一、选择题
1． D
2．B
3．D
4．D
5. B
6．D
7．A
8．B
9．C
10． C
11. C
12．C
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．
14. (2,-1)
15.
16．
三、解答题
17．已知函数f (x )=12x +mx （m >0），数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n , S n )在f (x )2
图象上，且f (x )的最小值为-1. 8
（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）数列{b n }满足b n =2a n
2a n -12a n +1-1，记数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n
【答案】（1）a n =n . （2）见解析.
【解析】试题分析：（1）根据二次函数的最值可求得m 的值，从而可得S n =121n +n ，22
2n
进而可得结果；（2）由（1）知b n =n 2-12n +1-1=11-，裂项相消法求和，2n -12n +1-1
放缩法即可证明.
1m 22试题解析：（1）f (x )=(x +m )-， 22
m 21=-. 故f (x )的最小值为-28
又m >0，所以m =1121，即S n =n +n . 222
所以当n ≥2时，a n =S n -S n -1=n ；
当n =1时，a 1=1也适合上式，
所以数列{a n }的通项公式为a n =n .
2n 11-=（2）证明：由（1）知b n =n ， n n +1n +12-12-12-12-1所以T n =1-
所以T n
18．如图，点C 在以AB 为直径的圆O 上，PA 垂直与圆O 所在平面，G 为∆AOC 的垂心.
（1）求证：平面OPG ⊥平面PAC ；
（2）若PA =AB =2AC =2，点Q 在线段PA 上，且PQ =2QA ，求三棱锥P -QGC 的体积.
【答案】（1）见解析; （2
）. 27
【解析】试题分析：（1）延长OG 交AC 于点M ，先证明OM //BC ，再证明OM ⊥平面PAC ，即OG ⊥平面PAC ；（2）由（1）知OM ⊥平面PAC ，所以GM 就是点G 到平面PAC
的距离，再证明GM =1，从而利用棱锥的体积公式可得结果. OM =36
试题解析：（1）如图，延长OG 交AC 于点M .
因为G 为∆AOC 的重心，所以M 为AC 的中点.
因为O 为AB 的中点，所以OM //BC .
因为AB 是圆O 的直径，所以BC ⊥AC ，所以OM ⊥AC .
因为PA ⊥平面ABC ，OM ⊂平面ABC ，所以PA ⊥OM .
又PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，PA ⋂AC =A ，
所以OM ⊥平面PAC ，即OG ⊥平面PAC .
又OG ⊂平面OPG ，所以平面OPG ⊥平面PAC .
（2）解：由（1）知OM ⊥平面PAC ，
所以GM 就是点G 到平面PAC 的距离.
由已知可得，OA =OC =AC =1，
所以 AOC 为正三角形，
所以OM =又点G 为 AOC 的重心，
所以GM =1. OM =3 故点G 到平面PQC
所以V P -QGC =V G -PQC =11221S PQC ⋅GM =⨯S PAC ⋅GM =⨯⨯
2⨯1. =33392627
19．2017高考特别强调了要增加对数学文化的考查，为此某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷（文、理科试卷满分均为100分），并对整个高三年级的学生进行了测试. 现从这些学生中随机抽取了50名学生的成绩，按照成绩为50,60)，60,70)，…，[[
[90,100]分成了5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）.
（1）求频率分布直方图中的x 的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）若高三年级共有2000名学生，试估计高三学生中这次测试成绩不低于70分的人数；
（3）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的三组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的考后分析会，试求后两组中至少有1人被抽到的概率.
【答案】（1）x =0.02，平均数是74，中位数是73119；（2）1200；（3）． 203
【解析】试题分析：（1）根据个矩形面积和为1可得第4组的频率为0.2，从而可得结果；
（2）由（1）可知，50名学生中成绩不低于70分的频率为0.3+0.2+0.1=0.6，从而可得成绩不低于70分的人数；（3）根据分层抽样方法可得这三组中所抽取的人数分别为3,2,1，列举出中任抽取3人的所有可能结果共20种，其中后两组中没有人被抽到的可能结果只有1种，由古典概型概率公式可得结果.
