第三讲:比和比例
知识回顾 比与比例
（1）两个数相除，又叫做这两个数的比，“：”是比号，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项，前项除以后项所得的商叫做比值。比的后项不能为0。
（2）分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或者除以相同的数（0除外）， 分数的大小不变。乘积是1的两个数互为倒数。1的倒数是1，0没有倒数。
（3）商不变的规律：在除法里，被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍（0除外），商不变。 （4）比的基本性质：比的前项和后项同时乘以或者除以相同的数（0除外），它们的比值不变。
最简整数比：比的前项和后项是互质数。
（5）比的化简：用商不变的性质、分数的基本性质或比的基本性质来化简。 （6） 比例：①表示两个比相等的式子叫做比例。如：（3：4=9：12）。
(7) 比例的基本性质：在一个比例中，两个外项的积等于两个内项的积。（10）比、比例、比例尺、百分数的后面不能带单位。
2、正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系．
（1）用字母表示：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值，（一定）正比例关系可以用以下关系式表示：x/y=k （一定）
（2）正比例关系两种相关联的量的变化规律：同时扩大，同时缩小，比值不变．例如：汽车每小时行驶的速度一定，所行的路程和所用的时间是否成正比例？
（3）正比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系。如果用字母x和Y表示两种相关联的量，用字母K表示它们的比值（一定），正比例的关系可以表示为：X÷Y=K （一定）还可表示为：X=KY。正比例关系两种相关联的量的变化规律：同时扩大，同时缩小，比值不变．
路程
例如速度 时间
速度 × 时间 = 路程
路程
时间 速度
当速度一定时，路程和时间成正比例关系 当路程一定时，速度和时间成反比例关系 当时间一定时，路程和速度成正比例关系
3、反比例：两种相关联的量一种量变化，另种量也随着变化，如果这两种量中，相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做成反比例关系．
（1）用字母表示：两种相关联的量，分别“x”和“y”表示，“k”表示不变的量，那么反比例关系式是： xy=k（一定）
（2）反比例关系的两种相关联的量的变化规律是一种量扩大，另一种量缩小，一种量缩而另一种量则扩大，积不变． 例：图上距离一定，实际距离和比例尺是否成反比例． 因为实际距离×比例尺=图上距离。所以，实际距离和比例尺成反比例．
（3）反比例意义：两种相关联的量一种量变化，另种量也随着变化，如果这两种量中，相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做成反比例关系． 用字母表示：两种相关联的量，分别“x”和“y”表
示，“k”表示不变的量，那么反比例关系式是： xy=k（一定）反比例关系的两种相关联的量的变化规律是一种量扩大，另一种量缩小，一种量缩而另一种量则扩大，积不变．
4、正比例和反比例的比较
相同点：两种量都是相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化．
不同点：两种量成正比例，是一种量扩大，另一种量也随着扩大，一种量缩小，另一种量也随着缩小，它们扩大，缩小的规律是，这两种量相对应的两个数的比值不变，即商一定． 两种量成反比例是一种量扩大，另一种量反而缩小。一种量缩小，另一种量反而扩大，它们变化的规律是这两种量中，相对应的两个数积不变。
5、比例尺
（1）比例尺是表示图上距离比实地距离缩小的程度，也叫缩尺。公式为：比例尺=图上距离/实地距离。比例尺有三种表示方法:数字式，线段式，和文字式。三种表示方法可以互换。根据地图的用途，所表示地区范围的大小、图幅的大小和表示内容的详略等不同情况，制图选用的比例尺有大有小。在同样图幅上，比例尺越大，地图所表示的范围越小，图内表示的内容越详细，精度越高；比例尺越小，地图上所表示的范围越大，反映的内容越简略，精确度越低。（如兰州地图与中国地图比较） （2）比例尺的表现方式：
①数字式：用数字的比例式或分数式表示比例尺的大小。例如地图上1厘米代表实地距离500千米，可写成：1∶50,000,000或写成：1/50,000,000。
②线段式：在地图上画一条线段，并注明地图上1厘米所代表的实际距离。
③文字式：在地图上用文字直接写出地图上1厘米代表实地距离多少千米，如：图上1厘米相当于地面距离500千米，或五千万分之一。
例1:比和比例的计算 求比值 14
2、化简比 7
3、解比例
25:7=X:35 X∶0.75= 81∶25 5
13
27
15
120
15
25
47
17
12
13
：0.72 ：1 3：2
：0.24 12.6：0.4 ：1
：0.4＝2：X
例2: 比例尺及比的转化
2、在比例尺是1∶6000000的地图上，量得甲地到乙地的距离是25厘米，而在另一幅地图上的比例尺却是求在另一幅地图上甲乙两地的距离?
