小学数学符号意识的理解与培养
【前言概况】
●对数学核心素养的理解
数学核心素养是数学学习者在学习数学或学习数学某一个领域所应达成的综合性能力。
数学核心素养是数学的教与学过程应当特别关注的基本素养。《义务教育数学课程标准（2011年版）》(以下简称《标准》）明确提出10个核心素养，即数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识。在《〈义务教育数学课程教准（2011年版) 〉解读》等一些材料中，曾把这些表述称为核心概念，但严格意义上讲，把这些表述称为" 概念" 并不合适，它们是思想、方法或者关于数学的整体理解与把握，是学生数学素养的表现。因此，把这10个表述称为数学核心素养是恰当的。数学核心素养可以理解为学生学习数学应当达成的有特定意义的综合性能力。核心素养不是指具体的知识与技能，也不是一般意义上的数学能力。核心素养基于数学知识技能，又高于具体的数学知识技能。核心素养反映数学本质与数学思想，是在数学学习过程中形成的，具有综合性、阶段性和持久性。数学核心素养与数学课程的目标和内容直接相关，对于理解数学学科本质，设计数学教学，以及开展数学评价等有着重要的意义和价值。
《标准》提出的这些数学核心素养一般与一个或几个学习领域内容有密切的关系。某些
核心素养与单一的学习领域内容相关。例如：
※数感、符号意识、运算能力与“数与代数”领域直接相关。在学习数的认识、数的运
算、字母表示数等内容时与这些核心素养直接联系。数的认识的学习过程有利于形成学生的数感，数感的建立有助于学生对数的理解和把握。
※空间观念与“图形与几何”领域密切相关。学习图形的认识和图形的关系等内容应注
重学生空间观念的发展。学生探索一个正方体有多少个面，怎样求易拉耀的表面积等内容时都需要空间观念的支撑。
※数据分析观念与" 统计与概率" 领域直接相关，数据的收集、整理、呈现和判断的整体
过程是形成学生的数据分析观念的过程。
有些核心素养与几个领域都有密切的关系，不直接指向某个单一的领域，包括几何直观、
推理能力和模型思想。
※几何直观在学习图形与几何、数与代数等领域的内容时都会用到。在解决具体数学问
题时，可以采用画图的方法帮助理解数与代数问题中的数量关系。
※推理能力在几个领域的学习中都会用到。推理在几何中经常运用，特别是初中阶段的
平面几何的证明。在数与代数中也常常用到推理。在小学数学教学中归纳是常用的思维方式。演绎也会经常用到，最简单的在表述一些运算的算理时，其实用到了演择推理的方法。
※模型思想同样在“数与代数”“图形与几何”以及“统计与概率”中都会用到。“实
践意识”与“创新意识”具有综合性、整体性，在“综合与实践”领域中有突出的表现，但不局限于这个方面的内容，应当是贯穿整个小学数学教育全过程。
《小学数学新课程标准》以全新的观点将小学数学内容归纳为“数与代数”“图形与几
何”“统计与概率”“综合与实践”四个学习领域，特别突出地强调了10个学习内容的核心概念，分别是数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想以及应用意识和创新意识。下面结合我的教学实践浅谈我对这些核心概念的认识：
一、数感是人的一种基本数学素养
数感是一种主动地、自觉地或自动化地理解数和运用数的态度与意识，即能用数学的视角去观察现实，又能以数学的思维研究现实，能用数学的方法解决实际问题。数感主要表现在：理解数的意义；能用多种方法来表示数；能在具体的情境中把握数的相对大小关系；能用数来表达和交流信息；能为解决问题而选择适当的算法；能估计运算的结果，并对结果的合理性作出解释。
培养和发展学生的数感，应该注意以下两个方面：1、引导学生联系自己身边具体、有趣的事物；2、注重解决实际问题。
二、在解决问题的过程中发展学生的符号感
符号感是人对符号的意义、符号的作用的理解，以及主动地使用符号的意识和习惯。符号感主要表现在：能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示；理解符号所代表的数量关系和变化规律；会进行符号间的转换；能选择适当的程序和方法解决用符号所表达的问题。
发展学生的符号感可以同时从两方面进行：1、结合数学内容，及时教给学生一些数学符号；2、鼓励学生创造性地使用自己的独特符号。
三、空间观念是培养学生初步的创新精神和实践能力需要的基本要素
空间观念表现为对现实世界里的物体的形状、大小、位置、变化及相互关系的理解与把握。空间观念主要表现在：能由实物的形状想像出几何图形，由几何图形想像出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化。能根据条件做出立体模型或画出图形；能从较复杂的图形中分解出基本的图形，并能分析其中的基本元素及其关系。能描述实物或几何图形的运动和变化；能采用适当的方式描述物体间的位置关系；能运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考。
在实际教学中，我们要把发展学生的空间观念落到实处，增加学生动手实践的机会。
四、数据分析观念的发展与培养
数据分析是指：在现实生活中，有许多问题应当先做调查研究，搜集数据，通过分析做
出判断。体会数据中蕴含着的信息，了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景，选择合适的方法，通过数据分析体验随机性。一方面对于同样的事物、每次收
到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据，就可以从中发现规律，所以说，数据分析是统计的核心。
数据分析观念是人对数据统计活动的体会与理解，是自觉应用统计方法解决问题的意识。
数据分析观念主要表现在：能从统计的角度思考与数据信息有关的问题；能通过收集数据、描述数据、分析数据的过程作出合理的决策，认识到统计对决策的作用；能对数据的来源、处理数据的方法，以及由此得到的结果进行合理的质疑。
发展小学生的数据分析观念，可采用的方法：1、组织学生经历统计活动的全过程；2、培养学生从报刊、杂志、电视等媒体中获取信息的意识，读懂统计图表，并能与同伴交流。
五、大力培养学生的应用意识
应用意识是综合运用已有的知识和经验，经过自主探索和合作交流，解决与生活经验密切联系的、具有一定挑战性和综合性的问题。应用意识主要表现在：认识到现实生活中蕴含着大量的数学信息、数学在现实世界中有着广泛的应用；面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略；面对新的数学知识时，能主动地寻找其实际背景，并探索其应用价值。
培养学生的应用意识，应注意以下几点：1、指导学生选好题目；2、明确活动目标；3、强调自主性与交流的要求；4、总结与评价。
六、注重发展学生的推理能力
合情推理是根据已有的知识和经验，在某种情境和过程中推出可能性结论的推理。归纳推理、类比推理和统计推理是合情推理的主要形式。推理能力主要表现在：能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例；能清晰、有条理地表达自己的思考过程，做到言之有理、落笔有据；在与他人交流的过程中，能运用数学语言、合乎逻辑地进行讨论与质疑。
培养小学生的推理能力, 应该做到以下两点：首先, 把培养学生的推理能力贯穿在日常数
学教学中。其次，把推理能力的培养落实到《标准》的四个内容领域之中。
小学数学符号意识的理解与培养