（1）由频率分布直方图可得第4组的频率为1-0.1-0.3-0.3-0.1=0.2，
故x =0.02.
故可估计所抽取的50名学生成绩的平均数为
(55⨯0.01+65⨯0.03+75⨯0.03+85⨯0.02+95⨯0.01) ⨯10=74（分）.
由于前两组的频率之和为0.1+0.3=0.4，前三组的频率之和为0.1+0.3+0.3=0.7，故中位数在第3组中.
设中位数为t 分，
则有(t -70)⨯0.03=0.1，所以t =731， 3
即所求的中位数为73分.
（2）由（1）可知，50名学生中成绩不低于70分的频率为0.3+0.2+0.1=0.6，
由以上样本的频率，可以估计高三年级2000名学生中成绩不低于70分的人数为132000⨯0.6=1200.
（3）由（1）可知，后三组中的人数分别为15,10,5，故这三组中所抽取的人数分别为
3,2,1.
记成绩在70,80)这组的3名学生分别为a ，b ，c ，成绩在80,90)这组的2名学生分别为d ，e ，成绩在90,100这组的1名学生为f ，则从中任抽取3人的所有可能结果为[[[]
(a , b , d )，(a , b , f )，(a , c , d )，(a , c , f )，(a , d , e )，(a , d , f )，(a , b , c )，(a , b , e )，(a , c , e )，
(a , e , f )，(b , c , d )，(b , c , e )，(b , c , f )，(b , d , e )，(b , e , f )，(b , d , f )，(c , d , e )，(c , d , f )，(c , e , f )，(d , e , f )共20种.
其中后两组中没有人被抽到的可能结果为(a , b , c )，只有1种，
故后两组中至少有1人被抽到的概率为P =1-119=. 2020
与点关于原点对称，线段的20. 已知点是圆
，交于上任意一点，点，两点. 垂直平分线分别与
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过点
使以的动直线与点的轨迹交于，两点，在轴上是否存在定点的坐标；若不存在，请说明理由. ，为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点
20. 解：(I)由题意得 点的轨迹为以为焦点的椭圆 点的轨迹的方程为 (II)直线的方程可设为，设
联立可得
由求根公式化简整理得
假设在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点，则
即
求得
因此，在轴上存在定点，使以为直径的圆恒过这个点.
21. 已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）若对任意的恒成立，求实数的取值范围．
21. 解（Ⅰ）函数的定义域为，，
令，得；令，得．
故当时，单调递减；当时，单调递增．
故当时，取得极小值，
且，无极大值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．
要使对恒成立，
只需对恒成立，
即，即对恒成立，
令，则，
故时，所以在上单调递增，
故，
要使对恒成立，
只需，
所以，
即实数的取值范围是．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．选修4-4: 坐标系与参数方程
已知直线l 的参数方程为(t 为参数) ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos 22θ+3ρ2sin 2θ=12，且曲线C 的左焦点F 在直线l 上．
(1) 若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求|FA |⋅|BF |的值；
(2) 求曲线C 的内接矩形的周长的最大值．
22．(1) 曲线C 的直角坐标系方程为: ∴
∴直线l 的参数方程为（t 为参数）
将代入得：t -2t -2=0 2
设A 、B 两点所对应的参数为t 1, t 2，则t 1⋅t 2=-2∴|FA |⋅|FB |=2
(2) 设P 为内接矩形在第一象限的顶点 ， 则矩形的周长
∴当即P (3,1)时周长最大，最大值为16．
23．选修4-5: 不等式选讲
已知函数f (x )=|2x +1-|x -1．
(1)求不等式f (x )
(2) 若关于x 的不等式有解，求a 的取值范围． 23．（1）
∴不等式的解集为
（2）由（1）得f (x )在上为减函数，在上为增函数 ∴
∴有解，只须
∴a 的取值范围为：-1≤a ≤3
一、选择题
1． D
2．B
3．D
4．D
5. B
6．D
7．A
8．B
9．C
10． C
11. C
12．C
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．
14. (2,-1)
15.
