专题九 圆
第一节 圆的有关概念和性质
一【知识梳理】
1.圆的有关概念和性质 (1) 圆的有关概念
①圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，
定长为半径． ②弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧． ③弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．
（2）圆的有关性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对
称图形，对称中心为圆心．
②垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧． 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．
③弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有
一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；
90”的圆周角所对的弦是直径．
④三角形的内心和外心
ⓐ：确定圆的条件：同一直线上的三个点确定一个圆．
ⓑ：三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，
外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． ⓒ：三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆
心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心
2.与圆有关的角
（1）圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。圆心角的度数等于它所对的弧的度数．
（2）圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆周角。圆周角的度数等于它所
对的弧的度数的一半．
（3）圆心角与圆周角的关系：
同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． （4）圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．
3.正多边形和圆
（1）通过等分圆画正多边形。（等分圆心角；懂得正三、六；正四、八边形的特殊画法）
（2）外接于圆的正多边形的有关概念：正多边形的中心、
半径、中心角、边心距；
（3）如图，正n边形的有关计算要抓住2n个Rt△OPB，∠B等360180
于正n边形内角的一半，∠BOP=，BP等于正多边形的边长的一半。 2nn
一般地，关于正多边形计算的问题都转化为直角三角形的问题。（“转化”是解决问
题的一种重要的思想方法，化繁为简、化难为易、化抽象为形象、化未知为已知„如：
用“换元法”解方程、解方程中的 ‘消元降次’思想、把多边性的内角和转化为三角形来研究、借助图表分析应用题中的数量关系等） 方法技巧：
1.分类讨论解决圆的问题，防止漏解。如一条弦所对的圆周角有两种，所以同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补。圆内两条平行的弦与圆心的位置关系有两种。
2.圆中常作的辅助线：作半径、弦心距、直径所对的圆周角、经过切点作半径、过圆
心作切线的垂线、两圆相交时的公共弦、连心线等。
二【课前练习】
1.如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠BAC=30°则∠BOC的大小是（ ）
○ ○○ ○
A．60B．45 C．30D．15
2.如图，MN所在的直线垂直平分弦A B，利用这样的工 具最少使用__________次，就可找到圆形工件的圆心． 3.如图是中国共产主义青年团团旗上的图案，点A、B、C、D、 E五等分圆，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是（ ） A．180° B．15 0° C．135° D．120°
○
4.如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A 、B，点C在⊙O上．如果∠P＝50 ，那么∠ACB等于（ ）
○ ○○ ○
A．40 B．50 C．65D．130 5.“圆材埋壁”是我国古代《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁冲，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何”．用数学语言可表述为如图，CD为⊙O的直径，弦
AB⊥CD于点E，CE＝1寸，AB=10寸，则直径CD的长为（ ） A．12．5寸 B．13寸 C．25寸 D．26寸
6.如图，四边形 ABCD内接于⊙O，若∠BOD=100°，则∠DAB的度数为（ ） A．50° B．80° C．100° D．130°
○
7.如图，在⊙O中，已知∠ACB＝∠CDB＝60 ，AC＝3，则△ABC的周长是____________.
第4题 第5题 第6题 第7题
8⊙O的半径是5，AB、CD为⊙O的两条弦，且AB∥CD，AB=6，CD=8， 求 AB与CD之间的距离．
9（2007山东临沂）如图，已知点A、B、C、D均在已知圆上， AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC＝120°，四边形
ABCD的周长为10。 (1)求此圆的半径； (2)求图中阴影部分的面积。 10．（2006年长春市）如图，AB为⊙O直径，BC切⊙O于B，CO交⊙O
