热平衡
第三章 半导体中载流子的统计分布
Ec ED
EA
激发产生载流子
载流子复合(电子-空穴对消 失)
本章重点：
3.1 费米能级和载流子的统计分布 3.2 本征半导体的载流子浓度 3.3 杂质半导体的载流子浓度
EA
Ev
热平衡时，载流子的产生与复合速度相等，载流子浓度一定
允许的量子态按 能量的分布 随温度变化
电子在允许的量 子态的分布随温 度变化
3.1
状 态 密 度
状态密度：
表示能带中能量E附近单位能量间隔 内量子态数：
载流子浓度随温度变化
半导体的导电性能强烈依赖温度
g (E) =
dZ dE
1. k 空间量子态的分布
对边长为L的晶体，波矢取分立的值：
2. 状态密度
等能面是球面，极值在k=0的导带低附近：
2πnx (nx = 0, ± 1， ± 2， ⋅ ⋅ ⋅ ⋅) L 2πn y (n y = 0, ± 1， k y＝ ± 2， ⋅ ⋅ ⋅ ⋅) L 2πnz (nz = 0, ± 1， k z＝ ± 2， ⋅ ⋅ ⋅ ⋅) L k x＝
kx
kz
E ( k ) = Ec +
ky
k * 2mn
2 2
(1)
dk
在E 到E＋dE 球壳内的量子态数：
等能面
dZ =
体积为(8π3/L3)＝8π3/V 的立方体内有1个量子态
k空间电子允许的量 子态密度为2V/8π3
2V × 4π k 2dk 8π 3
(2)
* 0.5 ⎧ ( 2mn ) ( E −Ec )0.5 k = k ⎪ E(k ) = Ec + * ⇒ ⎨ * 2mn dE ⎪ kdk = mn 2 ⎩
价带顶附近状态密度
g ( E) =
32 dZ V (2m* n) = 2 (E− Ec )1 2 3 dE 2π
2 2
(4)
同样根据价带顶附近
E ( k ) = Ev −
价带顶附近状态密度
g (E) =
* 32 dZ V (2 m p ) ( Ev − E )1 2 = 3 dE 2π 2
dZ =
2V × 4π k 2 dk 8π 3
k2 2m* p
2
求出k和dk，带入（2）式，得：
(5)
算法2、
球面等能面
球面半径 =
球体内的量子态数：
(2m
* n
/
2
)[E (k ) − E ]
c
3 2
* ⎤ 2V 4π ⎡ 2 m n × ⎢ 2 (E − Ec )⎥ 3 8π 3 ⎣ ⎦
球面半径 =
(2m
* n
/
2
)[E (k ) − E ]
c
从而获得：
g(E) =
* 32 ) dZ V (2mn (E − Ec )1 2 = 2 3 dE 2π
实际Si、Ge，导带底是旋转椭球面：
导带底共有s个状态
g(E) = s V (8mt2ml )1/2 1/2 ( E(k) − Ec ) 3 2π 2
* 32 ) dZ V (2mn = 2 (E − Ec )1 2 3 dE 2π
E ( k ) = Ec +
椭球半长轴：
a=b= c=
2 k12 + k 2 k2 + 3) 2 mt ml 2
(
( 2m
l
t
/
2
) [ E (k ) − E ]
c c
对比球形等能面：
g ( E) =
( 2m
/
2
) [ E (k ) − E ]
s个旋转椭球
g ( E) =
V (2mdn )3/2 1/2 ( E(k ) − Ec ) (5) 3 2π 2
3/ 2
椭球体内的体积：
1/2 4π 4π 3/2 8mt2 ml ) [ E(k ) − Ec ] abc = ( 3 3 3
* ( s 2 8mt2 ml )1/ 2 = ( 2mdn ) ⇒ mdn = s 2 3 (ml mt2 )1 3
mdn为导带底电子状态密度有效质量, 对Si s=6, 对Ge, s=4
价带顶附近：重空穴(mp)h和轻空穴(mp)l带状态密度均满足形式：
g (E) =
* 32 dZ V (2m p ) ( Ev − E )1 2 = 2 3 dE 2π
结论
导带底附近，电子E越高，mn 越大，g(E)越大； 价带顶附近，空穴E越高，m p 越大，g(E)越大。
*
(6)
*
价带顶状态密度为重空穴和轻空穴带状态密度之 和，此时（6）式中
m* p 为：
mdp 价带顶空穴有效状态质量
Si：
Ec Ev
gc gv
mdp = 0.59m0
Ge：mdn
= 0.37m0
3.2 费米能级和载流子的统计分布
z3.2.1
f n ( E ) 叫电子的费米分布函数。满足：
所有量子态中被电子占据 的量子态数等于电子总数
费米分布函数及费米能级
¾晶体中的单个电子，能量时大时小； ¾热平衡态，大量电子按能量存在统计分布规律；
¾电子是费米子，服从泡利不相容原理，遵循费米统计分布。
∑f
i
n
( Ei ) = N
未被电子占据的几率即空穴的费米分布函数：
1、费米分布函数
2、费米能级EF
