第一篇 静力学
第一章 静力学基础
一 基本知识点
1 力
力是物体对物体的机械作用，其作用的效果是使物体的运动状态发生改变或使物体产生变形。力对物体的作用效果取决于力的大小、方向和作用点，称为力的三要素。其中，力的大小和方向可用一矢量 F （或其它带箭头字母，也可用黑体字母）表示，称为力矢，而力的
作用点的位置可用它相对于空间某一确定点矢径r 表示。力矢通常从
力的作用点画出，力矢所沿直线称为力的作用线。
2 力系
力系是同时作用于物体上的一群力。根据力系中各力作用线分布的不同特点，可对力系进行以下分类：各力作用线均在同一直线上的力系称为共线力系，各力作用线均在同一平面内的力系称为平面力系，各力作用线在空间分布的力系称为空间力系，各力作用线都相互平行的力系称为平行力系，各力作用线都汇交于同一点的力系称为汇交力系（作用于同一点的力系称为共点力系，它为汇交力系的一种特殊情况）。
3 刚体
在力作用下不变形的物体。刚体是静力学中的理想化力学模型。 4 平衡
在静力学中，物体相对于地球处于静止或作匀速直线平动的状态，称为物体的平衡。
5 静力学公理
（1）二力平衡公理：作用于同一刚体上的二力使刚体处于平衡的充要条件是：这二力的大小相等、方向相反、作用线相同，简称等值、反向、共线。
在二力作用下平衡的刚体（或刚杆）称为二力体（或二力杆）。
（2）加减平衡力系公理：在已知力系作用的某一刚体上，加上或减去任何一个平衡力系，都不改变原力系对该刚体的作用效果。
（3）平行四边形公理：作用于刚体上同一点的两个力，可以合成为一个合力，合力的作用点仍在该点，合力的力矢则由这两个力为邻边所作的平行四边形的对角线确定，即合力矢等于两分力矢的矢量和。
（4）作用与反作用公理：两物体间相互作用的力总是等值、反向、共线且分别作用在这两个物体上。
该公理即为牛顿第三定律。
（5）刚化公理：变形体在某一力系的作用处于平衡状态，若在该
位置将变形体刚化为刚体，则其平衡状态保持不变。
静力学公理的两个重要推论：
（1）力在刚体上的可传性：作用于某一刚体上的力，可以沿其作用线将其作用点任意滑移到该刚体上其它的点，并不改变此力对该刚体的作用效果。
（2）三力平衡必共面汇交定理
作用于同一刚体上的三个力使刚体处于平衡状态，当其中的两个力的作用线相交于一点，则第三个力的作用线必与该两个力的作用线共面，且通过此相交点。
5 约束与约束反力
事先给定的限制物体运动的条件称为约束。事实上，约束是非自由体通过与其它物体相接触而形成的，构成约束的物体称为约束体，也称为约束。约束反力是约束作用在被约束物体上的力，其方向与约束的特性有关。
工程中常见的约束类型及其反力的画法。
1）光滑接触面：其约束反力沿接触点的公法线，指向被约束物体。
2）光滑圆柱、铰链和颈轴承：其约束反力位于垂直于销钉轴线的平面内，经过轴心，通常用过轴心的两个大小未知的正交分力表示。
3）固定铰支座：其约束反力与光滑圆柱铰链相同。
4）活动铰支座：与光滑接触面类似。其约束反力垂直于光滑支承面。
5）光滑球铰链：其约束反力过球心，通常用空间的三个正交分力表示。
6）止推轴承：其约束反力常用空间的三个正交分力表示。
7）二力体：所受两个约束反力必沿两力作用点连线且等值、反向。
8）柔软不可伸长的绳索：其约束反力为沿柔索方向的一个拉力，该力背离被约束物体。
9）固定端约束：其约束反力在平面情况下，通常用两正交分力和一个力偶表示；
6 受力分析和受力图