交于D，AD的延长线交BC于E，若∠C = 25°，求∠A的度数。 11.如图，在⊙O中，弦AC与BD交于E，AB6，AE8， ED4，求CD的长。 12.（06连云港）如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC至点D，
使CD＝AC，连接AD交⊙O与点E，连接BE、CE与AC交于点F。 （1）求证：△ABE≌△CDE； （2）若AE=6，DE=9，求EF的长。
第10题 第11题 第12题
13.填写下表：
D
三：【课后训练】
1.（2007福建福州）如图2，O中，弦AB的长为6cm，圆心O到AB 的距离为4cm，则O的半径长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
2（2007四川成都）如图，⊙O内切于△ABC，切点分别为D，E，F． 已知B50°，C60°，连结OE，OF，DE，DF， 那么EDF等于（ ） Ａ．40°
Ｂ．55° Ｃ．65° Ｄ．70°
3（07淄博）如图1，已知：△ABC是⊙O的内接三角形，
AD⊥BC于D点，且AC
=5，DC=3，AB=42，则⊙O的直径等于
4（2007重庆市）已知，如图2：AB
为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝450。给出以下五个结论：①∠EBC＝22.50，；②BD＝DC；③AE＝2EC；④劣弧AE是劣弧DE的2倍；⑤AE＝BC。其中正确结论的序号是 。
5（2007山东枣庄）如图3，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为 ⊙O的直径，AD=6，则BC＝ 。 6（2007四川成都）如图4，已知AB是
O的直径，弦CDAB，ACBC1，
那么sinABD的值是 ．
图1
7.如图，在⊙O中，弦AB=1．8。m，圆周角∠ACB=30 ，则 ⊙O的直径等于_________cm．
8.如图，⊙O内接四边形ABCD中，AB=CD，则图中和∠1相等的角有______ 9．（2006年贵阳市）如她4，B是线段AC上的一点，且AB:AC2:5，分别以AB、
○
AC为直径画圆，则小圆的面积与大圆的面积之比为；
__ C
第8题 第7题
10.用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图所表示的情形，四个工件哪一
个肯定是半圆环形（ ）
11. (2006年苏州市)
如图①，△ABC内接于⊙0，且∠ABC＝∠C，点D在弧BC上运动．过点D作DE∥BC．DE交直线AB于点E，连结BD．
A
A (1)求证：∠ADB=∠E
；
2
(2)求证：AD=AC·AE；
(3)当点D运动到什么位置时，
C
△DBE∽△ADE请你利用图② 进行探索和证明 图② 图①
第二节 点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系
一【知识梳理】
1.点与圆的位置关系:
点在圆上d=r
设圆的半径为r， 点到圆心的距离为d
点在圆内d＜r
点在圆外d＞r． 2.直线和圆的位置关系：
直线与圆相离d＞r
设圆的半径为r，圆
直线与圆相切d=r
心到直线的距离为d
直线与圆相交d＜r
切线长定理：过圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点与圆心的连线平
分两条切线的夹角。
3.圆与圆的位置关系
(1)同一平面内两圆的位置关系：
①相离:没有公共点； ②相切:只有一个公共点；③相交:有两个公共点；④同心圆。 (2)
(3)
（注意：两圆内含时，如果d为0，则两圆为同心圆） 4.切线的性质和判定
(1)切线的定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线叫做圆的切线． (2)切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．
(3)切线的判定：①d=r直线与圆相切（r为圆的半径，d为圆心到直线的距离；当不知道直线与圆的公共点时用此判定方法）②经过半径的外端点，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（当知道直线经过半径的外端点时，只需证明垂直）
二【课前练习】
1.△ABC中，∠C=90°，AC=3，CB=6，若以C为圆心，以r为半径作圆，那么： ⑴ 当直线AB与⊙C相离时，r的取值范围是____； ⑵ 当直线AB与⊙C相切时，r的取值范围是____； ⑶ 当直线AB与⊙C相交时，r的取值范围是____.
2. 已知⊙O1和⊙O2相外切，且圆心距为10cm，若⊙O1的半径为3cm，则⊙O2的半径为 cm． 3.两个同心圆的半径分别为1cm和2cm，大圆的弦AB与小圆相切，那么AB=（ ） A．．3 D．4 4.（2007山东临沂）如图，在△ABC中，AB＝2，
AC＝1，以AB为直径的圆与AC相切，与边BC 交于点D，则AD的长为（ ）。A
4242
3 B、5 C、3 D、5555
5.（2007重庆市）已知⊙O1的半径r为3cm，⊙O2的半径R为4cm，两圆的圆心距O1O2为1cm，则这两圆的位置关系是（ ）C
（A）相交 （B）内含 （C）内切 （D）外切
6.⊙O的半径是6，点O到直线a的距离为5，则直线a与⊙O的位置关系为（ ）．C
A．相离 B．相切 C．相交 D．内含
7. 两圆既不相交又不相切，半径分别为3和5，则两圆的圆心距d的取值范围是（ ） A．d＞8 B．0＜d≤2 C．2＜d＜8 D．0≤d＜2或d＞8 8. Rt△ABC中，∠C=90°，∠AC=3cm，BC＝4cm，给出下列三个结论： ①以点C为圆心1．3 cm长为半径的圆与AB相离；②以点C为圆心，2．4cm长为半径