3、混凝土的配料是水泥∶黄沙∶石子=1∶2∶3。现在要浇制混凝土楼板40块，每块重0.3吨，需要水泥、黄沙、石子各多少吨做原料？
试一试
1. 甲乙两数的比是11:9,甲数占甲、乙两数和的
((
))
15000000
,
，乙数占甲、乙两数和的
((
))
。甲、乙两数的比是3:2，甲数
是乙数的（ ）倍，乙数是甲数的
34
((
))
。
2. 某班男生人数与女生人数的比是，女生人数与男生人数的比是（ ），男生人数和女生人数的比是（ ）。
女生人数是总人数的比是（ ）。 3. 一根绳长2米，把它平均剪成5段，每段长是
98
13
((
))
米，每段是这根绳子的
((
))
。
4. 吨大豆可榨油吨，1吨大豆可榨油（ ）吨，要榨1吨油需大豆（ ）吨。
5. 一种盐水是由盐和水按1 ：30 的重量配制而成的。其中，盐的重量占盐水的（—），水的重量占盐水的（—）。图
上距离3厘米表示实际距离180千米，这幅图的比例尺是（ ）。一幅地图的比例尺是图上6厘米表示实际距离（ ）千米。实际距离150千米在图上要画（ ）厘米。
6. 12的约数有（ ），选择其中的四个约数，把它们组成一个比例是（ ）。写出两个比值是8的比
（ ）、（ ）。
比的转换 1.甲数的
2.把甲数的
1723
25
等于乙数的，甲数与乙数的比是（ ）。
给乙，甲、乙两数相等，那么甲:乙=( ): ( )甲数是乙数的
((
))
，甲数比乙数多
((
))
3.甲数比乙数多14
，甲数与乙数比是（ ）。乙数比甲数少
()。
(
)
总结:很多的情况,我们都习惯都比转换成份数处理,求出一份数后,在进行计算.
1. 六(1)班有50人其中女生是男生的2/3，男生和女生各多少人?
2. 一个县共有拖拉机550台，其中大型拖拉机台数和手扶拖拉机台数的比是3：8，这两种拖拉机各有多少台？
3. 一个车间有职工70人，男职工比女职工少25%，男职工和女职工各有多少人？
正比例与反比例
例 （1）工作效率一定，工作时间和工作总量（ ）比例。 （2）长方形的周长一定，它的长和宽（ ）比例。
（3）用一批纸装订练习本，每本的页数和装订的本书（ ）比例。 （4）圆的半径与面积（ ）比例。 ）比例。
（１） ３x=y x和y( )比例。 （2）a，b互为倒数，a，b( )比例。 （３） 等边三角形边长与周长（ ）比例。（4）10=a+b a，b( )比例。 （５） 正方形边长与面积（ ）比例。 （6）y=
5x
x和y( )比例。
（7）全班人数一定，出勤人数与出勤率（ ）比例。 （8）全班人数一定，出勤人数与缺勤人数（ ）比例。
练习
一、判断。
1.某班男生有8人，女生有10人，男生与女生人数之比是0.8（ ）
2.甲、乙二人同时走同一条路，甲走完需20分钟，乙走完需30分钟，甲和乙的速度比是2∶3。（
）
3.在比例尺是8∶1的图纸上，2厘米的线段表示零件的实际长16厘米。（ ） 4.两个圆的周长比是2∶3，面积之比是4∶9。（ ） 二、选择题
1、固定电话先收座机费24元，以后按一定标准时间加收通话费，则每月应交电话费与通话时间（ ）
A.成正比例 B.成反比例 C. 不成比例
三、解答应用题。
1、在比例尺是1∶6000000的地图上，量得甲地到乙地的距离是25厘米，求两地间的实际距离。若一架飞机以每小时750千米的速度从北京飞往南京，大约需要多少小时？
2、混凝土的配料是水泥∶黄沙∶石子=1∶2∶3。现在要浇制混凝土楼板40块，每块重0.3吨，需要水泥、黄沙、石子各多少吨做原料？
3、一间大厅，用边长6分米的方砖铺地，需用324块；若改铺边长4分米的方砖，需要多用几块？
4、羊毛衫厂共有工人538人，分三个车间，第一车间比第三车间少12人，已知第二车间与第三车间的人数比是3∶4。三个车间各有多少人？
5、学校把购进的图书的60％按2∶3∶4分配给四、五、六三个年级。已知六年级分得56本，学校共购进图书多少本？
6、小明居住的院内有4家，上月付水费39.2元，其中张叔叔家有2人，王奶奶家有4人，李阿姨家有3人，小明家有5人，若按人口计算，他们四家各应付水费多少元？
第三讲:比和比例
知识回顾 比与比例
（1）两个数相除，又叫做这两个数的比，“：”是比号，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项，前项除以后项所得的商叫做比值。比的后项不能为0。
（2）分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或者除以相同的数（0除外）， 分数的大小不变。乘积是1的两个数互为倒数。1的倒数是1，0没有倒数。