a. 与温度、导电类型、杂质含量及能量零点选取有关。 b. 定义为：
3、讨论费米分布函数 f n ( E ) =
当T＝0时
1 ⎛ E − EF ⎞ 1 + exp ⎜ ⎟ ⎝ k0T ⎠
f(E) A B C 1/2 C B 1
E 〉 EF
f (E) = 0 f (E) = 1
EF = μ = (∂F ∂N )T
(3)
E 〈 EF
在T>0时
EF
表示：当系统处于热平衡也不对外界做功的情况 下，系统增加一个电子所引起系统自由能的变化。 c. 处于热平衡的电子系统有统一的EF
E 〉 EF E = EF E 〈 EF E 〉〉 E F E 〈〈 E F
f ( E ) 〈1 2 f ( E ) =1 2 1〉 f ( E ) 〉 1 2 f (E) = 0 f (E) ≈ 1
E
A
EF
0
A、B和C分别表0、300、1000K
费米能级的意义：
a. T＝0，EF是量子态是否被电子占据的界限。 b. 温度不太高时，高于EF的能级基本不被电子 占据，低于EF的能级基本被电子占据；
3.2.2 玻尔兹曼分布函数
数学上，E − EF 〉〉 k0T 时，
玻尔兹曼分布
c. T升高, 电子占据E>EF能级的几率升高，占据 EEF能级； d. 费米能级直观地反映电子占据量子态的情 况，它标志电子填充能级的水平。EF 越高， 说明有较多高能量量子态上有电子。
玻尔兹曼分布不受泡利不相容原理限制
物理上
E − E F 〉〉 k 0T 时， 电子占据量子态的几率极小，
泡利不相容失去作用，费米分布转化为玻尔兹曼分布。
空穴的玻尔兹曼分布函数：
费米分布
⑴ 服从费米分布的系统 是简并系统（高掺杂），受泡利 不相容原理的限制。 ⑵ 服从玻尔兹曼分布的系统 非简并系统（中低掺 杂），每个被占据的量子态最多只有一个电子。
f p ( E ) = 1 [1 + exp (
EF − E F − E 〉 〉k 0T )] ⎯E ⎯ ⎯⎯ ⎯→ k 0T
玻尔兹曼分布 f Bp ( E ) = exp( −
EF − E E ) = B exp( ) k 0T k 0T
(5)
Ec EF Ei Ev 非简并n型半导体 轻掺杂半导体
Ec Ei Ev
EF 或
Ec Ei Ev
EF
E远低于EF的量子态被空穴占据的几率 很小， 这些低能态几乎被电子占据。
简并n型半导体（重掺杂） Ge、Si N>1018cm-3
Ec Ei EF Ev 非简并p型半导体 轻掺杂半导体
Ec Ei Ev EF 或
Ec Ei Ev EF
z
两种分布函数
Fermi分布函数:
f (E) = 1 E − EF 1 + exp( ) kT
E
简并p型半导体（重掺杂） Ge、Si N>1018cm-3
z
在 (E－EF)/kT >> 0 时, f(E)≈0; 在 (E－EF)/kT
Boltzmann 分布
(3) 通常情况：EF位于禁带内距Ec或Ev远大于k0T，适 用玻尔兹曼分布。 (4) 随E增大，fBn(E)指数减小，电子集中在导带底附 近；fBp(E)指数增加，空穴多集中在价带顶附近
EF
Boltzmann分布函数:
在 (E－EF)/kT >> 1 时, 得到经典 Boltzmann分布
Fermi分布 T>0 T=0
f ( E ) ≈ exp[
− (E − EF ) ] kT
0
1/2
1
f (E)
Ec Ei EF Ev 非简并p型半导体
Ec Ei Ev
3.2.3 导带中电子浓度和价带中空穴浓度
EF E gc(E)
Ec EF Ec EF
E gc(E)
E n0
非简并n型半导体
fn(E)
Ev Ev
1-fn(E)
以上两种的半导体，电子和空穴占据导带底和价带顶的几率如何？
E − EF E ) = A exp( − ) f Bn ( E ) = exp( − k 0T k 0T
E −E E f Bp ( E ) = exp( − F ) = B exp( ) k 0T k 0T
gv(E)
0 1 0
gv(E)
1
p0
dn0/dE, dp0/dE 载流子浓度
分布函数和状态密度
非简并 半导体
导带底电子浓度 价带顶空穴浓度
n0 =
1 Ec' f Bn ( E ) g c ( E )dE (1) V ∫Ec 1 Ev p0 = ∫ ' f Bp ( E ) g v ( E )dE (2) V Ev
⎛ m*k T ⎞ E − EF n0 = 2 ⎜ n 0 2 ⎟ exp(− c ) （3） π k0T 2 ⎝ ⎠
3/2
令导带底有效状态密度
n0 = ∫
' Ec
Ec
* 32 ) E − EF V (2mn exp(− )(E − Ec )1/2 dE 2 3 2π k0T
令 x = (E − Ec ) / k0T 得到 n0 =
