推导向心加速度大小的表达式

吉林省乾安县第四中学金迎时

关于向心加速度大小的表达式，传统的物理教材是根据牛顿第二定律和向心力公式推导出来的。

我们尝试利用加速度定义式得出向心加速度大小的表达式，出发点是设法用v、r等物理量表示

∆v∆t

中的∆v。

在图中，vA、vB是时间间隔∆t前后的速度（图甲）。为了求出二者之差∆v=vB-vA，我们移动vA，把它们的起点放在一起（图乙、图丙）。由于只有∆t很小的时候∆v才表示物体的

∆t

加速度，所以实际上A、B两点相距很近（图丁）。找出三角形中几个量的关系就能求得∆v。运算过程中要注意以下几点：

① 由于是匀速圆周运动，所以vA和vB的大小是一样的，可以用同一个字母v表示。

② vA和vB的大小实际上就是图中的vA和vB的长度，解决几个物理量的关系，实际是找它们的几何关系不。这也是物理学中常用的研究方法。

③ 如图，当角θ用弧度表示时，弧长QP可以示为QP=rθ。当θ很小很小时，弧长与弦长没什么区别，所以此式也表示弦长。这个关系可以用来计算矢量∆v的长度。

推导过程如下：

vA、vB、△v 组成的矢量三角形与几何三角形ΔABO

相似

∆vv

= ∴ ABr

∆vvAB∴an==⋅

∆tr∆t

当∆

t很小很小时，

vv2

∴an=⋅v==rω2=vω