求函数定义域的六种题型
顾曼生
(无锡崇安职校, 江苏, 214005)
一． 意义型
给出函数的解析式, 求使解析式有意义的值. 这类题型比较常见, 下面给出两例新题.
1 例1 函数f(x)= , 则f[f(x)]的定义域是 . 1+x
略解 求出f[f(x)]=1
11+1+x , 不化简, 根据解析式的限制条件求得: x≠-1且x ≠-2 .
思考 f{f[f(x)]},……的定义域又如何? 若f(x)=-x 呢?
例2 设函数f (x ) =g (x ) +4-x 2的定义域是[-2,0)∪[1,2], 则在下列解析式中, 函数 g (x ) =( ). A. x x x -1-x B. C. D. 1-x x -1x x 略解 f (x ) 的定义域是g (x ) 的定义域与4-x 2的定义域的交集, 而易见4-x 2的定义域是[-2,2],因此g (x ) 的定义域必须不包含[0,1),∴在上列函数中应该选C. 思考 g (x ) 是否唯一确定的? 其定义域必须满足什么要求? 试构造出不同的g (x ) . 二. 规定型
根据人为规定的自变量的取值范围, 求解定义域的有关问题.
例3 函数f (x ) =⎨⎧x +1,
⎩3-x , 0
略解 分段函数的定义域是各段定义域的并集. 因此可以求得答案是 (-2,0)∪(0,2) .
例4 若函数y =4-(x -a ) 2+lg(2x +b ) 的定义域是(3，5],则a +b x ≤a +2⎧b ⎪a -2≤⎪4-(x -a ) 2≥0⎧ 略解 由⎨, ⎨x >-b , 比较条件得a +2=5, -=3, ∴a +b = -3 . 2⎪⎪⎩2x +b >02⎩
思考 如果本题没有规定定义域, 要使函数有意义, a , b 必须满足什么条件? 三. 值域型
给出函数值域, 求该函数的定义域.
2x -1 例5 函数y =的值域是(-∞,0]∪(3,+∞), 则其定义域是x +1
2x -12x -1 略解 解不等式≤0与>3, 再求它们解集的并即得答案(-4,-1)∪(-1,1/2) . x +1x +1
例6 已知f[f(x)]=4x+9的值域是[1,5),则f(x)的定义域是 . 略解 本题无须求出f(x),直接解不等式1≤4x+9
四. 抽象型
没有给出函数的具体解析式, 仅给出中间变量, 由已知的定义域求复合函数的定义域.
2例7 函数f(x)的定义域是(-3,1],则f(log 2) 的定义域是 . x
22略解 中间变量t=log 2, 所求定义域由不等式-3
例8 已知函数f(2x -1) 的定义域是[0,2],则f(x+2x)的定义域是 . 略解 由0≤x ≤2得0≤2x -1≤3, 即f(t)的定义域为[0,3], 再解不等式 0≤x +2x≤3, 得所求定义域是 [-3,-2]∪[0,1] .
思考 比较由f(x)的定义域求f[g(x)]的定义域与由f[h(x)]的定义域求f(x)的定义域 的区别, 从而掌握由f[g(x)]的定义域求f[h(x)]的定义域的方法. 22
五. 参数型
在函数解析式中含有参数的, 求其定义域需要讨论.
例9 求函数y =lg(ax 2+2x +1) 的定义域.
1,+∞); 当0
-1--a -1+-a -1+-a -1--a ) (, +∞) ; 当a
a >1时, 定义域为R. 略解 定义域即不等式ax 2+2x +1>0的解:当a =0时, 定义域为(-
例10 函数f(x)=x -x 2, 求函数y=f(x+a )+f(x-a ) 的定义域.