的圆与AB相切；③以点C为圆心，2．5cm长为半径的圆与AB相交．上述结论中正确的个数是（ ）
A．0个 B．l个 C．2个 D．3个
9.如图，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交 ⊙O于点B，PA=4， OA=3，则cos∠APO的值为（ ）
A、
A.3 B.3 C.4 D.4
4
5
5
3
10.如图，已知PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是 ⊙O的直径，∠P=40°，则∠BAC度数是（ ） A．70° B．40° C．50° D．20°
11.如图，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，∠APB=90°，OP=4， 求⊙O的半径．
12.如图,⊙O的半径为1,过点A(2,0)的直线切⊙O于点
交
y轴于点C
(1)求线段AB的长
(2)求以直线AC为图象的一次函数的解析式
13（2007浙江温州）如图，点P在O的直径BA于 点C，连结BC。
（1）求P的正弦值；
（2）若⊙O的半径r＝2cm，求BC的长度。
三【课后训练】
B
1.在△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，CM是中线，以C为圆心，以3cm长为半径画
圆，则对A、B、C、M四点，在圆外的有_____，在圆上的有_____，在圆内的有_______. 2.已知半径为3 cm，4cm的两圆外切，那么半径为6 cm且与这两圆都外切的圆共有____个． 3．(2006年浙江省绍兴市) 已知00的直径AB与弦AC的夹角为35。，过C点的切线 PC与AB的延长线交于点P，则么P等于（ ）
0000
A．15 B．20 C．25 D．30
2
4.已知两圆的圆心距是3，两圆的半径分别是方程x－3x+2=0的两个根，那么这两个圆的位置关系是（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
5.如图，已知两同心圆，大圆的弦AB切小圆于M，若环形的面 积为9π，求AB的长．
6.如图，△ABO中，OA= OB，以O为圆心的圆经过AB
中点C，且分别交OA、OB于点E、F． （1）求证：AB是⊙O切线；
（2）若△ABO腰上的高等于底边的一半，且3 ，求ECF的长
※7.如图，CB、CD是⊙O的切线，切点分别为B、D，CD的延长线与
⊙O的直径BE的延长线交于A点，连OC，ED． （1）探索OC与ED的位置关系，并加以证明； （2）若OD＝4，CD=6，求tan∠ADE的值．
8．(2006年泰州市)已知：∠MAN=30°，O为边AN上一点，以O为圆心、2为半径作⊙O，
交AN于D、E两点，设AD=x，
⑴如图⑴当x取何值时，⊙O与AM相切；
⑵如图⑵当x为何值时，⊙O与AM相交于B、C两点，且∠BOC=90°．
图（1）
图（2）
9（2007浙江金华）如图，AB是⊙O的切线，A为切点，AC是⊙O的弦，过O作
OHAC于点H．若OH2，AB12，BO13 求：（1）⊙O的半径；
（2）sin∠OAC的值； （3）弦AC的长（结果保留两个有效数字）．
10（2007福建福州）如图，已知：△ABC内接于⊙O，
1
点D在OC的延长线上，sinB，
D30．
2
（1）求证：AD是⊙O的切线； （2）若AC6，求AD的长．
11.已知三角形三边长分别是 4cm、5cm、6cm，以各顶点为圆心的三个圆的两两外切，求这三个圆的半径。
第三节 弧长、扇形的面积和圆锥侧面积
一【知识梳理】
1.弧长公式：l180(n为圆心角的度数上为圆半径)
nR
nR21
lR(n为圆心角的度数,R为圆的半径） 2.扇形的面积公式S=．注：后一个公式可3602
类比三角形公式，扇形的弧相当于三角形的底，扇形的半径相当于三角形的高。
3.圆锥的侧面积S=πRL ,(L为母线长，R为底面圆的半径),圆锥的侧面积与底面积之和
D
称为圆锥的全面积．
注意①圆锥的高、底面半径和母线构成Rt△AOC
B③在弧长和扇形公式中，知道某些量就可以求出相关的未知量，所以要灵活运用公式。
④在求阴影部分的面积时，要善于把不规则图形转化为规则图形（或其和差关系）。
二【课前练习】
1.如图是小芳学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图，
2
则围成这个灯罩的铁皮的面积为________cm (不考 虑接缝等因素，计算结果用π表示）．
2. 设圆的周长为C，因为1°的 圆心角占整个周角的 ，
因此它所对的弧长是圆周长的 ；n圆心角所对的弧长是圆周长的 ．
4
，则⊙O的半径为 ．2 3
4. 圆心角为30，半径为R的弧长为 ．R
6
3. 在⊙O中，如果120的圆心角所对应的弧长为
5.半径是6，圆心角为120°的扇形是某圆锥的侧面展开图，这个圆锥的底面半径为＿＿。 1
6.在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝2，分别以A、B、C为圆心，以 AC 为半径
2画弧，三条弧与边AB
7. 已知一圆的周长为8cm，其圆周上一段弧长为3cm，
则该弧所对的圆周角为
．67.5
8. 在半径为1cm的圆中，弧长为
2
的弧所对应的圆周角为 ．
60 3
9. 如果⊙O的半径3cm，其中一弧长2cm，则这弧所对的弦长为 ． 10.如图，半径为30cm的转轮转120°角时，传送带上的 物体A平移的距离为＿＿＿＿cm。（保留π）
11.如图1－3－29，粮仓顶部是圆锥形，这个圆锥的底面圆的周长 为36m，母线长为8m．为防雨需在粮食顶部铺上油毡， 至少需要铺油毡的面积是_______．
12.如图，⊙O的半径为1，圆周角∠ABC=30°， 则图中阴影部分的面积是________.
