可靠性理论在岩土工程的应用

可靠性理论在岩土工程的应用

一、岩土工程学科的主要内容

岩土工程：是欧美国家于20世纪60年代在土木工程实践中建立起来的一种新的技术体制。岩土工程是以求解岩体与土体工程问题，包括地基与基础、边坡和地下工程等问题，作为自己的研究对象。

岩土工程专业是土木工程的分支，是运用工程地质学、土力学、岩石力学解决各类工程中关于岩石、土的工程技术问题的科学。按照工程建设阶段划分，工作内容可以分为：岩土工程勘察、岩土工程设计、岩土工程治理、岩土工程监测、岩土工程检测。

主要研究方向：

① 城市地下空间与地下工程：以城市地下空间为主体，研究地下空间开发利用过程中的各种环境岩土工程问题，地下空间资源的合理利用策略，以及各类地下结构的设 计、计算方法和地下工程的施工技术（如浅埋暗挖、盾构法、冻结法、降水排水法、沉管法、TBM法等）及其优化措施等等。

②边坡与基坑工程：重点研究基坑开挖（包括基坑降水）对邻近既有建筑和环境的影响，基坑支护结构的设计计算理论和方法，基坑支护结构的优化设计和可靠度分析技术，边坡稳定分析理论以及新型支护技术的开发应用等。

③地基与基础工程：重点开展地基模型及其计算方法、参数研究，地基处理新技术、新方法和检测技术的研究，建筑基础（如柱下条形基础、十字交叉基础、筏形基础、箱形基础及桩基础等）与上部结构的共同作用机理和规律研究等。 岩土工程学科是以岩土的利用、改造和整治为研究对象的学科，主要研究内容包括岩土的基本工程性质、岩土工程设计方法、岩土工程施工技术及管理、岩土工程测试技术、计算分析技术以及随着科学技术的发展所产生的新理论、新方法、新材料、新技术及其在工程中的应用与实践。

二、岩土工程中存在的主要不确定因素

不确定性：指事件出现或发生的结果是不能确定的，事先不能给出一个明确的结论。不确定性按产生的原因和条件分为随机性、模糊性和知识的不完善性。按主观和客观性分为主观不确定性和客观不确定性等。

土的不确定性

土与其他土木工程材料相比，它的最主要的特点就是不确定性非常大。对土体变形的预测值与实测值相差一倍以上也并不奇怪，土产生很大不确定性的主要原因有如下两个方面。

①土的性质复杂性

土的性质复杂主要指：图是非线性材料，没有唯一的应力-应变关系；土具有不均匀和各向异性；土的多相性所引起的复杂力学行为；影响土的工程性质的因素复杂，难以定量描述，例如，土的性质依赖于其结构、压力、时间、环境（包括与水的相互作用）及应力路径的影响等。

②埋藏于地下，难以直接探测

土的性质通常在超过几厘米的范围就有可能发生变化。而整个建筑场地中土的性质仅靠几个钻孔在不同深度的图样的试验结果来评估和评价，当土层比较不均匀时，这种估计和评价还能满足工程的要求；一旦土的性质变化较大（水平向和竖向都有变化），其估计和评价的结果必然存在存在极大的误差和不确定性。因此，为减小这种误差和不确定性，土力学更强调实验和现场勘查。 岩土工程不确定性的分类：

关于不确定性和模拟它的模型有很多。为了工程应用，Morgenstern确定了不确定性的根源：

①参数不确定性

②模型不确定性

③人为的不确定性

①参数不确定性

参数不确定性很容易理解，它说的是输入参数，比如强度或者可压缩性的参数空间变异性和离散性，还有关键参数缺少数据。这些参数依时空而有显著变化，即具有空间变异性和时间变异性。当我们不考虑时间变化的因素时，岩土条件和参数都是确定性的量，但我们无法确切的得到这些参数的真值。文献中有很多例子，需要用统计的方法处理这种空间变异性和离散性。空间变异性是岩土工程所特有的，我们只能尽可能的描述它，而不能实质性的减少它。 ②模型不确定性

模型是原型的理想化替代物，它反映原型的主要特征，略去次要特征。对于各种问题其分析模型并不是唯一的，模型的不确定性由此而来，并在岩土工程实践中发展起来。由于人们所采用的分析模型，就其实用性和复杂程度来说，是以人们的认识水平和分析能力直接相关的。岩土工程设计发展趋势是越来越多的考虑实际结构的特点和性能，这就必然要求岩土工程使用越来越复杂的模型。而对于实际问题，模型本身就是不确定性的主要根源，所以假如没有找到不确定性的主要根源，再精确的计算都毫无意义。

③人为的不确定性

在若干个比较方案中，必须以某种方法选出实际要实施的方案。最佳方案的确定是一个人为决策的问题。从力学观点看，每个设计方案均有自身的破坏可能性和可靠指标；而从经济观点看，每个方案又需要不同的经费。我们在做决策时，

主要考虑建筑物的破坏可能性。但是，由于决策者思维方式和价值观念的不同，可能会选用截然不同的方案。他们可 能根据比较充分的科学事实作出决策，而有时所作出的选择只凭自己的经验和主观感觉。