符号语言是在文字语言的基础上产生的，它把文字语言的主要内容以直观、形象的方式
简练地表示出来，方便地进行表达、交流、思考以及解决问题。数学符号能够精确地表达某种概念、方法、数量关系和逻辑关系，从而为数学交流和进一步学习数学提供了方便。《标准》根据数学的学科和课程特点，把在解决问题的过程中发展学生的“符号感”作为义务教育阶段的一个重要的数学学习内容。
一、如何理解符号感
符号是数学的语言，是人们进行表示、计算、推理、交流和解决问题的工具。学习数学
的目的之一是要使学生懂得符号的意义、会运用符号解决实际问题和数学本身的问题，发展学生的符号感。
《标准》强调发展学生的符号感，并指出：“符号感主要表现在：从具体情境中抽象出
数量关系和变化规律，并用符号来表示；理解符号所代表的数量关系和变化规律；会进行符号间的转换；能选择适当的程序和方法解决用符号所表示的问题。”
1、无论在哪个学段，都应鼓励学生用自己独特的方式表示具体情境中的数量关系和变
化，规律，这是发展学生符号感的决定性因素。
学生已有的生活经验中潜藏着“符号意识”，这是发展学生“符号感”的重要基础。比
如，路口有标志“ ”，表示此路不通；某场地有标志“ ”表示可以停车；还有地图上的各种标识，等等。
从某种意义上讲，我们生活在一个被“符号化”的世界。然而，数学教学中，学会“符
号运算”似乎是一个极大的难题。原因何在？主要的问题在于我们以往的教学不承认学生经验中的“符号世界”，没有给学生提供机会经历“从具体事物→学生个性化的符号表示→学会数学地表示”这一逐步符号化、形式化的过程。例如，在解决“一张桌子最多可以围坐6人，15人至少需要多少张桌子？”这一问题时，有的学生可能会通过实际“排演”找到答案；有的学生可能会用长方形的小片表示桌子，用小圆片表示人，然后通过操作找到答案；还有的学生可能会在白纸上画出下图给出答案。当然，也有的学生会通过列算式求得结果。又如，《标准》在第二学段给出了一个案例：按照3个红气球、2个黄气球、1个绿气球的顺序摆下去，第16个气球的颜色是什么？学生利用经验，可以给出多种解题策略。策略一：红红红黄黄绿红红红黄黄绿红红红黄；策略二：A 表示红气球，B 表示黄气球，C 表示绿气球，AAABBCAAABBCAAAB 。策略三：1表示红气球，2表示黄气球，3表示绿气球，[**************]2。
上述案例表明，“符号感”的发展需要有坚实的经验基础。应促进学生在交流、分享的
过程中，丰富经验，学习符号化的多种途径，逐步体会用数、形将实际问题“符号化”的优越性。
2．引进字母表示是学习数学符号、学会用符号表示具体情境中隐含的数量关系和变化
规律的重要一步。
引进字母表示，是用符号表示数量关系和变化规律的基础。荷兰著名数学家、数学教育
家指出：“代数开始的典型特征是文字演算。”字母作为数学符号有两种作用。首先，字母可作为专用名词，如π是个完全确定的数，或用A 表示两直线交点。显然，特定集合需要使用标准的专用名词，如Z ，N 。其次，字母可作为不确定的名词，就像日常生活中的“人”，可以表示所有的人。
用符号来表示具体情境中的数量关系，也像普通的语言一样，首先需要引进基本的字母。
在数学语言中，像数字以及表示数的字母、表示点的字母、+一×÷等表示运算的符号、=等表示关系的符号等等，都是用数学语言刻画各种现实问题的基础。
从第二学段开始接触用字母表示数，是学习数学符号的重要一步。从研究一个个特定的
数到用字母表示一般的数，是学生认识上的一个飞跃，初学时学生往往会感到困难，或者是形式地死记硬背，而不理解其意义。要尽可能从实际问题中引入，使学生感受到字母表示数的意义。
第一，用字母表示运算法则、运算律以及计算公式。这种一般化是基于算法的，常常开
始于算术中对数的运算。算法的一般化，深化和发展了对数的知识。如加法交换律a+b=b+a，乘法结合律(ab)c=a(bc)等。在这里，字母a ，b ，c 表示任意的实数。代数中用字母表示数，把人们关于数的知识上升到更一般化的水平，使得算术中关于数的理论有了一般化、普遍化的意义，是从算术的实际向代数的抽象的一个飞跃。用符号表示数也是学生学习一般化、形式化地认识和表示研究对象的开始。
第二，用字母表示现实世界和各门学科中的各种数量关系。例如，如果白糖每千克a 元，
那么b 千克自糖的价格是ab 元；匀速运动中的速度u 、时间t 和路程s 的关系是s=ut ；三角形的面积公式是S=1/2ah(a表示三角形某一底边的长，h 表示该底边上的高) 等等。
第三，用字母表示数，便于从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并确切地表示出
来，从而有利于进一步用数学知识去解决问题。例如，我们用字母表示实际问题中的未知量，利用问题中的相等关系列出方程；用字母(例如hy) 表示某一变化过程中相关联的两个变量，利用给出的变量间的相互关系列出函数表达式等等。
对于《标准》所说的“能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示”，
应从以下几方面去理解：
第一，这种表示常常从探索和发现规律以及进行归纳推理开始，然后用代数式一般化地
将它们表示出来。例如，搭1个正方形需要4根火柴棒。(1)按照图中的方式，搭2个正方形需要几根火柴棒？搭3个正方形需要几根火柴棒？(2)搭10个这样的正方形需要多少根火柴棒？(3)搭100个这样的正方形需要多少根火柴棒？你是怎样得到的？(4)如果用z 表示所搭正方形的个数，那么搭z 个这样的正方形需要多少根火柴棒？与同伴进行交流。在搭2个、3
个、10个正方形时，学生们可能会具体数一数火柴棒的根数，但当搭100个时，学生们就需要探索正方形的个数与火柴棒的根数之间的关系，发现火柴棒根数的变化规律。规律是一般性的，需要用字母表示。根据不同的算法，学生可能得到下列四种不同形式的表达式：4+3(z-1)，z+z+(z+1)，1+3z，4z 一(z-1)。
第二，用字母表示的关系或规律通常被用于计算(或预测) 某个未给出的或不易直观得到
的值。如上述问题中，当z=100时，1+3z=1+3×100=301。
第三，用字母表示的关系或规律通常也可用于判断或证明某一个结论。用代数式表示是
由特殊到一般的过程，而由代数式求值和利用数学公式求值是从一般到特殊的过程，可以进一步帮助学生体会字母表示数的意义。应当说明的是，在用字母表示的过程中，学生往往会感到一些困惑。数学家指出：“如果字母作为一个数的不确定名词，那又为什么要用这么多a ，b ，c...... 其实，这就像我们讲到这个人和那个人一样，学生不理解a 怎么能等于b 。你可以告诉他：' 实际上，a 与b 不一定相等，但也可能偶然相等，就像我想像中的人恰好与你想像中的人相同。最本质的一点是要使学生知道字母可以表示某些东西，不同的字母或表达式可表示相同的东西。”对字母可以直接赋值，可以把字母看成具体事物，也可以把字母看成未知数，把字母看成可以取不同值的广义数等，这些都体现了字母表示的意义。另外，字母和表达式在不同的场合有不同的意义，如，5=2z+1表示z 所满足的一个条件，事实上，z 在这里只是占据一个特殊数的位置，可以利用解方程找到它的值；y=2z表示变量之间的关系，z 是自变量，可以取定义域内的任何数，y 是因变量，y 随z 的变化而变化；(a+b)(a-b)=a2-b2表示一个一般化的算法，表示一个恒等式；如果α和b 分别表示矩形的长和宽，S 表示矩形的面积，那么S=ab表示计算矩形面积的公式，同时也表示矩形面积随长和宽的变化而变化的关系。