（3）商不变的规律：在除法里，被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍（0除外），商不变。 （4）比的基本性质：比的前项和后项同时乘以或者除以相同的数（0除外），它们的比值不变。
最简整数比：比的前项和后项是互质数。
（5）比的化简：用商不变的性质、分数的基本性质或比的基本性质来化简。 （6） 比例：①表示两个比相等的式子叫做比例。如：（3：4=9：12）。
(7) 比例的基本性质：在一个比例中，两个外项的积等于两个内项的积。（10）比、比例、比例尺、百分数的后面不能带单位。
2、正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系．
（1）用字母表示：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值，（一定）正比例关系可以用以下关系式表示：x/y=k （一定）
（2）正比例关系两种相关联的量的变化规律：同时扩大，同时缩小，比值不变．例如：汽车每小时行驶的速度一定，所行的路程和所用的时间是否成正比例？
（3）正比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系。如果用字母x和Y表示两种相关联的量，用字母K表示它们的比值（一定），正比例的关系可以表示为：X÷Y=K （一定）还可表示为：X=KY。正比例关系两种相关联的量的变化规律：同时扩大，同时缩小，比值不变．
路程
例如速度 时间
速度 × 时间 = 路程
路程
时间 速度
当速度一定时，路程和时间成正比例关系 当路程一定时，速度和时间成反比例关系 当时间一定时，路程和速度成正比例关系
3、反比例：两种相关联的量一种量变化，另种量也随着变化，如果这两种量中，相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做成反比例关系．
（1）用字母表示：两种相关联的量，分别“x”和“y”表示，“k”表示不变的量，那么反比例关系式是： xy=k（一定）
（2）反比例关系的两种相关联的量的变化规律是一种量扩大，另一种量缩小，一种量缩而另一种量则扩大，积不变． 例：图上距离一定，实际距离和比例尺是否成反比例． 因为实际距离×比例尺=图上距离。所以，实际距离和比例尺成反比例．
（3）反比例意义：两种相关联的量一种量变化，另种量也随着变化，如果这两种量中，相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做成反比例关系． 用字母表示：两种相关联的量，分别“x”和“y”表
示，“k”表示不变的量，那么反比例关系式是： xy=k（一定）反比例关系的两种相关联的量的变化规律是一种量扩大，另一种量缩小，一种量缩而另一种量则扩大，积不变．
4、正比例和反比例的比较
相同点：两种量都是相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化．
不同点：两种量成正比例，是一种量扩大，另一种量也随着扩大，一种量缩小，另一种量也随着缩小，它们扩大，缩小的规律是，这两种量相对应的两个数的比值不变，即商一定． 两种量成反比例是一种量扩大，另一种量反而缩小。一种量缩小，另一种量反而扩大，它们变化的规律是这两种量中，相对应的两个数积不变。
5、比例尺
（1）比例尺是表示图上距离比实地距离缩小的程度，也叫缩尺。公式为：比例尺=图上距离/实地距离。比例尺有三种表示方法:数字式，线段式，和文字式。三种表示方法可以互换。根据地图的用途，所表示地区范围的大小、图幅的大小和表示内容的详略等不同情况，制图选用的比例尺有大有小。在同样图幅上，比例尺越大，地图所表示的范围越小，图内表示的内容越详细，精度越高；比例尺越小，地图上所表示的范围越大，反映的内容越简略，精确度越低。（如兰州地图与中国地图比较） （2）比例尺的表现方式：
①数字式：用数字的比例式或分数式表示比例尺的大小。例如地图上1厘米代表实地距离500千米，可写成：1∶50,000,000或写成：1/50,000,000。
②线段式：在地图上画一条线段，并注明地图上1厘米所代表的实际距离。
③文字式：在地图上用文字直接写出地图上1厘米代表实地距离多少千米，如：图上1厘米相当于地面距离500千米，或五千万分之一。
例1:比和比例的计算 求比值 14
2、化简比 7
3、解比例
25:7=X:35 X∶0.75= 81∶25 5
13
27
15
120
15
25
47
17
12
13
：0.72 ：1 3：2
：0.24 12.6：0.4 ：1
：0.4＝2：X
例2: 比例尺及比的转化
2、在比例尺是1∶6000000的地图上，量得甲地到乙地的距离是25厘米，而在另一幅地图上的比例尺却是求在另一幅地图上甲乙两地的距离?