岩土工程的不确定性主要表现为以下几个方面: 1) 岩土体结构的不确定性。2) 岩土参数的不确定性。3) 裂隙水和孔隙水压力的多变性。4) 外加荷载大小和分布的不确定性。5) 计算模式的不确定性。

三、可靠性理论的基本原理

运用概率统计和运筹学的理论和方法对产品（单元或系统）的可靠性作定量研究。它是可靠性理论的基础之一。可靠性是指产品在一定条件下完成其预定功能的能力，丧失功能称为失效。可靠性理论是以产品的寿命特征为研究对象的。 运用概率统计和运筹学的 理论和方法，对单元或系统的可靠性作定量研究。它是可靠性理论的基础之一。所谓可靠性，是指单元或由单元组成的系统在一定条件下完成其预定功能的能力。单 元是元件、器件、部件、设备等的泛称。单元或系统的功能丧失，无论其能否修复，都称之为失效。可靠性理论即以失效现象为其研究对象，因而涉及工程设计、失 效机理的物理和化学分析、失效数据的收集和处理、可靠性的定量评定以及使用、维修和管理等范围。

假定系统只有正常和失效两种状态。系统在失效前的一段正常工作时间称为寿命。由于失效是随机现象，因此，寿命可用非负随机变量X 及其分布函数F(t)=P{X ≤t}（见概率分布）来描述。

对失效后不加修复的单元，其可靠性用可靠度来刻画。单元在时刻t的可靠度R(t)定义为:在一定的工作条件下在规定的时间【0，t】中完成其预定功能的概率。因此,若单元的寿命为X，相应的寿命（或失效）分布函数为F(t)，则R(t)=P{x>t}=1-F(t),其中t≥0。根据上式的概率含义，可靠度R(t)又称为生存函数。

一个生存到时刻t的单元，称之为有年龄t。在其后长度为x的区间中失效的条件概率为

若

存在,则r(t)称为时刻t的(条件)失效率。当Δt很小时,r(t)Δt可解释为单元生存到t时刻的条件下,在(t,t+Δt】中失效的概率。当X是连续型随机变量，

即F′(t)=ƒ(t)存在时,则有r(t)=ƒ(t)/R(t)，R(t)>0,此时r(t)与R(t)之间有如下的基本关系R(t)=

因此，F(t)、R(t)或r(t中任意一个都可用来描述不可修复单元的寿命特征。 对失效后可修复的系统，其状态随时间的进程是正常与失效相交替的一个随机过程。它的可靠性由不同的指标来描述:系统首次失效前的时间T的概率分布及均值；任一时刻t系统正常的概率，即可用度；(0,t】中系统失效次数的分布和均值等。

寿命数据统计分析、寿命分布及分布类、结构函数、网络可靠性、故障树分析、复杂系统可靠性分析以及可靠性中的最优化等，是可靠性数学理论的主要研究内容。

四、岩土可靠性理论的主要内容及方法

岩土可靠性理论的主要内容有岩土参数的统计分析、荷载和自然条件的统计分析、概率极限状态方程、土坡稳定的概率分析、地基稳定性的概率分析、变形问题的概率分析以及系统可靠性分析与优化决策等。

1、蒙特²卡罗方法

蒙特卡罗方法又称统计模拟法、随机抽样技术，是一种随机模拟方法，以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法，是使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用电子计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解。为象征性地表明这一方法的概率统计特征，故借用赌城蒙特卡罗命名。

蒙特卡罗方法的解题过程可以归结为三个主要步骤：构造或描述概率过程；实现从已知概率分布抽样；建立各种估计量。

蒙特卡罗方法解题过程的三个主要步骤：

（1）构造或描述概率过程

对于本身就具有随机性质的问题，如粒子输运问题，主要是正确描述和模拟这个概率过 程，对于本来不是随机性质的确定性问题，比如计算定积分，就必须事先构造一个人为的概率过程，它的某些参量正好是所要求问题的解。即要将不具有随机性质的问题转化为随机性质的问题。

（2）实现从已知概率分布抽样

构造了概率模型以后，由于各种概率模型都可以看作是由各种各样的概率分布构成的，因此产生已知概率分布的随机变量（或随机向量），就成为实现蒙特卡罗方法模拟实验的基本手段，这也是蒙特卡罗方法被称为随机抽样的原因。最简单、最基本、最重要的一个概率分布是（0，1）上的均匀分布（或称矩形分布）。

随机数就是具有这种均匀分布的随机变量。随机数序列就是具有这种分布的总体的一个简单子样，也就是一个具有这种分布的相互独立的随机变数序列。产生随机数的问题，就是从这个分布的抽样问题。在计算机上，可以用物理方法产生随机数，但价格昂贵，不能重复，使用不便。另一种方法是用数学递推公式产生。这样产生的序列，与真正的随机数序列不同，所以称为伪随机数，或伪随机数序列。不过，经过多种统计检验表明，它与真正的随机数，或随机数序列具有相近的性质，因此可把它作为真正的随机数来使用。由已知分布随机抽样有各种方法，与从(0,1)上均匀分布抽样不同，这些方法都是借助于随机序列来实现的，也就是说，都是以产生随机数为前提的。由此可见，随机数是我们实现蒙特卡罗模拟的基本工具。

