《对数函数单调性的习题课》教学设计
数学组 张明
教学目标：会用对数函数的单调性解决问题，培养学生数形结合的能力; 培养学生大胆尝试、
团结合作的精神和严谨的态度，以及喜欢数学的兴趣与情感，帮助学生树立学好数学的自信心。
教学重点：对数函数单调性的应用
教学难点：底数a 对对数函数的影响
（Ⅰ）设置情景
复习回顾
师：前面我们学习了对数函数的单调性，请同学们回忆一下对数函数的单调性是如何描述的？ 生1：当a >1时，对数函数y =log a x 在(0, +∞) 内是增函数；
当0
师：今天我们就利用对数函数的单调性来解决一些问题。
（Ⅱ）探求与研究
问题1：（幻灯片1）
11已知01且ab >1, 若m =log a b ，n =log a ，p =log b b b 则下列各式中成立的是() A . p
师：给大家一分钟的讨论时间，然后告诉我结果。
生2：首先观察m 、n 、p 三个式子，可以判断出m 0, p =-1
大小。p 可以写成p =log a 11，此时m 与p 同底，然后比较b 与的大小，因为a a
1，因此m
0, b >0, ab >1，所以b >
全体同学异口同声说：好！
师：回答得非常好！那我们看，比较大小的实质就是“求同”，利用对数函数的单调性来比较。
我们来看第二题
问题2：（幻灯片2）
求函数y =log 0. 2(-x 2+4x +5) 的单调区间
生3：这是一个复合函数，首先要求定义域，我们可令u =-x 2+4x +5，则y =log 0. 2u 在
(0, +∞) 内是减函数，现在我们来求函数u =-x 2+4x +5的单调区间，易得u 在(-1, 2) 是增函数，u 在(2, 5) 是减函数，所以，函数y =log 0. 2(-x 2+4x +5) 在(-1, 2]是减函数，在
[2, 5) 是增函数。
师：看来大家对于求复合函数的单调区间问题掌握的很好，应该注意的问题也注意到了。提
醒大家一句在求函数的单调区间时，若题中没给定义域，要先求定义域。这道题也是对数函数单调性的一个简单应用。我们来看第三题。
问题3：（幻灯片3）
若函数y =log a 2-1(-x ) 在其定义域内是减函数，则a 的取值范围是() A . |a |>1B . |a |2D . 1
师：也给大家一分钟的讨论时间。
生4：我们可以把这个函数看作一个复合函数，令u =-x ，则函数u =-x 在(-∞, 0)
是减函数，若要使函数y =log a 2-1u 在(-∞, 0) 上是减函数，需满足a 2-1>1，解之得|a |>2。
师：他说的完全正确……，还没等我把话说完，一位同学站起来说：我还有一种解法，同学
们都在注视着他。这位学生边板演边讲解
生5：我是从图像的角度考虑的。根据题意，我们可以画出函数y =log a 2-1(-x ) 的草图，根
据图像的对称性，可以画出函数y =log (a 2-1) (-x ) 关于y 轴对称的函数y =log (a 2-1) x 的图
像，知函数y =log (a 2-1) x 在(0, +∞) 是增函数，所以a 2-1>1，即|a |>2。
大家都为他的解法鼓起了掌
师：利用图像的对称性，运用的是数形结合的思想。妙！
我们回头看一下这三道题（比较两个数的大小，求复合函数的单调区间以及求参量的取值范围），最后都化归为对数函数的单调性问题来解决。
那么如何判断和证明以对数函数为载体的函数的单调性问题呢？先看第一道题。
问题4：（幻灯片4）
。 判断函数f (x ) =x 2+1-x )(x
师：大家做完之后可以交流一下看法。
大约三分钟之后，一位同学站了起来，我示意他到前面来板演，边做边讲。
生6：因为y =x 2+1在(-∞, 0) 上是减函数，y =-x 在(-∞, 0) 上也是减函数，所以函数
f (x ) =x 2+1-x ) 在(-∞, 0) 上是减函数。证明过程是这样的：根据函数单调性的定义，作差比较f (x 1) -f (x 2) 与零的关系，转化成比较x 1+1-x 1
x 2+1-x 222与1的关系，利用不等式的基本性质可以得出x 1+1-x 1
x 2+1-x 222即f (x 1) -f (x 2) >0也就是f (x 1) >f (x 2) ，>1，
因此函数f (x ) =x 2+1-x ) 在(-∞, 0) 上是减函数。
另一位同学霍地站起来，我还有一种证明方法。
师：好！快说！我们都在期待你的方法。
生7：因为y =lg x 在(0, +∞) 是增函数，所以我们可以比较真数的大小，即比较x 1+1-x 1
与x 2+1-x 2的大小，利用不等式的基本性质可知x 1+1-x 1>
因此lg(x 1+1-x 1) >lg(x 2+1-x 2) ，即f (x 1) >22222x 2+1-x 2>0，2f (x 2) ，所以函数f (x ) =x 2+1-x ) 在(-∞, 0) 上是减函数。
哗……一阵热烈的掌声。这时又有一位同学站起来了，大家都很惊诧。
生8：能否利用互为反函数的两个函数单调性一致来证明这道题。
师：具体一点.