3、混凝土的配料是水泥∶黄沙∶石子=1∶2∶3。现在要浇制混凝土楼板40块，每块重0.3吨，需要水泥、黄沙、石子各多少吨做原料？
试一试
1. 甲乙两数的比是11:9,甲数占甲、乙两数和的
((
))
15000000
,
，乙数占甲、乙两数和的
((
))
。甲、乙两数的比是3:2，甲数
是乙数的（ ）倍，乙数是甲数的
34
((
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。
2. 某班男生人数与女生人数的比是，女生人数与男生人数的比是（ ），男生人数和女生人数的比是（ ）。
女生人数是总人数的比是（ ）。 3. 一根绳长2米，把它平均剪成5段，每段长是
98
13
((
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米，每段是这根绳子的
((
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。
4. 吨大豆可榨油吨，1吨大豆可榨油（ ）吨，要榨1吨油需大豆（ ）吨。
5. 一种盐水是由盐和水按1 ：30 的重量配制而成的。其中，盐的重量占盐水的（—），水的重量占盐水的（—）。图
上距离3厘米表示实际距离180千米，这幅图的比例尺是（ ）。一幅地图的比例尺是图上6厘米表示实际距离（ ）千米。实际距离150千米在图上要画（ ）厘米。
6. 12的约数有（ ），选择其中的四个约数，把它们组成一个比例是（ ）。写出两个比值是8的比
（ ）、（ ）。
比的转换 1.甲数的
2.把甲数的
1723
25
等于乙数的，甲数与乙数的比是（ ）。
给乙，甲、乙两数相等，那么甲:乙=( ): ( )甲数是乙数的
((
))
，甲数比乙数多
((
))
3.甲数比乙数多14
，甲数与乙数比是（ ）。乙数比甲数少
()。
(
)
总结:很多的情况,我们都习惯都比转换成份数处理,求出一份数后,在进行计算.
1. 六(1)班有50人其中女生是男生的2/3，男生和女生各多少人?
2. 一个县共有拖拉机550台，其中大型拖拉机台数和手扶拖拉机台数的比是3：8，这两种拖拉机各有多少台？
3. 一个车间有职工70人，男职工比女职工少25%，男职工和女职工各有多少人？
正比例与反比例
例 （1）工作效率一定，工作时间和工作总量（ ）比例。 （2）长方形的周长一定，它的长和宽（ ）比例。
（3）用一批纸装订练习本，每本的页数和装订的本书（ ）比例。 （4）圆的半径与面积（ ）比例。 ）比例。
（１） ３x=y x和y( )比例。 （2）a，b互为倒数，a，b( )比例。 （３） 等边三角形边长与周长（ ）比例。（4）10=a+b a，b( )比例。 （５） 正方形边长与面积（ ）比例。 （6）y=
5x
x和y( )比例。
（7）全班人数一定，出勤人数与出勤率（ ）比例。 （8）全班人数一定，出勤人数与缺勤人数（ ）比例。
练习
一、判断。
1.某班男生有8人，女生有10人，男生与女生人数之比是0.8（ ）
2.甲、乙二人同时走同一条路，甲走完需20分钟，乙走完需30分钟，甲和乙的速度比是2∶3。（
）
3.在比例尺是8∶1的图纸上，2厘米的线段表示零件的实际长16厘米。（ ） 4.两个圆的周长比是2∶3，面积之比是4∶9。（ ） 二、选择题
1、固定电话先收座机费24元，以后按一定标准时间加收通话费，则每月应交电话费与通话时间（ ）
A.成正比例 B.成反比例 C. 不成比例
三、解答应用题。
1、在比例尺是1∶6000000的地图上，量得甲地到乙地的距离是25厘米，求两地间的实际距离。若一架飞机以每小时750千米的速度从北京飞往南京，大约需要多少小时？
2、混凝土的配料是水泥∶黄沙∶石子=1∶2∶3。现在要浇制混凝土楼板40块，每块重0.3吨，需要水泥、黄沙、石子各多少吨做原料？
3、一间大厅，用边长6分米的方砖铺地，需用324块；若改铺边长4分米的方砖，需要多用几块？
4、羊毛衫厂共有工人538人，分三个车间，第一车间比第三车间少12人，已知第二车间与第三车间的人数比是3∶4。三个车间各有多少人？
5、学校把购进的图书的60％按2∶3∶4分配给四、五、六三个年级。已知六年级分得56本，学校共购进图书多少本？
6、小明居住的院内有4家，上月付水费39.2元，其中张叔叔家有2人，王奶奶家有4人，李阿姨家有3人，小明家有5人，若按人口计算，他们四家各应付水费多少元？