（3）建立各种估计量

一般说来，构造了概率模型并能从中抽样后，即实现模拟实验后，我们就要确定一个随机变量，作为所要求的问题的解，我们称它为无偏估计。建立各种估计量，相当于对模拟实验的结果进行考察和登记，从中得到问题的解。

2、一次二阶矩方法

一次二阶矩就是一种在随机变量的分布尚不清楚的情况下，采用只有均值和标 准差的数学模型去求解结构可靠度的方法。由于该法将功能函数Z=g(x1, x2,„„, xn) 在某点用泰勒级数展开，使之线性化，然后求解结构的可靠度，因此称为一次二阶矩.。一次二阶矩法是近似计算可靠度指标最简单的方法,只需考虑随机变量的前一阶矩(均值) 和二阶矩(标准差)和功能函数泰勒级数展开式的常数项和一次项,并以随机变量相对独立为前提,在笛卡尔空间内建立求解可靠指标的公式。因其计算简便,大多情况下计算精又能满足工程要求 ,已被工程界广泛接受。

2.1 均值一次二阶矩法

早期结构体系可靠度分析中，假设线性化点x就是均值点m,而由此得线性化的极限状态方程,在随机变量X(i=1,2,...n)统计独立的条件下,直接获得功能函数z的均值mZ及标准差Z,由此再由可靠指标的定义求取=mZ/Z该方法对于非线性功能函数,因略去二阶及更高阶项,误差将随着线性化点到失效边界距离的增大而增大,而均值法中所选用的线性化点(均值点)一般在可靠区而不在失效边界上,误差较大。

2.2 中心点法

中心点法是结构可靠度研究初期提出的1种方法,其基本思想是首先将非线性功能函数在随机变量的平均值(中心点)处进行泰勒展开并保留至一次项,然后近似计算功能函数的平均值和标准差,进而求得可靠指标。该法的最大优点是计算简便,不需进行过多的数值计算，但也存在明显缺陷：1）不能考虑随机变量的

分布概型，只是直接取用随机变量的前一阶矩和二阶矩；2)将非线性功能函数在随机变量均值处展开不合理,由于随机变量的平均值不再极限状态曲面上，展开后的线性极限状态平面可能较大程度地偏离原来的极限状态曲面;3)可靠度指标会因选择不同的安全裕量方程而发生变化;4)当基本变量不服从正态或对数正态分布时,计算结果常与实际偏差较大；5）对相同力学含义但数学表达式不同的极限状态方程求得的结构可靠指标值不同。如对矩形截面钢梁，可有两种极限状态方程：一种是21/60sZbhM，可靠指标111/LLZZ;另一种是226/60sZMbh，可靠指标222/LLZZ。尽管这两个极限状态方程力学含义是等价的，但除,,sMbh和均服从对数正态分布的情况外，由这两个极限状态方程求得的可靠指标并不相等。故该法适用于基本变量服从正态或对数正态分布,且结构可靠度指标β=1～2的情况。

2.3 验算点法（JC法）

在一次二阶矩理论的发展中，哈索弗尔（Hasofer）和林德（Lind）、拉克维茨（Rackwitz）和菲斯莱（Fiessler）、帕洛赫摩（Paloheimo）和汉拉斯（Hannus）等人提出了验算点法。其基本原理是将非正态的变量当量正态化，替代的正态分布函数要求在设计验算点处的累积概率分布函数(CDF)和概率密度函数(PDF)值分别和原变量的CDF值PDF值相等当量正态化后，采用改进一次二阶矩法的计算原理求解结构可靠度指标。作为中心点法的改进,主要有两个特点:1)当功能函数Z为非线性时,不以通过中心点的超切平面作为线性相似,而以通过Z=0上的某一点x3(x31,x32,x33,...x3n)的超切平面作为线性近似,以避免中心点法的误差;2)当基本变量x3具有分布类型的信息时,将x3分布在x31,x32,x33,„,x3n处以与正态分布等价的条件变换为当量正态分布,这样可使所得的可靠指标β与失效概率pf之间有一个明确的对应关系,从而在β中合理地反映分布类型的影响。该法能够考虑非正态的随机变量,在计算工作量增加不多的条件下,可对可靠度指标进行精度较高的近似计算,求得满足极限状态方程的“验算点”设计值,便于根据规范给出的标准值计算分项系数,以便于工作人员采用惯用的多系数表达式。

2.4 映射变换法

对于结构可靠度分析中的非正态随机变量,映射变换法和JC法类似,都首先将非正态随机变量“正态化”。JC法是将非正态随机变量“当量化”为正态随机变量,而映射变换法是通过数学变换的方法将非正态随机变量变换为正态随机变量。映射变换法少了JC法的当量化过程,但多了映射变换过程,因而二者的计算量基本相当;JC法采用“当量正态化”法,概念上比较直观,而映射变换法在数学上更严密一些,所以结构可靠度分析方法的进一步发展就通过映射变换法将非正态随机变量正态化。