13.制作一个底面直径为30cm，高40cm的圆柱形无盖铁桶，所需铁皮至少为（ ），
222 2
A．1425πcm B．1650πcm C．2100πcmD．2625πcm
14. 如图中的五个半圆，邻近的两个半圆相切，两只小虫以相同速度，同时从A点到B点，甲虫沿
路线爬行；乙虫沿
路线爬行，则下列结论正确的是（ ） Ａ．甲先到达B点 Ｂ．乙先到达B点 Ｃ．甲、乙同时到达B点 Ｄ．无法确定
Ａ
A1A2
A3
Ｂ
16. 如图，正方形ABCD的边长为2，以CD为直径在正方形内画半圆，再以D为圆心，2为半径画弧AC，则图中阴影部分的面积为（ ）Ｄ Ａ．
Ｂ．
2
3
Ｃ．
3 2
Ｄ．
2
三：【课后训练】
17.如图，阴影部分是某一广告标志，已知两圆弧所在圆的半径分别为20cm，10cm，∠AOB
＝120㎝，求这个广告标志面的周长．（145.6） 18.一个三角尺的两直角边分别为15cm和20cm，以它的斜边为旋转轴旋转这个三角尺便形成如图所示的旋转体，求这个旋转体的全面积（取3.14）
19.如图，⊙A，⊙B，⊙C两两不相交，且它们的半径都是0.5cm，图中的三个扇形（即三
个阴影部分）的面积之和是多少？
1.已知Rt△ABC的斜边AB=5，一条直角边AC=3，以直线BC为轴旋转一周得到一个圆锥，
则这个圆锥的侧面积为（ ）
A．8π B．12π C．15π D．20π
2.如图，圆锥的母线长为5cm，高线长为4cm，则圆锥的底面积是（ ）
ZZZZ
A．3πcm ；B．9πcm ；C．16πcm ；D．25πcm
3.如果圆锥的高为8cm，母线长为10cm，则它的侧面展开图的面积为_____
4.正方形ABCD的边长为2 cm，以边AB所在直线为轴旋转一周， 所得到的圆柱的侧面
2
积为（ ）m
A．16π B．8π C．4π D．4 5.（07山东淄博）一个圆锥的高为33，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是（ ）B
（A）9 （B）18 （C）27 （D）39 6.（2007四川内江）如图（5），这是中央电视台“曲苑杂谈”
A 中的一副图案，它是一扇形图形，其中AOB为120，
C O 图（5）
B
OC长为8cm，CA长为12cm，则阴影部分的面积为（ ）
7.（07山东济宁）如图，从P点引⊙O的两切线PA、PA、PB， A、B为切点，已知⊙O的半径为2，∠P＝60°， 则图中阴影部分的面积为 。
8.. 如图，两个半径为1，圆心角是90的扇形OAB和扇
形OAB叠放在一起，点O在AB上，四边形
π
OPOQ是正方形，则阴影部分的面积等于．1
29. 如图，⊙O1和⊙O2是半径为6的两个等圆，且互过圆心，
B
B
则图中阴影部分的面积为
10. 如图，△ABC内接于
．24O，ABBCCA4cm，
．
则图中阴影部分的面积为
11. 扇形的面积为
162) 9
33
cm2，扇形所在圆的半径cm，求扇形的圆心角．（120） 42
12. 如图，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=2cm，E是以A为圆心、
AD为半径所作圆周与BA延长线的交点，则图中阴影部分的 面积是 cm2．
13. 如图10，扇形ODE的圆心角为120，正三角形ABC的中 心恰好为扇形ODE的圆心，且点B在扇形ODE内
（１） 请连接OA、OB，并证明△AOF≌△BOG； D （２） 求证：△ABC与扇形ODE重叠部分的面积等
于△ABC面积的
E
1． 3
14. 如图，⊙O1，与⊙O2外切于点C，⊙M与⊙O1，⊙O2都相内切，切点分别为A，B，⊙O1与⊙O2的半径均为2，⊙M的半径为6
，求图中阴影部分的面积．
10
3
Ｄ
专题九 圆
第一节 圆的有关概念和性质
一【知识梳理】
1.圆的有关概念和性质 (1) 圆的有关概念
①圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，
定长为半径． ②弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧． ③弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．
（2）圆的有关性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对
称图形，对称中心为圆心．
②垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧． 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．
③弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有
一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；
90”的圆周角所对的弦是直径．
④三角形的内心和外心
ⓐ：确定圆的条件：同一直线上的三个点确定一个圆．
ⓑ：三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，
外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． ⓒ：三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆
