第3节 坐标平面内的图形变换（第1课时）
（初中数学·八年级·上册第6章）
【教学目标】
知识与技能目标: 1．了解关于坐标轴对称的两个点的坐标关系。
2．会求与已知点关于坐标轴对称的点的坐标。
3．利用关于坐标轴对称的两个对称点的坐标关系，求作轴对称图形。
过程与方法目标 :1．经历坐标平面内图形变换的坐标变化，发展学生的数形结合思想，培养学生的合作交流能力。
2．通过由点确定坐标到根据坐标描点的转化过程，进一步培养学生的转化意识。
情感与态度目标 : 通过生动有趣的教学活动，发展学生的合情推理能力和丰富的情感、态。
【教学难点与重点】
教学重点：本节教学的重点是关于坐标轴对称的两个点之间的坐标关系。
教学难点：利用关于坐标轴对称的两个点之间的坐标关系，在坐标平面内作轴对称图形的过程比较复杂，是本节课的难点。
【教学准备】
ppt 课件，直尺，三角板。
【教学过程】
1．创设情景，引入新课
美术课时，美术老师布置了这样一道作业：一幅原本是 “向日葵”的画像，但如果只给你四分之一，你有办法将它补充完整吗？
（学生一般能想到可以将图形作变换就可以将图形补充完整）
生1：可以两次利用轴对称变换形成。
生2：:可以利用旋转变换形成
师：同学们非常棒，懂得利用我们在七年级数学中学过的图形变换来解决这个问题。我们利用轴对称变换解决这个问题时，有几条对称轴？把这两条对称轴合在一起与这一章学的平面直角坐标系可以联系在一起吗？怎么联系？
生3：给两条对称轴规定正方向和原点以及适当的单位长度就可以了。
师：很好，今天我们就来学习在坐标平面内的图形变换。
2．师生合作，探索新知
我们知道在平面直角坐标系中最基本的是点，因此我们首先来探讨点的变换规律，我们通过下面的例子来探索：
(1) 请写出点A 的坐标（看看点A 关于x 轴y 轴的对称点在哪里？）
(2) 分别作出点A 关于x 轴y 轴的对称点，并写出它的坐标，记为A 1,A 2.
(3) 观察一下，点A 与 A1, 与A 2的坐标，有什么特别之处吗，你有什么发现呢？
(哪些变了，哪些没变？)
引导学生归纳：1(关于x 轴对称) 横坐标不变，纵坐标互为相反数。
2(关于y 轴对称) 纵坐标不变，横坐标互为相反数。
(4) 如果改变点A 的坐标，这个规律仍然成立吗？（借助素材中提供的画板变换点的坐标） 既然如此，大家能否用字母来表示一下这个规律呢？
在直角坐标系中，点（a,b ）关于x 轴的对称点的坐标为(a,-b)，
关于y 轴的对称点的坐标为（-a,b ）
做一做：在直角坐标系中，已知点A(-1,2)，B(1,-) ，C （0，1.5）
则点A 关于X 轴的对称点是_______，关于Y 轴的对称点是_______。
点B 关于X 轴的对称点是________，关于Y 轴的对称点是_______。
点C 关于X 轴的对称点是_________，关于Y 轴的对称点是______。
3. 应用新知，例题讲解
例1． （1）求出图形轮廓线上各转折点A,O,B,C,D,E,F 的坐标。
（2）利用坐标关系，求出它们关于Y 轴对称点的坐标。
（3）在同一坐标系中，描点A ’,O ’,B ’,C ’,D ’,E ’,F ’, 并用线段依次将它们连接起来。 你能猜出它是什么图形吗？
想一想：如果要把一个轴对称图形画在平面直角坐标系中，怎样画才简便呢？
教师概括一下步骤：
在平面直角坐标系中画轴对称图形，只要画出一半的图形，确定其上面的关键点，然后求出关键点进行轴对称变换后的坐标，最后描点连线。
4．巩固新知，提高能力
练习1：（1）求出∆ABC 各顶点的坐标，以及它们关于y 轴的对称点的坐标，并描点。
（2）将∆ABC 以y 轴为对称轴作一次轴对称变换，然后将所得的像连同原图形，以x 轴为对称轴再作一次轴对称变换，分别作出经两次变换后所得的像。
合作学习：下面让我们大家来当一回工程师，请完成一个零件的主视图
(1) 按你自己所认为合适的比例，选取合适的方格纸，建立直角坐标系。
(2) 在直角坐标系中选取适当的位置，作出这个主视图，标明比例，并求出轮廓线各个转折点的坐标。
(3) 与同伴作出的图形比较，它们的形状相同吗? 大小呢？你能用图形变换的观点加以说明吗？
能力提高练习1：
正方形ABCD 的边长为2，则四个顶点的坐标分别为___________________.
