x ）
2
万元，故所求方程为5786（1+x ）2＝8058.9.
【解题策略】有关增长率问题的常用公式为a （1+x ）n ＝b （n 为正整数）. 二、规律方法专题
专题5 一元二次方程的解法技巧
【专题解读】除了常见的几种一元二次方程的解法外，对于特殊类型的方程，可采用特殊
的方法.
1. 换元法
例8 如果（2m +2n +1）（2m +2n －1）＝63，那么m +n 的值是 .
分析 把m +n 看做一个整体求解. 设m +n ＝x ，则原方程化为（2x +1）（2x －1）＝63，整理，得4x 2＝64，解得x ＝±4，∴m +n ＝±4. 故填±4.
例9 解方程（3x +2）－8（3x +2）+15＝0.
分析 此题可以把原方程展开为一般形式，运用公式法、因式分解法或配方法求解，但都比较麻烦，观察题目的结构可知把3x +2看做一个整体，设为t ，则原方程就可化成关于未知数t 的一元二次方程.
解：设3x +2＝t ，原方程化为t 2－8t +15＝0， ∴t 1＝3，t 2＝5.
当t ＝3时，3x +2＝3，∴x ＝
13
2
；
当t ＝5时，3x +2＝5，∴x ＝1. ∴原方程的根为x 1＝
13
，x 2＝1.
【解题策略】 本题也可直接分解为[(3x +2)－3][ (3x +2)－5]＝0，即（3x －1）（3x －3）＝0，用因式分解法解得x 1＝
13
，x 2＝1.
例10 解方程（x +2）（x +3）（x －4）（x －5）＝44.
分析 解方程的基本思想是“降次”，例如把一元二次方程降次，转化为两个一元二次方程. 本题是一个一元四次方程，我们可尝试用因式分解法把方程的左边进行因式分解（方程的右边为0）.
解：原方程转化为（x +2）（x +3）（x －4）（x －5）－44＝0， [（x +2）（x －4）][ （x +3）（x －5）] －44＝0， （x 2－2x －8）（x 2－2x －15）－44＝0，
令x 2－2x ＝y ，则原方程化为（y －8）（y －15）－44＝0， ∴y 2－23y +76＝0， ∴y 1＝4，y 2＝19.
当y ＝4时，x 2－2x ＝4
，∴x 1=1+
x 2=1-
当y ＝19时，x 2－2x ＝19
，∴x 3=1+x 4=1- ∴
原方程的根是x 1=1+2. 配方法
例11 先用配方法说明：无论x 取何值，代数式x －6x +10的值部大于0；再求出当x 取何值时，代数式x 2－6x +10的值最小，最小值是多少.
解：x 2－6x +10＝x 2－6x +32+（10－32）＝（x －3）2+1.
2
x 2=
1-x 3=1+x 4=1-
∵（x －3）≥0，∴（x －3）+1＞0，
∴无论x 取何值，代数式x 2－6x +10的值部大于0. 当x －3＝0，即x ＝3时，(x －6x +10)最小＝1.
例12 若实数m ，n ，p 满足m －n ＝8，mn +p 2+16＝0，则m +n +p 的值为（ ） A . －1 B . 0 C .1 D .2
分析 本题有三个未知数m ，n ，p 给出两个关系式，思路应放在消元转化上. 由m －n ＝8，得m ＝n +8，将m ＝n +8代入mn +p 2+16＝0中，得n (n －8)+p 2+16＝0，∴n 2+8n +16+p 2
＝0，即（n +4）2+p ＝0，又∵（n +4）≥0，p ≥0，且（n +4）+p ＝0，∴⎨
⎧n =-4, 解得⎨∴m +n +p =4+(-4) +0=0. 故选B .
⎩p =0,
2
2
2
2
2
2
22
⎧n +4=0，⎩p =0,
3. 构造法
例13 解方程3x +11x +10＝0.
解：原方程两边同时乘3，得(3x ) +11×3x +30=0， ∴（3x +5）(3x +6)=0, ∴3x +5=0,或3x +6=0， ∴x 1=-
53
, x 2=-2.
2
2
4. 特殊解法
例14 解方程（x －1994）（x －1995）=1996×1997.
分析 观察方程可知1994+1997=1995+1996，1994－1996=1995－1997，并且一元二次方程最多只有两个实数解，则可用特殊的简便解法求解.
解：方程组⎨
⎧x -1994=1997, ⎩x -1995=1996
的解一定是原方程的解，
解得x =3991， 方程组⎨
⎧x -1994=-1996, ⎩x -1995=-1997
的解也一定是原方程的解，
解得x =－2，
∵原方程最多只有两个实数解， ∴原方程的解为x 1=3991，x 2=－2.