心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心
2.与圆有关的角
（1）圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。圆心角的度数等于它所对的弧的度数．
（2）圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆周角。圆周角的度数等于它所
对的弧的度数的一半．
（3）圆心角与圆周角的关系：
同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． （4）圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．
3.正多边形和圆
（1）通过等分圆画正多边形。（等分圆心角；懂得正三、六；正四、八边形的特殊画法）
（2）外接于圆的正多边形的有关概念：正多边形的中心、
半径、中心角、边心距；
（3）如图，正n边形的有关计算要抓住2n个Rt△OPB，∠B等360180
于正n边形内角的一半，∠BOP=，BP等于正多边形的边长的一半。 2nn
一般地，关于正多边形计算的问题都转化为直角三角形的问题。（“转化”是解决问
题的一种重要的思想方法，化繁为简、化难为易、化抽象为形象、化未知为已知„如：
用“换元法”解方程、解方程中的 ‘消元降次’思想、把多边性的内角和转化为三角形来研究、借助图表分析应用题中的数量关系等） 方法技巧：
1.分类讨论解决圆的问题，防止漏解。如一条弦所对的圆周角有两种，所以同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补。圆内两条平行的弦与圆心的位置关系有两种。
2.圆中常作的辅助线：作半径、弦心距、直径所对的圆周角、经过切点作半径、过圆
心作切线的垂线、两圆相交时的公共弦、连心线等。
二【课前练习】
1.如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠BAC=30°则∠BOC的大小是（ ）
○ ○○ ○
A．60B．45 C．30D．15
2.如图，MN所在的直线垂直平分弦A B，利用这样的工 具最少使用__________次，就可找到圆形工件的圆心． 3.如图是中国共产主义青年团团旗上的图案，点A、B、C、D、 E五等分圆，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是（ ） A．180° B．15 0° C．135° D．120°
○
4.如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A 、B，点C在⊙O上．如果∠P＝50 ，那么∠ACB等于（ ）
○ ○○ ○
A．40 B．50 C．65D．130 5.“圆材埋壁”是我国古代《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁冲，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何”．用数学语言可表述为如图，CD为⊙O的直径，弦
AB⊥CD于点E，CE＝1寸，AB=10寸，则直径CD的长为（ ） A．12．5寸 B．13寸 C．25寸 D．26寸
6.如图，四边形 ABCD内接于⊙O，若∠BOD=100°，则∠DAB的度数为（ ） A．50° B．80° C．100° D．130°
○
7.如图，在⊙O中，已知∠ACB＝∠CDB＝60 ，AC＝3，则△ABC的周长是____________.
第4题 第5题 第6题 第7题
8⊙O的半径是5，AB、CD为⊙O的两条弦，且AB∥CD，AB=6，CD=8， 求 AB与CD之间的距离．
9（2007山东临沂）如图，已知点A、B、C、D均在已知圆上， AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC＝120°，四边形
ABCD的周长为10。 (1)求此圆的半径； (2)求图中阴影部分的面积。 10．（2006年长春市）如图，AB为⊙O直径，BC切⊙O于B，CO交⊙O
交于D，AD的延长线交BC于E，若∠C = 25°，求∠A的度数。 11.如图，在⊙O中，弦AC与BD交于E，AB6，AE8， ED4，求CD的长。 12.（06连云港）如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC至点D，
使CD＝AC，连接AD交⊙O与点E，连接BE、CE与AC交于点F。 （1）求证：△ABE≌△CDE； （2）若AE=6，DE=9，求EF的长。
第10题 第11题 第12题
13.填写下表：
D
三：【课后训练】
1.（2007福建福州）如图2，O中，弦AB的长为6cm，圆心O到AB 的距离为4cm，则O的半径长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
2（2007四川成都）如图，⊙O内切于△ABC，切点分别为D，E，F． 已知B50°，C60°，连结OE，OF，DE，DF， 那么EDF等于（ ） Ａ．40°