略解 f(x)的定义域是[0,1],∴⎨⎧0≤x +a ≤1⎧-a ≤x ≤1-a , 该不等式组的解为⎨, 即两个0≤x -a ≤1a ≤x ≤1+a ⎩⎩
区间[-a ,1-a ]与[a ,1+a ]的交集. 当-
时, 定义域是a ≤x ≤1-a ; 当|a |>11≤a ≤0时, 所求定义域是-a ≤x ≤1+a ; 当0≤a ≤221时, 定义域是空集, 函数无意义. 2
思考 已知一个具体的函数, 求其复合函数的定义域是否必须求出复合函数后再求定义域? 参数型定义域的实质是否讨论不等式(组) 的解?
六. 实际型
由实际问题给出的函数, 其定义域不仅要使解析式有意义, 还要符合实际意义.
例11 下表所示为装运甲、乙、丙三种蔬菜的重量及利润. 某汽运公司计划装运甲、乙、丙三种蔬菜到外地销售(每辆汽车按规定满载, 并且每辆汽车只能装一种蔬菜). 公司计划用20辆汽车装运甲、乙、丙三种蔬菜36吨到B 地销售(每种蔬菜不少于一车).
设安排x 辆汽车运甲种蔬菜, 获利S 元, 建立S 与x 的函数关系, 并求定义域.
略解 设分别安排y 、z 辆汽车运乙、丙两种蔬菜, 则x+y+z=20,2x+y+1.5z=36,x,y,z≥1, 解得y=x-12,z=32-2x,S=10x+7y+6z=5x+108, 由y ≥1,z ≥1,x 取整数, 得定义域为{13,14,15}. 例12 一个水库有进水闸、放水闸各一个, 单独进水4小时可以装满一库水, 单独放水6 小时可以放完一库水. 当水库中的水占满库水的1/4时, 同时开进水闸和放水闸, 设两闸开放的时间用x(小时) 表示, 水库中的水占满库水的几分之几用y(库) 表示. 求y 与x 之间的函数关系式, 并写出定义域.
略解 不难求出函数关系为y =11x +, 显然y ≥0, 又由于水库满时必须关闸, 因此y ≤1, 124
于是定义域应为[0,9]. 这是一个由值域确定定义域的实例.
2000年11月
求函数定义域的六种题型
顾曼生
(无锡崇安职校, 江苏, 214005)
一． 意义型
给出函数的解析式, 求使解析式有意义的值. 这类题型比较常见, 下面给出两例新题.
1 例1 函数f(x)= , 则f[f(x)]的定义域是 . 1+x
略解 求出f[f(x)]=1
11+1+x , 不化简, 根据解析式的限制条件求得: x≠-1且x ≠-2 .
思考 f{f[f(x)]},……的定义域又如何? 若f(x)=-x 呢?
例2 设函数f (x ) =g (x ) +4-x 2的定义域是[-2,0)∪[1,2], 则在下列解析式中, 函数 g (x ) =( ). A. x x x -1-x B. C. D. 1-x x -1x x 略解 f (x ) 的定义域是g (x ) 的定义域与4-x 2的定义域的交集, 而易见4-x 2的定义域是[-2,2],因此g (x ) 的定义域必须不包含[0,1),∴在上列函数中应该选C. 思考 g (x ) 是否唯一确定的? 其定义域必须满足什么要求? 试构造出不同的g (x ) . 二. 规定型
根据人为规定的自变量的取值范围, 求解定义域的有关问题.
例3 函数f (x ) =⎨⎧x +1,
⎩3-x , 0
略解 分段函数的定义域是各段定义域的并集. 因此可以求得答案是 (-2,0)∪(0,2) .
例4 若函数y =4-(x -a ) 2+lg(2x +b ) 的定义域是(3，5],则a +b x ≤a +2⎧b ⎪a -2≤⎪4-(x -a ) 2≥0⎧ 略解 由⎨, ⎨x >-b , 比较条件得a +2=5, -=3, ∴a +b = -3 . 2⎪⎪⎩2x +b >02⎩
思考 如果本题没有规定定义域, 要使函数有意义, a , b 必须满足什么条件? 三. 值域型
给出函数值域, 求该函数的定义域.