2.5 实用分析法

帕洛赫摩（Paloheimo）和汉拉斯（Hannus）1972年在赫尔辛基工程力学学术研讨会上曾提出甲醛分位值方法。该法引用灵敏系数、加权分位值等概念，用连锁规则法（Chain-Rule Method）计算极限状态方程1212(......)0...nnZgXXXXXX中,的验算点值及设计参数值，计算比较繁冗。在该法中,当量正态化的方法是把原来的非正态变量xi按对应于pi或1-pi具有相同分位值的条件下,用当量正态变量xi代替,并要求当量正态变量的平均值与原来的非正态变量xi的平均值相等。与JC法相比,该法计算简单而精度相差不多。

2.6 设计点法

将结构功能函数z=g(x1,x2,...xn)在某点M展开成泰勒级数作线性化处理,随点M的选取方式的不同,分为中心点法和验算点法两种方法。而设计点法就是在此基础上进行改进的一种算法。此方法的设计点为:x3=E(x)±2σ(x),因工程技术人员按设计值进行设计,故设计点近似满足极限状态方程。本方法计算简单明了,无需迭代即可得到令人满意的可靠度设计结果,因此是一种便于工程应用的方法。

2.7 几何法

用以上方法计算时,迭代次数多,而且极限状态方程为高次非线性时误差较大,为此专家们提出几何法即是优化算法。根据可靠指标的几何意义,可靠指标的获得也就是在功能函数面上寻找一点y3,使该点与均值点的距离最短,从而使问题成为一个优化问题,即:目标函数:β=min(y3T・y3)1/2;约束条件:g(y3)=0。用几何法求解可靠指标β的思路:先假设验算点x3,将验算点值代入极限状态方程g(x),若g(x3)≠0,则沿着g(x)=g(x3)所表示的空间曲面x3点处的梯度方向前进(后退),得到新的验算点x3代入极限状态方程,若g(x3)>ε,其中ε为控制精度,继续迭代;若g(x3)≤ε则表示该验算点已在失效边界上,迭代停止,即可求出β和x3的值。几何法与一般的一次二阶矩法相比，具有迭代次数少收敛快、精度高的优点，但其结果亦为近似解。

2.8 相关随机变量的可靠度分析方法

前面介绍的结构可靠度分析方法都是随机变量相互独立为前提的。而在实际工程中，随机变量见可能存在这一定的相关性，如海上结构承受的风荷载和波浪力，岩土工程中的粘聚力和内摩擦角，大跨度结构的自重和抗力等。研究表明，随机变量之间的相关性对结构的可靠度有着明显的影响，特别是在高度正相关或高度负相关时。因此，若随机变量相关，则在结构可靠度分析中应充分予以考虑。

对于含有相关随机变量的结构可靠度问题，早起一些研究采用正交变换的方法，首先讲相关随机变量变换为不相关的随机变量，然后用JC法进行计算。从原理上讲，这种方法是正确的，但计算过于繁琐，特别是需要球矩阵的特征值，不便于应用。近年的一些研究则直接在广义空间（仿射坐标系）内建立求解可靠指标的迭代公式，不需要过多的准备工作，应用简单，是对现有可靠度计算方法的推广。

五、可靠性理论在岩土工程中应用的工程实例

某边坡高度12m，边坡坡顶至坡脚水平距离为10 m，假定边坡岩体粘聚力c 服从均值Uc = 38 kPa 方差σc = 0．3的正态分布，内摩擦角φ 服从均值u = 22°方差σ = 0．3 的正态分布，变形模量E0= 800 MPa，泊松比为0．3。见图1。

进行蒙特卡洛法边坡可靠性分析。因此，综合考虑计算机模拟速度及模拟计 算结果精确性等各方因素，在数值模型建模过程中进行了以下细化( 图1) : 第一，按平面应变问题来考虑; 第二，为了较准确获得安全系数大小，强度折减 法精度控制在0．02; 第三，边坡模型底部、左右边界、前后边界施加法向位移约束; 第四，整个数值模型区域材料属性值相同; 第五，为了较准确获得边坡稳定概率，模拟次数分别为200，500，1 000。

图1 算例边坡模型

数值计算的步骤为: 根据粘聚力c 及内摩擦角φ 概率分布特征随机产生N 组计算方案( c1，φ1 ) ，( c2，φ2 ) ，„，( cN，φN) ，然后将N 组强度参数代入有限差分强度折减法模型进行计算，各安全系数结果见图2 至图4 及表1。

以下各图依次为图2、图3、图4。

图2

图2至图4可知，此算例边坡安全系数均值为1． 696 1 ～ 1． 702 5，破坏概率为3． 8% ～ 5%，不同试验次数下安全系数任近似服从正态分布。表1 显示，随着试验次数的增加，安全系数均值及破坏概率变化不大，当试验次数达到1 000 时，安全系数均值及破坏概率基本不再变化。故可认为该算例边坡安全系数为1． 7，破坏概率为5%，该边坡稳定概率为95%。