将所要研究的物体或物体系统从周围物体中隔离出来，称为分离体或研究对象。确定研究对象受到哪些力的作用，称为受力分析。表示研究对象所受到所有外力（包括主动力和约束反力）的简图称为受力图。
二、重点和难点：
对所研究的对象进行受力分析，并画出其正确的受力图是分析、解决静力学问题以及动力学问题的一个最基本、很重要的环节。 物体或物体系统的受力一般可按以下步骤进行：
1．明确研究对象，取分离体。根据求解需要，可以取某个物体
或某些物体所组成的系统为研究对象，将其从周围物体中分离出来，并单独画其简图。
2．在分离体上画出全部主动力。
3．分析分离体在几个地方与其它物体接触，按各接触处的约束特点画出全部约束反力。
在画受力图时，切忌想当然，按以上步骤按步就班地对物体进行受力分析，可避免漏掉力或多出力的错误，也可有效地避免将约束反力画错。同时还应特别注意以下几点：
（1）分离体中各质点之间的相互作用力（万有引力或分子作用力等）及分离体内各物体之间的相互作用力，对研究对象来说是内力，内力在受力图上是不画的，受力图只画外力，即只画主动力和周围物体对分离体的约束反力。应注意，内力和外力均是相对于所取的分离体而言的，一个力在某个分离体中是外力，在另外一个包含更多物体的分离体中则可能是内力。
（2）当物体间的连接处为光滑铰链时，称该处为节点。节点受主动力作用时，一般都认为主动力作用于销钉上或作用于球铰链的中心上。
（3）若各分离体之间存在作用力与反作用力，则要体现出牛顿第三定律，即作用力与反作用力要大小相等方向相反。
（4）若分离体与二力体（或二力杆）相连，则一定要按二力体（或二力杆）的约束特点画出二力体（或二力杆）对分离体的约束反力。
（5）尽管作用于刚体上的力是滑移矢量，但在画受力图时，一般不要随便移动力的作用点位置。这样做，一方面便于为画变形体的受力图养成良好习惯，另一方面便于检查受力图是否正确。
（6）当已知约束反力的方向时，必须将约束反力按真实方向画出。当无法预知约束反力的方向时，可根据相应约束的特点，或者按约束两相反方向假定一个方向画出，或者用约束反力的正交分力（各正交分力的方向可任意假定）表示出。至于约束反力或约束反力的正交分量的正确方向，在静力学中可通过平衡方程，在动力学中可通过动力学方程，求出其值的正、负号后确定，即正号表示与假定的方向一致；负号表示与假定的方向相反。
三、典型例题
例1–1 在图示的平面系统中，匀质球A 重W 1，借本身重量和摩擦不计的理想滑轮C 和柔绳维持在仰角是 的光滑斜面上，绳的一端挂着重W 2的物体B 。试分析物体B 、球A 和滑轮C 的受力情况，并分别画出平衡时各物体的受力图。
解: 1. 物体B 受力图。 1
B
W2
2. 球A 受力图。
3. 滑轮C 的受力图。
I
G
C F G
例1–2 等腰三角形构架ABC 的顶点A ，B ，C 都用铰链连接，底边A C 固定，而AB 边的中点D 作用有平行于固定边AC 的力F ，如图所示。不计各杆自重，试画出AB 和BC 的受力图。
四、解题时应注意的问题
1．画受力图时，一定要先取分离体，再画受力图。取分离体实质上是暴露或显示物体间相互作用的一种方式，只有把施力体和受力体分离开来，才能将它们之间的机械作用以力代替。另外，工程上所要的分析结构或机构一般很复杂，如果不取分离体来画受力图，往往
分不清施力体和受力体，分不清内力和外力，容易出错。因此，根据题目的要求，选定某个或某些刚体作为研究对象后，一定要画出分离体，在分离体上画出受力图，对此不应怕麻烦。