∞ * ‘ k0T )3 2 E −E x 1 (2mn exp(− c F )∫ x1/2e－x dx 2 3 0 2π k0T
* (2πmn k 0T ) 3 / 2 ∝ T 3/ 2 h3 E − EF 得 n0 = N c exp( − c ) k 0T
Nc = 2
（4）
利用 ∫ x1/2e－x dx＝
0
π
2
E − EF ) 类比 n0 = N c exp( − c k 0T
E − EF ) f Bn ( E ) = exp( − k 0T
利用
p0 =
g (E ) =
1 Ev f Bp ( E ) g v ( E )dE ' V ∫Ev
3 (2 m * p ) 2 3 2
dZ V = 2π dE
( E v − E )1
2
导带电子浓度可看成导带底Ec处的Nc个量子态上具有的电子数。
f Bp ( E ) = exp( −
p0 =
EF − E E ) = B exp( ) k 0T k 0T
导带 Ec Eg Ev 价带
令 x = (Ev − E) / k0T , d (Ev − E) = ( k0T ) dx
32
* 32 E − EF 1 (2mp ) Ev 1/2 2 3 ∫Ev' exp( k0T )(Ev − E) dE 2π
⎛ m* ⎞ x E −E ‘ p k0T 得到 p0 = 4 ⎜ exp( v F )∫ x1/2e－x dx 0 ⎜ 2π 2 ⎟ ⎟ k0T ⎝ ⎠ 利用 ∫ x1/2e－x dx＝
0 ∞
π
2
令价带顶有效状态密度 Nv = 2 得
32 (2πm* p k 0T )
结论
h3
∝T3 2 （5）
Nc , Nv ∝ T 3 2
p0 = N v exp( −
E F − Ev ) k 0T
(1) n0和p0随
T EF
∝ exp(−1 T )
而变化
价带空穴浓度可看成价带顶Ev处的Nv 个量子态上具有的空穴数。
(2) EF与温度和半导体掺杂情况密切相关 (3) n0, p0随温度、掺杂类型和掺杂浓度而变化
3.2.4 载流子浓度乘积n0p0
n0 p0 = N c N v exp( − n0 p0 ∝ T exp( −
3
3.3 本征半导体的载流子浓度
Eg Ec − Ev ) = N c N v exp( − ) k0T k0T )
Eg k0T
本征半导体: 没有杂质和缺陷的半导体。 T=0时，不导电； T>0时, 本征激发产生载流子导电，此时 n0＝p0
不同半导体，由Eg 、T决定。 乘积n0p0与EF无关 一定半导体，取决于T, 与杂质无关。 应用？ 温度一定的某半导体， n0，p0成反比
适用于热平衡下的本征半导体和非简并杂质半导体。
电中性条件：
本征半导体
N c exp( −
Ec − Ei E −E ) = N v exp( − i v ) (1) k 0T k 0T
Ec + Ev k 0T N ln v + Nc 2 2
3/ 2 ( 2πm* n k 0T )
Ei =
h ⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯⎯ ⎯→ h3
3
Nc =2
Nv =2
3/ 2 ( 2πm* p k 0T )
=
m Ec + Ev 3k 0T + ln m 2 4
∗ p ∗ n
(2)
用Ei 表示本征半导体的费米能级
对Si、Ge和GaAs一般情况，Ei基本在禁带中线处
ni = n0 = p0 = ( N c N v ) exp( − E g 2k 0T )
12
n0 p0 = ni2 = Nc Nv exp(− Eg k0T ) (4)
ni ∝ T 3 / 2 exp( − E g 2k 0T )
适于热平衡下的本征半导体和非简并杂质半导体。
假定Eg按线性变化
E g = E g ( 0) + β T
T一定，Eg越大，ni指数下降； Eg一定， ni随T升高而增大
则
⎡ E g (0) ⎤ ⎛ β ⎞ ⎟ ni ∝ T 3 / 2 exp ⎢− ⎥ exp ⎜ ⎟ ⎜− ⎣ 2k0T ⎦ ⎝ 2k 0 ⎠
所以 ln ni T －3 / 2 — 1 / T关系为直线 由斜率求得 E g (0)
(
)
1000 0C
500 0C
200 0C
100 0C
27 0C
本征载流子浓度 ni (cm-3)
1020 1018 1016 1014 1012 1010 108 106
¾半导体器件和芯片，载流子主要来源于杂质电离； ¾欲使载流子主要源于杂质电离，掺杂浓度应高于该 温度下的本征载流子浓度或半导体不能超过一定温度；
Ge Si GaAs GaP
¾本征载流子浓度随温度升高急剧上升；
纯硅的温度升高8K，本征载流子浓度增加1倍； 纯锗的温度升高12K，本征载流子浓度增加1倍。
¾当温度升高到本征载流子浓度可与杂质电离的载流子浓 度比拟，器件失效。