能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示，是将问题进行一般化的
过程。一般化超越了实际问题的具体情境，深刻地揭示和指明了存在于一类问题中的共性和普遍性，把认识和推理提到一个更高的水平。一般化和符号化对数学活动和数学思考是本质的，一般化是每一个人都要经历的过程。
3．理解符号所代表的数量关系和变化，会把实际问题中的数量关系用符号表示出来。 这包括以下几个方面：
第一，使学生在现实情境中理解符号表示的意义和能解释代数式的意义。如代数式6p 可
以表示什么？学生可以解释为：当p 表示正六边形的边长时，6p 可以表示正六边形的周长；当p 表示一本书的价格时，6p 可以表示6本书的价格；6p 也可以表示一张光盘的价格是一本书的价格的6倍；如果1个长凳可以坐6个小朋友，那么6p 表示p 个长凳可以坐6p
个小朋
友。
第二，用关系式、表格、图象表示变量之间的关系。如，有一张正方形的纸，在它的四
个角分别剪去一个相同的小正方形，制成一个无盖长方体，怎样才能使制成的无盖长方体的体积尽可能大？假设正方形纸的边长为20cm ，剪去的小正方形的边长依次为1cm ，2cm ，3cm ，4cm ，5cm ，6cm ，7cm ，8cm ，9cm ，10cm ，折成的无盖长方体的体积将如何变化？
通过表格，可以观察到当小正方形的边长为3cm 时，无盖长方体的体积最大。我们把小
正方形的边长在2.5cm 和3.5cm 之间进行细化，这时得到，当小正方形的边长为3.5cm 时，无盖长方体的体积最大。我们还可以把小正方形的边长在3cm 到4cm 之间再进行细化。总之，我们可以根据所要求的精确度继续上述过程，直到得出满足要求的结果为止。
会用符号进行表示，也就是会把实际问题中的数量关系用符号表示出来，这个过程叫做
符号化。符号化的问题已经转化为数学问题，随后就是进行符号运算和推理，最后得到结果，这就是数学建模的思想。事实上，我们所熟悉的方程和函数都是某种问题的数学模型。
第三，能从关系式、表格、图象所表示的变量之间的关系中获取所需信息。如，下图是
汽车运动的速度和时间的关系图：
(1)汽车运动的时间范围和速度范围是什么？(2)在最初的15分中，汽车速度的变化有什
么特点？在开出后的第15分，汽车的速度是多少？(3)在以后的15分中，汽车速度的变化可以怎样描述？在第30分时，汽车的速度是多少？(4)在最后的10分中，汽车速度的变化有什么特点？在第40分时，汽车的速度是多少？学生应该能够用语言正确地描述图象所表示的关系，从图中获得以上问题的答案。
4．会进行符号间的转换。
在现实生活中，符号间的转换是丰富多彩的。这里所说的符号间的转换，主要指表示变
量之间关系的表格法、关系式法、图象法和语言表示之间的转换。用多种形式描述和呈现数学对象是一种有效地获得对概念本身或问题背景深入理解的方法，因此多种表示方法不仅可
以加强对概念的理解，也是解决问题的重要策略。
从数学学习心理的角度看，不同的思维形式，它们之间的转换及其表达方式是数学学习
的核心。能把变量之间关系的一种表示形式转换为另一种表示形式，构成数学学习过程中的重要方面。如，某烤鸡店在确定烤鸡的烤制时间时主要依据的是下面表格中的数据：
利用表格我们可以直接地看到鸡的质量和需要烤制的时间，但是如果我们恰好需要烤制
3.2千克的鸡，那么就需要把表格表示的关系转化为关系式表示。用关系式表示：设鸡的质量为w 千克，烤制时间为t 分。从表中可以看出，质量每增加0.5千克，时间增加20分。
实际上，烤制时间t(分) 与鸡的质量w(千克) 的关系式为：t=40w+20。利用关系式我们可
以方便地求出表格中没有给出的数值，如当w=3.2时，t=40×3.2+20=148，即当鸡的质量为
3.2千克时，烤制时间为148分。
不论是从表格表示还是关系式表示，我们都可以容易地转化为图象表示。图象对于理解
变量之间的关系具有十分重要的意义，图象表示以其直观性有着其他的表示方式所不能替代的作用，图象将关系式和数据转化为几何形式，因此，图象是“看见”相应的关系和变化情
况的途经之一。这几种表示之间是互相联系的，一种表示的改变会影响到另一种表示的改变。
5. 能选择适当的程序和方法解决用符号所表示的问题。
解决问题的第一步是将问题用符号进行表示，也就是进行符号化。第二步是选择算法，
进行符号运算。第一步是把实际问题转化为数学问题，即数学化，第二步是在数学内部的推理、运算等。比如，我们将一个实际问题表示为一个一元二次方程，然后根据方程我们选择用公式法去求解。会进行符号运算也是很重要的。
小学数学课标修订后，对学生符号意识培养做出了更加具体的要求。新版课标对此在学
习内容中提出：符号意识主要是指能够理解并运用符号表示数，数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行一般性的计算和推理。建立符号意识“有助于帮助学生理解符号使用是数学表达和进行数学思考的重要形式”。
二、符号意识在小学数学中的重要性
英国大数学家、逻辑学家罗素说过：什么事数学？数学就是符号+逻辑。数学符号是数学
语言，是人们进行表达、计算、推理、交流和解决问题的工具。在数学教学中，我们要培养学生完成从日常语言→ 数学语言→符号语言的转换。学生建立符号意识，可以准确表达数学思想，避免日常语言的繁复，冗长或含混不清。如：
系统的运用符号，可以帮助学生简明的表达数学思想，从而简化数学运算或推理过程，加快数学思维的速度，促进数学思想的交流。
三、符号分类
从数理逻辑的观点来看，在小学阶段，符号可以分为以下几类：
1、对象符号。它又可以分为个体对象符号和可变对象符号。个体对象符号：如数（自然数、小数、分数等）、π等。可变对象符号：如x 、y 等未知量或变量，用字母表示几何中的点、线、面等。
2、关系符号：如=、＞、＜、⊥、∥等。
3、运算符号：个体运算符号，如+、－、×、÷等；小学以算术运算符号为主，第二学段开始出现少量的可变运算符号，即：平方、立方。
4、结合符号：它规定了算术运算的顺序，如：（）、[ ]、｛｝。
5、结论符号：如公式、定律、数量关系等。
6、标点符号：如分节号“' ”、省略号“„”（用于无限小数）等。
7、性质符号：如正号+；负号-等。
四、符号意识培养的途径
《标准》认为，必须要对符号运算进行训练，要适当地、分阶段地进行一定数量的符号运算。但是并不主张进行过繁的形式运算训练。学生符号感的发展不是一朝一夕就可以完成的，而应贯穿于数学学习的全过程，伴随着学生数学思维的提高逐步发展。
为发展学生的符号感，在数学教学中，教师应尽量给学生提供机会经历从“具体事物的认识——个性化的符号表示——学会数学表示”这一个逐步符号化、形式化的过程。
(一) 经历过程——感知符号的意义
数学的显著特点是形式化、符号化，每一个概念或关系都有确定的符号表示。用字母和符号表示数及其运算或关系是代数学的一个基本特征。数学中的符号语言有其系统的特定含义，它与自然语言相比，具有简练性、准确性、直观性和形式化的显著特点。它反映了表达意义的内在结构和逻辑关系，成为表达特定思想的载体和诱导思维的刺激物。儿童的思维以具体的形象思维为主，抽象的符号对他们来说较枯燥、空洞，难以激发兴趣，教师要创设情景，使他们对所学内容感兴趣，唤起已有的经验，经历把知识符号化的过程。从第二学段
开始接触用字母表示数，是学习数学符号的重要一步，但也是比较困难的一步。因此要尽可能从实际问题引入，从具体的、确定的数引入用字母表示的数，做好由具体到抽象的引导，由特殊到一般的概括，采用逐步渗透的方法，发展用字母表示数的能力。
