Ｋ回国日口囫函ｉ—日ｔＺ蕊ＵＩＵ丽ＮＵ而．Ｚ’’而晒。。。ａ酬。。协
文化与教育技柬
勒贝格控制收敛定理的应用
侯英
（贵州财经学院数学与统计学院，贵州贵阳５５０００４）
摘要：勒贝格控制收敛定理是实变函数论的一个重要定理，可以用于计算积分的极限，证明积分等式、数列收敛、不等式、判断函数连续等许多问题。
关键词：勒贝格控制收敛定理；可测函数；可积函数勒贝格控制收敛定理是积分论中的一个重要定理，它解决了，积分与极限的交换问题，并在一定程度上代表了实变函数论方法的力量。利用这一定理可以证明列维（Ｌｅｖｉ）定理等其他定理，而且它在证明和计算中有着广泛的应用。首先，我们介绍一下勒贝格控制收敛定理。
勒贝格控制收敛定理：设
（１）｛ｆｎ｝是可测集Ｅ上的可测函数列；
（２）Ｉｆｏ（ｘ）Ｊ≤Ｆ（ｘ）ａ．ｅ．于Ｅ，ｎ＝ｌ，２，…，且Ｆ（ｘ）在Ｅ上可积分（称ＩＲ｝为Ｆ（ｘ）所控制，而Ｆ（ｘ）叫控制函数）；
（３）“ｘ）ｊｆ（ｘ）。
—ｍ
上的可积函数，于是令
故１乎正矿一工ｘ时矗＝峄正盯一∥ｏ坤一峄Ｊｙ—Ｄ‘ｏ蚺
＝Ｏ
荆＝防。黜
所以对Ｅ的任何可测子集Ａ，均有则ｆｎ和Ｆ（ｘ）均为（０，＊）上的可积函数，且
母正‘“）ｄｘ＝ｆＡｆ（ｘ）ｄｘ’
例２：设ｆ（ｘ）为（０，＋＊）上的可积函数。
当ｎ≥２时，有ＩＬｌｓ）ｌｓ，（工）
又熙‘（神２ｒ一，依勒贝格控制收敛定
删＝上“等出，ｃ（ｏ。佃）
问ｇ（ｘ）是否为连续函数？
解：令Ｆ（ｘ，ｔ）＝卫生（０＜ｔ＜ｏｏ，Ｏ＜】【＜∞）则ｒ（ｘ，ｔ）为可测函数，对任一ａ＞ｏ，有
理・得熙（ｃ，ｒ（，＋争。ｏ加ｆｒ协＝・
例４、求极限曼恶（詹）ｒｉｉ备￥ｉｎ，—缸
则ｆ（ｘ）在Ｅ上可积分，且
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注：将条件（３）换为“ｘ）川ｘ）ａ．ｅ。于Ｅ，定
理结论仍成立。
在应用勒贝格控制收敛定理时，关键是找出控制函数。且要求控制函数是可积的。下面我们从两个方面探讨勒贝格控制收敛定理的应用。
ｌ利用定理证明
勒贝格控制收敛定理可以证明积分等式、函数相等、积分的极限、积分的和、数列收敛、不等式、判断函数连续等等问题。
例ｌ：设ｆｌ，ｆ２。…是Ｅ上的非负可积函
２
脚临拦Ｉｃ掣（陬。）
因为了在（Ｏ。＋∞）上可积，所以对任
ｘｎ＿吲ｎ—｝∞）
意ｒｏｅ（Ｏ．＋＊）。在（０，＋＊）上任取点列｛埘，且
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解：因为丽”。“在【ｏ，１Ｌ上琏续，所以叫‘南血’埘矗存在，且与‘Ｄ－Ｊ＝１南“赫的
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而ｉ。ｊ在（ｏ，１）上可积，且｛｜巴南血。－－－０，
ｘＥｌ０，ｌ】
Ｉ一！：
（２）ｌＦｋ，ｔ）｝为可测函数列
、（３１‰ｔＨ＜掣
由勒贝格控制收敛定理得
由勒贝格控制收敛定理得
熙她卜Ｊ＝“鬯讹．，胁ｒ鬯等烨ｒ尝净如）
所以出）在Ｘｏ处连续，由Ｘｏ的任意性知，
ｇ（ｘ）是（０，＋＊）上的连续函数。
２利用定理求极限
勒贝格控制收敛定理可以用于计算积分与极限，首先应说明被积函数满足定理的三个条件，然后求值。
删异）ｆ南ｓｉｎ’Ｕｍ（Ｌ）．Ｊ＝１丽ｎｘ２
１
；
！
ｓｉｎ
５础
２Ｊ＝１（熙焉寿２ｓｉＩｌ，脏）护ｒｏ妒。
总之，运用勒贝格控制收敛定理能解决许多证明和计算上的问题，这有利于我们学习实变函数的有关知识，掌握其分析和解决问题的方法。
参考文献
数，且ｆＬ｝在Ｅ上依测度收敛于ｆ，ｒ，ｍｆ，Ｌ（幽ｂ＝
，证明：对Ｅ的任何町测子集Ａ，均有ｆ
ｚ
叩．ｆ正ｃ‘）ｄ（ｘ触＝．￡，“）ａｘ
证：由于ｆ与丘都是非负函数，因此（ｆ－驴
（ｘ）≤“ｘ）。ｘ∈Ｅ．故ｆ是函数列ｆ（ｆ－∞＋ｌ的控制函＋Ｉ在Ｅ上依测度收敛予０。
由勒贝格控制收敛定理。得
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数．冈为｛ｆｎ｝在Ｅ上依测度收敛于ｆ，所以｛（㈤
Ｊ．（，一．ｆＯ＋（ｘ）ｄｘ＝０
例３：计算．１ｉｍ（Ｌ）ｆｏ”（１＋；）１０出
解：令工（培。十：ｒ小，则｛ｆｎ｝是可测集上
的可测函数列