2．如何判别二力刚体。在工程实际中遇到的二力刚体，有以下特点：（1）刚体不受任何主动力的作用（包括不计自重）；（2）刚体只受两个约束，而且每个约束都可用一个约束反力代替。凡是满足以上两点的刚体，不论形状如何都为二力刚体。
3．光滑圆柱铰链连接是工程中各构件相互连接的主要形式，因此，认清光滑圆柱铰链的结构及其约束反力的方向特点是顺利进行受力分析的关键一环。当一个光滑圆柱销钉与两个或两个以上带有相同孔径（其值略比销钉直径大）的构件呈光滑接触时，这种约束即为光滑圆柱铰链约束。其约束的特点是能完全限制各被连接物体之间沿销钉径向的任何相对位移，而不能限制它们绕销钉轴向的任何相对转动，因此，各连接构件与销钉鞋之间的接触是销钉某条母线的光滑接触，其约束反力经过接触点并沿销钉的径向，被销钉连接的各构件间没有直接的相互作用，它们都分别只与销钉产生相互作用，根据同向平行力系必存在合力，任一被连构件与销钉之间可等效为一对作用与反作用力，且这对相互作用力的作用线必通过销钉中心。由于接触的销钉母线的位置及其等效的约束反力的大小，都与被连构件的受力相关，故被连构件所受到的销钉约束反力的大小和方向都不能直接确定，通常用过销钉中心，且在销钉横截面内两已知方位的正交分量来表示，
即把大小和方向这两个未知因素转化为两个方位已知而其代数值未知的两未知因素。只有在某些特殊情况，如被连构件为二力刚体或三力平衡或力偶平衡或平行力系平衡时，销钉的约束反力的方向才可直接确定，此时只剩下约束反力的大小未知。当不需要单独分析销钉受力时，通常将销钉附带于某一个或几个与其相连的物体上，再分析这组合体的受力。因销钉与这个组合体内与其相连的构件间的相互作用力为组合体的内力，故在画此组合体的受力图时不把它们画出。
第一篇 静力学
第一章 静力学基础
一 基本知识点
1 力
力是物体对物体的机械作用，其作用的效果是使物体的运动状态发生改变或使物体产生变形。力对物体的作用效果取决于力的大小、方向和作用点，称为力的三要素。其中，力的大小和方向可用一矢量 F （或其它带箭头字母，也可用黑体字母）表示，称为力矢，而力的
作用点的位置可用它相对于空间某一确定点矢径r 表示。力矢通常从
力的作用点画出，力矢所沿直线称为力的作用线。
2 力系
力系是同时作用于物体上的一群力。根据力系中各力作用线分布的不同特点，可对力系进行以下分类：各力作用线均在同一直线上的力系称为共线力系，各力作用线均在同一平面内的力系称为平面力系，各力作用线在空间分布的力系称为空间力系，各力作用线都相互平行的力系称为平行力系，各力作用线都汇交于同一点的力系称为汇交力系（作用于同一点的力系称为共点力系，它为汇交力系的一种特殊情况）。
3 刚体
在力作用下不变形的物体。刚体是静力学中的理想化力学模型。 4 平衡
在静力学中，物体相对于地球处于静止或作匀速直线平动的状态，称为物体的平衡。
5 静力学公理
（1）二力平衡公理：作用于同一刚体上的二力使刚体处于平衡的充要条件是：这二力的大小相等、方向相反、作用线相同，简称等值、反向、共线。
在二力作用下平衡的刚体（或刚杆）称为二力体（或二力杆）。
（2）加减平衡力系公理：在已知力系作用的某一刚体上，加上或减去任何一个平衡力系，都不改变原力系对该刚体的作用效果。
（3）平行四边形公理：作用于刚体上同一点的两个力，可以合成为一个合力，合力的作用点仍在该点，合力的力矢则由这两个力为邻边所作的平行四边形的对角线确定，即合力矢等于两分力矢的矢量和。