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可靠性理论在岩土工程的应用

一、岩土工程学科的主要内容

岩土工程：是欧美国家于20世纪60年代在土木工程实践中建立起来的一种新的技术体制。岩土工程是以求解岩体与土体工程问题，包括地基与基础、边坡和地下工程等问题，作为自己的研究对象。

岩土工程专业是土木工程的分支，是运用工程地质学、土力学、岩石力学解决各类工程中关于岩石、土的工程技术问题的科学。按照工程建设阶段划分，工作内容可以分为：岩土工程勘察、岩土工程设计、岩土工程治理、岩土工程监测、岩土工程检测。

主要研究方向：

① 城市地下空间与地下工程：以城市地下空间为主体，研究地下空间开发利用过程中的各种环境岩土工程问题，地下空间资源的合理利用策略，以及各类地下结构的设 计、计算方法和地下工程的施工技术（如浅埋暗挖、盾构法、冻结法、降水排水法、沉管法、TBM法等）及其优化措施等等。

②边坡与基坑工程：重点研究基坑开挖（包括基坑降水）对邻近既有建筑和环境的影响，基坑支护结构的设计计算理论和方法，基坑支护结构的优化设计和可靠度分析技术，边坡稳定分析理论以及新型支护技术的开发应用等。

③地基与基础工程：重点开展地基模型及其计算方法、参数研究，地基处理新技术、新方法和检测技术的研究，建筑基础（如柱下条形基础、十字交叉基础、筏形基础、箱形基础及桩基础等）与上部结构的共同作用机理和规律研究等。 岩土工程学科是以岩土的利用、改造和整治为研究对象的学科，主要研究内容包括岩土的基本工程性质、岩土工程设计方法、岩土工程施工技术及管理、岩土工程测试技术、计算分析技术以及随着科学技术的发展所产生的新理论、新方法、新材料、新技术及其在工程中的应用与实践。

二、岩土工程中存在的主要不确定因素

不确定性：指事件出现或发生的结果是不能确定的，事先不能给出一个明确的结论。不确定性按产生的原因和条件分为随机性、模糊性和知识的不完善性。按主观和客观性分为主观不确定性和客观不确定性等。

土的不确定性

土与其他土木工程材料相比，它的最主要的特点就是不确定性非常大。对土体变形的预测值与实测值相差一倍以上也并不奇怪，土产生很大不确定性的主要原因有如下两个方面。

①土的性质复杂性

土的性质复杂主要指：图是非线性材料，没有唯一的应力-应变关系；土具有不均匀和各向异性；土的多相性所引起的复杂力学行为；影响土的工程性质的因素复杂，难以定量描述，例如，土的性质依赖于其结构、压力、时间、环境（包括与水的相互作用）及应力路径的影响等。

②埋藏于地下，难以直接探测

土的性质通常在超过几厘米的范围就有可能发生变化。而整个建筑场地中土的性质仅靠几个钻孔在不同深度的图样的试验结果来评估和评价，当土层比较不均匀时，这种估计和评价还能满足工程的要求；一旦土的性质变化较大（水平向和竖向都有变化），其估计和评价的结果必然存在存在极大的误差和不确定性。因此，为减小这种误差和不确定性，土力学更强调实验和现场勘查。 岩土工程不确定性的分类：

关于不确定性和模拟它的模型有很多。为了工程应用，Morgenstern确定了不确定性的根源：

①参数不确定性

②模型不确定性

③人为的不确定性

①参数不确定性

参数不确定性很容易理解，它说的是输入参数，比如强度或者可压缩性的参数空间变异性和离散性，还有关键参数缺少数据。这些参数依时空而有显著变化，即具有空间变异性和时间变异性。当我们不考虑时间变化的因素时，岩土条件和参数都是确定性的量，但我们无法确切的得到这些参数的真值。文献中有很多例子，需要用统计的方法处理这种空间变异性和离散性。空间变异性是岩土工程所特有的，我们只能尽可能的描述它，而不能实质性的减少它。 ②模型不确定性

模型是原型的理想化替代物，它反映原型的主要特征，略去次要特征。对于各种问题其分析模型并不是唯一的，模型的不确定性由此而来，并在岩土工程实践中发展起来。由于人们所采用的分析模型，就其实用性和复杂程度来说，是以人们的认识水平和分析能力直接相关的。岩土工程设计发展趋势是越来越多的考虑实际结构的特点和性能，这就必然要求岩土工程使用越来越复杂的模型。而对于实际问题，模型本身就是不确定性的主要根源，所以假如没有找到不确定性的主要根源，再精确的计算都毫无意义。

③人为的不确定性

在若干个比较方案中，必须以某种方法选出实际要实施的方案。最佳方案的确定是一个人为决策的问题。从力学观点看，每个设计方案均有自身的破坏可能性和可靠指标；而从经济观点看，每个方案又需要不同的经费。我们在做决策时，

主要考虑建筑物的破坏可能性。但是，由于决策者思维方式和价值观念的不同，可能会选用截然不同的方案。他们可 能根据比较充分的科学事实作出决策，而有时所作出的选择只凭自己的经验和主观感觉。