Ｂ．55° Ｃ．65° Ｄ．70°
3（07淄博）如图1，已知：△ABC是⊙O的内接三角形，
AD⊥BC于D点，且AC
=5，DC=3，AB=42，则⊙O的直径等于
4（2007重庆市）已知，如图2：AB
为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝450。给出以下五个结论：①∠EBC＝22.50，；②BD＝DC；③AE＝2EC；④劣弧AE是劣弧DE的2倍；⑤AE＝BC。其中正确结论的序号是 。
5（2007山东枣庄）如图3，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为 ⊙O的直径，AD=6，则BC＝ 。 6（2007四川成都）如图4，已知AB是
O的直径，弦CDAB，ACBC1，
那么sinABD的值是 ．
图1
7.如图，在⊙O中，弦AB=1．8。m，圆周角∠ACB=30 ，则 ⊙O的直径等于_________cm．
8.如图，⊙O内接四边形ABCD中，AB=CD，则图中和∠1相等的角有______ 9．（2006年贵阳市）如她4，B是线段AC上的一点，且AB:AC2:5，分别以AB、
○
AC为直径画圆，则小圆的面积与大圆的面积之比为；
__ C
第8题 第7题
10.用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图所表示的情形，四个工件哪一
个肯定是半圆环形（ ）
11. (2006年苏州市)
如图①，△ABC内接于⊙0，且∠ABC＝∠C，点D在弧BC上运动．过点D作DE∥BC．DE交直线AB于点E，连结BD．
A
A (1)求证：∠ADB=∠E
；
2
(2)求证：AD=AC·AE；
(3)当点D运动到什么位置时，
C
△DBE∽△ADE请你利用图② 进行探索和证明 图② 图①
第二节 点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系
一【知识梳理】
1.点与圆的位置关系:
点在圆上d=r
设圆的半径为r， 点到圆心的距离为d
点在圆内d＜r
点在圆外d＞r． 2.直线和圆的位置关系：
直线与圆相离d＞r
设圆的半径为r，圆
直线与圆相切d=r
心到直线的距离为d
直线与圆相交d＜r
切线长定理：过圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点与圆心的连线平
分两条切线的夹角。
3.圆与圆的位置关系
(1)同一平面内两圆的位置关系：
①相离:没有公共点； ②相切:只有一个公共点；③相交:有两个公共点；④同心圆。 (2)
(3)
（注意：两圆内含时，如果d为0，则两圆为同心圆） 4.切线的性质和判定
(1)切线的定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线叫做圆的切线． (2)切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．
(3)切线的判定：①d=r直线与圆相切（r为圆的半径，d为圆心到直线的距离；当不知道直线与圆的公共点时用此判定方法）②经过半径的外端点，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（当知道直线经过半径的外端点时，只需证明垂直）
二【课前练习】
1.△ABC中，∠C=90°，AC=3，CB=6，若以C为圆心，以r为半径作圆，那么： ⑴ 当直线AB与⊙C相离时，r的取值范围是____； ⑵ 当直线AB与⊙C相切时，r的取值范围是____； ⑶ 当直线AB与⊙C相交时，r的取值范围是____.
2. 已知⊙O1和⊙O2相外切，且圆心距为10cm，若⊙O1的半径为3cm，则⊙O2的半径为 cm． 3.两个同心圆的半径分别为1cm和2cm，大圆的弦AB与小圆相切，那么AB=（ ） A．．3 D．4 4.（2007山东临沂）如图，在△ABC中，AB＝2，
AC＝1，以AB为直径的圆与AC相切，与边BC 交于点D，则AD的长为（ ）。A
4242
3 B、5 C、3 D、5555
5.（2007重庆市）已知⊙O1的半径r为3cm，⊙O2的半径R为4cm，两圆的圆心距O1O2为1cm，则这两圆的位置关系是（ ）C
（A）相交 （B）内含 （C）内切 （D）外切
6.⊙O的半径是6，点O到直线a的距离为5，则直线a与⊙O的位置关系为（ ）．C
A．相离 B．相切 C．相交 D．内含
7. 两圆既不相交又不相切，半径分别为3和5，则两圆的圆心距d的取值范围是（ ） A．d＞8 B．0＜d≤2 C．2＜d＜8 D．0≤d＜2或d＞8 8. Rt△ABC中，∠C=90°，∠AC=3cm，BC＝4cm，给出下列三个结论： ①以点C为圆心1．3 cm长为半径的圆与AB相离；②以点C为圆心，2．4cm长为半径
的圆与AB相切；③以点C为圆心，2．5cm长为半径的圆与AB相交．上述结论中正确的个数是（ ）
A．0个 B．l个 C．2个 D．3个
9.如图，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交 ⊙O于点B，PA=4， OA=3，则cos∠APO的值为（ ）
A、
A.3 B.3 C.4 D.4
4
5
5
3
