第12卷第6期
2004安徽建筑工业学院学报(自然科学版) Journal of Anhui Institute of Architecture &Industry Vol . 12No . 62004
弹性力学的半逆解法研究
周道祥
(安徽建筑工业学院高教研究所, 合肥 230022)
摘 要:利用应力平衡方程和相容方程的特点, 根据问题的应力边界条件以应力分量的函数表达式作为试函数求解弹性力学问题。这种方法简化了计算过程。本文推荐用剪应力函数求解问题较为容易。
关键词:弹性力学; 解析法; 应力函数
中图分类号:O343 文献标识码:A 文章编号:1006-4540(2004) 06-024-04
半逆解法是圣维南于1856年提出来的, 它是求解弹性力学问题十分重要的方法, 在弹性力学中占有极重要的地位。半逆解法通常根据问题的应力边界条件以及结构的受力特点凑合出某应力分量的待定函数式, 再根据假设的该应力分量函数式通过积分求出应力函数 从而求得各应力分量[1]。这种方法较为有效, 但通过解平衡方程求应力函数 时要做消元运算, 升高了微分方程的阶数, 以至于运算过于复杂, 很有改进的必要。
实际上, 按应力求解时只要各应力分量满足平衡方程、应力相
容方程和边界条件, 则是问题的解。可以看出, 在不考虑体积力的
情况下各应力分量均取为常量是可以满足所有方程的。为此, 我们
可以在假设某一应力分量, 利用平衡方程求出其余的应力分量后再
代入相容方程求解。这样, 由于未经过消元运算, 所以方程的阶数
较低, 可以大大简化运算。如果所设函数不是问题的解, 还可以通
过放松边界条件, 进而求出一组近似解。由平衡方程可以看出,
通过假设剪应力函数而后用平衡方程求出其余应力分量较方便。[2]图1 受均布载荷的简支梁
1 用应力分量函数求解弹性力学问题的实例
1. 1 受均布载荷的简支梁
平面问题的平衡方程与相容方程是
σ τx xy + x y =0
τ σy x y +=0 x y
2 (σx +σy )=0(1)
把(1) 式的前两式分别对y 与x 求偏导并且求和后再用拉普拉斯算子作用可以得到
τxy =0
收稿日期:2004-07-15
作者简介:周道祥(1946-) , 男, 教授, 硕士, 主要研究方向为断裂力学。4(2)
第6期 周道祥:弹性力学的半逆解法研究25由(2) 式可以看出τxy 函数的指数一般不超过3次, 可以用三次多项式求解, 也可以直接利用材料力学结果求解
2τxy =-4-y ) h 代入方程(1) 的前两式积分后可以得出
23σ-3+f (y ) , σ-3+g (x ) x =y =2h h h 把(3) 式代入方程(1) 的第三式可求出
3
f (y )=3+Ay 2+Dy +E h 22(3) (4) g (x )=-A x +B x +C (5)
利用边界条件y =-h /2时, σ-q ; y =h /2时, σ-q /2; 利用端部y =y =0, 得到A =B =0, C =
2x =L 截面合力以及合力矩条件-h /2σ-ql , 得到H =3, x d y =0, -h /2σx y d y =0, -h /2τxy d y =5h h K =0。受均布载荷的简支梁应力解为∫h /2∫h /2∫h /2
22222σL -x )+2) , σ-+1) -1) , τ-3-y 2) (6) x =y =xy =3(h h 52h h 4h h 1. 2 半无限平面受法向集中力的弗拉芒解[3]
对于长度远大于梁高度的地基梁, 可简化为集中力用作用半无限平面上
的平面应变问题(见图2) 。利用极坐标求解, 极坐标下的平面问题平衡方程
与相容方程是
στσρ ρ ρ-σ + ρρ ρ=0
τσ2τρ ρ +=0 ρρ ρ
2[() +22](σ)=0ρ+σ ρd ρ ρρ (7) (8) 图2 半无限平面受集中力
考察主应力坐标系下的拉梅-麦克斯韦尔方程[3]
σ1σ1-σ2=0 s 1ρ2
σσ21-σ2=0 s 2ρ1
式中, s 1, s 2分别为主应力坐标系下σρ1, σ2方向的曲线坐标; 1, ρ2分别为主应力坐标系下曲线坐标的曲率半径。
根据边界条件和对称性知道s 1为直线束, 而s 2为圆弧。所以必有τρ =0, 利用(7) 式积分得到σ =