岩土工程的不确定性主要表现为以下几个方面: 1) 岩土体结构的不确定性。2) 岩土参数的不确定性。3) 裂隙水和孔隙水压力的多变性。4) 外加荷载大小和分布的不确定性。5) 计算模式的不确定性。

三、可靠性理论的基本原理

运用概率统计和运筹学的理论和方法对产品（单元或系统）的可靠性作定量研究。它是可靠性理论的基础之一。可靠性是指产品在一定条件下完成其预定功能的能力，丧失功能称为失效。可靠性理论是以产品的寿命特征为研究对象的。 运用概率统计和运筹学的 理论和方法，对单元或系统的可靠性作定量研究。它是可靠性理论的基础之一。所谓可靠性，是指单元或由单元组成的系统在一定条件下完成其预定功能的能力。单 元是元件、器件、部件、设备等的泛称。单元或系统的功能丧失，无论其能否修复，都称之为失效。可靠性理论即以失效现象为其研究对象，因而涉及工程设计、失 效机理的物理和化学分析、失效数据的收集和处理、可靠性的定量评定以及使用、维修和管理等范围。

假定系统只有正常和失效两种状态。系统在失效前的一段正常工作时间称为寿命。由于失效是随机现象，因此，寿命可用非负随机变量X 及其分布函数F(t)=P{X ≤t}（见概率分布）来描述。

对失效后不加修复的单元，其可靠性用可靠度来刻画。单元在时刻t的可靠度R(t)定义为:在一定的工作条件下在规定的时间【0，t】中完成其预定功能的概率。因此,若单元的寿命为X，相应的寿命（或失效）分布函数为F(t)，则R(t)=P{x>t}=1-F(t),其中t≥0。根据上式的概率含义，可靠度R(t)又称为生存函数。

一个生存到时刻t的单元，称之为有年龄t。在其后长度为x的区间中失效的条件概率为

若

存在,则r(t)称为时刻t的(条件)失效率。当Δt很小时,r(t)Δt可解释为单元生存到t时刻的条件下,在(t,t+Δt】中失效的概率。当X是连续型随机变量，

即F′(t)=ƒ(t)存在时,则有r(t)=ƒ(t)/R(t)，R(t)>0,此时r(t)与R(t)之间有如下的基本关系R(t)=

因此，F(t)、R(t)或r(t中任意一个都可用来描述不可修复单元的寿命特征。 对失效后可修复的系统，其状态随时间的进程是正常与失效相交替的一个随机过程。它的可靠性由不同的指标来描述:系统首次失效前的时间T的概率分布及均值；任一时刻t系统正常的概率，即可用度；(0,t】中系统失效次数的分布和均值等。

寿命数据统计分析、寿命分布及分布类、结构函数、网络可靠性、故障树分析、复杂系统可靠性分析以及可靠性中的最优化等，是可靠性数学理论的主要研究内容。

四、岩土可靠性理论的主要内容及方法

岩土可靠性理论的主要内容有岩土参数的统计分析、荷载和自然条件的统计分析、概率极限状态方程、土坡稳定的概率分析、地基稳定性的概率分析、变形问题的概率分析以及系统可靠性分析与优化决策等。

1、蒙特²卡罗方法

蒙特卡罗方法又称统计模拟法、随机抽样技术，是一种随机模拟方法，以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法，是使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用电子计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解。为象征性地表明这一方法的概率统计特征，故借用赌城蒙特卡罗命名。

蒙特卡罗方法的解题过程可以归结为三个主要步骤：构造或描述概率过程；实现从已知概率分布抽样；建立各种估计量。

蒙特卡罗方法解题过程的三个主要步骤：

（1）构造或描述概率过程

对于本身就具有随机性质的问题，如粒子输运问题，主要是正确描述和模拟这个概率过 程，对于本来不是随机性质的确定性问题，比如计算定积分，就必须事先构造一个人为的概率过程，它的某些参量正好是所要求问题的解。即要将不具有随机性质的问题转化为随机性质的问题。

（2）实现从已知概率分布抽样

构造了概率模型以后，由于各种概率模型都可以看作是由各种各样的概率分布构成的，因此产生已知概率分布的随机变量（或随机向量），就成为实现蒙特卡罗方法模拟实验的基本手段，这也是蒙特卡罗方法被称为随机抽样的原因。最简单、最基本、最重要的一个概率分布是（0，1）上的均匀分布（或称矩形分布）。

随机数就是具有这种均匀分布的随机变量。随机数序列就是具有这种分布的总体的一个简单子样，也就是一个具有这种分布的相互独立的随机变数序列。产生随机数的问题，就是从这个分布的抽样问题。在计算机上，可以用物理方法产生随机数，但价格昂贵，不能重复，使用不便。另一种方法是用数学递推公式产生。这样产生的序列，与真正的随机数序列不同，所以称为伪随机数，或伪随机数序列。不过，经过多种统计检验表明，它与真正的随机数，或随机数序列具有相近的性质，因此可把它作为真正的随机数来使用。由已知分布随机抽样有各种方法，与从(0,1)上均匀分布抽样不同，这些方法都是借助于随机序列来实现的，也就是说，都是以产生随机数为前提的。由此可见，随机数是我们实现蒙特卡罗模拟的基本工具。