10.如图，已知PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是 ⊙O的直径，∠P=40°，则∠BAC度数是（ ） A．70° B．40° C．50° D．20°
11.如图，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，∠APB=90°，OP=4， 求⊙O的半径．
12.如图,⊙O的半径为1,过点A(2,0)的直线切⊙O于点
交
y轴于点C
(1)求线段AB的长
(2)求以直线AC为图象的一次函数的解析式
13（2007浙江温州）如图，点P在O的直径BA于 点C，连结BC。
（1）求P的正弦值；
（2）若⊙O的半径r＝2cm，求BC的长度。
三【课后训练】
B
1.在△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，CM是中线，以C为圆心，以3cm长为半径画
圆，则对A、B、C、M四点，在圆外的有_____，在圆上的有_____，在圆内的有_______. 2.已知半径为3 cm，4cm的两圆外切，那么半径为6 cm且与这两圆都外切的圆共有____个． 3．(2006年浙江省绍兴市) 已知00的直径AB与弦AC的夹角为35。，过C点的切线 PC与AB的延长线交于点P，则么P等于（ ）
0000
A．15 B．20 C．25 D．30
2
4.已知两圆的圆心距是3，两圆的半径分别是方程x－3x+2=0的两个根，那么这两个圆的位置关系是（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
5.如图，已知两同心圆，大圆的弦AB切小圆于M，若环形的面 积为9π，求AB的长．
6.如图，△ABO中，OA= OB，以O为圆心的圆经过AB
中点C，且分别交OA、OB于点E、F． （1）求证：AB是⊙O切线；
（2）若△ABO腰上的高等于底边的一半，且3 ，求ECF的长
※7.如图，CB、CD是⊙O的切线，切点分别为B、D，CD的延长线与
⊙O的直径BE的延长线交于A点，连OC，ED． （1）探索OC与ED的位置关系，并加以证明； （2）若OD＝4，CD=6，求tan∠ADE的值．
8．(2006年泰州市)已知：∠MAN=30°，O为边AN上一点，以O为圆心、2为半径作⊙O，
交AN于D、E两点，设AD=x，
⑴如图⑴当x取何值时，⊙O与AM相切；
⑵如图⑵当x为何值时，⊙O与AM相交于B、C两点，且∠BOC=90°．
图（1）
图（2）
9（2007浙江金华）如图，AB是⊙O的切线，A为切点，AC是⊙O的弦，过O作
OHAC于点H．若OH2，AB12，BO13 求：（1）⊙O的半径；
（2）sin∠OAC的值； （3）弦AC的长（结果保留两个有效数字）．
10（2007福建福州）如图，已知：△ABC内接于⊙O，
1
点D在OC的延长线上，sinB，
D30．
2
（1）求证：AD是⊙O的切线； （2）若AC6，求AD的长．
11.已知三角形三边长分别是 4cm、5cm、6cm，以各顶点为圆心的三个圆的两两外切，求这三个圆的半径。
第三节 弧长、扇形的面积和圆锥侧面积
一【知识梳理】
1.弧长公式：l180(n为圆心角的度数上为圆半径)
nR
nR21
lR(n为圆心角的度数,R为圆的半径） 2.扇形的面积公式S=．注：后一个公式可3602
类比三角形公式，扇形的弧相当于三角形的底，扇形的半径相当于三角形的高。
3.圆锥的侧面积S=πRL ,(L为母线长，R为底面圆的半径),圆锥的侧面积与底面积之和
D
称为圆锥的全面积．
注意①圆锥的高、底面半径和母线构成Rt△AOC
B③在弧长和扇形公式中，知道某些量就可以求出相关的未知量，所以要灵活运用公式。
④在求阴影部分的面积时，要善于把不规则图形转化为规则图形（或其和差关系）。
二【课前练习】
1.如图是小芳学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图，
2
则围成这个灯罩的铁皮的面积为________cm (不考 虑接缝等因素，计算结果用π表示）．
2. 设圆的周长为C，因为1°的 圆心角占整个周角的 ，
因此它所对的弧长是圆周长的 ；n圆心角所对的弧长是圆周长的 ．
4
，则⊙O的半径为 ．2 3
4. 圆心角为30，半径为R的弧长为 ．R
6
3. 在⊙O中，如果120的圆心角所对应的弧长为
5.半径是6，圆心角为120°的扇形是某圆锥的侧面展开图，这个圆锥的底面半径为＿＿。 1
6.在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝2，分别以A、B、C为圆心，以 AC 为半径
2画弧，三条弧与边AB
7. 已知一圆的周长为8cm，其圆周上一段弧长为3cm，
则该弧所对的圆周角为
．67.5
8. 在半径为1cm的圆中，弧长为
2
的弧所对应的圆周角为 ．
60 3
9. 如果⊙O的半径3cm，其中一弧长2cm，则这弧所对的弦长为 ． 10.如图，半径为30cm的转轮转120°角时，传送带上的 物体A平移的距离为＿＿＿＿cm。（保留π）
11.如图1－3－29，粮仓顶部是圆锥形，这个圆锥的底面圆的周长 为36m，母线长为8m．为防雨需在粮食顶部铺上油毡， 至少需要铺油毡的面积是_______．
12.如图，⊙O的半径为1，圆周角∠ABC=30°， 则图中阴影部分的面积是________.
