椭圆中与焦点三角形顶角有关的问题

课题：椭圆中与焦点三角形有关的问题

证明:略 x2y2

例1．若P是椭圆1上的一点，F1、F2是其焦点，且F1PF260，求△F1PF2的面积． 10064

x2y21，则例2 已知P是椭圆1上的点，F1、F2259122

△F1PF2的面积为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 3

x2y2

例3（04湖北）已知椭圆1的左、右焦点分别是F1、F2，点P在椭圆上. 若P、F1、F2是一169

个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（ ） A. 9799997 B. C. D. 或 77544

x2y2练习1：P是椭圆1 上的点，Fl，F2是椭圆的焦点，若F1PF2 ，则SPF1F2_______。 546

x2y21 上的点，Fl，F2是椭圆的焦点，若F1PF2 ，则SPF1F2_______。练习2：P是椭圆 43

x2y2错题：P是椭圆1 上的点，Fl，F2是椭圆的焦点，若F1PF2 ，则PF1F2的面积等于543

_______。为什么错？

x2y2

1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P、Q 两 点，当四边例4设F1、F2为椭圆43

形PF1QF2面积最大时，PF1PF2的值等于 （ ）

A．0 B．1 C．2 D．4

x2y2

例1：椭圆1的焦点为Fl、F2，点P为其上动点，当 F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范94

围是_______。

x2y2

问题1. 椭圆F2，点P为其上一点，当F1PF2为直角时，点P的横坐标是_______。 1的焦点为Fl、94

问题2. 而此题为钝角，究竟钝角和直角有何联系？

x2y2

1的焦点,在C上满足PF1PF2的点P的个数为？例2：F1,F2是椭圆C: 84

总结：1如点P运动到短轴端点B1时，F1PF2恰为直角，则在椭圆上满足PF1PF2的点的个数是 2如点P运动到短轴端点B1时，F1PF2为钝角，则在椭圆上满足PF1PF2的点的个数是 3如点P运动到短轴端点B1时，F1PF2为锐角，则在椭圆上满足PF1PF2的点的个数是

x2y2

例3：已知F1、F2是椭圆221(ab0)的两个焦点，椭圆上一点Pab

使F1PF290，求椭圆离心率e的取值范围。

方法一：

方法二：

x2y2

例4：已知椭圆221(ab0)的两焦点分别为F1,F2,若椭圆上存在一点P,使得ab

F1PF21200,求椭圆的离心率e的取值范围。

x2y2

例5：若椭圆1的两个焦点F1、F2，试问：椭圆上是否存在点P，43

使F1PF290？存在，求出点P的纵坐标；否则说明理由。

方法一：

方法二：

证明：

x2y2

练习1：P是椭圆2+2=1（a＞b＞0）上一点，F1、F2是椭圆的左右焦点，已知PF1F2,PF2F12,ab

F1PF23,椭圆的离心率为e___________．

练习2：已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，若PF1F215,PF2F175，则椭圆的离心率为___________．



yx例1：已知椭圆C1：221(ab0)的右顶点为A(1,0)，过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1．求ab

椭圆C1的方程。

【课堂测试】

x2y2

1.已知P是椭圆1上的一点，F1、F2是两个焦点，且F1PF230，求PF1F2的面积。 2516

2.（2009年上海文）

已知

F1、F2p为椭圆C上的一点，且PF1F2的面积为9y2x2

3. 椭圆1上一点P与椭圆两个焦点F1、F2的连线互相垂直，则△F1PF2的面积为（ ） 4924

A. 20 B. 22 C. 28 D. 24

x2

24．已知椭圆2y1（a＞1）的两个焦点为F1、F2，P为椭圆上一点，且F1PF260，则a

|PF1||PF2|的值为（ ）A．1 B． 1

3 C．4 3D．2 3

x2

5. 椭圆y21的左右焦点为F1、F2， P是椭圆上一点，当△F1PF2的面积最大时，PF1PF2的4

值为（ ） A. 0 B.2 C. 4 D. 2

x2

6. 椭圆y21的左右焦点为F1、F2， P是椭圆上一点，当△F1PF2的面积为1时，PF1PF2的4

值为（ ） A. 0 B.1 C. 3 D. 6

x21y21的左右焦点为F1、F2， P是椭圆上一点，7. 椭圆当△F1PF2的面积为时，PF1PF2的42值为_______________.

x2y2

8．2003北京春考：P是椭圆221(ab0)上一点，E,F是两个焦点，O是椭圆中心，若POFab

b2的值为________.

xy2

9.设P是椭圆1上一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，则cosF1PF2的最小值是（ ） 94

111A． B．-1 C． D． 99210.已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足MF1MF20的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A．(0,1) B．(0,] C．21

2 D． 11.已知P是椭圆上的一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，∠PF1F2=90°,∠PF2F1=30°,则椭圆的离心率是__________.

x2y2

12.设F1、F2为椭圆1的两个焦点，P为椭圆上的一点.已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个94

顶点，且|PF1|＞|PF2|,求

13. 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，F1、F2为焦点，点P在椭圆上，直线PF1与PF2倾斜角的差为F1PF290，△F1PF2的面积是20，离心率为|PF1|的值. |PF2|，求椭圆的标准方程. 3

1，△F1PF2 的21214．已知椭圆的中心在原点，F1、F2为左右焦点，P为椭圆上一点，面积是3，准线方程为x

4，求椭圆的标准方程. 3

x2y2

15.(2007天津22)设椭圆221(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，A是椭圆上的一点，ab