【解题策略】解本题也可采用换元法. 设x －1995=t ，则x －1994=t +1，原方程化为t （t +1）
=1996×1997，∴t 2+t －1996×1997=0，∴（t +1997）（t －1996）=0，∴t +1997=0,或t －1996=0，∴t 1=－1997，t 2=1996.当t =－1997时，x －1995=－1997，∴x =－2；当t =1996时，x －1995=1996,∴x =3991.∴原方程的解为x 1=－2，x 2=3991.
三、思想方法专题 专题6 建模思想
【专题解读】 建模思想是指根据实际问题中数量之间的关系建立方程模型表达这个等量关系，通过解方程来解决实际问题.
例15 经过两年的连续治理，某城市的大气环境有了明显改善，其每年每平方公里的降尘量从50吨下降到40.5吨，则平均每年下降的百分率是 .
分析 根据题意，设所求百分率为x ，则有50（1－x ）2=40.5，解得x 1=1.9，x 2=0.1，而1.9＞1，不合题意，舍去，故x =0.1.故平均每年下降的百分率是10%.故填10%.
【解题策略】利用一元二次方程解实际问题时，方程的解一定要符合实际意义. 在建立方程模型解决实际问题时，应找准对应的数量关系.
综合验收评估测试题
（时间：1 20分钟 满分：120分）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 将方程3x (x +2)－4x +6=6x 2+4化为一元二次方程的一般形式后，其二次项系数和一次系数分别为（ ）
A . －3，－6 B .3，6 C .3，－6 D .3，－2 2. 方程2x (x －3)=5（x －3）的根是（ ） A . x =
52
B .3
52
52
C . x 1=3, x 2= D . x 1=-, x 2=-3
3. 若关于x 的一元二次方程kx 2－2x －1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） A . k ＜－1 B . k ＞－1，且k ≠0 C . k＜1 D . k ＜1，且k ≠0
4. 若一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)中的a +b +c =0，则该方程必有一根为（ ） A .0 B .1 C . －1 D .±1
5. 下列方程没有实数根的是（ ）
A .4（x 2+2）=3x B .5(x 2－1) －x =0 C . x －x =100 D .9x －24x +16=0 6. 若代数式x 2+8x +m 是一个完全平方式，则m 的值为（ ）
A .4 B . －4 C .16 D . －16
7. 三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x －16x +60=0的一个实数根，则该三角形的面积是（ ）
A .24 B .24
或 C .48 D
.
8. 为解决药价偏高给老百姓带来的求医难的问题，国家决定对某药品价格连续两次降价，若设平均每次降价的百分率为x ，该药品的原价是m 元，降价后的价格是y 元，则y 与x 之间的函数关系式是（ ）
A . y =2m (1－x ) B . y=2m (1+x ) C . y=m (1－x ) D . y=m (1+x )
2
2 2
2
2
9. 关于x 的方程（m －3）x m 2－8m +17+6x －1=0是一元二次方程的条件是（ ） A . m =2 B . m =3 C . m =5 D . m =3或m =5 10. 已知ac ＜0，则方程ax －bx +c =0的根的情况是（ ）
A . 有两个相等的实数根 B . 有两个不相等的实数根 C . 没有实数根 D . 只有一个实数根 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 方程x －2x －3=0的根是 . 12. x 2+6x + =(x +3)2.
13. 已知方程mx 2－mx +2=0有两个相等的实数根，则m 的值为 . 14. 若x =1是一元二次方程x 2+x +c +=0的一个解，则c 2= . 15. 当x x +2x -3x -1
2
2
2
的值为0.
16. 要用一条长30 cm 的铁丝围成一个斜边长为13 cm 的直角三角形，则两直角边长分别为 .
17. 已知一元二次方程有一个根是2. （填一个即可） 18. 若关于x 的一元二次方程x +(k +3)x +k =0的一个根是－2，则另一个根是三、解答题（第19~24小题各9分，第25小题12分，共66分） 19. 请用两种不同的方法解方程（x +3）（x +1）=2x +6.
2
2. 当m 为何值时，关于x 的一元二次方程x 2-4x +m -这两个实数根是多少？
12
=0有两个相等的实数根？此时
21. 已知关于x 的一元二次方程x 2+(m －2) x －m －1=0，试说明无论m 取何值，这个方程总有两个不相等的实数根.
2
（c -1）=0，求方程ax +bx +c =0的22. 已知a ，b ，c
b +4+
2
解.
23. 在高尔夫球比赛中，某运动员打出的球在空中飞行的高度h (m ) 与打出后的飞行时间（t s ）之间的关系式是h =－t (t －7).