如：解释算理。要一般性的解释一种规则，必须借用符号。比如，解释加法交换律的教学步骤可以是这样的，先让学生作一些与交换律有关的数字例子：
通过这些例子，可以启发学生猜想，这个结果是不是一般性地成立呢？如果一般性成立，那么应当如何表达这个结果呢？引导学生思考：如果用 a 和 b 表示两个数，类比上面的数字结果，一般的结果是不是可以写成这样的等式？通过学生解答，初步发现不同算法间的联系，接着让学生举出类似的等式，并对这些等式进行分析和比较，引导学生主动地探究规律，发现规律，同时，教材从用符号表示规律过渡到用字母的式子表示这些规律，使得规律的表达更加准确、简明、形象，既便于掌握，又发展了他们的符号感，也为后面教学用字母表示数做好了铺垫。这是通过归纳推理提出猜测的思维过程，这是一个从具体走向一般的思维过程。从这个例子可以看到，只有通过符号才能清晰地表达一般性的结果。
又如：两个和为 10 的自然数可以组成数对，那么，都可以组成怎样的数对呢？这个问题可以参见《义务教育数学课程标准》的例 10 。对于这样的问题，低学段学生的回答可能非常随机，比如 3 和 7 、 4 和 6 等等。这样回答问题往往会出现重复或遗漏，因此，教师要引导学生有规律地思考问题，这就需要借助符号（或者图形）进行表达。比如，如果其中一个不超过 10 的自然数是 a ，那么，另一个自然数就是 10-a ，组成的数对是 (a ， 10-a) 。这样就可以有规律地回答问题：
由此可以看到，有规律地回答问题可以避免杂乱无章、是一种理性的表现。特别是有规律地回答问题可以从中发现一些共性的东西，参见下面关于方程的讨论。因此，在这样的教学过程中，可以培养学生有序思维的习惯，积累数学思维的基本经验。
(二) 数形结合——培养符号的意识
符号的认识和理解，几乎伴随了学生数学学习的全过程。如何帮助学生建立符号意识呢？要尽可能在实际问题情境中帮助学生理解符号以及表达式、关系式的意义，在解决实际问题中发展学生的符号感。在教材编写与教学中，对符号演算的处理应尽量避免让学生机械地练
习和记忆，而应增加实际背景、探索过程、几何解释等，以帮助学生理解。如果说代数是一种语言的话，则数字和字母就是这种语言的“字母”，表达式就是这种语言的“词”，关系式(如等式、不等式) 就是这种语言的“句子”。既然是语言，就会有相应的语法，代数的语法就是各种符号演算的法则和规定等。只有学习、熟悉、掌握代数这种语言的语法，才能利用代数这种语言进行推理、计算、交流和解决问题。
1、数学的产生和发展与现实生活密不可分。在学生感知数学符号的意义时，教师如果能创设具体的问题情境，帮助学生准确把握付符号的意义，将会起到事半功倍的效果。
如在北师大版一年级数学中“数的认识”中，课本通过实物，图片，在具体情境中出现了很多包含数字的人、动物、小树、小鸟„„学生在此基础上就逐步会认识到数字在生活中的实际意义，如1根手指，3只小鸟，4个苹果„„，当以后学生见到这些数字的时候就会很自然的想起这些数字所代表的意义。这就是对数量和数字的符号化。这样的学习过程，结合具体情境，能让学生了解数学符号产生的需要，体会到只有使用符号，才能清楚、简便的表达这些具体情境中的数量和变化规律。
数学符号是抽象思维的结晶与基础。如果不了解其含义与功能，它就如同天书一样令人望而却步；然而只要细加分析，即可发现符号化给数学理论的表达带来的极大的方便，甚至是必不可少的。因而要让学生真正建立符号意识，就应该在具体情境中加强学生对符号含义和实质的理解。
2、符号意识的建立是一个逐步的过程。生活中的符号很多，如：表示禁止进入，表示人行道„„从某种意义上说，我们生活在一个符号化的世界里。在数学课上，我们可以充分利用学生潜在的符号意识，给学生提供有效的机会，让学生经历从“具体事物→学生个性化符号→学会数学化的表示”这一逐步数学符号化的过程。
如在“有余数除法”教学中，有这样一个问题：在小路边种树，每两棵柳树之间栽一棵桃树，第一棵是桃树，那么第101棵是什么树？这样的题目光让学生思考，确实有点困难。怎么办呢？在课堂让学生交流讨论中，学生各抒己见，有的说可以拿东西摆一摆；有的说可以画一画看„„经过学生实践，很容易得到用符号分别表示柳树和桃树，画图找规律最方便。比如用□表示柳树，用○表示桃树；学生用符号表示出植树的规律，就很容易解决这个问题了。还有在分析问题是用到的线段图，也是很直观的符号。
又如，在一年级“认数”单元，教材十分注意加强对数的实际意义的理解，在认识了1—5以后，教学几和第几的认识，让学生联系生活经验，体会一个数可以用来表示物体的个数，也可以用来表示物体排列的顷序。教材还十分重视帮助学生建立数的大小概念，把握数的大小关系。在教学“=”“>”“
在此基础上用数形结合的方法抽象出“4=4”，认识并理解“=”的含义，使学生知道，当两个物体个数“同样多”时，可以用“=”来表示。接着引导学生比较运动会上松鼠和小熊的只数，通过一一对应的排列，使学生明确松鼠只数比小熊多，小熊只数比松鼠少，从而建立“多”“少”的概念，并以此为基础还用数形结合的方法抽象出“5>3”和“3”“”“
（三）实践活动——深化符号的运用
学生在生活中接触很多用符号来表示的情境，使学生积累了很多潜藏的“符号意识”，这是培养学生符号感的重要基础。数学符号的学习过程应遵循从感性→理性→运用的辩证过程。因此，教学中教师要关注学生已有的符号经验，将数学教学设计成看得见、摸得着的物质化实践活动，在解决问题中熟练符号的使用。
例如：唱儿歌——《数青蛙》
一只青蛙一张嘴，两只眼睛四条腿；
两只青蛙两张嘴，四只眼睛八条腿；
三只青蛙三张嘴，六只眼睛十二条腿；
„„
让学生边拍手边有节奏地哼唱着，与此同时课件不断显示更多的青蛙，直到多的数不清。这时赵老师问：“还能唱吗？”学生感到有困难了，于是教师发给学生每人一个小条，提出问题：这是一首永远唱不完的儿歌，你能想办法把它唱完吗？
学生在练习纸上填：
生 1 ：无数只青蛙无数张嘴，无数只眼睛无数条腿。
生 2 ： a 只青蛙 b 张嘴， c 只眼睛 d 条腿。
生 3 ： a 只青蛙 a 张嘴， b 只眼睛 c 条腿。
生 4 ： a 只青蛙 a 张嘴， aa 只眼睛 aaaa 条腿。
生 5 ： a 只青蛙 a 张嘴， 2a 只眼睛 4a 条腿。
通过倾听学生的发言与交流，展现了学生不同的结论及不同的思维层次：生 1 还没有走到“用字母表示数”这步，还停留在用语言来描述数量及关系；生 2 虽然走到“用字母表示数”这步，但没有表示出数量关系；生 3 走近了“用字母表示数”，有了一定的数量关系，但是不全面；生 4 走近了“用字母表示数”，明白数量关系，但是表示不准确，有待教师的引导；生 5 真正走进了“用字母表示数”，既用字母表示出了数，又准确地表示出了数量之间的关系。
老师在课堂上通过这样一个学生喜欢的、生动的“说儿歌”活动，让学生在数的过程中感受到“数”的具体，并由此产生寻求更简洁、更概括的表示方法的心理需求。这为“字母表示数”的引出奠定了积极而充分的情感基础。这个过程既是新知识的学习过程，更是学生由原有的算术思维水平不断向代数思维水平迈进的过程。孩子们在儿歌一句句的诵读中，完成了思维水平的提升，完成了从数的具体到字母抽象的过渡。在此过程中，教师要紧紧把握好符号意识。学生在唱儿歌的过程中，将发现其中的规律，并运用字母表示任意只青蛙，从而体会引进字母表示数的必要性和符号表示的“概括”作用。他们还可以运用字母表示以前学过的法则和公式（如加法运算律、乘法运算律、长方形面积公式、圆柱体积公式、路程速度时间的关系），在表示公式和法则的活动中，学生将进一步体会字母的“概括”作用，从而运用字母及其运算可以表示一般的规律。