生9：首先求这个函数的反函数，再证明反函数的单调性。
大家议论开了：这种方法比较麻烦，而且容易出错。
师：大家能否评价一下这三种做法。
生10：第一种是根据对数函数单调性的定义来证明的，第二种也是从函数单调性的定义出发，
直接比较f (x 1) 与f (x 2) 中真数的大小。第三种则是利用互为反函数的两个函数单调性一致来证明的。相对来说，第二种方法比较好一些。
师：他说的非常好！第一种方法大家都容易想到的就是利用定义，第二种方法也是利用定义，
只不过比较对象变了；第三种方法是利用互反的两个函数的关系来做的，想法很好。但运算量较大，而且容易出错。三种方法各有特点，可根据自己的情况适当选择。一般情况下，证明函数的单调性就是要利用函数单调性的定义。我们再来看第二题。
（Ⅲ）演练与反馈
问题5：（幻灯片5）
函数f (x ) =log a x +b (b >0, a >0, 且a ≠1) x -b
(1) 求函数f (x ) 的定义域
(2) 判断函数f (x ) 的单调性并证明
师：这是一道判断含参的函数的单调性问题，大家可以互相交流看法。然后告诉我你们的解
题思路。
生11：根据对数式真数大于零，可得x ∈(-∞, -b ) (b , +∞) 。证明单调性的方法同第4题，只
不过需要对参数进行分类讨论。
师：大家同意他的看法吗？
学生齐声：同意。
师：我们再回头看一下判断和证明函数单调性的两道题，在证明函数单调性的时候，要事先
在定义域中规定x 1与x 2的大小，无论我们用何种手段，只要能比较出f (x 1) 与f (x 2) 的大小，单调性就可判断。
总结：这5道题都是研究有关对数函数单调性的问题，我们处理的办法是从函数单调性的定
义出发，这里对数函数只不过作为一个载体，最后都可归结为：以下三个结论，知其二，必知其一。
①x 1
②f (x 1) ) f (x 2) ，
③f (x ) 是增（减）函数
《对数函数单调性的习题课》教学设计
数学组 张明
教学目标：会用对数函数的单调性解决问题，培养学生数形结合的能力; 培养学生大胆尝试、
团结合作的精神和严谨的态度，以及喜欢数学的兴趣与情感，帮助学生树立学好数学的自信心。
教学重点：对数函数单调性的应用
教学难点：底数a 对对数函数的影响
（Ⅰ）设置情景
复习回顾
师：前面我们学习了对数函数的单调性，请同学们回忆一下对数函数的单调性是如何描述的？ 生1：当a >1时，对数函数y =log a x 在(0, +∞) 内是增函数；
当0
师：今天我们就利用对数函数的单调性来解决一些问题。
（Ⅱ）探求与研究
问题1：（幻灯片1）
11已知01且ab >1, 若m =log a b ，n =log a ，p =log b b b 则下列各式中成立的是() A . p
师：给大家一分钟的讨论时间，然后告诉我结果。
生2：首先观察m 、n 、p 三个式子，可以判断出m 0, p =-1
大小。p 可以写成p =log a 11，此时m 与p 同底，然后比较b 与的大小，因为a a
1，因此m
0, b >0, ab >1，所以b >
全体同学异口同声说：好！
师：回答得非常好！那我们看，比较大小的实质就是“求同”，利用对数函数的单调性来比较。
我们来看第二题
问题2：（幻灯片2）
求函数y =log 0. 2(-x 2+4x +5) 的单调区间
生3：这是一个复合函数，首先要求定义域，我们可令u =-x 2+4x +5，则y =log 0. 2u 在
(0, +∞) 内是减函数，现在我们来求函数u =-x 2+4x +5的单调区间，易得u 在(-1, 2) 是增函数，u 在(2, 5) 是减函数，所以，函数y =log 0. 2(-x 2+4x +5) 在(-1, 2]是减函数，在
[2, 5) 是增函数。
师：看来大家对于求复合函数的单调区间问题掌握的很好，应该注意的问题也注意到了。提
醒大家一句在求函数的单调区间时，若题中没给定义域，要先求定义域。这道题也是对数函数单调性的一个简单应用。我们来看第三题。
问题3：（幻灯片3）
若函数y =log a 2-1(-x ) 在其定义域内是减函数，则a 的取值范围是() A . |a |>1B . |a |2D . 1
师：也给大家一分钟的讨论时间。
生4：我们可以把这个函数看作一个复合函数，令u =-x ，则函数u =-x 在(-∞, 0)
是减函数，若要使函数y =log a 2-1u 在(-∞, 0) 上是减函数，需满足a 2-1>1，解之得|a |>2。