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
1000 / T (K-1)
总结
(1) T一定，Eg越大，ni指数下降； Eg一定， ni随T升高而迅速增大 (2) 常用杂质半导体制作器件或IC，常温下杂质 全电离，载流子浓度一定，性能稳定；用本征 材料制作的器件ni随T指数增加，性能极不稳定。 (3) 每一种半导体材料器件有一定的极限工作温 度（ ni比杂质电离提供载流子浓度低1个数量级）， 其随Eg增大而增加, 随掺杂浓度增大而缓慢增加 。
3.4 杂质半导体的载流子浓度
3.4.1 杂质能级上的电子和空穴 杂质能级与能带中能级的区别：
能带中的1个能级可容纳2个自旋相反的电子。 1个杂质能级最多只能容纳1个电子
（如前所述的深能级，接收多个电子对应不同能级）
导带电子和价带空穴的费米分布函数
⎡ ⎛ E − EF f n ( E ) = 1 ⎢1 + exp ⎜ ⎝ k 0T ⎣ ⎞⎤ ⎟⎥ ⎠⎦
gD: 施主能级的基态简并度，gA: 受主能级的基态简并度. 对Si, Ge, GaAs, gD=2, gA=4。
施主能级上 的电子浓度 电离施主 浓度
nD = ND fD (E) =
ND 1+[exp(ED − EF )/ k0T] gD
ND 1 + gD exp[( EF − ED ) / k0T ]
⎡ ⎛ E − E ⎞⎤ f p ( E ) = 1 ⎢1 + exp ⎜ F ⎟⎥ ⎝ k 0T ⎠ ⎦ ⎣
+ nD = ND − nD =
杂质能级中费米分布函数
ED上电子费米分布 EA上空穴费米分布
fD (E) = f A (E) =
1 (1) 1+ [exp(ED − EF ) / k0T ] gD 1 (2) 1+ [exp(EF − EA ) / k0T ] gA
受主能级上 的空穴浓度
pA = NA f A (E) =
− pA = NA − pA =
NA 1+ [exp(EF − EA ) / k0T ] gA
电离受主 浓度
NA 1+ g A exp[(EA − EF ) / k0T ]
讨论：
3.4.2 n型半导体的载流子浓度
E D − E F 〉〉 k 0T
+ nD ≈ 0 nD = ND
1、n型半导体的载流子浓度
E
导带 Ec EF Eg
+ E F − E D 〉〉 k 0T nD ≈ N D nD ≈0
+ E F = E D nD ≈ 2 N D / 3 nD ≈ ND 3
E
gc(E)
n0
EF − E A 〉〉 k0T
E A − E F 〉〉 k 0T
pA ≈ 0
pA ≈ N A
p = NA
− A
f (E)
Ev
p =0
− A
− A
价带
0
gv(E)
1
p0
dn0/dE, dp0/dE 载流子浓度
EF = E A pA ≈ 4ND / 5 p ≈ ND 5
n型半导体
分布函数和 能态密度
热平衡时，电中性条件：
+ n0 = p0 + nD
本征激发区 n0 = p0
N型
温 度
+ 过渡区 n 0 = p 0 + n D
+ 强电离区 n0 = nD = ND
Nc exp(−
Ec − EF E − Ev ND ) = Nv exp(− F )+ (1) 1 + 2exp[( EF − ED ) / k0T ] k0T k0T
+ n0 = p0 + n D
杂质离化区
+ n0 = nD
中间电离区 低温电离区
g D=2
(1) 杂质离化区
T 低，本征激发忽略，杂质离化为主。 中性条件：
A. 低温弱电离区
+ nD 〈〈 N D , exp[( E F − E D ) / k0T ]〉〉1,
电中性条件为：
n0 = n
N c exp(−
+ D
Ec − EF ND )= (2) k 0T 1 + 2exp[ ( EF − ED ) / k0T ]
N c exp( −
Ec − E F ND )= 2 exp[( E F − E D ) / k 0T ] k 0T
(3)
EF与T、ND及
E D有关
Ec + ED k0T N ln D ＋ 2 2 2Nc
位于导带底和 施主能级间中线处
低温弱电离区EF随温度变化关系
3 dE F k0 N k T d ( − ln 2 N c ) k 0 N = ln( D ) + 0 = [ln( D ) − ] 2 2Nc 2 2 2Nc 2 dT dT (5)
EF =
E + ED 利用 lim (T ln T ) = 0 ⇒ lim EF = c T →0 T →0 2
⎛N N ⎞ n0 = ⎜ c D ⎟ ⎝ 2 ⎠
1/ 2
⎛ ΔED exp ⎜ ⎜− ⎝ 2k 0T
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