对ｘ∈（０，１），有ｘ—ｈ≥ｘ”，（１＋ｘ／ｎｙ≥１，故Ｌ（ｘ）≤１／、／ｉ
【ｌ】孙清华，孙昊．实变函数内容、方法与技巧【Ｍ】，武汉：华中科技大学出版社，２００４，９。
【２】张喜堂．实变函数论的典型问题与方法
【Ｍ１．武‰华中科技大学出版社，２０００，５．
【３】周民强．实变函数解题指南【Ｍ】．北京：北京大学出版社。２００７，８．
作者简介：侯英（１９６６一），女．单位：贵州财经学院，副教授。主要从事实变函数和基础数学的教学。
由１挚Ｊ。＾（触２Ｊ。，“）ａｘ，
得慧Ｊ。（，一ｆＯ一“）ｄｘ２０
因为｛（ｆ－Ｄ＋ｌ与ｌ（ｆ－口一｝都是非负函数列，所
以
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Ｙ－Ｏ十ｘ／ｎ）＿＝－１＋ｘ＋铲（詈灿’≥１２杀
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当Ｔ广・∞时．有正ｕ一口＋扭博－．０，正ｕ—Ｊ：ｒ（１ｌ矗
≥孚（ｎ≥２），所以
“ｘ）≤舨２．
而１／、／ｉ和４／ｘｚ分别是（Ｏ。１）和【１，ｍ）
基金名称：贵州省科学技术基金．项目合同编号：黔科合Ｊ字１２０１０１２２４２号。
总之，科研论文的写作是一个系统的工程，它是教育工作者对某些教育现象、教育问题进行比较系统、专门的研究和探讨．提出新观点，得出新结论，或站在新的角度作出新的解释和论证的理论性文章，它凝聚着教育者的一２钺，卜
智慧和汗水。只有我们树立科研意识．把撰写教育科研论文作为我们的日常行为，用科研论文去指导我们的教育实践．去解决我们的教育问题。我们才会对我们的事业负责任，我们的教育才会与时俱进。
参考文献
【１】渠风荣．学术论文的写作及其注意事项田．青海气象，２００１一１２－１５．
中国新技术新产品
万方数据
勒贝格控制收敛定理的应用
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
侯英
贵州财经学院数学与统计学院,贵州贵阳,550004中国新技术新产品
CHINA NEW TECHNOLOGIES AND PRODUCTS2010(23)
参考文献(3条)
1. 孙清华. 孙昊 实变函数内容、方法与技巧 20042. 张喜堂 实变函数论的典型问题与方法 20003. 周民强 实变函数解题指南 2007
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zgxjsxcpjx201023239.aspx
Ｋ回国日口囫函ｉ—日ｔＺ蕊ＵＩＵ丽ＮＵ而．Ｚ’’而晒。。。ａ酬。。协
文化与教育技柬
勒贝格控制收敛定理的应用
侯英
（贵州财经学院数学与统计学院，贵州贵阳５５０００４）
摘要：勒贝格控制收敛定理是实变函数论的一个重要定理，可以用于计算积分的极限，证明积分等式、数列收敛、不等式、判断函数连续等许多问题。
关键词：勒贝格控制收敛定理；可测函数；可积函数勒贝格控制收敛定理是积分论中的一个重要定理，它解决了，积分与极限的交换问题，并在一定程度上代表了实变函数论方法的力量。利用这一定理可以证明列维（Ｌｅｖｉ）定理等其他定理，而且它在证明和计算中有着广泛的应用。首先，我们介绍一下勒贝格控制收敛定理。
勒贝格控制收敛定理：设
（１）｛ｆｎ｝是可测集Ｅ上的可测函数列；
（２）Ｉｆｏ（ｘ）Ｊ≤Ｆ（ｘ）ａ．ｅ．于Ｅ，ｎ＝ｌ，２，…，且Ｆ（ｘ）在Ｅ上可积分（称ＩＲ｝为Ｆ（ｘ）所控制，而Ｆ（ｘ）叫控制函数）；
（３）“ｘ）ｊｆ（ｘ）。
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上的可积函数，于是令
故１乎正矿一工ｘ时矗＝峄正盯一∥ｏ坤一峄Ｊｙ—Ｄ‘ｏ蚺
＝Ｏ
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所以对Ｅ的任何可测子集Ａ，均有则ｆｎ和Ｆ（ｘ）均为（０，＊）上的可积函数，且
母正‘“）ｄｘ＝ｆＡｆ（ｘ）ｄｘ’
例２：设ｆ（ｘ）为（０，＋＊）上的可积函数。
当ｎ≥２时，有ＩＬｌｓ）ｌｓ，（工）
又熙‘（神２ｒ一，依勒贝格控制收敛定
删＝上“等出，ｃ（ｏ。佃）
问ｇ（ｘ）是否为连续函数？