16．
三、解答题
17．已知函数f (x )=12x +mx （m >0），数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n , S n )在f (x )2
图象上，且f (x )的最小值为-1. 8
（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）数列{b n }满足b n =2a n
2a n -12a n +1-1，记数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n
【答案】（1）a n =n . （2）见解析.
【解析】试题分析：（1）根据二次函数的最值可求得m 的值，从而可得S n =121n +n ，22
2n
进而可得结果；（2）由（1）知b n =n 2-12n +1-1=11-，裂项相消法求和，2n -12n +1-1
放缩法即可证明.
1m 22试题解析：（1）f (x )=(x +m )-， 22
m 21=-. 故f (x )的最小值为-28
又m >0，所以m =1121，即S n =n +n . 222
所以当n ≥2时，a n =S n -S n -1=n ；
当n =1时，a 1=1也适合上式，
所以数列{a n }的通项公式为a n =n .
2n 11-=（2）证明：由（1）知b n =n ， n n +1n +12-12-12-12-1所以T n =1-
所以T n
18．如图，点C 在以AB 为直径的圆O 上，PA 垂直与圆O 所在平面，G 为∆AOC 的垂心.
（1）求证：平面OPG ⊥平面PAC ；
（2）若PA =AB =2AC =2，点Q 在线段PA 上，且PQ =2QA ，求三棱锥P -QGC 的体积.
【答案】（1）见解析; （2
）. 27
【解析】试题分析：（1）延长OG 交AC 于点M ，先证明OM //BC ，再证明OM ⊥平面PAC ，即OG ⊥平面PAC ；（2）由（1）知OM ⊥平面PAC ，所以GM 就是点G 到平面PAC
的距离，再证明GM =1，从而利用棱锥的体积公式可得结果. OM =36
试题解析：（1）如图，延长OG 交AC 于点M .
因为G 为∆AOC 的重心，所以M 为AC 的中点.
因为O 为AB 的中点，所以OM //BC .
因为AB 是圆O 的直径，所以BC ⊥AC ，所以OM ⊥AC .
因为PA ⊥平面ABC ，OM ⊂平面ABC ，所以PA ⊥OM .
又PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，PA ⋂AC =A ，
所以OM ⊥平面PAC ，即OG ⊥平面PAC .
又OG ⊂平面OPG ，所以平面OPG ⊥平面PAC .
（2）解：由（1）知OM ⊥平面PAC ，
所以GM 就是点G 到平面PAC 的距离.
由已知可得，OA =OC =AC =1，
所以 AOC 为正三角形，
所以OM =又点G 为 AOC 的重心，
所以GM =1. OM =3 故点G 到平面PQC
所以V P -QGC =V G -PQC =11221S PQC ⋅GM =⨯S PAC ⋅GM =⨯⨯
2⨯1. =33392627
19．2017高考特别强调了要增加对数学文化的考查，为此某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷（文、理科试卷满分均为100分），并对整个高三年级的学生进行了测试. 现从这些学生中随机抽取了50名学生的成绩，按照成绩为50,60)，60,70)，…，[[
[90,100]分成了5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）.
（1）求频率分布直方图中的x 的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）若高三年级共有2000名学生，试估计高三学生中这次测试成绩不低于70分的人数；
（3）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的三组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的考后分析会，试求后两组中至少有1人被抽到的概率.
【答案】（1）x =0.02，平均数是74，中位数是73119；（2）1200；（3）． 203
【解析】试题分析：（1）根据个矩形面积和为1可得第4组的频率为0.2，从而可得结果；
（2）由（1）可知，50名学生中成绩不低于70分的频率为0.3+0.2+0.1=0.6，从而可得成绩不低于70分的人数；（3）根据分层抽样方法可得这三组中所抽取的人数分别为3,2,1，列举出中任抽取3人的所有可能结果共20种，其中后两组中没有人被抽到的可能结果只有1种，由古典概型概率公式可得结果.