E
(4)
Ec EF ED
n0 ∝ T 3 / 4 exp( − ΔE D / 2k 0T )随温度升高， n0 迅速上升。由 ln n0T
−3 / 4
T
0.11ND
－1 / T图，确定 E D
B. 中间电离区
¾ T → 0 时，dEF dT >> 0 ; 随T增加， dEF dT 减小； ¾ 当 N c = 0.5 N D e −1.5 = 0.11N D 时,
dEF dT = 0 ，EF最大；
根据： EF =
Ec + ED k0T N D ＋ ln 2 2 2 Nc
¾ ND越大， EF 达到极值的T 越大。 ¾ T继续增加，dEF
T增加, 当 2Nc >ND时， EF 降至(Ec＋ED ) / 2之下; 当EF = ED , 1/3杂质电离 中间电离区:
dT
E D − 3k 0T
Ec + E D 2
C. 强电离区
+ n0 = nD ≈ N D ,因而E D − E F 〉〉 k 0T，中性条件
导带
0.6 0.4 0
EF – Ei(eV)
E − EF ND N c exp(− c )= (2) k 0T 1 + 2 exp[ ( EF − ED ) / k0T ]
简化
n型 Ei N=1013cm-3
N=1018cm-3 N=1015cm-3
N c exp[( EF − Ec ) / k0T ] = N D
(6)
-0.4 -0.6
p型
价带
E F = Ec + k 0T ln( N D / N c ) n0 = N D
T(K)
( 7) ( 8)
当T一定， ND(或NA)越大， EF越 靠近Ec (或Ev); 而ND (或NA)一定，T 越高， EF越靠近Ei。
思考： 根据 如果 结果
E F = Ec + k 0T ln( N D / N c )
施主杂质达到全电离的浓度上限
杂质全电离，E D − E F 〉〉 k 0T，
未电离： nD
=
N D ≥ NC
ND 1 + [exp( ED − E F ) / k 0T ] 2
简 化
？？？？
nD = 2 N D exp [ −( ED − EF ) / k0T ]
EF = Ec + k0T ln( N D / N c )
⎛ 2ND nD = N D ⎜ ⎜ N ⎝ C
⎞ ⎛ ΔED ⎞ ⎟ ⎜ kT ⎟ ⎟ ⎟ exp ⎜ ⎠ ⎝ 0 ⎠
⎛ 2N D ⎞ ⎛ ΔE D ⎞ nD = N D ⎜ (9) ⎜ N ⎟ ⎟ exp ⎜ ⎜ kT ⎟ ⎟ ⎝ C ⎠ ⎝ 0 ⎠ 令：未电离施主占施主杂质数的百分比为：
强电离与弱电离
D− = (2 N D / N c ) exp ( ΔED / k0T ) (10)
nD ≈ D− N D (11 )
弱电离 强电离
D− > 10 %
D−
T一定，某杂质要全电离，掺杂存在浓度上限！！！
如 D− = (2 N D / N c ) exp ( ΔE D / k 0T ) ≤ 10％
!!!注意:式(9)-(11)仅适用于全电离区， 即D-
z 杂质全部电离的温度T决定于电离能和杂质浓度。
则 10 ni ≤ N D ≤ (0.1× N c / 2) exp ( − ΔE D / k 0T )
全电离时，当杂质浓度≧10ni时，
ΔED 和ND 越高，T越高。
z 全部电离的杂质浓度上限NDmax ，决定于电离能△E和T 。 △E越 大， T越低，NDmax 越小。
n0≌ND
(2) 过渡区
杂质全电离
n0 = N c exp( −
Ec − E F ) k 0T E c − Ei ) k 0T
半导体处于饱和区 和完全本征激发之间
本征激发不能忽略， 但非完全本征激发
ni = N c exp( − N c = ni exp(
E c − Ei ) k 0T
n0 = n i exp[ E F − Ei ) / k0T ] p0 = n i exp[ Ei − E F ) / k0T ]
n0 = N D + p 0
利用
N型半导体过渡区的载流子浓度
少数载流子—少子 多数载流子—多子
n0 =n i exp[ EF − Ei ) / k0T ] p0 =n i exp[ Ei − EF ) / k0T ]
p0 = n0 − N D n0 p0 = ni2
n0 = p0 = 4ni2 1 2 ND [1 + (1 + 2 ) ] 2 ND 2ni2 4ni2 1 2 −1 [1 + (1 + 2 ) ] ND ND
n0 = N D + ni2 N D p0 = n0 − N D = n N D
2 i
N D = 2ni sh ⎡ ⎣( EF − Ei ) k0T ⎤ ⎦
更接近于 饱和区
n0 〉〉 p0
N D 〉〉 ni
