专注学习第五课时 等差数列的概念及性质

专注学习第五课时 等差数列的概念及性质

【专注考点】1. 等差数列的概念及运算；2. 等差数列的性质. 具体要求：（1）理解等差数列的概念；（2）掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式；（3）能在具体的问题情境中识别等差数列关系，并能用有关的知识解决相应的问题. （4）了解等差数列与一次函数的关系. 【专注基础】必背知识：1. 等差数列的基本公式： （1）等差数列的定义：a n -a n -1=d （d 为常数）（n ≥2）； （2）等差数列通项公式：

a n =a 1+(n -1) d =dn +a 1-d (n ∈N *) ， 首项:a 1，公差:d，末项:a n 推广： a n =a m +(n -m ) d ． 从而d =（3）等差中项

（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：A =

（2）等差中项：数列{a n }是等差数列⇔2a n =a n -1+a n +1(n ≥2) ⇔2a n +1=a n +a n +2

（4）等差数列的前n 项和公式：

a +b

或2A =a +b 2

a n -a m

；

n -m

S n =

n (a 1+a n ) n (n -1) d 1

=na 1+d =n 2+(a 1-d ) n =An 2+Bn 2222

（其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0）

2. 等差数列的常用性质：

（1）当m +n =p +q 时, 则有a m +a n =a p +a q ，特别地，当m +n =2p 时，则有a m +a n =2a p . 注：a 1+a n =a 2+a n -1=a 3+a n -2=⋅⋅⋅，

（2）若数列{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d ； （3）若{a n }、{b n }为等差数列，则{λa n +b }，{λ1a n +λ2b n }都为等差数列； （4）若{a n }是等差数列，则S n , S 2n -S n , S 3n -S 2n ，„也成等差数列

（5）数列{a n }为等差数列, 每隔k(k∈N ) 项取出一项(a m , a m +k , a m +2k , a m +3k , ⋅⋅⋅) 仍为等差数列. 3. 等差数列与等差数列各项和的性质 （1）若数列{a n }是等差数列，则数列⎨

*

1⎧S n ⎫

⎬也是等差数列，其首项与{a n }相同，公差是{a n }的；

2⎩n ⎭

（2）S m , S 2m , S 3m , 分别为{a n }的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则S m , S 2m -S m , S 3m -S 2m 成等差数列； （3）关于非零等差数列奇数项和与偶数项和的性质. .a 若项数为2n ，则S 奇-S 偶=nd ;

S 奇a

=n ；

S 偶a n +1

S 奇n

=；

S 偶n -1

.b 若项数为2n-1，则S 奇=na n ,-S 偶=(n -1) a n ; S 奇-S 偶=a n ; （4）{a n }、{b n }的前n 和分别为A n 、B n ，且

A n a (2n -1) a n A 2n -1

=f (n ) ，则n ===f (2n -1) . B n b n (2n -1) b n B 2n -1

（5）等差数列{a n }的前n 项和S m =n ，前m 项和S n =m ，则前m+n项和S m +n =-(m +n )

注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：

①基本量法：即运用条件转化为关于a 1和d 的方程；

②巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．

【专注讲解】等差数列的基本运算（知三求二）

例1. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5=8, S 3=6, 则a 9=； 变式训练：

（1）（2014福建高考理）等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=2, S 3=12, 则a 6=（ ） A.8 B.10 C.12 D14

（2）在等差数列{a n }中，已知a 3+a 8=10, 则3a 5+a 7=； （3）在递增等差数列{a n }中，已知a 1=1, a 3=a 2-4, 则a n = ；

2

（4）设S n 是等差数列{a n }的前n 项和且a 1=1, a 4=7, 则S 5=例2. 在等差数列{a n }中，已知a 4+a 8=16, 则该数列的前11项之和S 11= （ ） A.58 B.88 C.143 D.176 变式训练：

（1）在等差数列{a n }中，已知a 1+a 5=10, a 4=7, 则d = ； （2）在等差数列{a n }中，a 4+a 6+a 10=1，则a 3+a 9= ；

（3）等差数列{a n }中，若a 1-a 5+a 9-a 13+a 17=117，则a 3+a 15= ； （4）已知等差数列{a n }中，a 1+a 4+a 7=15, a 2a 4a 6=45，求此数列的通项公式.