小学数学符号意识的理解与培养
【前言概况】
●对数学核心素养的理解
数学核心素养是数学学习者在学习数学或学习数学某一个领域所应达成的综合性能力。
数学核心素养是数学的教与学过程应当特别关注的基本素养。《义务教育数学课程标准（2011年版）》(以下简称《标准》）明确提出10个核心素养，即数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识。在《〈义务教育数学课程教准（2011年版) 〉解读》等一些材料中，曾把这些表述称为核心概念，但严格意义上讲，把这些表述称为" 概念" 并不合适，它们是思想、方法或者关于数学的整体理解与把握，是学生数学素养的表现。因此，把这10个表述称为数学核心素养是恰当的。数学核心素养可以理解为学生学习数学应当达成的有特定意义的综合性能力。核心素养不是指具体的知识与技能，也不是一般意义上的数学能力。核心素养基于数学知识技能，又高于具体的数学知识技能。核心素养反映数学本质与数学思想，是在数学学习过程中形成的，具有综合性、阶段性和持久性。数学核心素养与数学课程的目标和内容直接相关，对于理解数学学科本质，设计数学教学，以及开展数学评价等有着重要的意义和价值。
《标准》提出的这些数学核心素养一般与一个或几个学习领域内容有密切的关系。某些
核心素养与单一的学习领域内容相关。例如：
※数感、符号意识、运算能力与“数与代数”领域直接相关。在学习数的认识、数的运
算、字母表示数等内容时与这些核心素养直接联系。数的认识的学习过程有利于形成学生的数感，数感的建立有助于学生对数的理解和把握。
※空间观念与“图形与几何”领域密切相关。学习图形的认识和图形的关系等内容应注
重学生空间观念的发展。学生探索一个正方体有多少个面，怎样求易拉耀的表面积等内容时都需要空间观念的支撑。
※数据分析观念与" 统计与概率" 领域直接相关，数据的收集、整理、呈现和判断的整体
过程是形成学生的数据分析观念的过程。
有些核心素养与几个领域都有密切的关系，不直接指向某个单一的领域，包括几何直观、
推理能力和模型思想。
※几何直观在学习图形与几何、数与代数等领域的内容时都会用到。在解决具体数学问
题时，可以采用画图的方法帮助理解数与代数问题中的数量关系。
※推理能力在几个领域的学习中都会用到。推理在几何中经常运用，特别是初中阶段的
平面几何的证明。在数与代数中也常常用到推理。在小学数学教学中归纳是常用的思维方式。演绎也会经常用到，最简单的在表述一些运算的算理时，其实用到了演择推理的方法。
※模型思想同样在“数与代数”“图形与几何”以及“统计与概率”中都会用到。“实
践意识”与“创新意识”具有综合性、整体性，在“综合与实践”领域中有突出的表现，但不局限于这个方面的内容，应当是贯穿整个小学数学教育全过程。
《小学数学新课程标准》以全新的观点将小学数学内容归纳为“数与代数”“图形与几
何”“统计与概率”“综合与实践”四个学习领域，特别突出地强调了10个学习内容的核心概念，分别是数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想以及应用意识和创新意识。下面结合我的教学实践浅谈我对这些核心概念的认识：
一、数感是人的一种基本数学素养
数感是一种主动地、自觉地或自动化地理解数和运用数的态度与意识，即能用数学的视角去观察现实，又能以数学的思维研究现实，能用数学的方法解决实际问题。数感主要表现在：理解数的意义；能用多种方法来表示数；能在具体的情境中把握数的相对大小关系；能用数来表达和交流信息；能为解决问题而选择适当的算法；能估计运算的结果，并对结果的合理性作出解释。
培养和发展学生的数感，应该注意以下两个方面：1、引导学生联系自己身边具体、有趣的事物；2、注重解决实际问题。
二、在解决问题的过程中发展学生的符号感
符号感是人对符号的意义、符号的作用的理解，以及主动地使用符号的意识和习惯。符号感主要表现在：能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示；理解符号所代表的数量关系和变化规律；会进行符号间的转换；能选择适当的程序和方法解决用符号所表达的问题。
发展学生的符号感可以同时从两方面进行：1、结合数学内容，及时教给学生一些数学符号；2、鼓励学生创造性地使用自己的独特符号。
三、空间观念是培养学生初步的创新精神和实践能力需要的基本要素
空间观念表现为对现实世界里的物体的形状、大小、位置、变化及相互关系的理解与把握。空间观念主要表现在：能由实物的形状想像出几何图形，由几何图形想像出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化。能根据条件做出立体模型或画出图形；能从较复杂的图形中分解出基本的图形，并能分析其中的基本元素及其关系。能描述实物或几何图形的运动和变化；能采用适当的方式描述物体间的位置关系；能运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考。
在实际教学中，我们要把发展学生的空间观念落到实处，增加学生动手实践的机会。
四、数据分析观念的发展与培养
数据分析是指：在现实生活中，有许多问题应当先做调查研究，搜集数据，通过分析做
出判断。体会数据中蕴含着的信息，了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景，选择合适的方法，通过数据分析体验随机性。一方面对于同样的事物、每次收
到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据，就可以从中发现规律，所以说，数据分析是统计的核心。
数据分析观念是人对数据统计活动的体会与理解，是自觉应用统计方法解决问题的意识。
数据分析观念主要表现在：能从统计的角度思考与数据信息有关的问题；能通过收集数据、描述数据、分析数据的过程作出合理的决策，认识到统计对决策的作用；能对数据的来源、处理数据的方法，以及由此得到的结果进行合理的质疑。
发展小学生的数据分析观念，可采用的方法：1、组织学生经历统计活动的全过程；2、培养学生从报刊、杂志、电视等媒体中获取信息的意识，读懂统计图表，并能与同伴交流。
五、大力培养学生的应用意识
应用意识是综合运用已有的知识和经验，经过自主探索和合作交流，解决与生活经验密切联系的、具有一定挑战性和综合性的问题。应用意识主要表现在：认识到现实生活中蕴含着大量的数学信息、数学在现实世界中有着广泛的应用；面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略；面对新的数学知识时，能主动地寻找其实际背景，并探索其应用价值。
培养学生的应用意识，应注意以下几点：1、指导学生选好题目；2、明确活动目标；3、强调自主性与交流的要求；4、总结与评价。
六、注重发展学生的推理能力
合情推理是根据已有的知识和经验，在某种情境和过程中推出可能性结论的推理。归纳推理、类比推理和统计推理是合情推理的主要形式。推理能力主要表现在：能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例；能清晰、有条理地表达自己的思考过程，做到言之有理、落笔有据；在与他人交流的过程中，能运用数学语言、合乎逻辑地进行讨论与质疑。
培养小学生的推理能力, 应该做到以下两点：首先, 把培养学生的推理能力贯穿在日常数
学教学中。其次，把推理能力的培养落实到《标准》的四个内容领域之中。
小学数学符号意识的理解与培养