（1）经过多少秒球飞行的高度为10 m ？ （2）经过多少秒球双落到地面上？
24. 如图22-13所示，在长为10 cm ，宽为8 cm 的矩形的四周截四个全等的小正方形，使得留下的图形的面积是原矩形面积的80%，求所截去的小正方形的边长.
25. 某商店从厂家以每件21元的价格构进一批商品，该商店可以自己定价，
若每件商品售价为a 元，则可卖出（350－10a ）件，但特价局限定每件商品加价不能超过进价的20%，商店计划要赚400元，需要卖出多少价商品？每件商品的售价为多少元？
参考答案
1. D [提示：先化成一般形式为3x 2－2x －2=0.] 2. C [提示：用因式分解法求解即可.]
3. B [提示：k ≠0，(－2) －4k （－1）＞0，k ＞－1，且k ≠0.]
4. B [提示：由已知可得a +b +c =0，而当x =1时，方程ax 2+bx +c =0可化为a +b +c =0，所以该方程必有一根是1.]
2
5. A [提示：用根的判别式△=b －4ac 逐一判断.] 6. C [提示：m 等于8的一半的平方为16.]
7. B [提示：由x －16x +60=0可知x =6，或x =10，因为三角形两边长为6和8，所以三角形的第三边的边长x 应满足三角形三边关系，即2＜x ＜14，所以三角形的第三边长为6或10. 当第三边长为10时，由勾股定理的逆定理可知62+82=102，即这是一个直角三角形，其面积为
12
⨯6⨯8=24；当x =6时，这个三角形是一个等腰三角形，则其底边上的高
为
2
2
=
=12
⨯8⨯2⨯=综上所述，这个
三角形的面积为24
或
8. C
9. C [提示：m －8m +17=2，且m －3≠0，∴m =5.]
10. B [提示：△=（－b ）2－4ac =b 2－4ac ，∵ac ＜0，∴△＞0.] 11.x 1=3，x 2=－1 12.9
13.8[提示：由题意可知△=（－m ）2－4·m ·2=0，且m ≠0，所以m =8.] 14.4[提示：把x =1代入x +x +c =0，得c =－2，∴c =4.] 15. －3[提示：x 2+2x －3=0，且x －1≠0.]
16.5 cm 和12 cm [提示：设其中一条直角边长为x cm ，则另一直角边长为（17－x ）cm ，由题意，得x 2+（17－x ）2=132，解得x 1=5，x 2=12.]
17. x 2=4（答案不唯一）
18. x =1[提示：把x =－2代入x +(k +3)x +k =0，得4－2（k +3）+k =0，∴k =－2，∴方程为x +x－2=0，解得x 1=－2，x 2=1.]
19. 解法1：（因式分解法）（x +3）(x +1)－（2x +6）=0，∴（x +3）(x +1－2)=0，∴x +3=0或x －1=0，∴x 1=－3，x 2=1.解法2：去括号得x 2+4x +3=2x +6，x 2+2x －3=0，x 2+2x =3，∴x 2+2x +1=4. ∴（x +1）=4，∴x +1=±2. ∴x 1=－3，x 2=1.
20. 解：依题意得△=（－4）2－4 m -
⎝⎛
991⎫
，所以m =, 故当m =时，=16-4m +2=0⎪
222⎭
2
2
2
2
2
2
此方程有两个相等的实数根，此时x 1=x 2=2.
21. 解：△=（m －2）－4×1×（－m －1）=m －4m +4+4m +4=m +8，∵无论m 取什么值，m ≥0，∴m +8＞0，∴△m +8＞0，∴无论m 取何实数，原方程总有两个不相等的实数根.
2
22.
b +4+(c -1) =0,
2222
22
=0, b +4=0, c -1=0. ∴a =3,b =－4, c =1.∴方程为3x 2－4x +1=0，b 2－4ac =(－4) 2－4×3×1=4.
∴x =
4±
=4+26
2⨯3
x 1=1，x 2= , ∴
13
.
23. 解：（1）由题意可知10=－t (t －7) ，∴t 2－7t +10=0，∴t 1=2,t 2=5，∴经过2 s 或5 s 球飞行的高度为10 m .(2)当h =0时，－t (t －7)=0，∴t 1=0,t 2=7，∵t =0不符合题意，故舍去. ∴t =7，即经过7 s 球双落到地面上.
24. 解：设截去小正方形的边长为x cm ，由题意，得10×8－4x 2=10×8×80%，解得x 1=2,x 2=－2（舍去）. 答：所截去的小正方形的边长为2 cm .