等差数列前n 项和及最值问题

例3. 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且a 1>0, S 3=S 11, 则当n 为多少时，S n 最大？

变式训练：

（1）（2014北京高考理）若等差数列{a n }满足a 7+a 8+a 9>0, a 7+a 100, 3a 8=5a 13, 则部分和S n 中最大的是 ( ) A.S 10 B.S 11 C.S 20 D.S 21

等差数列的综合问题

例4. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=10, a 2为整数，且S n ≤S 4. （1）求{a n }的通项公式；（2）设b n =

变式训练：已知函数f (x ) =x 2-2(n +1) x +n 2+5n -7

（1）设函数y =f (x ) 的图像的顶点的纵坐标构成数列{a n }，求证：{a n }是等差数列； （2）设函数y =f (x ) 的图像的顶点到x 轴的距离构成数列{b n }，求{b n }的前n 项和S n .

【专注难题】

例5. 设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，已知2a 2=a 1+a 3, 数列(1)求数列{a n }的通项公式（用n,d 表示）；

(2)设c 为实数，对满足m =n =3k 且m ≠n 的任意正整数m , n , k , 不等式S m +S n >cS k 都成立， 求证：c 的最大值为

1

，求数列{b n }的前n 项和T n . a n a n +1

S }是公差为d 的等差数列.

n

9. 2

【专注练习】历届高考中的“等差数列”试题精选（自我检测）

一、选择题：

1. (2007安徽文) 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=1, a 3=3, 则S 4＝（ ） （A ）12 （B ）10 （C ）8 （D ）6

2． (2008重庆文) 已知｛a n ｝为等差数列，a 2+a8=12,则a 5等于（ ）

(A)4 (B)5 (C)6 (D)7

3. （2006全国Ⅰ卷文）设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 7=35，则a 4=（ ）

A ．8 B．7 C．6 D．5

4．(2008广东文) 记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2=4，S 4=20，则该数列的公差d=（ ） A．7 B. 6 C. 3 D. 2

5．（2003全国、天津文，辽宁、广东）等差数列{a n }中，已知a 1=

1

，a 2+a 5=4，a n =33， 3

则n 为（ ）

（A ）48 （B ）49 （C ）50 （D ）51

6. （2007四川文）等差数列{a n }中，a 1=1,a 3+a 5=14，其前n 项和S n =100,则n =（ ）

(A)9 (B)10 (C)11 (D)12 7．（2004福建文）设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若

A ．1 B．－1 C．2 D．

a 55S

=, 则9=（ ） a 39S 5

1

2

8. （2000春招北京、安徽文、理）已知等差数列{an }满足α1＋α2＋α3＋„＋α101＝0则有( )

A ．α1＋α101＞0 B．α2＋α100＜0 C．α3＋α99＝0 D．α51＝51

9. （2005全国卷II 理）如果a 1，a 2，„，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，则( ) （A ）a 1a 8>a 4a 5 （B ）a 8a 1a 4+a 5 （D ）a 1a 8=a 4a 5

10. （2002春招北京文、理）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）

（A ）13项 （B ）12项 （C ）11项 （D ）10项 二、填空题：

11（2001上海文）设数列{a n }的首项a 1=-7, 且满足a n +1=a n +2 (n ∈N ) ，则

a 1+a 2+ +a 17=_____________.

12．(2008海南、宁夏文) 已知{an }为等差数列，a 3 + a8 = 22，a 6 = 7，则a 5 = __________

13. （2007全国Ⅱ）已知数列的通项a n = -5n +2,则其前n 项和为S n = .

14. （2006山东）设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 4＝14，S 10-S 7=30，则S 9＝.

三、解答题： 15．（2004全国Ⅰ卷）等差数列{a n }的前n 项和记为S n . 已知a 10=30, a 20=50.

（Ⅰ）求通项a n ； （Ⅱ）若S n =242，求n.