EF = Ei + k0Tarsh ( N D / 2ni )
N D
接近本征激发
N D 〉〉 2ni
N D 〈〈ni
n0 = N D / 2 + ni p0 = − N D / 2 + ni
一般情况
向饱和区接近
0 0 更接近于 本征激发
n ≈p
(3) 高温本征激发
平衡载流子浓度 (cm-
n0 = p0 ≈ ni 〉〉 N D
EF接近禁带中线处，载流子浓度随温度升高而迅 速增加。 杂质浓度越高，本征激发起作用的温度越高。
3)
本征激发产生的载流子数远多于杂质电离产生的载流子 数，即：
本征区 2×1016 过渡区
多子n0
1×1016 饱和区 弱电离
ni
0 100 200 300 400 500 600 700
T
(K)
n-型Si中的载流子浓度与温度的关系
例题
设n型Si中ND=1.5×1014及ND=1012cm-3,计算500K 时电子和空穴浓度。 查表得500K时ni=3.5×1014cm-3,对ND=1.5×1014cm-3 该区属于过渡区：
4ni2 1 2 N ) ] = 4.3 × 1014 cm−3 n0 = D [1 + (1 + 2 2 ND p0 = ni2 = 2.8 × 1013 cm−3 n0
对ND=1012该区属于本征区： n0= p0 ≈ni=3.5×1014cm－3
答： 500K时， ND=1.5×1014时，
n0=4.3×1014cm-3， p0 =2.8×1013cm-3; ND=1012cm-3时，n0= p0 ≈ni=3.5×1014cm－3
2、 p型半导体的载流子浓度
P型半导体
A. 低温电离区
EF = (Ev + E A ) / 2 − (k0T / 2) ln( N A / 2 N v )
p0 = ( N v N A / 2)1 2 exp( − ΔE A 2k 0T )
B. 强电离区
EF = Ev − k0T ln( N A / N v ) p0 = N A p A = D+ N A 其中D+ = (2 N A N v ) exp( ΔE A k 0T )
C. 过渡区
不同掺杂下的费米能级
Ec ED EF Ei EF EA EF
E F = Ei − k0Tarsh ( N A / 2ni )
N 4ni2 1 2 p0 = A [1 + (1 + 2 ) ] 2 NA
n0 = 2ni2 4ni2 1 2 －1 [1 + (1 + 2 ) ] NA NA
EF Ev
强p型
弱p型
本征情况
弱 n型
强 n型
p 型半导体费米能级随温度的变化 ¾ 载流子浓度由掺杂浓度和温度决定。
Ec
¾ 费米能级反映半导体的导电类型和掺杂水平
EF
EA EF
Ei EA EF Ev
p型半导体导带和价带电子少，电子填充水平低，EF低, 且NA越大， EF越低； n型半导体导带和价带电子多，EF高，且ND越大， EF越高；
温度升高 随着T升高， p 型和n 型半导体的EF 最终均向 Ei 靠近
¾ 费米能级还与温度有关
随温度升高， p 型和n 型半导体的EF 最终均向Ei 靠近。
3. 少数载流子浓度
半导体类型 载 流 子 浓 度
pp0
p型 1010
多子浓度
少子浓度
nn0
n型
n型半导体 p型半导体
nn 0 = N D
p p0 = N A
pn0 = n p0 =
pn 0 = ni2 N D
np0
1016 1010
本
征
pn0
n p 0 = ni2 N A
ni2 ND − N A ni2 N A − ND
补偿半导体
0 1010 1016
Si中杂质浓度
n0 p0 = ni2 (4)
结论： （1）少子浓度与本征载流子浓度的平方成正比，与多 子浓度成反比。 （2）饱和区，少子浓度随温度升高而迅速增加。
思考 题:
（1）下图（浅能级杂质）：哪个半导体中掺有施主、哪个掺有受主？ 哪个半导体中的掺杂浓度高、哪个中的掺杂浓度低？ 哪个半导体中的少子浓度高、哪个中的少子浓度低？
EC EF
EC EF
EC
EF EV EV EV
3.6 简并半导体 1、简并半导体的载流子浓度服从费米分布函数
对n型
对p型
E F = Ec + k 0T ln( N D / N c ) ⎛ ND − NA ⎞ ⎟ E F = Ec + k 0T ln ⎜ ⎜ N ⎟ C ⎝ ⎠
(N A = 0) (N A ≠ 0 )
E F = Ev − k 0T ln( N A / N v ) ⎛ NA − ND E F = Ev − k 0T ln ⎜ ⎜ N v ⎝
(N D = 0)
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
(N D ≠ 0 )
当N D ≥ N C 或N D − N A ≥ N C时，
EF将与EC重合或在EC之上， EC附近的量子态基本被电子占据。