符号语言是在文字语言的基础上产生的，它把文字语言的主要内容以直观、形象的方式
简练地表示出来，方便地进行表达、交流、思考以及解决问题。数学符号能够精确地表达某种概念、方法、数量关系和逻辑关系，从而为数学交流和进一步学习数学提供了方便。《标准》根据数学的学科和课程特点，把在解决问题的过程中发展学生的“符号感”作为义务教育阶段的一个重要的数学学习内容。
一、如何理解符号感
符号是数学的语言，是人们进行表示、计算、推理、交流和解决问题的工具。学习数学
的目的之一是要使学生懂得符号的意义、会运用符号解决实际问题和数学本身的问题，发展学生的符号感。
《标准》强调发展学生的符号感，并指出：“符号感主要表现在：从具体情境中抽象出
数量关系和变化规律，并用符号来表示；理解符号所代表的数量关系和变化规律；会进行符号间的转换；能选择适当的程序和方法解决用符号所表示的问题。”
1、无论在哪个学段，都应鼓励学生用自己独特的方式表示具体情境中的数量关系和变
化，规律，这是发展学生符号感的决定性因素。
学生已有的生活经验中潜藏着“符号意识”，这是发展学生“符号感”的重要基础。比
如，路口有标志“ ”，表示此路不通；某场地有标志“ ”表示可以停车；还有地图上的各种标识，等等。
从某种意义上讲，我们生活在一个被“符号化”的世界。然而，数学教学中，学会“符
号运算”似乎是一个极大的难题。原因何在？主要的问题在于我们以往的教学不承认学生经验中的“符号世界”，没有给学生提供机会经历“从具体事物→学生个性化的符号表示→学会数学地表示”这一逐步符号化、形式化的过程。例如，在解决“一张桌子最多可以围坐6人，15人至少需要多少张桌子？”这一问题时，有的学生可能会通过实际“排演”找到答案；有的学生可能会用长方形的小片表示桌子，用小圆片表示人，然后通过操作找到答案；还有的学生可能会在白纸上画出下图给出答案。当然，也有的学生会通过列算式求得结果。又如，《标准》在第二学段给出了一个案例：按照3个红气球、2个黄气球、1个绿气球的顺序摆下去，第16个气球的颜色是什么？学生利用经验，可以给出多种解题策略。策略一：红红红黄黄绿红红红黄黄绿红红红黄；策略二：A 表示红气球，B 表示黄气球，C 表示绿气球，AAABBCAAABBCAAAB 。策略三：1表示红气球，2表示黄气球，3表示绿气球，[**************]2。
上述案例表明，“符号感”的发展需要有坚实的经验基础。应促进学生在交流、分享的
过程中，丰富经验，学习符号化的多种途径，逐步体会用数、形将实际问题“符号化”的优越性。
2．引进字母表示是学习数学符号、学会用符号表示具体情境中隐含的数量关系和变化
规律的重要一步。
引进字母表示，是用符号表示数量关系和变化规律的基础。荷兰著名数学家、数学教育
家指出：“代数开始的典型特征是文字演算。”字母作为数学符号有两种作用。首先，字母可作为专用名词，如π是个完全确定的数，或用A 表示两直线交点。显然，特定集合需要使用标准的专用名词，如Z ，N 。其次，字母可作为不确定的名词，就像日常生活中的“人”，可以表示所有的人。
用符号来表示具体情境中的数量关系，也像普通的语言一样，首先需要引进基本的字母。
在数学语言中，像数字以及表示数的字母、表示点的字母、+一×÷等表示运算的符号、=等表示关系的符号等等，都是用数学语言刻画各种现实问题的基础。
从第二学段开始接触用字母表示数，是学习数学符号的重要一步。从研究一个个特定的
数到用字母表示一般的数，是学生认识上的一个飞跃，初学时学生往往会感到困难，或者是形式地死记硬背，而不理解其意义。要尽可能从实际问题中引入，使学生感受到字母表示数的意义。
第一，用字母表示运算法则、运算律以及计算公式。这种一般化是基于算法的，常常开
始于算术中对数的运算。算法的一般化，深化和发展了对数的知识。如加法交换律a+b=b+a，乘法结合律(ab)c=a(bc)等。在这里，字母a ，b ，c 表示任意的实数。代数中用字母表示数，把人们关于数的知识上升到更一般化的水平，使得算术中关于数的理论有了一般化、普遍化的意义，是从算术的实际向代数的抽象的一个飞跃。用符号表示数也是学生学习一般化、形式化地认识和表示研究对象的开始。
第二，用字母表示现实世界和各门学科中的各种数量关系。例如，如果白糖每千克a 元，
那么b 千克自糖的价格是ab 元；匀速运动中的速度u 、时间t 和路程s 的关系是s=ut ；三角形的面积公式是S=1/2ah(a表示三角形某一底边的长，h 表示该底边上的高) 等等。
第三，用字母表示数，便于从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并确切地表示出
来，从而有利于进一步用数学知识去解决问题。例如，我们用字母表示实际问题中的未知量，利用问题中的相等关系列出方程；用字母(例如hy) 表示某一变化过程中相关联的两个变量，利用给出的变量间的相互关系列出函数表达式等等。
对于《标准》所说的“能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示”，
应从以下几方面去理解：
第一，这种表示常常从探索和发现规律以及进行归纳推理开始，然后用代数式一般化地
将它们表示出来。例如，搭1个正方形需要4根火柴棒。(1)按照图中的方式，搭2个正方形需要几根火柴棒？搭3个正方形需要几根火柴棒？(2)搭10个这样的正方形需要多少根火柴棒？(3)搭100个这样的正方形需要多少根火柴棒？你是怎样得到的？(4)如果用z 表示所搭正方形的个数，那么搭z 个这样的正方形需要多少根火柴棒？与同伴进行交流。在搭2个、3
个、10个正方形时，学生们可能会具体数一数火柴棒的根数，但当搭100个时，学生们就需要探索正方形的个数与火柴棒的根数之间的关系，发现火柴棒根数的变化规律。规律是一般性的，需要用字母表示。根据不同的算法，学生可能得到下列四种不同形式的表达式：4+3(z-1)，z+z+(z+1)，1+3z，4z 一(z-1)。
第二，用字母表示的关系或规律通常被用于计算(或预测) 某个未给出的或不易直观得到
的值。如上述问题中，当z=100时，1+3z=1+3×100=301。
第三，用字母表示的关系或规律通常也可用于判断或证明某一个结论。用代数式表示是
由特殊到一般的过程，而由代数式求值和利用数学公式求值是从一般到特殊的过程，可以进一步帮助学生体会字母表示数的意义。应当说明的是，在用字母表示的过程中，学生往往会感到一些困惑。数学家指出：“如果字母作为一个数的不确定名词，那又为什么要用这么多a ，b ，c...... 其实，这就像我们讲到这个人和那个人一样，学生不理解a 怎么能等于b 。你可以告诉他：' 实际上，a 与b 不一定相等，但也可能偶然相等，就像我想像中的人恰好与你想像中的人相同。最本质的一点是要使学生知道字母可以表示某些东西，不同的字母或表达式可表示相同的东西。”对字母可以直接赋值，可以把字母看成具体事物，也可以把字母看成未知数，把字母看成可以取不同值的广义数等，这些都体现了字母表示的意义。另外，字母和表达式在不同的场合有不同的意义，如，5=2z+1表示z 所满足的一个条件，事实上，z 在这里只是占据一个特殊数的位置，可以利用解方程找到它的值；y=2z表示变量之间的关系，z 是自变量，可以取定义域内的任何数，y 是因变量，y 随z 的变化而变化；(a+b)(a-b)=a2-b2表示一个一般化的算法，表示一个恒等式；如果α和b 分别表示矩形的长和宽，S 表示矩形的面积，那么S=ab表示计算矩形面积的公式，同时也表示矩形面积随长和宽的变化而变化的关系。