能力提高练习2：
已知直角坐标系中正三角形ABC 如图。
（1） 求出∆ABC 各顶点的坐标
（2） 把∆ABC 的边长放大到原来的2倍，要求B 、C 的对应点仍在X 轴上，点A 的对应点在y 轴的正半轴上。
所得的像的顶点坐标与原图形的顶点坐标有什么关系？
能力挑战：
如图，将∆ABC 中各顶点的纵坐标、横坐标分别乘－1，得到的图形与原图形相比有什么变化？作出所得的图形，这个过程可以看做是一个什么变换？
5．课堂知识小结
1. 会求与已知点关于坐标轴对称的点的坐标在直角坐标系中，点（a,b ）关于x 轴的对称点的坐标为(a,-b)，关于y 轴的对称点的坐标为（-a,b ）
2. 利用关于坐标轴对称的两个对称点的坐标关系，求作轴对称图形
6．作业
作业：作业本、课后练习3、4、5。
课后反思 :
本节课是坐标平面内的图形变换中的第一课时，即坐标平面内的轴对称变换。轴对称变换在小学二年级和小学五年级中多学习过，学生对轴对称的两个几何图形的图形特征也非常的明白，而且会根据一个图形画出它的轴对称图形，因此没有必要花大量的时间在画轴对称图形和轴对称图形的特征。而是应该将两个轴对称图形放在合理的直角坐标系，而直角坐标系刚好是上一节课的学习内容，一方面可以复习回顾直角坐标系的内容，另一方面也为学习新的内容服务，体现直角坐标系的工具性。本节课的内容是直角坐标系中的平面图形的轴对称变换，然而平面图形是由线组成，线由无数个点组成。因此，要了解和掌握轴对称图形在坐标系中的特征，最重要的是掌握两个轴对称的点关于x 轴和y 轴的坐标特征及关于x 轴的点横坐标保持不变，纵坐标变为相反数；关于y 轴对称的点横坐标变为相反数，纵坐标保持不变；能熟练的运用这个特征求出各个象限内（包括在两坐标轴上的点）关于x 轴和y 轴的对称点。同时也可应用轴对称图形在坐标系中的特征，可以非常方便的在直角坐标系中画出轴对称图形的另一半。因此，点的轴对称性的掌握和灵活应用对解决问题尤其重要，必须在课堂上落实到位。
【参考文献】
〔1〕义务教育课程标准实验教科书·数学教学参考书·八年级上册〔M 〕．杭州：浙江教育出版社，2006．
第3节 坐标平面内的图形变换（第1课时）
（初中数学·八年级·上册第6章）
【教学目标】
知识与技能目标: 1．了解关于坐标轴对称的两个点的坐标关系。
2．会求与已知点关于坐标轴对称的点的坐标。
3．利用关于坐标轴对称的两个对称点的坐标关系，求作轴对称图形。
过程与方法目标 :1．经历坐标平面内图形变换的坐标变化，发展学生的数形结合思想，培养学生的合作交流能力。
2．通过由点确定坐标到根据坐标描点的转化过程，进一步培养学生的转化意识。
情感与态度目标 : 通过生动有趣的教学活动，发展学生的合情推理能力和丰富的情感、态。
【教学难点与重点】
教学重点：本节教学的重点是关于坐标轴对称的两个点之间的坐标关系。
教学难点：利用关于坐标轴对称的两个点之间的坐标关系，在坐标平面内作轴对称图形的过程比较复杂，是本节课的难点。
【教学准备】
ppt 课件，直尺，三角板。
【教学过程】
1．创设情景，引入新课
美术课时，美术老师布置了这样一道作业：一幅原本是 “向日葵”的画像，但如果只给你四分之一，你有办法将它补充完整吗？
（学生一般能想到可以将图形作变换就可以将图形补充完整）
生1：可以两次利用轴对称变换形成。
生2：:可以利用旋转变换形成
师：同学们非常棒，懂得利用我们在七年级数学中学过的图形变换来解决这个问题。我们利用轴对称变换解决这个问题时，有几条对称轴？把这两条对称轴合在一起与这一章学的平面直角坐标系可以联系在一起吗？怎么联系？
生3：给两条对称轴规定正方向和原点以及适当的单位长度就可以了。
师：很好，今天我们就来学习在坐标平面内的图形变换。
2．师生合作，探索新知
我们知道在平面直角坐标系中最基本的是点，因此我们首先来探讨点的变换规律，我们通过下面的例子来探索：
(1) 请写出点A 的坐标（看看点A 关于x 轴y 轴的对称点在哪里？）
(2) 分别作出点A 关于x 轴y 轴的对称点，并写出它的坐标，记为A 1,A 2.