此类半导体称为简并半导体，其载流子分布受泡利不相容原理限 制，载流子分布服从费米分布函数
当N A ≥ N v或N A − N D ≥ N v时，
EF将与Ev重合或在Ev之上， 载流子分布服从费米分布函数
1表示玻耳兹曼分布 2表示强简并近似 3表示精确值
2.简并化条件（N型）
Ec − EF > 2k 0T 0
开始发生强简并时杂质浓度：
N D 接近或大于 N C， 且与 T和ΔE D 有关
3.杂质带导电
重掺杂时，杂质原子的电子波函数交叠，孤立能级扩展为杂质能带。 杂质能带中的电子在杂质间做共有化运动而参与导电，杂质带导电 杂质能带与允带连接，形成带尾，禁带变窄。
n0 p0 = ni2
ni2 = N c N v exp( − E g k 0T )
重掺杂时
施主能带
导带
本征导带 Eg
施主能级
简并导带 能带边缘尾部 g(E) 价带
⎛ ΔE g pn = ni2 = ni20 exp ⎜ ⎜kT ⎝ 0 ΔE g 为禁带变窄量
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
g(E)
价带
Eg
如认为杂质全电离，则因禁带变窄少子浓度将增加
简并半导体的主要特点：
(1) 掺杂浓度高，以致Ec − E F ≤ 0或EF − Ev ≤ 0
(2) 杂质不能全电离，多子浓度小于掺杂浓度； (3) ΔED越小，发生简并的掺杂浓度越小； (4) 杂质能级形成杂质能带而使禁带变窄; (5) 本征载流子浓度和少子浓度因禁带变窄而增加
小 结
电子和空穴的费米分布函数适于简并半导体。
f n ( E ) = 1 [1 + exp ( E − EF )] k 0T E −E )] f p ( E ) = 1 [1 + exp ( F k 0T (1)
( 2)
电子、空穴的玻尔兹曼分布函数适于非简并半导体。
E − EF ) k0T E −E f Bp ( E ) = exp( − F ) k 0T f Bn ( E ) = exp( − (3) ( 4)
热平衡非简并半导体电子和空穴浓度
n0 = N c exp( −
p0 = N v exp( −
本征半导体的Ei和载流子浓度
Ei = Ec + Ev k0T N v + ln (8) 2 2 Nc
Ec − E F ) k 0T
E F − Ev ) k 0T
（5）
（6）
ni = n0 = p0 = ( N c N v )1 2 exp( − Eg 2k0T ) (10)
n0 p0 = N c N v exp( −
Eg k0T
) = ni2
(7)
⎛ Ei − EC ⎞ ni = N C exp ⎜ ⎟ ⎜ kT ⎟ ⎝ 0 ⎠
N型半导体的导电情况
本征激发 n0＝p0
过渡区
T
EF＝Ei
N D / 2ni 很小 接近本征激发 N D / 2ni 很大
向饱和区接近
N型半导体过渡区的载流子浓度
p0 = n0 − N D n0 p0 = ni2
n0 = p0 = 4n ND [1 + (1 + ) ] 2 N 2ni2 4ni2 1 2 −1 [1 + (1 + 2 ) ] ND ND
2 i 12 2 D
N D = 2ni sh ⎡ ⎣( EF − Ei ) k0T ⎤ ⎦ EF = Ei + k 0Tarsh ( N D / 2ni )
强电离区 n
+ D
n0 ≈ N D p0 = n0 − N D = ni2 ND
n0 〉〉 p0
更接近于 饱和区
= N D E F = Ec + k 0T ln( N D / N c )
EF在（Ec＋ED）/2至ED以下若干k0T范围
N D 〉〉 ni N D 〈〈ni
n0 = N D / 2 + ni p0 = − N D / 2 + ni
杂质电离
中间电离区
n0 = ( N c N D / 2)1 2 exp( − ΔE D 2k0T )
低温电离区
n0 ≈ p0
更接近于 本征激发
一般情况
EF =
Ec + E D k 0T N ＋ ln D 2 2 2Nc
问 题：
少数载流子浓度
半导体类型 掺一类杂质
n型半导体 p型半导体
多子浓度
少子浓度
nn 0 = N D
pn 0 = ni2 N D
p p0 = N A
ND − N A
n p 0 = ni2 N A
pn 0 = n p0 = ni2 ND − N A ni2 N A − ND
（1）当增加掺杂浓度时, 半导体中的少数种载流子浓度会减小还 是增加? （2）掺杂为ND的半导体, 在室温下, 其中的载流子浓度是否就是 n0=ND+ni？ p0=ni ? （3）为什么禁带宽度越大的半导体以及掺杂浓度越高的半导体, 其相应器件的工作温度就越高? （4）一般情况下，杂质半导体的电中性条件怎样?