13.制作一个底面直径为30cm，高40cm的圆柱形无盖铁桶，所需铁皮至少为（ ），
222 2
A．1425πcm B．1650πcm C．2100πcmD．2625πcm
14. 如图中的五个半圆，邻近的两个半圆相切，两只小虫以相同速度，同时从A点到B点，甲虫沿
路线爬行；乙虫沿
路线爬行，则下列结论正确的是（ ） Ａ．甲先到达B点 Ｂ．乙先到达B点 Ｃ．甲、乙同时到达B点 Ｄ．无法确定
Ａ
A1A2
A3
Ｂ
16. 如图，正方形ABCD的边长为2，以CD为直径在正方形内画半圆，再以D为圆心，2为半径画弧AC，则图中阴影部分的面积为（ ）Ｄ Ａ．
Ｂ．
2
3
Ｃ．
3 2
Ｄ．
2
三：【课后训练】
17.如图，阴影部分是某一广告标志，已知两圆弧所在圆的半径分别为20cm，10cm，∠AOB
＝120㎝，求这个广告标志面的周长．（145.6） 18.一个三角尺的两直角边分别为15cm和20cm，以它的斜边为旋转轴旋转这个三角尺便形成如图所示的旋转体，求这个旋转体的全面积（取3.14）
19.如图，⊙A，⊙B，⊙C两两不相交，且它们的半径都是0.5cm，图中的三个扇形（即三
个阴影部分）的面积之和是多少？
1.已知Rt△ABC的斜边AB=5，一条直角边AC=3，以直线BC为轴旋转一周得到一个圆锥，
则这个圆锥的侧面积为（ ）
A．8π B．12π C．15π D．20π
2.如图，圆锥的母线长为5cm，高线长为4cm，则圆锥的底面积是（ ）
ZZZZ
A．3πcm ；B．9πcm ；C．16πcm ；D．25πcm
3.如果圆锥的高为8cm，母线长为10cm，则它的侧面展开图的面积为_____
4.正方形ABCD的边长为2 cm，以边AB所在直线为轴旋转一周， 所得到的圆柱的侧面
2
积为（ ）m
A．16π B．8π C．4π D．4 5.（07山东淄博）一个圆锥的高为33，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是（ ）B
（A）9 （B）18 （C）27 （D）39 6.（2007四川内江）如图（5），这是中央电视台“曲苑杂谈”
A 中的一副图案，它是一扇形图形，其中AOB为120，
C O 图（5）
B
OC长为8cm，CA长为12cm，则阴影部分的面积为（ ）
7.（07山东济宁）如图，从P点引⊙O的两切线PA、PA、PB， A、B为切点，已知⊙O的半径为2，∠P＝60°， 则图中阴影部分的面积为 。
8.. 如图，两个半径为1，圆心角是90的扇形OAB和扇
形OAB叠放在一起，点O在AB上，四边形
π
OPOQ是正方形，则阴影部分的面积等于．1
29. 如图，⊙O1和⊙O2是半径为6的两个等圆，且互过圆心，
B
B
则图中阴影部分的面积为
10. 如图，△ABC内接于
．24O，ABBCCA4cm，
．
则图中阴影部分的面积为
11. 扇形的面积为
162) 9
33
cm2，扇形所在圆的半径cm，求扇形的圆心角．（120） 42
12. 如图，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=2cm，E是以A为圆心、
AD为半径所作圆周与BA延长线的交点，则图中阴影部分的 面积是 cm2．
13. 如图10，扇形ODE的圆心角为120，正三角形ABC的中 心恰好为扇形ODE的圆心，且点B在扇形ODE内
（１） 请连接OA、OB，并证明△AOF≌△BOG； D （２） 求证：△ABC与扇形ODE重叠部分的面积等
于△ABC面积的
E
1． 3
14. 如图，⊙O1，与⊙O2外切于点C，⊙M与⊙O1，⊙O2都相内切，切点分别为A，B，⊙O1与⊙O2的半径均为2，⊙M的半径为6
，求图中阴影部分的面积．
10
3
Ｄ