(3) 观察一下，点A 与 A1, 与A 2的坐标，有什么特别之处吗，你有什么发现呢？
(哪些变了，哪些没变？)
引导学生归纳：1(关于x 轴对称) 横坐标不变，纵坐标互为相反数。
2(关于y 轴对称) 纵坐标不变，横坐标互为相反数。
(4) 如果改变点A 的坐标，这个规律仍然成立吗？（借助素材中提供的画板变换点的坐标） 既然如此，大家能否用字母来表示一下这个规律呢？
在直角坐标系中，点（a,b ）关于x 轴的对称点的坐标为(a,-b)，
关于y 轴的对称点的坐标为（-a,b ）
做一做：在直角坐标系中，已知点A(-1,2)，B(1,-) ，C （0，1.5）
则点A 关于X 轴的对称点是_______，关于Y 轴的对称点是_______。
点B 关于X 轴的对称点是________，关于Y 轴的对称点是_______。
点C 关于X 轴的对称点是_________，关于Y 轴的对称点是______。
3. 应用新知，例题讲解
例1． （1）求出图形轮廓线上各转折点A,O,B,C,D,E,F 的坐标。
（2）利用坐标关系，求出它们关于Y 轴对称点的坐标。
（3）在同一坐标系中，描点A ’,O ’,B ’,C ’,D ’,E ’,F ’, 并用线段依次将它们连接起来。 你能猜出它是什么图形吗？
想一想：如果要把一个轴对称图形画在平面直角坐标系中，怎样画才简便呢？
教师概括一下步骤：
在平面直角坐标系中画轴对称图形，只要画出一半的图形，确定其上面的关键点，然后求出关键点进行轴对称变换后的坐标，最后描点连线。
4．巩固新知，提高能力
练习1：（1）求出∆ABC 各顶点的坐标，以及它们关于y 轴的对称点的坐标，并描点。
（2）将∆ABC 以y 轴为对称轴作一次轴对称变换，然后将所得的像连同原图形，以x 轴为对称轴再作一次轴对称变换，分别作出经两次变换后所得的像。
合作学习：下面让我们大家来当一回工程师，请完成一个零件的主视图
(1) 按你自己所认为合适的比例，选取合适的方格纸，建立直角坐标系。
(2) 在直角坐标系中选取适当的位置，作出这个主视图，标明比例，并求出轮廓线各个转折点的坐标。
(3) 与同伴作出的图形比较，它们的形状相同吗? 大小呢？你能用图形变换的观点加以说明吗？
能力提高练习1：
正方形ABCD 的边长为2，则四个顶点的坐标分别为___________________.
能力提高练习2：
已知直角坐标系中正三角形ABC 如图。
（1） 求出∆ABC 各顶点的坐标
（2） 把∆ABC 的边长放大到原来的2倍，要求B 、C 的对应点仍在X 轴上，点A 的对应点在y 轴的正半轴上。
所得的像的顶点坐标与原图形的顶点坐标有什么关系？
能力挑战：
如图，将∆ABC 中各顶点的纵坐标、横坐标分别乘－1，得到的图形与原图形相比有什么变化？作出所得的图形，这个过程可以看做是一个什么变换？
5．课堂知识小结
1. 会求与已知点关于坐标轴对称的点的坐标在直角坐标系中，点（a,b ）关于x 轴的对称点的坐标为(a,-b)，关于y 轴的对称点的坐标为（-a,b ）
2. 利用关于坐标轴对称的两个对称点的坐标关系，求作轴对称图形
6．作业
作业：作业本、课后练习3、4、5。
课后反思 :
本节课是坐标平面内的图形变换中的第一课时，即坐标平面内的轴对称变换。轴对称变换在小学二年级和小学五年级中多学习过，学生对轴对称的两个几何图形的图形特征也非常的明白，而且会根据一个图形画出它的轴对称图形，因此没有必要花大量的时间在画轴对称图形和轴对称图形的特征。而是应该将两个轴对称图形放在合理的直角坐标系，而直角坐标系刚好是上一节课的学习内容，一方面可以复习回顾直角坐标系的内容，另一方面也为学习新的内容服务，体现直角坐标系的工具性。本节课的内容是直角坐标系中的平面图形的轴对称变换，然而平面图形是由线组成，线由无数个点组成。因此，要了解和掌握轴对称图形在坐标系中的特征，最重要的是掌握两个轴对称的点关于x 轴和y 轴的坐标特征及关于x 轴的点横坐标保持不变，纵坐标变为相反数；关于y 轴对称的点横坐标变为相反数，纵坐标保持不变；能熟练的运用这个特征求出各个象限内（包括在两坐标轴上的点）关于x 轴和y 轴的对称点。同时也可应用轴对称图形在坐标系中的特征，可以非常方便的在直角坐标系中画出轴对称图形的另一半。因此，点的轴对称性的掌握和灵活应用对解决问题尤其重要，必须在课堂上落实到位。
【参考文献】
〔1〕义务教育课程标准实验教科书·数学教学参考书·八年级上册〔M 〕．杭州：浙江教育出版社，2006．