（1）由频率分布直方图可得第4组的频率为1-0.1-0.3-0.3-0.1=0.2，
故x =0.02.
故可估计所抽取的50名学生成绩的平均数为
(55⨯0.01+65⨯0.03+75⨯0.03+85⨯0.02+95⨯0.01) ⨯10=74（分）.
由于前两组的频率之和为0.1+0.3=0.4，前三组的频率之和为0.1+0.3+0.3=0.7，故中位数在第3组中.
设中位数为t 分，
则有(t -70)⨯0.03=0.1，所以t =731， 3
即所求的中位数为73分.
（2）由（1）可知，50名学生中成绩不低于70分的频率为0.3+0.2+0.1=0.6，
由以上样本的频率，可以估计高三年级2000名学生中成绩不低于70分的人数为132000⨯0.6=1200.
（3）由（1）可知，后三组中的人数分别为15,10,5，故这三组中所抽取的人数分别为
3,2,1.
记成绩在70,80)这组的3名学生分别为a ，b ，c ，成绩在80,90)这组的2名学生分别为d ，e ，成绩在90,100这组的1名学生为f ，则从中任抽取3人的所有可能结果为[[[]
(a , b , d )，(a , b , f )，(a , c , d )，(a , c , f )，(a , d , e )，(a , d , f )，(a , b , c )，(a , b , e )，(a , c , e )，
(a , e , f )，(b , c , d )，(b , c , e )，(b , c , f )，(b , d , e )，(b , e , f )，(b , d , f )，(c , d , e )，(c , d , f )，(c , e , f )，(d , e , f )共20种.
其中后两组中没有人被抽到的可能结果为(a , b , c )，只有1种，
故后两组中至少有1人被抽到的概率为P =1-119=. 2020
与点关于原点对称，线段的20. 已知点是圆
，交于上任意一点，点，两点. 垂直平分线分别与
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过点
使以的动直线与点的轨迹交于，两点，在轴上是否存在定点的坐标；若不存在，请说明理由. ，为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点
20. 解：(I)由题意得 点的轨迹为以为焦点的椭圆 点的轨迹的方程为 (II)直线的方程可设为，设
联立可得
由求根公式化简整理得
假设在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点，则
即
求得
因此，在轴上存在定点，使以为直径的圆恒过这个点.
21. 已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）若对任意的恒成立，求实数的取值范围．
21. 解（Ⅰ）函数的定义域为，，
令，得；令，得．
故当时，单调递减；当时，单调递增．
故当时，取得极小值，
且，无极大值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．
要使对恒成立，
只需对恒成立，
即，即对恒成立，
令，则，
故时，所以在上单调递增，
故，
要使对恒成立，
只需，
所以，
即实数的取值范围是．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．选修4-4: 坐标系与参数方程
已知直线l 的参数方程为(t 为参数) ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos 22θ+3ρ2sin 2θ=12，且曲线C 的左焦点F 在直线l 上．
(1) 若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求|FA |⋅|BF |的值；
(2) 求曲线C 的内接矩形的周长的最大值．
22．(1) 曲线C 的直角坐标系方程为: ∴
∴直线l 的参数方程为（t 为参数）
将代入得：t -2t -2=0 2
设A 、B 两点所对应的参数为t 1, t 2，则t 1⋅t 2=-2∴|FA |⋅|FB |=2
(2) 设P 为内接矩形在第一象限的顶点 ， 则矩形的周长
∴当即P (3,1)时周长最大，最大值为16．
23．选修4-5: 不等式选讲
已知函数f (x )=|2x +1-|x -1．
(1)求不等式f (x )
(2) 若关于x 的不等式有解，求a 的取值范围． 23．（1）
∴不等式的解集为
（2）由（1）得f (x )在上为减函数，在上为增函数 ∴
∴有解，只须
∴a 的取值范围为：-1≤a ≤3