能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示，是将问题进行一般化的
过程。一般化超越了实际问题的具体情境，深刻地揭示和指明了存在于一类问题中的共性和普遍性，把认识和推理提到一个更高的水平。一般化和符号化对数学活动和数学思考是本质的，一般化是每一个人都要经历的过程。
3．理解符号所代表的数量关系和变化，会把实际问题中的数量关系用符号表示出来。 这包括以下几个方面：
第一，使学生在现实情境中理解符号表示的意义和能解释代数式的意义。如代数式6p 可
以表示什么？学生可以解释为：当p 表示正六边形的边长时，6p 可以表示正六边形的周长；当p 表示一本书的价格时，6p 可以表示6本书的价格；6p 也可以表示一张光盘的价格是一本书的价格的6倍；如果1个长凳可以坐6个小朋友，那么6p 表示p 个长凳可以坐6p
个小朋
友。
第二，用关系式、表格、图象表示变量之间的关系。如，有一张正方形的纸，在它的四
个角分别剪去一个相同的小正方形，制成一个无盖长方体，怎样才能使制成的无盖长方体的体积尽可能大？假设正方形纸的边长为20cm ，剪去的小正方形的边长依次为1cm ，2cm ，3cm ，4cm ，5cm ，6cm ，7cm ，8cm ，9cm ，10cm ，折成的无盖长方体的体积将如何变化？
通过表格，可以观察到当小正方形的边长为3cm 时，无盖长方体的体积最大。我们把小
正方形的边长在2.5cm 和3.5cm 之间进行细化，这时得到，当小正方形的边长为3.5cm 时，无盖长方体的体积最大。我们还可以把小正方形的边长在3cm 到4cm 之间再进行细化。总之，我们可以根据所要求的精确度继续上述过程，直到得出满足要求的结果为止。
会用符号进行表示，也就是会把实际问题中的数量关系用符号表示出来，这个过程叫做
符号化。符号化的问题已经转化为数学问题，随后就是进行符号运算和推理，最后得到结果，这就是数学建模的思想。事实上，我们所熟悉的方程和函数都是某种问题的数学模型。
第三，能从关系式、表格、图象所表示的变量之间的关系中获取所需信息。如，下图是
汽车运动的速度和时间的关系图：
(1)汽车运动的时间范围和速度范围是什么？(2)在最初的15分中，汽车速度的变化有什
么特点？在开出后的第15分，汽车的速度是多少？(3)在以后的15分中，汽车速度的变化可以怎样描述？在第30分时，汽车的速度是多少？(4)在最后的10分中，汽车速度的变化有什么特点？在第40分时，汽车的速度是多少？学生应该能够用语言正确地描述图象所表示的关系，从图中获得以上问题的答案。
4．会进行符号间的转换。
在现实生活中，符号间的转换是丰富多彩的。这里所说的符号间的转换，主要指表示变
量之间关系的表格法、关系式法、图象法和语言表示之间的转换。用多种形式描述和呈现数学对象是一种有效地获得对概念本身或问题背景深入理解的方法，因此多种表示方法不仅可
以加强对概念的理解，也是解决问题的重要策略。
从数学学习心理的角度看，不同的思维形式，它们之间的转换及其表达方式是数学学习
的核心。能把变量之间关系的一种表示形式转换为另一种表示形式，构成数学学习过程中的重要方面。如，某烤鸡店在确定烤鸡的烤制时间时主要依据的是下面表格中的数据：
利用表格我们可以直接地看到鸡的质量和需要烤制的时间，但是如果我们恰好需要烤制
3.2千克的鸡，那么就需要把表格表示的关系转化为关系式表示。用关系式表示：设鸡的质量为w 千克，烤制时间为t 分。从表中可以看出，质量每增加0.5千克，时间增加20分。
实际上，烤制时间t(分) 与鸡的质量w(千克) 的关系式为：t=40w+20。利用关系式我们可
以方便地求出表格中没有给出的数值，如当w=3.2时，t=40×3.2+20=148，即当鸡的质量为
3.2千克时，烤制时间为148分。
不论是从表格表示还是关系式表示，我们都可以容易地转化为图象表示。图象对于理解
变量之间的关系具有十分重要的意义，图象表示以其直观性有着其他的表示方式所不能替代的作用，图象将关系式和数据转化为几何形式，因此，图象是“看见”相应的关系和变化情
况的途经之一。这几种表示之间是互相联系的，一种表示的改变会影响到另一种表示的改变。
5. 能选择适当的程序和方法解决用符号所表示的问题。
解决问题的第一步是将问题用符号进行表示，也就是进行符号化。第二步是选择算法，
进行符号运算。第一步是把实际问题转化为数学问题，即数学化，第二步是在数学内部的推理、运算等。比如，我们将一个实际问题表示为一个一元二次方程，然后根据方程我们选择用公式法去求解。会进行符号运算也是很重要的。
小学数学课标修订后，对学生符号意识培养做出了更加具体的要求。新版课标对此在学
习内容中提出：符号意识主要是指能够理解并运用符号表示数，数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行一般性的计算和推理。建立符号意识“有助于帮助学生理解符号使用是数学表达和进行数学思考的重要形式”。
二、符号意识在小学数学中的重要性
英国大数学家、逻辑学家罗素说过：什么事数学？数学就是符号+逻辑。数学符号是数学
语言，是人们进行表达、计算、推理、交流和解决问题的工具。在数学教学中，我们要培养学生完成从日常语言→ 数学语言→符号语言的转换。学生建立符号意识，可以准确表达数学思想，避免日常语言的繁复，冗长或含混不清。如：
系统的运用符号，可以帮助学生简明的表达数学思想，从而简化数学运算或推理过程，加快数学思维的速度，促进数学思想的交流。
三、符号分类
从数理逻辑的观点来看，在小学阶段，符号可以分为以下几类：
1、对象符号。它又可以分为个体对象符号和可变对象符号。个体对象符号：如数（自然数、小数、分数等）、π等。可变对象符号：如x 、y 等未知量或变量，用字母表示几何中的点、线、面等。
2、关系符号：如=、＞、＜、⊥、∥等。
3、运算符号：个体运算符号，如+、－、×、÷等；小学以算术运算符号为主，第二学段开始出现少量的可变运算符号，即：平方、立方。
4、结合符号：它规定了算术运算的顺序，如：（）、[ ]、｛｝。
5、结论符号：如公式、定律、数量关系等。
6、标点符号：如分节号“' ”、省略号“„”（用于无限小数）等。
7、性质符号：如正号+；负号-等。
四、符号意识培养的途径
《标准》认为，必须要对符号运算进行训练，要适当地、分阶段地进行一定数量的符号运算。但是并不主张进行过繁的形式运算训练。学生符号感的发展不是一朝一夕就可以完成的，而应贯穿于数学学习的全过程，伴随着学生数学思维的提高逐步发展。
为发展学生的符号感，在数学教学中，教师应尽量给学生提供机会经历从“具体事物的认识——个性化的符号表示——学会数学表示”这一个逐步符号化、形式化的过程。
(一) 经历过程——感知符号的意义
数学的显著特点是形式化、符号化，每一个概念或关系都有确定的符号表示。用字母和符号表示数及其运算或关系是代数学的一个基本特征。数学中的符号语言有其系统的特定含义，它与自然语言相比，具有简练性、准确性、直观性和形式化的显著特点。它反映了表达意义的内在结构和逻辑关系，成为表达特定思想的载体和诱导思维的刺激物。儿童的思维以具体的形象思维为主，抽象的符号对他们来说较枯燥、空洞，难以激发兴趣，教师要创设情景，使他们对所学内容感兴趣，唤起已有的经验，经历把知识符号化的过程。从第二学段
开始接触用字母表示数，是学习数学符号的重要一步，但也是比较困难的一步。因此要尽可能从实际问题引入，从具体的、确定的数引入用字母表示的数，做好由具体到抽象的引导，由特殊到一般的概括，采用逐步渗透的方法，发展用字母表示数的能力。