25. 提示：求出方程的解后，一定要检验所求得的解是否符合要求，不符合要求的要舍去. 解：设每件商品的售价为x 元，才能使商店赚400元，依题意，得（x －21）（350－10x ）=400整理，得x 2－56x +775=0，解得x 1=25，x 2=31.又因为21×（1+20%）=25.2，而x 1＜25.2，x 2＞25.2，所以x 2=31（舍去）. 当x =25时，
40025-21
=100（件）.
答：该商品需要卖出100件商品，每件商品售价为25元才能使商店赚400元.
综合验收评估测试题
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题
⎧2x -y =m ,
1．在方程组⎨中，若未知数x,y 满足x+y>0，则m 的取值范围在数轴上的表示
2y -x =1⎩
是图9－61中的（ ）
2．已知关于x 的不等式（1－a ）x >2的解集为x 0 B ．a >1 C ．a
21-a
，则a 的取值范围是（ ）
3．如果不等式组⎨
⎧x >2m +1, ⎩x >m +2
的解集是x >－1，那么m 的值是（ ）
A ．1 B ．3 C ．－1 D ．－3
4．若三个连续的自然数的和不大于12，则符合条件的自然数有（ ） A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组
⎧x
5．已知关于x 的不等式组⎨x >-1, 无解，则a 的取值范围是（ ）
⎪x >a ⎩
A ．a ≤－1 B ．a ≥2 C ．－12 6.
函数y =
x 的取值范围是（ ）
A ．x >－2 B ．x ≥－2 C ．x ≠－2 D ．x ≤－2
7. 已知三角形的两边长分别为4cm 和9cm ，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（ ）
A ．13cm B ．6cm C ．5cm D ．4cm 8. 如果a0 B ．a+b
a b
9. 不等式3－2x ≤7的解集是（ ）
A ．x ≥－2 B ．x ≤－2 C ．x ≤－5 D ．x ≥－5 10．若不等式组⎨
⎧x +a ≥0, ⎩1-2x >x -2
有解，则a 的取值范围是（ ）
A ．x >－1 B ．a ≥－1 C ．a ≤1 D ．a
⎧x -a
11．若a
x -b >0⎩
12. 当a
⎧3x -2>4,
13. 不等式组⎨的解集是_________.
2x +3>5⎩
⎧x >3,
14．如果一元一次不等式组⎨的解集为x >3，那么a 的取值范围是______.
x >a ⎩
15. 已知一元一次方程3x －m +1=2x －1的根是负数，那么m 的取值范围是________.
16．若代数式1-
x -22
的值不小于
1+3x 3
的值，则x 的取值范围是________.
⎧2x -5
17．不等式组⎨x +1的所有整数解的和是________.
≥1⎪
⎩2
x ⎧x +4
>+1, ⎪
18．若关于x 的不等式组⎨3的解集为x
⎪x +a
三、解答题
19．解不等式5x －12≤2(4x －3). 20．解下列不等式（组）. （1）x -
x 2
3x -825x +73
+1≥
2(10-x )
73x -54
;
（2）-≥1-；
1⎧1x -x >-1, ⎪
（3）⎨2 3
⎪2(x -3) -3(x -2)
（4）5≤
3x +52
-1≤8.
⎧x +y =-7-a ,
21．已知方程组⎨的解x 为非正数，y 为负数，求a 的取值范围.
x -y =1+3a ⎩
22．已知正整数x 满足
x -27
5
2x
的值.
23．若干名学生合影留念，照相费为2.85元（含两张照片）. 若想另外加洗一张照片, 则又需收费0.48元, 预定每人平均交钱不超过1元, 并都能分到一张照片, 则参加照相的至少有几名学生?
24. 星期天，小明和七名同学共8人去郊游，途中，他用20元钱去买饮料，商店只有可乐和奶茶，已知可乐2元一杯，奶茶3元一杯，且20元钱刚好用完.
(1)有几种购买方式? 每种方式可乐和奶茶各买多少杯? (2)每人至少一杯饮料且奶茶至少两杯时, 有几种购买方式?
25. 据统计，2008年底义乌市共有耕地267000亩，户籍人口724000人，2004年底至2008年底户籍人口平均每两年约增加2%，假设今后几年继续保持这样的增长速度. （本题计算结果
精确到个位）
（1）预计2012年底义乌市户籍人口约是多少人；
（2）为确保2012年底义乌市人均耕地面积不低于现有水平，预计2008年底至2012年底平均每年耕地总面积至少应该增加多少亩.
26．迎接大运，美化深圳，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A ，B 两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A 种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B 种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆.
(1)某校九年级(一) 班课外活动小组承接了这个园林造型搭配方案的设计, 则符合题意的搭配方案有几种? 请你帮助设计出来;
(2)若搭配一个A 种造型的成本是800元, 搭配一个B 种造型的成本是960元, 试说明(1)中哪种方案成本最低, 最低成本是多少元?