（4）作用与反作用公理：两物体间相互作用的力总是等值、反向、共线且分别作用在这两个物体上。
该公理即为牛顿第三定律。
（5）刚化公理：变形体在某一力系的作用处于平衡状态，若在该
位置将变形体刚化为刚体，则其平衡状态保持不变。
静力学公理的两个重要推论：
（1）力在刚体上的可传性：作用于某一刚体上的力，可以沿其作用线将其作用点任意滑移到该刚体上其它的点，并不改变此力对该刚体的作用效果。
（2）三力平衡必共面汇交定理
作用于同一刚体上的三个力使刚体处于平衡状态，当其中的两个力的作用线相交于一点，则第三个力的作用线必与该两个力的作用线共面，且通过此相交点。
5 约束与约束反力
事先给定的限制物体运动的条件称为约束。事实上，约束是非自由体通过与其它物体相接触而形成的，构成约束的物体称为约束体，也称为约束。约束反力是约束作用在被约束物体上的力，其方向与约束的特性有关。
工程中常见的约束类型及其反力的画法。
1）光滑接触面：其约束反力沿接触点的公法线，指向被约束物体。
2）光滑圆柱、铰链和颈轴承：其约束反力位于垂直于销钉轴线的平面内，经过轴心，通常用过轴心的两个大小未知的正交分力表示。
3）固定铰支座：其约束反力与光滑圆柱铰链相同。
4）活动铰支座：与光滑接触面类似。其约束反力垂直于光滑支承面。
5）光滑球铰链：其约束反力过球心，通常用空间的三个正交分力表示。
6）止推轴承：其约束反力常用空间的三个正交分力表示。
7）二力体：所受两个约束反力必沿两力作用点连线且等值、反向。
8）柔软不可伸长的绳索：其约束反力为沿柔索方向的一个拉力，该力背离被约束物体。
9）固定端约束：其约束反力在平面情况下，通常用两正交分力和一个力偶表示；
6 受力分析和受力图
将所要研究的物体或物体系统从周围物体中隔离出来，称为分离体或研究对象。确定研究对象受到哪些力的作用，称为受力分析。表示研究对象所受到所有外力（包括主动力和约束反力）的简图称为受力图。
二、重点和难点：
对所研究的对象进行受力分析，并画出其正确的受力图是分析、解决静力学问题以及动力学问题的一个最基本、很重要的环节。 物体或物体系统的受力一般可按以下步骤进行：
1．明确研究对象，取分离体。根据求解需要，可以取某个物体
或某些物体所组成的系统为研究对象，将其从周围物体中分离出来，并单独画其简图。
2．在分离体上画出全部主动力。
3．分析分离体在几个地方与其它物体接触，按各接触处的约束特点画出全部约束反力。
在画受力图时，切忌想当然，按以上步骤按步就班地对物体进行受力分析，可避免漏掉力或多出力的错误，也可有效地避免将约束反力画错。同时还应特别注意以下几点：
（1）分离体中各质点之间的相互作用力（万有引力或分子作用力等）及分离体内各物体之间的相互作用力，对研究对象来说是内力，内力在受力图上是不画的，受力图只画外力，即只画主动力和周围物体对分离体的约束反力。应注意，内力和外力均是相对于所取的分离体而言的，一个力在某个分离体中是外力，在另外一个包含更多物体的分离体中则可能是内力。
（2）当物体间的连接处为光滑铰链时，称该处为节点。节点受主动力作用时，一般都认为主动力作用于销钉上或作用于球铰链的中心上。
（3）若各分离体之间存在作用力与反作用力，则要体现出牛顿第三定律，即作用力与反作用力要大小相等方向相反。
（4）若分离体与二力体（或二力杆）相连，则一定要按二力体（或二力杆）的约束特点画出二力体（或二力杆）对分离体的约束反力。