如：解释算理。要一般性的解释一种规则，必须借用符号。比如，解释加法交换律的教学步骤可以是这样的，先让学生作一些与交换律有关的数字例子：
通过这些例子，可以启发学生猜想，这个结果是不是一般性地成立呢？如果一般性成立，那么应当如何表达这个结果呢？引导学生思考：如果用 a 和 b 表示两个数，类比上面的数字结果，一般的结果是不是可以写成这样的等式？通过学生解答，初步发现不同算法间的联系，接着让学生举出类似的等式，并对这些等式进行分析和比较，引导学生主动地探究规律，发现规律，同时，教材从用符号表示规律过渡到用字母的式子表示这些规律，使得规律的表达更加准确、简明、形象，既便于掌握，又发展了他们的符号感，也为后面教学用字母表示数做好了铺垫。这是通过归纳推理提出猜测的思维过程，这是一个从具体走向一般的思维过程。从这个例子可以看到，只有通过符号才能清晰地表达一般性的结果。
又如：两个和为 10 的自然数可以组成数对，那么，都可以组成怎样的数对呢？这个问题可以参见《义务教育数学课程标准》的例 10 。对于这样的问题，低学段学生的回答可能非常随机，比如 3 和 7 、 4 和 6 等等。这样回答问题往往会出现重复或遗漏，因此，教师要引导学生有规律地思考问题，这就需要借助符号（或者图形）进行表达。比如，如果其中一个不超过 10 的自然数是 a ，那么，另一个自然数就是 10-a ，组成的数对是 (a ， 10-a) 。这样就可以有规律地回答问题：
由此可以看到，有规律地回答问题可以避免杂乱无章、是一种理性的表现。特别是有规律地回答问题可以从中发现一些共性的东西，参见下面关于方程的讨论。因此，在这样的教学过程中，可以培养学生有序思维的习惯，积累数学思维的基本经验。
(二) 数形结合——培养符号的意识
符号的认识和理解，几乎伴随了学生数学学习的全过程。如何帮助学生建立符号意识呢？要尽可能在实际问题情境中帮助学生理解符号以及表达式、关系式的意义，在解决实际问题中发展学生的符号感。在教材编写与教学中，对符号演算的处理应尽量避免让学生机械地练
习和记忆，而应增加实际背景、探索过程、几何解释等，以帮助学生理解。如果说代数是一种语言的话，则数字和字母就是这种语言的“字母”，表达式就是这种语言的“词”，关系式(如等式、不等式) 就是这种语言的“句子”。既然是语言，就会有相应的语法，代数的语法就是各种符号演算的法则和规定等。只有学习、熟悉、掌握代数这种语言的语法，才能利用代数这种语言进行推理、计算、交流和解决问题。
1、数学的产生和发展与现实生活密不可分。在学生感知数学符号的意义时，教师如果能创设具体的问题情境，帮助学生准确把握付符号的意义，将会起到事半功倍的效果。
如在北师大版一年级数学中“数的认识”中，课本通过实物，图片，在具体情境中出现了很多包含数字的人、动物、小树、小鸟„„学生在此基础上就逐步会认识到数字在生活中的实际意义，如1根手指，3只小鸟，4个苹果„„，当以后学生见到这些数字的时候就会很自然的想起这些数字所代表的意义。这就是对数量和数字的符号化。这样的学习过程，结合具体情境，能让学生了解数学符号产生的需要，体会到只有使用符号，才能清楚、简便的表达这些具体情境中的数量和变化规律。
数学符号是抽象思维的结晶与基础。如果不了解其含义与功能，它就如同天书一样令人望而却步；然而只要细加分析，即可发现符号化给数学理论的表达带来的极大的方便，甚至是必不可少的。因而要让学生真正建立符号意识，就应该在具体情境中加强学生对符号含义和实质的理解。
2、符号意识的建立是一个逐步的过程。生活中的符号很多，如：表示禁止进入，表示人行道„„从某种意义上说，我们生活在一个符号化的世界里。在数学课上，我们可以充分利用学生潜在的符号意识，给学生提供有效的机会，让学生经历从“具体事物→学生个性化符号→学会数学化的表示”这一逐步数学符号化的过程。
如在“有余数除法”教学中，有这样一个问题：在小路边种树，每两棵柳树之间栽一棵桃树，第一棵是桃树，那么第101棵是什么树？这样的题目光让学生思考，确实有点困难。怎么办呢？在课堂让学生交流讨论中，学生各抒己见，有的说可以拿东西摆一摆；有的说可以画一画看„„经过学生实践，很容易得到用符号分别表示柳树和桃树，画图找规律最方便。比如用□表示柳树，用○表示桃树；学生用符号表示出植树的规律，就很容易解决这个问题了。还有在分析问题是用到的线段图，也是很直观的符号。
又如，在一年级“认数”单元，教材十分注意加强对数的实际意义的理解，在认识了1—5以后，教学几和第几的认识，让学生联系生活经验，体会一个数可以用来表示物体的个数，也可以用来表示物体排列的顷序。教材还十分重视帮助学生建立数的大小概念，把握数的大小关系。在教学“=”“>”“
在此基础上用数形结合的方法抽象出“4=4”，认识并理解“=”的含义，使学生知道，当两个物体个数“同样多”时，可以用“=”来表示。接着引导学生比较运动会上松鼠和小熊的只数，通过一一对应的排列，使学生明确松鼠只数比小熊多，小熊只数比松鼠少，从而建立“多”“少”的概念，并以此为基础还用数形结合的方法抽象出“5>3”和“3”“”“
（三）实践活动——深化符号的运用
学生在生活中接触很多用符号来表示的情境，使学生积累了很多潜藏的“符号意识”，这是培养学生符号感的重要基础。数学符号的学习过程应遵循从感性→理性→运用的辩证过程。因此，教学中教师要关注学生已有的符号经验，将数学教学设计成看得见、摸得着的物质化实践活动，在解决问题中熟练符号的使用。
例如：唱儿歌——《数青蛙》
一只青蛙一张嘴，两只眼睛四条腿；
两只青蛙两张嘴，四只眼睛八条腿；
三只青蛙三张嘴，六只眼睛十二条腿；
„„
让学生边拍手边有节奏地哼唱着，与此同时课件不断显示更多的青蛙，直到多的数不清。这时赵老师问：“还能唱吗？”学生感到有困难了，于是教师发给学生每人一个小条，提出问题：这是一首永远唱不完的儿歌，你能想办法把它唱完吗？
学生在练习纸上填：
生 1 ：无数只青蛙无数张嘴，无数只眼睛无数条腿。
生 2 ： a 只青蛙 b 张嘴， c 只眼睛 d 条腿。
生 3 ： a 只青蛙 a 张嘴， b 只眼睛 c 条腿。
生 4 ： a 只青蛙 a 张嘴， aa 只眼睛 aaaa 条腿。
生 5 ： a 只青蛙 a 张嘴， 2a 只眼睛 4a 条腿。
通过倾听学生的发言与交流，展现了学生不同的结论及不同的思维层次：生 1 还没有走到“用字母表示数”这步，还停留在用语言来描述数量及关系；生 2 虽然走到“用字母表示数”这步，但没有表示出数量关系；生 3 走近了“用字母表示数”，有了一定的数量关系，但是不全面；生 4 走近了“用字母表示数”，明白数量关系，但是表示不准确，有待教师的引导；生 5 真正走进了“用字母表示数”，既用字母表示出了数，又准确地表示出了数量之间的关系。
老师在课堂上通过这样一个学生喜欢的、生动的“说儿歌”活动，让学生在数的过程中感受到“数”的具体，并由此产生寻求更简洁、更概括的表示方法的心理需求。这为“字母表示数”的引出奠定了积极而充分的情感基础。这个过程既是新知识的学习过程，更是学生由原有的算术思维水平不断向代数思维水平迈进的过程。孩子们在儿歌一句句的诵读中，完成了思维水平的提升，完成了从数的具体到字母抽象的过渡。在此过程中，教师要紧紧把握好符号意识。学生在唱儿歌的过程中，将发现其中的规律，并运用字母表示任意只青蛙，从而体会引进字母表示数的必要性和符号表示的“概括”作用。他们还可以运用字母表示以前学过的法则和公式（如加法运算律、乘法运算律、长方形面积公式、圆柱体积公式、路程速度时间的关系），在表示公式和法则的活动中，学生将进一步体会字母的“概括”作用，从而运用字母及其运算可以表示一般的规律。