f (ρ) 。根据边界条件可知, 当θ=±2, σ =f (ρ)=0。把这一结果代入平衡方程的另一式, 则有
σρ+σ=0 ρρ
22解得σ, 再带入相容方程2++22) σρ=ρ=0, 得到ρ ρρ ρρ )+3F n ( )=03F (ρρ(9) (10)
方程(10) 的解是F ( )=A cos +B sin , 所以A ) /ρρ)
26安徽建筑工业学院学报(自然科学版) 第12卷
, B =0。2π
(12) 利用分布在半径为ρ的半圆上σ11) 式中的代定常数A =ρ的合力为F 的条件, 可得到(由此得出, 弗拉芒解为σρ= =0, τρ =02πρ, σ
1. 3 薄板柱面弯曲的近似解
一个对边简支, 长为b , 宽为a (a b ) , 厚度为t 的薄板受
集度为q 的均布载荷作用(见图3) , 下面给出近似解。
空间问题不计体积力的平衡方程和相容方程为
σ τ τx xy x z ++=0 x y z
τy x σy τyz ++=0 x y z
τ σ τzy z z x ++ y z =0 x (13)
2444 (σx +σy +σz )=0, τxy =0, τy z =0, τz x =0图3 对边简支板受均布载荷
由于把y 向的长度b 视为无限长的柱面弯曲, 则该问题简化成两维问题, 所有应力分量均不含自变量y 。显然各应力分量均取为常量是可以满足所有方程的, 或者各分量增加一个常数项, 它们仍能满足所
2有方程。为此, 可以参考材料力学中梁的解, 取σ-2q -(1+) , τ原y =0, σz =xy =0, τyz =0。2t t
方程组为
σ τx xz +=0 x z
τ σz x z +=0 x z
2 (σx +σz )=0(13)
把所取的应力分量分别代入(13) 式中的各方程, 可以求得
222τ-2qx ) (1+f (z ) , σ-3qx +3) +x f ′(z ) +F (z ) xz =x =2t t 4t t 把(14) 式代入相容方程
223222+2[-2q ++3) -3qx +3) +x f ′(z ) +F (z ) ]=044t 4t x z t t (14)
解之可得到问题的解
2222σl -x ) z +2-, σσ-2q -(1+) , τx =3(y =0, z =xy =τyz =0t 52t t t t (15)
这个结果对相对两边受约束的狭长板来说也有相当满意的精度, 而且与一般求解板的位移法相比其求解过程大大简化了。
2 结 论
(1) 通过以上实例可以看出, 直接按应力的平衡方程及相容方程通过用应力分量函数的方法求解弹性力学问题可以大大简化求结果程。
(2) 由材料力学中儒拉夫公式的推导过程及弹性力学理论分析的结果知道, 弹性体内的剪应力对边界条件敏感性较差, 借用材料力学的剪应力函数求解往往能得出较为满意的结果。,
第6期 周道祥:弹性力学的半逆解法研究
已有的相近问题的一些应力分量的函数式求解。
参考文献
1 徐芝纶. 弹性力学(上、下) . 北京:人民教育出版社, 1979.
2 铁木辛柯. 板壳理论. 北京:科学出版社, 1964.
3 王光钦, 丁贵宝, 刘长虹, 等. 弹性力学. 北京:中国铁道出版社, 2004. 27
THE SEMI -REVERSE METHOD TO SOLVE PROBLEMS
OF THE ELASTICITY
ZHO U Dao -xiang
(Research Institute of Higher Educatio n , A nhui Institute of Architecture &Industry , Hefei , 230022, China )
A bstract :S tress com ponent functions are used to solve the problems of elasticity based on the equilibrium e -quations and stress com patible equation acco rding to boundary co nditions . Shear stress function is recom -mended to solve the elasticity problems .