（5）尽管作用于刚体上的力是滑移矢量，但在画受力图时，一般不要随便移动力的作用点位置。这样做，一方面便于为画变形体的受力图养成良好习惯，另一方面便于检查受力图是否正确。
（6）当已知约束反力的方向时，必须将约束反力按真实方向画出。当无法预知约束反力的方向时，可根据相应约束的特点，或者按约束两相反方向假定一个方向画出，或者用约束反力的正交分力（各正交分力的方向可任意假定）表示出。至于约束反力或约束反力的正交分量的正确方向，在静力学中可通过平衡方程，在动力学中可通过动力学方程，求出其值的正、负号后确定，即正号表示与假定的方向一致；负号表示与假定的方向相反。
三、典型例题
例1–1 在图示的平面系统中，匀质球A 重W 1，借本身重量和摩擦不计的理想滑轮C 和柔绳维持在仰角是 的光滑斜面上，绳的一端挂着重W 2的物体B 。试分析物体B 、球A 和滑轮C 的受力情况，并分别画出平衡时各物体的受力图。
解: 1. 物体B 受力图。 1
B
W2
2. 球A 受力图。
3. 滑轮C 的受力图。
I
G
C F G
例1–2 等腰三角形构架ABC 的顶点A ，B ，C 都用铰链连接，底边A C 固定，而AB 边的中点D 作用有平行于固定边AC 的力F ，如图所示。不计各杆自重，试画出AB 和BC 的受力图。
四、解题时应注意的问题
1．画受力图时，一定要先取分离体，再画受力图。取分离体实质上是暴露或显示物体间相互作用的一种方式，只有把施力体和受力体分离开来，才能将它们之间的机械作用以力代替。另外，工程上所要的分析结构或机构一般很复杂，如果不取分离体来画受力图，往往
分不清施力体和受力体，分不清内力和外力，容易出错。因此，根据题目的要求，选定某个或某些刚体作为研究对象后，一定要画出分离体，在分离体上画出受力图，对此不应怕麻烦。
2．如何判别二力刚体。在工程实际中遇到的二力刚体，有以下特点：（1）刚体不受任何主动力的作用（包括不计自重）；（2）刚体只受两个约束，而且每个约束都可用一个约束反力代替。凡是满足以上两点的刚体，不论形状如何都为二力刚体。
3．光滑圆柱铰链连接是工程中各构件相互连接的主要形式，因此，认清光滑圆柱铰链的结构及其约束反力的方向特点是顺利进行受力分析的关键一环。当一个光滑圆柱销钉与两个或两个以上带有相同孔径（其值略比销钉直径大）的构件呈光滑接触时，这种约束即为光滑圆柱铰链约束。其约束的特点是能完全限制各被连接物体之间沿销钉径向的任何相对位移，而不能限制它们绕销钉轴向的任何相对转动，因此，各连接构件与销钉鞋之间的接触是销钉某条母线的光滑接触，其约束反力经过接触点并沿销钉的径向，被销钉连接的各构件间没有直接的相互作用，它们都分别只与销钉产生相互作用，根据同向平行力系必存在合力，任一被连构件与销钉之间可等效为一对作用与反作用力，且这对相互作用力的作用线必通过销钉中心。由于接触的销钉母线的位置及其等效的约束反力的大小，都与被连构件的受力相关，故被连构件所受到的销钉约束反力的大小和方向都不能直接确定，通常用过销钉中心，且在销钉横截面内两已知方位的正交分量来表示，
即把大小和方向这两个未知因素转化为两个方位已知而其代数值未知的两未知因素。只有在某些特殊情况，如被连构件为二力刚体或三力平衡或力偶平衡或平行力系平衡时，销钉的约束反力的方向才可直接确定，此时只剩下约束反力的大小未知。当不需要单独分析销钉受力时，通常将销钉附带于某一个或几个与其相连的物体上，再分析这组合体的受力。因销钉与这个组合体内与其相连的构件间的相互作用力为组合体的内力，故在画此组合体的受力图时不把它们画出。