专注学习第五课时 等差数列的概念及性质

【专注考点】1. 等差数列的概念及运算；2. 等差数列的性质. 具体要求：（1）理解等差数列的概念；（2）掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式；（3）能在具体的问题情境中识别等差数列关系，并能用有关的知识解决相应的问题. （4）了解等差数列与一次函数的关系. 【专注基础】必背知识：1. 等差数列的基本公式： （1）等差数列的定义：a n -a n -1=d （d 为常数）（n ≥2）； （2）等差数列通项公式：

a n =a 1+(n -1) d =dn +a 1-d (n ∈N *) ， 首项:a 1，公差:d，末项:a n 推广： a n =a m +(n -m ) d ． 从而d =（3）等差中项

（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：A =

（2）等差中项：数列{a n }是等差数列⇔2a n =a n -1+a n +1(n ≥2) ⇔2a n +1=a n +a n +2

（4）等差数列的前n 项和公式：

a +b

或2A =a +b 2

a n -a m

；

n -m

S n =

n (a 1+a n ) n (n -1) d 1

=na 1+d =n 2+(a 1-d ) n =An 2+Bn 2222

（其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0）

2. 等差数列的常用性质：

（1）当m +n =p +q 时, 则有a m +a n =a p +a q ，特别地，当m +n =2p 时，则有a m +a n =2a p . 注：a 1+a n =a 2+a n -1=a 3+a n -2=⋅⋅⋅，

（2）若数列{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d ； （3）若{a n }、{b n }为等差数列，则{λa n +b }，{λ1a n +λ2b n }都为等差数列； （4）若{a n }是等差数列，则S n , S 2n -S n , S 3n -S 2n ，„也成等差数列

（5）数列{a n }为等差数列, 每隔k(k∈N ) 项取出一项(a m , a m +k , a m +2k , a m +3k , ⋅⋅⋅) 仍为等差数列. 3. 等差数列与等差数列各项和的性质 （1）若数列{a n }是等差数列，则数列⎨

*

1⎧S n ⎫

⎬也是等差数列，其首项与{a n }相同，公差是{a n }的；

2⎩n ⎭

（2）S m , S 2m , S 3m , 分别为{a n }的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则S m , S 2m -S m , S 3m -S 2m 成等差数列； （3）关于非零等差数列奇数项和与偶数项和的性质. .a 若项数为2n ，则S 奇-S 偶=nd ;

S 奇a

=n ；

S 偶a n +1

S 奇n

=；

S 偶n -1

.b 若项数为2n-1，则S 奇=na n ,-S 偶=(n -1) a n ; S 奇-S 偶=a n ; （4）{a n }、{b n }的前n 和分别为A n 、B n ，且

A n a (2n -1) a n A 2n -1

=f (n ) ，则n ===f (2n -1) . B n b n (2n -1) b n B 2n -1

（5）等差数列{a n }的前n 项和S m =n ，前m 项和S n =m ，则前m+n项和S m +n =-(m +n )

注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：

①基本量法：即运用条件转化为关于a 1和d 的方程；

②巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．

【专注讲解】等差数列的基本运算（知三求二）

例1. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5=8, S 3=6, 则a 9=； 变式训练：

（1）（2014福建高考理）等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=2, S 3=12, 则a 6=（ ） A.8 B.10 C.12 D14

（2）在等差数列{a n }中，已知a 3+a 8=10, 则3a 5+a 7=； （3）在递增等差数列{a n }中，已知a 1=1, a 3=a 2-4, 则a n = ；

2

（4）设S n 是等差数列{a n }的前n 项和且a 1=1, a 4=7, 则S 5=例2. 在等差数列{a n }中，已知a 4+a 8=16, 则该数列的前11项之和S 11= （ ） A.58 B.88 C.143 D.176 变式训练：

（1）在等差数列{a n }中，已知a 1+a 5=10, a 4=7, 则d = ； （2）在等差数列{a n }中，a 4+a 6+a 10=1，则a 3+a 9= ；

（3）等差数列{a n }中，若a 1-a 5+a 9-a 13+a 17=117，则a 3+a 15= ； （4）已知等差数列{a n }中，a 1+a 4+a 7=15, a 2a 4a 6=45，求此数列的通项公式.