2x -1 例5 函数y =的值域是(-∞,0]∪(3,+∞), 则其定义域是x +1
2x -12x -1 略解 解不等式≤0与>3, 再求它们解集的并即得答案(-4,-1)∪(-1,1/2) . x +1x +1
例6 已知f[f(x)]=4x+9的值域是[1,5),则f(x)的定义域是 . 略解 本题无须求出f(x),直接解不等式1≤4x+9
四. 抽象型
没有给出函数的具体解析式, 仅给出中间变量, 由已知的定义域求复合函数的定义域.
2例7 函数f(x)的定义域是(-3,1],则f(log 2) 的定义域是 . x
22略解 中间变量t=log 2, 所求定义域由不等式-3
例8 已知函数f(2x -1) 的定义域是[0,2],则f(x+2x)的定义域是 . 略解 由0≤x ≤2得0≤2x -1≤3, 即f(t)的定义域为[0,3], 再解不等式 0≤x +2x≤3, 得所求定义域是 [-3,-2]∪[0,1] .
思考 比较由f(x)的定义域求f[g(x)]的定义域与由f[h(x)]的定义域求f(x)的定义域 的区别, 从而掌握由f[g(x)]的定义域求f[h(x)]的定义域的方法. 22
五. 参数型
在函数解析式中含有参数的, 求其定义域需要讨论.
例9 求函数y =lg(ax 2+2x +1) 的定义域.
1,+∞); 当0
-1--a -1+-a -1+-a -1--a ) (, +∞) ; 当a
a >1时, 定义域为R. 略解 定义域即不等式ax 2+2x +1>0的解:当a =0时, 定义域为(-
例10 函数f(x)=x -x 2, 求函数y=f(x+a )+f(x-a ) 的定义域.
略解 f(x)的定义域是[0,1],∴⎨⎧0≤x +a ≤1⎧-a ≤x ≤1-a , 该不等式组的解为⎨, 即两个0≤x -a ≤1a ≤x ≤1+a ⎩⎩
区间[-a ,1-a ]与[a ,1+a ]的交集. 当-
时, 定义域是a ≤x ≤1-a ; 当|a |>11≤a ≤0时, 所求定义域是-a ≤x ≤1+a ; 当0≤a ≤221时, 定义域是空集, 函数无意义. 2
思考 已知一个具体的函数, 求其复合函数的定义域是否必须求出复合函数后再求定义域? 参数型定义域的实质是否讨论不等式(组) 的解?
六. 实际型
由实际问题给出的函数, 其定义域不仅要使解析式有意义, 还要符合实际意义.
例11 下表所示为装运甲、乙、丙三种蔬菜的重量及利润. 某汽运公司计划装运甲、乙、丙三种蔬菜到外地销售(每辆汽车按规定满载, 并且每辆汽车只能装一种蔬菜). 公司计划用20辆汽车装运甲、乙、丙三种蔬菜36吨到B 地销售(每种蔬菜不少于一车).
设安排x 辆汽车运甲种蔬菜, 获利S 元, 建立S 与x 的函数关系, 并求定义域.
略解 设分别安排y 、z 辆汽车运乙、丙两种蔬菜, 则x+y+z=20,2x+y+1.5z=36,x,y,z≥1, 解得y=x-12,z=32-2x,S=10x+7y+6z=5x+108, 由y ≥1,z ≥1,x 取整数, 得定义域为{13,14,15}. 例12 一个水库有进水闸、放水闸各一个, 单独进水4小时可以装满一库水, 单独放水6 小时可以放完一库水. 当水库中的水占满库水的1/4时, 同时开进水闸和放水闸, 设两闸开放的时间用x(小时) 表示, 水库中的水占满库水的几分之几用y(库) 表示. 求y 与x 之间的函数关系式, 并写出定义域.
略解 不难求出函数关系为y =11x +, 显然y ≥0, 又由于水库满时必须关闸, 因此y ≤1, 124
于是定义域应为[0,9]. 这是一个由值域确定定义域的实例.
2000年11月