Key words :elasticity ; analysis method ; stress function
第12卷第6期
2004安徽建筑工业学院学报(自然科学版) Journal of Anhui Institute of Architecture &Industry Vol . 12No . 62004
弹性力学的半逆解法研究
周道祥
(安徽建筑工业学院高教研究所, 合肥 230022)
摘 要:利用应力平衡方程和相容方程的特点, 根据问题的应力边界条件以应力分量的函数表达式作为试函数求解弹性力学问题。这种方法简化了计算过程。本文推荐用剪应力函数求解问题较为容易。
关键词:弹性力学; 解析法; 应力函数
中图分类号:O343 文献标识码:A 文章编号:1006-4540(2004) 06-024-04
半逆解法是圣维南于1856年提出来的, 它是求解弹性力学问题十分重要的方法, 在弹性力学中占有极重要的地位。半逆解法通常根据问题的应力边界条件以及结构的受力特点凑合出某应力分量的待定函数式, 再根据假设的该应力分量函数式通过积分求出应力函数 从而求得各应力分量[1]。这种方法较为有效, 但通过解平衡方程求应力函数 时要做消元运算, 升高了微分方程的阶数, 以至于运算过于复杂, 很有改进的必要。
实际上, 按应力求解时只要各应力分量满足平衡方程、应力相
容方程和边界条件, 则是问题的解。可以看出, 在不考虑体积力的
情况下各应力分量均取为常量是可以满足所有方程的。为此, 我们
可以在假设某一应力分量, 利用平衡方程求出其余的应力分量后再
代入相容方程求解。这样, 由于未经过消元运算, 所以方程的阶数
较低, 可以大大简化运算。如果所设函数不是问题的解, 还可以通
过放松边界条件, 进而求出一组近似解。由平衡方程可以看出,
通过假设剪应力函数而后用平衡方程求出其余应力分量较方便。[2]图1 受均布载荷的简支梁
1 用应力分量函数求解弹性力学问题的实例
1. 1 受均布载荷的简支梁
平面问题的平衡方程与相容方程是
σ τx xy + x y =0
τ σy x y +=0 x y
2 (σx +σy )=0(1)
把(1) 式的前两式分别对y 与x 求偏导并且求和后再用拉普拉斯算子作用可以得到
τxy =0
收稿日期:2004-07-15
作者简介:周道祥(1946-) , 男, 教授, 硕士, 主要研究方向为断裂力学。4(2)
第6期 周道祥:弹性力学的半逆解法研究25由(2) 式可以看出τxy 函数的指数一般不超过3次, 可以用三次多项式求解, 也可以直接利用材料力学结果求解
2τxy =-4-y ) h 代入方程(1) 的前两式积分后可以得出
23σ-3+f (y ) , σ-3+g (x ) x =y =2h h h 把(3) 式代入方程(1) 的第三式可求出
3
f (y )=3+Ay 2+Dy +E h 22(3) (4) g (x )=-A x +B x +C (5)
利用边界条件y =-h /2时, σ-q ; y =h /2时, σ-q /2; 利用端部y =y =0, 得到A =B =0, C =
2x =L 截面合力以及合力矩条件-h /2σ-ql , 得到H =3, x d y =0, -h /2σx y d y =0, -h /2τxy d y =5h h K =0。受均布载荷的简支梁应力解为∫h /2∫h /2∫h /2
22222σL -x )+2) , σ-+1) -1) , τ-3-y 2) (6) x =y =xy =3(h h 52h h 4h h 1. 2 半无限平面受法向集中力的弗拉芒解[3]
对于长度远大于梁高度的地基梁, 可简化为集中力用作用半无限平面上
的平面应变问题(见图2) 。利用极坐标求解, 极坐标下的平面问题平衡方程
与相容方程是
στσρ ρ ρ-σ + ρρ ρ=0
τσ2τρ ρ +=0 ρρ ρ
2[() +22](σ)=0ρ+σ ρd ρ ρρ (7) (8) 图2 半无限平面受集中力
考察主应力坐标系下的拉梅-麦克斯韦尔方程[3]
σ1σ1-σ2=0 s 1ρ2
σσ21-σ2=0 s 2ρ1
式中, s 1, s 2分别为主应力坐标系下σρ1, σ2方向的曲线坐标; 1, ρ2分别为主应力坐标系下曲线坐标的曲率半径。
根据边界条件和对称性知道s 1为直线束, 而s 2为圆弧。所以必有τρ =0, 利用(7) 式积分得到σ =