师：他说的完全正确……，还没等我把话说完，一位同学站起来说：我还有一种解法，同学
们都在注视着他。这位学生边板演边讲解
生5：我是从图像的角度考虑的。根据题意，我们可以画出函数y =log a 2-1(-x ) 的草图，根
据图像的对称性，可以画出函数y =log (a 2-1) (-x ) 关于y 轴对称的函数y =log (a 2-1) x 的图
像，知函数y =log (a 2-1) x 在(0, +∞) 是增函数，所以a 2-1>1，即|a |>2。
大家都为他的解法鼓起了掌
师：利用图像的对称性，运用的是数形结合的思想。妙！
我们回头看一下这三道题（比较两个数的大小，求复合函数的单调区间以及求参量的取值范围），最后都化归为对数函数的单调性问题来解决。
那么如何判断和证明以对数函数为载体的函数的单调性问题呢？先看第一道题。
问题4：（幻灯片4）
。 判断函数f (x ) =x 2+1-x )(x
师：大家做完之后可以交流一下看法。
大约三分钟之后，一位同学站了起来，我示意他到前面来板演，边做边讲。
生6：因为y =x 2+1在(-∞, 0) 上是减函数，y =-x 在(-∞, 0) 上也是减函数，所以函数
f (x ) =x 2+1-x ) 在(-∞, 0) 上是减函数。证明过程是这样的：根据函数单调性的定义，作差比较f (x 1) -f (x 2) 与零的关系，转化成比较x 1+1-x 1
x 2+1-x 222与1的关系，利用不等式的基本性质可以得出x 1+1-x 1
x 2+1-x 222即f (x 1) -f (x 2) >0也就是f (x 1) >f (x 2) ，>1，
因此函数f (x ) =x 2+1-x ) 在(-∞, 0) 上是减函数。
另一位同学霍地站起来，我还有一种证明方法。
师：好！快说！我们都在期待你的方法。
生7：因为y =lg x 在(0, +∞) 是增函数，所以我们可以比较真数的大小，即比较x 1+1-x 1
与x 2+1-x 2的大小，利用不等式的基本性质可知x 1+1-x 1>
因此lg(x 1+1-x 1) >lg(x 2+1-x 2) ，即f (x 1) >22222x 2+1-x 2>0，2f (x 2) ，所以函数f (x ) =x 2+1-x ) 在(-∞, 0) 上是减函数。
哗……一阵热烈的掌声。这时又有一位同学站起来了，大家都很惊诧。
生8：能否利用互为反函数的两个函数单调性一致来证明这道题。
师：具体一点.
生9：首先求这个函数的反函数，再证明反函数的单调性。
大家议论开了：这种方法比较麻烦，而且容易出错。
师：大家能否评价一下这三种做法。
生10：第一种是根据对数函数单调性的定义来证明的，第二种也是从函数单调性的定义出发，
直接比较f (x 1) 与f (x 2) 中真数的大小。第三种则是利用互为反函数的两个函数单调性一致来证明的。相对来说，第二种方法比较好一些。
师：他说的非常好！第一种方法大家都容易想到的就是利用定义，第二种方法也是利用定义，
只不过比较对象变了；第三种方法是利用互反的两个函数的关系来做的，想法很好。但运算量较大，而且容易出错。三种方法各有特点，可根据自己的情况适当选择。一般情况下，证明函数的单调性就是要利用函数单调性的定义。我们再来看第二题。
（Ⅲ）演练与反馈
问题5：（幻灯片5）
函数f (x ) =log a x +b (b >0, a >0, 且a ≠1) x -b
(1) 求函数f (x ) 的定义域
(2) 判断函数f (x ) 的单调性并证明
师：这是一道判断含参的函数的单调性问题，大家可以互相交流看法。然后告诉我你们的解
题思路。
生11：根据对数式真数大于零，可得x ∈(-∞, -b ) (b , +∞) 。证明单调性的方法同第4题，只
不过需要对参数进行分类讨论。
师：大家同意他的看法吗？
学生齐声：同意。
师：我们再回头看一下判断和证明函数单调性的两道题，在证明函数单调性的时候，要事先
在定义域中规定x 1与x 2的大小，无论我们用何种手段，只要能比较出f (x 1) 与f (x 2) 的大小，单调性就可判断。
总结：这5道题都是研究有关对数函数单调性的问题，我们处理的办法是从函数单调性的定
义出发，这里对数函数只不过作为一个载体，最后都可归结为：以下三个结论，知其二，必知其一。
①x 1
②f (x 1) ) f (x 2) ，
③f (x ) 是增（减）函数