1AF2F1F2，原点O到直线AF1的距离为OF

1．证明a； 3

课题：椭圆中与焦点三角形有关的问题

证明:略 x2y2

例1．若P是椭圆1上的一点，F1、F2是其焦点，且F1PF260，求△F1PF2的面积． 10064

x2y21，则例2 已知P是椭圆1上的点，F1、F2259122

△F1PF2的面积为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 3

x2y2

例3（04湖北）已知椭圆1的左、右焦点分别是F1、F2，点P在椭圆上. 若P、F1、F2是一169

个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（ ） A. 9799997 B. C. D. 或 77544

x2y2练习1：P是椭圆1 上的点，Fl，F2是椭圆的焦点，若F1PF2 ，则SPF1F2_______。 546

x2y21 上的点，Fl，F2是椭圆的焦点，若F1PF2 ，则SPF1F2_______。练习2：P是椭圆 43

x2y2错题：P是椭圆1 上的点，Fl，F2是椭圆的焦点，若F1PF2 ，则PF1F2的面积等于543

_______。为什么错？

x2y2

1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P、Q 两 点，当四边例4设F1、F2为椭圆43

形PF1QF2面积最大时，PF1PF2的值等于 （ ）

A．0 B．1 C．2 D．4

x2y2

例1：椭圆1的焦点为Fl、F2，点P为其上动点，当 F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范94

围是_______。

x2y2

问题1. 椭圆F2，点P为其上一点，当F1PF2为直角时，点P的横坐标是_______。 1的焦点为Fl、94

问题2. 而此题为钝角，究竟钝角和直角有何联系？

x2y2

1的焦点,在C上满足PF1PF2的点P的个数为？例2：F1,F2是椭圆C: 84

总结：1如点P运动到短轴端点B1时，F1PF2恰为直角，则在椭圆上满足PF1PF2的点的个数是 2如点P运动到短轴端点B1时，F1PF2为钝角，则在椭圆上满足PF1PF2的点的个数是 3如点P运动到短轴端点B1时，F1PF2为锐角，则在椭圆上满足PF1PF2的点的个数是

x2y2

例3：已知F1、F2是椭圆221(ab0)的两个焦点，椭圆上一点Pab

使F1PF290，求椭圆离心率e的取值范围。

方法一：

方法二：

x2y2

例4：已知椭圆221(ab0)的两焦点分别为F1,F2,若椭圆上存在一点P,使得ab

F1PF21200,求椭圆的离心率e的取值范围。

x2y2

例5：若椭圆1的两个焦点F1、F2，试问：椭圆上是否存在点P，43

使F1PF290？存在，求出点P的纵坐标；否则说明理由。

方法一：

方法二：

证明：

x2y2

练习1：P是椭圆2+2=1（a＞b＞0）上一点，F1、F2是椭圆的左右焦点，已知PF1F2,PF2F12,ab

F1PF23,椭圆的离心率为e___________．

练习2：已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，若PF1F215,PF2F175，则椭圆的离心率为___________．



yx例1：已知椭圆C1：221(ab0)的右顶点为A(1,0)，过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1．求ab

椭圆C1的方程。

【课堂测试】

x2y2

1.已知P是椭圆1上的一点，F1、F2是两个焦点，且F1PF230，求PF1F2的面积。 2516

2.（2009年上海文）

已知

F1、F2p为椭圆C上的一点，且PF1F2的面积为9y2x2

3. 椭圆1上一点P与椭圆两个焦点F1、F2的连线互相垂直，则△F1PF2的面积为（ ） 4924

A. 20 B. 22 C. 28 D. 24

x2

24．已知椭圆2y1（a＞1）的两个焦点为F1、F2，P为椭圆上一点，且F1PF260，则a

|PF1||PF2|的值为（ ）A．1 B． 1

3 C．4 3D．2 3

x2

5. 椭圆y21的左右焦点为F1、F2， P是椭圆上一点，当△F1PF2的面积最大时，PF1PF2的4

值为（ ） A. 0 B.2 C. 4 D. 2

x2

6. 椭圆y21的左右焦点为F1、F2， P是椭圆上一点，当△F1PF2的面积为1时，PF1PF2的4

值为（ ） A. 0 B.1 C. 3 D. 6

x21y21的左右焦点为F1、F2， P是椭圆上一点，7. 椭圆当△F1PF2的面积为时，PF1PF2的42值为_______________.

x2y2

8．2003北京春考：P是椭圆221(ab0)上一点，E,F是两个焦点，O是椭圆中心，若POFab

b2的值为________.

xy2

9.设P是椭圆1上一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，则cosF1PF2的最小值是（ ） 94

111A． B．-1 C． D． 99210.已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足MF1MF20的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A．(0,1) B．(0,] C．21

2 D． 11.已知P是椭圆上的一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，∠PF1F2=90°,∠PF2F1=30°,则椭圆的离心率是__________.

x2y2

12.设F1、F2为椭圆1的两个焦点，P为椭圆上的一点.已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个94

顶点，且|PF1|＞|PF2|,求

13. 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，F1、F2为焦点，点P在椭圆上，直线PF1与PF2倾斜角的差为F1PF290，△F1PF2的面积是20，离心率为|PF1|的值. |PF2|，求椭圆的标准方程. 3

1，△F1PF2 的21214．已知椭圆的中心在原点，F1、F2为左右焦点，P为椭圆上一点，面积是3，准线方程为x

4，求椭圆的标准方程. 3

x2y2

15.(2007天津22)设椭圆221(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，A是椭圆上的一点，ab

1AF2F1F2，原点O到直线AF1的距离为OF

1．证明a； 3