f (ρ) 。根据边界条件可知, 当θ=±2, σ =f (ρ)=0。把这一结果代入平衡方程的另一式, 则有
σρ+σ=0 ρρ
22解得σ, 再带入相容方程2++22) σρ=ρ=0, 得到ρ ρρ ρρ )+3F n ( )=03F (ρρ(9) (10)
方程(10) 的解是F ( )=A cos +B sin , 所以A ) /ρρ)
26安徽建筑工业学院学报(自然科学版) 第12卷
, B =0。2π
(12) 利用分布在半径为ρ的半圆上σ11) 式中的代定常数A =ρ的合力为F 的条件, 可得到(由此得出, 弗拉芒解为σρ= =0, τρ =02πρ, σ
1. 3 薄板柱面弯曲的近似解
一个对边简支, 长为b , 宽为a (a b ) , 厚度为t 的薄板受
集度为q 的均布载荷作用(见图3) , 下面给出近似解。
空间问题不计体积力的平衡方程和相容方程为
σ τ τx xy x z ++=0 x y z
τy x σy τyz ++=0 x y z
τ σ τzy z z x ++ y z =0 x (13)
2444 (σx +σy +σz )=0, τxy =0, τy z =0, τz x =0图3 对边简支板受均布载荷
由于把y 向的长度b 视为无限长的柱面弯曲, 则该问题简化成两维问题, 所有应力分量均不含自变量y 。显然各应力分量均取为常量是可以满足所有方程的, 或者各分量增加一个常数项, 它们仍能满足所
2有方程。为此, 可以参考材料力学中梁的解, 取σ-2q -(1+) , τ原y =0, σz =xy =0, τyz =0。2t t
方程组为
σ τx xz +=0 x z
τ σz x z +=0 x z
2 (σx +σz )=0(13)
把所取的应力分量分别代入(13) 式中的各方程, 可以求得
222τ-2qx ) (1+f (z ) , σ-3qx +3) +x f ′(z ) +F (z ) xz =x =2t t 4t t 把(14) 式代入相容方程
223222+2[-2q ++3) -3qx +3) +x f ′(z ) +F (z ) ]=044t 4t x z t t (14)
解之可得到问题的解
2222σl -x ) z +2-, σσ-2q -(1+) , τx =3(y =0, z =xy =τyz =0t 52t t t t (15)
这个结果对相对两边受约束的狭长板来说也有相当满意的精度, 而且与一般求解板的位移法相比其求解过程大大简化了。
2 结 论
(1) 通过以上实例可以看出, 直接按应力的平衡方程及相容方程通过用应力分量函数的方法求解弹性力学问题可以大大简化求结果程。
(2) 由材料力学中儒拉夫公式的推导过程及弹性力学理论分析的结果知道, 弹性体内的剪应力对边界条件敏感性较差, 借用材料力学的剪应力函数求解往往能得出较为满意的结果。,
第6期 周道祥:弹性力学的半逆解法研究
已有的相近问题的一些应力分量的函数式求解。
参考文献
1 徐芝纶. 弹性力学(上、下) . 北京:人民教育出版社, 1979.
2 铁木辛柯. 板壳理论. 北京:科学出版社, 1964.
3 王光钦, 丁贵宝, 刘长虹, 等. 弹性力学. 北京:中国铁道出版社, 2004. 27
THE SEMI -REVERSE METHOD TO SOLVE PROBLEMS
OF THE ELASTICITY
ZHO U Dao -xiang
(Research Institute of Higher Educatio n , A nhui Institute of Architecture &Industry , Hefei , 230022, China )
A bstract :S tress com ponent functions are used to solve the problems of elasticity based on the equilibrium e -quations and stress com patible equation acco rding to boundary co nditions . Shear stress function is recom -mended to solve the elasticity problems .
Key words :elasticity ; analysis method ; stress function