解：令Ｆ（ｘ，ｔ）＝卫生（０＜ｔ＜ｏｏ，Ｏ＜】【＜∞）则ｒ（ｘ，ｔ）为可测函数，对任一ａ＞ｏ，有
理・得熙（ｃ，ｒ（，＋争。ｏ加ｆｒ协＝・
例４、求极限曼恶（詹）ｒｉｉ备￥ｉｎ，—缸
则ｆ（ｘ）在Ｅ上可积分，且
ｌ挚ＪＥ五（ｘ）ｄｘＪＥｆ（ｘ）ｄｘ
注：将条件（３）换为“ｘ）川ｘ）ａ．ｅ。于Ｅ，定
理结论仍成立。
在应用勒贝格控制收敛定理时，关键是找出控制函数。且要求控制函数是可积的。下面我们从两个方面探讨勒贝格控制收敛定理的应用。
ｌ利用定理证明
勒贝格控制收敛定理可以证明积分等式、函数相等、积分的极限、积分的和、数列收敛、不等式、判断函数连续等等问题。
例ｌ：设ｆｌ，ｆ２。…是Ｅ上的非负可积函
２
脚临拦Ｉｃ掣（陬。）
因为了在（Ｏ。＋∞）上可积，所以对任
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（２）ｌＦｋ，ｔ）｝为可测函数列
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由勒贝格控制收敛定理得
由勒贝格控制收敛定理得
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勒贝格控制收敛定理可以用于计算积分与极限，首先应说明被积函数满足定理的三个条件，然后求值。
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总之，运用勒贝格控制收敛定理能解决许多证明和计算上的问题，这有利于我们学习实变函数的有关知识，掌握其分析和解决问题的方法。
参考文献
数，且ｆＬ｝在Ｅ上依测度收敛于ｆ，ｒ，ｍｆ，Ｌ（幽ｂ＝
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证：由于ｆ与丘都是非负函数，因此（ｆ－驴
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由勒贝格控制收敛定理。得
．１ｉｒａ
数．冈为｛ｆｎ｝在Ｅ上依测度收敛于ｆ，所以｛（㈤
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例３：计算．１ｉｍ（Ｌ）ｆｏ”（１＋；）１０出
解：令工（培。十：ｒ小，则｛ｆｎ｝是可测集上
的可测函数列
对ｘ∈（０，１），有ｘ—ｈ≥ｘ”，（１＋ｘ／ｎｙ≥１，故Ｌ（ｘ）≤１／、／ｉ
【ｌ】孙清华，孙昊．实变函数内容、方法与技巧【Ｍ】，武汉：华中科技大学出版社，２００４，９。
【２】张喜堂．实变函数论的典型问题与方法
【Ｍ１．武‰华中科技大学出版社，２０００，５．
【３】周民强．实变函数解题指南【Ｍ】．北京：北京大学出版社。２００７，８．
作者简介：侯英（１９６６一），女．单位：贵州财经学院，副教授。主要从事实变函数和基础数学的教学。
由１挚Ｊ。＾（触２Ｊ。，“）ａｘ，
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智慧和汗水。只有我们树立科研意识．把撰写教育科研论文作为我们的日常行为，用科研论文去指导我们的教育实践．去解决我们的教育问题。我们才会对我们的事业负责任，我们的教育才会与时俱进。
参考文献
【１】渠风荣．学术论文的写作及其注意事项田．青海气象，２００１一１２－１５．
中国新技术新产品
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勒贝格控制收敛定理的应用
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
侯英
贵州财经学院数学与统计学院,贵州贵阳,550004中国新技术新产品
CHINA NEW TECHNOLOGIES AND PRODUCTS2010(23)
参考文献(3条)
1. 孙清华. 孙昊 实变函数内容、方法与技巧 20042. 张喜堂 实变函数论的典型问题与方法 20003. 周民强 实变函数解题指南 2007
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zgxjsxcpjx201023239.aspx