（3）建立各种估计量

一般说来，构造了概率模型并能从中抽样后，即实现模拟实验后，我们就要确定一个随机变量，作为所要求的问题的解，我们称它为无偏估计。建立各种估计量，相当于对模拟实验的结果进行考察和登记，从中得到问题的解。

2、一次二阶矩方法

一次二阶矩就是一种在随机变量的分布尚不清楚的情况下，采用只有均值和标 准差的数学模型去求解结构可靠度的方法。由于该法将功能函数Z=g(x1, x2,„„, xn) 在某点用泰勒级数展开，使之线性化，然后求解结构的可靠度，因此称为一次二阶矩.。一次二阶矩法是近似计算可靠度指标最简单的方法,只需考虑随机变量的前一阶矩(均值) 和二阶矩(标准差)和功能函数泰勒级数展开式的常数项和一次项,并以随机变量相对独立为前提,在笛卡尔空间内建立求解可靠指标的公式。因其计算简便,大多情况下计算精又能满足工程要求 ,已被工程界广泛接受。

2.1 均值一次二阶矩法

早期结构体系可靠度分析中，假设线性化点x就是均值点m,而由此得线性化的极限状态方程,在随机变量X(i=1,2,...n)统计独立的条件下,直接获得功能函数z的均值mZ及标准差Z,由此再由可靠指标的定义求取=mZ/Z该方法对于非线性功能函数,因略去二阶及更高阶项,误差将随着线性化点到失效边界距离的增大而增大,而均值法中所选用的线性化点(均值点)一般在可靠区而不在失效边界上,误差较大。

2.2 中心点法

中心点法是结构可靠度研究初期提出的1种方法,其基本思想是首先将非线性功能函数在随机变量的平均值(中心点)处进行泰勒展开并保留至一次项,然后近似计算功能函数的平均值和标准差,进而求得可靠指标。该法的最大优点是计算简便,不需进行过多的数值计算，但也存在明显缺陷：1）不能考虑随机变量的

分布概型，只是直接取用随机变量的前一阶矩和二阶矩；2)将非线性功能函数在随机变量均值处展开不合理,由于随机变量的平均值不再极限状态曲面上，展开后的线性极限状态平面可能较大程度地偏离原来的极限状态曲面;3)可靠度指标会因选择不同的安全裕量方程而发生变化;4)当基本变量不服从正态或对数正态分布时,计算结果常与实际偏差较大；5）对相同力学含义但数学表达式不同的极限状态方程求得的结构可靠指标值不同。如对矩形截面钢梁，可有两种极限状态方程：一种是21/60sZbhM，可靠指标111/LLZZ;另一种是226/60sZMbh，可靠指标222/LLZZ。尽管这两个极限状态方程力学含义是等价的，但除,,sMbh和均服从对数正态分布的情况外，由这两个极限状态方程求得的可靠指标并不相等。故该法适用于基本变量服从正态或对数正态分布,且结构可靠度指标β=1～2的情况。

2.3 验算点法（JC法）

在一次二阶矩理论的发展中，哈索弗尔（Hasofer）和林德（Lind）、拉克维茨（Rackwitz）和菲斯莱（Fiessler）、帕洛赫摩（Paloheimo）和汉拉斯（Hannus）等人提出了验算点法。其基本原理是将非正态的变量当量正态化，替代的正态分布函数要求在设计验算点处的累积概率分布函数(CDF)和概率密度函数(PDF)值分别和原变量的CDF值PDF值相等当量正态化后，采用改进一次二阶矩法的计算原理求解结构可靠度指标。作为中心点法的改进,主要有两个特点:1)当功能函数Z为非线性时,不以通过中心点的超切平面作为线性相似,而以通过Z=0上的某一点x3(x31,x32,x33,...x3n)的超切平面作为线性近似,以避免中心点法的误差;2)当基本变量x3具有分布类型的信息时,将x3分布在x31,x32,x33,„,x3n处以与正态分布等价的条件变换为当量正态分布,这样可使所得的可靠指标β与失效概率pf之间有一个明确的对应关系,从而在β中合理地反映分布类型的影响。该法能够考虑非正态的随机变量,在计算工作量增加不多的条件下,可对可靠度指标进行精度较高的近似计算,求得满足极限状态方程的“验算点”设计值,便于根据规范给出的标准值计算分项系数,以便于工作人员采用惯用的多系数表达式。

2.4 映射变换法

对于结构可靠度分析中的非正态随机变量,映射变换法和JC法类似,都首先将非正态随机变量“正态化”。JC法是将非正态随机变量“当量化”为正态随机变量,而映射变换法是通过数学变换的方法将非正态随机变量变换为正态随机变量。映射变换法少了JC法的当量化过程,但多了映射变换过程,因而二者的计算量基本相当;JC法采用“当量正态化”法,概念上比较直观,而映射变换法在数学上更严密一些,所以结构可靠度分析方法的进一步发展就通过映射变换法将非正态随机变量正态化。