等差数列前n 项和及最值问题

例3. 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且a 1>0, S 3=S 11, 则当n 为多少时，S n 最大？

变式训练：

（1）（2014北京高考理）若等差数列{a n }满足a 7+a 8+a 9>0, a 7+a 100, 3a 8=5a 13, 则部分和S n 中最大的是 ( ) A.S 10 B.S 11 C.S 20 D.S 21

等差数列的综合问题

例4. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=10, a 2为整数，且S n ≤S 4. （1）求{a n }的通项公式；（2）设b n =

变式训练：已知函数f (x ) =x 2-2(n +1) x +n 2+5n -7

（1）设函数y =f (x ) 的图像的顶点的纵坐标构成数列{a n }，求证：{a n }是等差数列； （2）设函数y =f (x ) 的图像的顶点到x 轴的距离构成数列{b n }，求{b n }的前n 项和S n .

【专注难题】

例5. 设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，已知2a 2=a 1+a 3, 数列(1)求数列{a n }的通项公式（用n,d 表示）；

(2)设c 为实数，对满足m =n =3k 且m ≠n 的任意正整数m , n , k , 不等式S m +S n >cS k 都成立， 求证：c 的最大值为

1

，求数列{b n }的前n 项和T n . a n a n +1

S }是公差为d 的等差数列.

n

9. 2

【专注练习】历届高考中的“等差数列”试题精选（自我检测）

一、选择题：

1. (2007安徽文) 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=1, a 3=3, 则S 4＝（ ） （A ）12 （B ）10 （C ）8 （D ）6

2． (2008重庆文) 已知｛a n ｝为等差数列，a 2+a8=12,则a 5等于（ ）

(A)4 (B)5 (C)6 (D)7

3. （2006全国Ⅰ卷文）设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 7=35，则a 4=（ ）

A ．8 B．7 C．6 D．5

4．(2008广东文) 记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2=4，S 4=20，则该数列的公差d=（ ） A．7 B. 6 C. 3 D. 2

5．（2003全国、天津文，辽宁、广东）等差数列{a n }中，已知a 1=

1

，a 2+a 5=4，a n =33， 3

则n 为（ ）

（A ）48 （B ）49 （C ）50 （D ）51

6. （2007四川文）等差数列{a n }中，a 1=1,a 3+a 5=14，其前n 项和S n =100,则n =（ ）

(A)9 (B)10 (C)11 (D)12 7．（2004福建文）设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若

A ．1 B．－1 C．2 D．

a 55S

=, 则9=（ ） a 39S 5

1

2

8. （2000春招北京、安徽文、理）已知等差数列{an }满足α1＋α2＋α3＋„＋α101＝0则有( )

A ．α1＋α101＞0 B．α2＋α100＜0 C．α3＋α99＝0 D．α51＝51

9. （2005全国卷II 理）如果a 1，a 2，„，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，则( ) （A ）a 1a 8>a 4a 5 （B ）a 8a 1a 4+a 5 （D ）a 1a 8=a 4a 5

10. （2002春招北京文、理）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）

（A ）13项 （B ）12项 （C ）11项 （D ）10项 二、填空题：

11（2001上海文）设数列{a n }的首项a 1=-7, 且满足a n +1=a n +2 (n ∈N ) ，则

a 1+a 2+ +a 17=_____________.

12．(2008海南、宁夏文) 已知{an }为等差数列，a 3 + a8 = 22，a 6 = 7，则a 5 = __________

13. （2007全国Ⅱ）已知数列的通项a n = -5n +2,则其前n 项和为S n = .

14. （2006山东）设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 4＝14，S 10-S 7=30，则S 9＝.

三、解答题： 15．（2004全国Ⅰ卷）等差数列{a n }的前n 项和记为S n . 已知a 10=30, a 20=50.

（Ⅰ）求通项a n ； （Ⅱ）若S n =242，求n.