2.5 实用分析法

帕洛赫摩（Paloheimo）和汉拉斯（Hannus）1972年在赫尔辛基工程力学学术研讨会上曾提出甲醛分位值方法。该法引用灵敏系数、加权分位值等概念，用连锁规则法（Chain-Rule Method）计算极限状态方程1212(......)0...nnZgXXXXXX中,的验算点值及设计参数值，计算比较繁冗。在该法中,当量正态化的方法是把原来的非正态变量xi按对应于pi或1-pi具有相同分位值的条件下,用当量正态变量xi代替,并要求当量正态变量的平均值与原来的非正态变量xi的平均值相等。与JC法相比,该法计算简单而精度相差不多。

2.6 设计点法

将结构功能函数z=g(x1,x2,...xn)在某点M展开成泰勒级数作线性化处理,随点M的选取方式的不同,分为中心点法和验算点法两种方法。而设计点法就是在此基础上进行改进的一种算法。此方法的设计点为:x3=E(x)±2σ(x),因工程技术人员按设计值进行设计,故设计点近似满足极限状态方程。本方法计算简单明了,无需迭代即可得到令人满意的可靠度设计结果,因此是一种便于工程应用的方法。

2.7 几何法

用以上方法计算时,迭代次数多,而且极限状态方程为高次非线性时误差较大,为此专家们提出几何法即是优化算法。根据可靠指标的几何意义,可靠指标的获得也就是在功能函数面上寻找一点y3,使该点与均值点的距离最短,从而使问题成为一个优化问题,即:目标函数:β=min(y3T・y3)1/2;约束条件:g(y3)=0。用几何法求解可靠指标β的思路:先假设验算点x3,将验算点值代入极限状态方程g(x),若g(x3)≠0,则沿着g(x)=g(x3)所表示的空间曲面x3点处的梯度方向前进(后退),得到新的验算点x3代入极限状态方程,若g(x3)>ε,其中ε为控制精度,继续迭代;若g(x3)≤ε则表示该验算点已在失效边界上,迭代停止,即可求出β和x3的值。几何法与一般的一次二阶矩法相比，具有迭代次数少收敛快、精度高的优点，但其结果亦为近似解。

2.8 相关随机变量的可靠度分析方法

前面介绍的结构可靠度分析方法都是随机变量相互独立为前提的。而在实际工程中，随机变量见可能存在这一定的相关性，如海上结构承受的风荷载和波浪力，岩土工程中的粘聚力和内摩擦角，大跨度结构的自重和抗力等。研究表明，随机变量之间的相关性对结构的可靠度有着明显的影响，特别是在高度正相关或高度负相关时。因此，若随机变量相关，则在结构可靠度分析中应充分予以考虑。

对于含有相关随机变量的结构可靠度问题，早起一些研究采用正交变换的方法，首先讲相关随机变量变换为不相关的随机变量，然后用JC法进行计算。从原理上讲，这种方法是正确的，但计算过于繁琐，特别是需要球矩阵的特征值，不便于应用。近年的一些研究则直接在广义空间（仿射坐标系）内建立求解可靠指标的迭代公式，不需要过多的准备工作，应用简单，是对现有可靠度计算方法的推广。

五、可靠性理论在岩土工程中应用的工程实例

某边坡高度12m，边坡坡顶至坡脚水平距离为10 m，假定边坡岩体粘聚力c 服从均值Uc = 38 kPa 方差σc = 0．3的正态分布，内摩擦角φ 服从均值u = 22°方差σ = 0．3 的正态分布，变形模量E0= 800 MPa，泊松比为0．3。见图1。

进行蒙特卡洛法边坡可靠性分析。因此，综合考虑计算机模拟速度及模拟计 算结果精确性等各方因素，在数值模型建模过程中进行了以下细化( 图1) : 第一，按平面应变问题来考虑; 第二，为了较准确获得安全系数大小，强度折减 法精度控制在0．02; 第三，边坡模型底部、左右边界、前后边界施加法向位移约束; 第四，整个数值模型区域材料属性值相同; 第五，为了较准确获得边坡稳定概率，模拟次数分别为200，500，1 000。

图1 算例边坡模型

数值计算的步骤为: 根据粘聚力c 及内摩擦角φ 概率分布特征随机产生N 组计算方案( c1，φ1 ) ，( c2，φ2 ) ，„，( cN，φN) ，然后将N 组强度参数代入有限差分强度折减法模型进行计算，各安全系数结果见图2 至图4 及表1。

以下各图依次为图2、图3、图4。

图2

图2至图4可知，此算例边坡安全系数均值为1． 696 1 ～ 1． 702 5，破坏概率为3． 8% ～ 5%，不同试验次数下安全系数任近似服从正态分布。表1 显示，随着试验次数的增加，安全系数均值及破坏概率变化不大，当试验次数达到1 000 时，安全系数均值及破坏概率基本不再变化。故可认为该算例边坡安全系数为1． 7，破坏概率为5%，该边坡稳定概率为95%。

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