一般半导体
N A − ND
习题课
解：(1) 室温时， ni=1.5×1010cm-3, 平衡时， 1. 现有三块Si半导体，已知室温下（300K）的空穴浓度 分别为： p01=2.25×1016cm-3, p02=1.5×1010cm-3, p03=2.25×104cm-3。 （1）分别计算这三块材料的电子浓度n01、 n02 、 n03； （2）判别它们的导电类型； （3）分别计算它们的EF。
n01 = 1 × 10 4 cm−3
n0 = ni2 p0 ⇒
答： n01 = 1 × 10 4 cm−3
n03 = 1 × 1016 cm−3
n02 = 1.5 × 1010 cm−3
n03 = 1 × 1016 cm−3
n02 = 1.5 × 1010 cm−3
E − Ei p0 = ni exp( − F ) k 0T
（2）
(3)
∵ p0 = ni exp( −
E F − Ei ) k 0T p0 ni
∵ p01 > n01 , 故为p型半导体 ∵ p02＝n02 , 故为本征半导体 ∵ p03
∴ Ei − E F = k 0T ln
由此得到三块材料的费米能级分别为：
Ei − E F = k 0T ln Ei − E F = k 0T ln Ei − E F = k 0T ln
答：
p01 = 0.37 eV，E F 在Ei 之下0.37 eV ni p01 = 0eV，E F 与Ei重合， ni p03 = −0.35eV，E F 在Ei 之上0.35eV ni
2.在一掺硼的非简并P型Si中，含有一定浓度的铟，室温下测出空穴 浓度p0=1.1×1016cm-3。已知 硼浓度NA1= 1016cm-3 ,其电离能
ΔE A1 = E A1 − Ev = 0.046 eV
，铟的电离能 ΔE A2 = E A 2 − Ev = 0.16eV
已知室温下，Ge的Nc=1.04×1019cm-3,Nv=6.0×1018cm-3， 分别求在300K和500K时，含施主ND=5.0×1015cm-3、受主 NA=2.0×109cm-3的电子和空穴浓度。
试求其含铟的浓度。室温下Si的Nv＝1.04×1019cm-3。
解：有效杂质浓度
N eff = ND－ NA≈ ND, n= 5.0×1015cm-3
E F − Ev ) 解： ∵ p0 = N v exp(− k 0T
∴ ∴ ∴ E F = Ev + k 0T ln Nv = Ev + 0.178 eV p0
室温下，杂质全电离， ni=2.4×1013cm-3 所以电子浓度 空穴浓度
E F − E A1 = 0.178 − 0.046 = 0.133eV E F − E A 2 = 0.178 − 0.16 = 0.018 eV
N A1 N A2 p0 = + 1 + 2 exp[( E A1 − E F ) / k 0T ] 1 + 2 exp[( E A 2 − E F ) / k 0T ]
p = ni2 n = 1.15 × 1011 cm−3
500K时， ni=2×1016cm-3，此时本征激发产 生的载流子不可忽略，且ND
n0 = N D / 2 + ni = 2.25 × 1016 cm−3 p 0 = − N D / 2 + ni = 1.75 × 1016 cm−3
答：
热平衡
第三章 半导体中载流子的统计分布
Ec ED
EA
激发产生载流子
载流子复合(电子-空穴对消 失)
本章重点：
3.1 费米能级和载流子的统计分布 3.2 本征半导体的载流子浓度 3.3 杂质半导体的载流子浓度
EA
Ev
热平衡时，载流子的产生与复合速度相等，载流子浓度一定
允许的量子态按 能量的分布 随温度变化
电子在允许的量 子态的分布随温 度变化
3.1
状 态 密 度
状态密度：
表示能带中能量E附近单位能量间隔 内量子态数：
载流子浓度随温度变化
半导体的导电性能强烈依赖温度
g (E) =
dZ dE
1. k 空间量子态的分布
对边长为L的晶体，波矢取分立的值：
2. 状态密度
等能面是球面，极值在k=0的导带低附近：
2πnx (nx = 0, ± 1， ± 2， ⋅ ⋅ ⋅ ⋅) L 2πn y (n y = 0, ± 1， k y＝ ± 2， ⋅ ⋅ ⋅ ⋅) L 2πnz (nz = 0, ± 1， k z＝ ± 2， ⋅ ⋅ ⋅ ⋅) L k x＝
kx
kz
E ( k ) = Ec +
ky
k * 2mn
2 2
(1)
dk
在E 到E＋dE 球壳内的量子态数：
等能面
dZ =
体积为(8π3/L3)＝8π3/V 的立方体内有1个量子态
k空间电子允许的量 子态密度为2V/8π3
2V × 4π k 2dk 8π 3
(2)
* 0.5 ⎧ ( 2mn ) ( E −Ec )0.5 k = k ⎪ E(k ) = Ec + * ⇒ ⎨ * 2mn dE ⎪ kdk = mn 2 ⎩
价带顶附近状态密度
g ( E) =
32 dZ V (2m* n) = 2 (E− Ec )1 2 3 dE 2π
2 2
(4)
同样根据价带顶附近
E ( k ) = Ev −
价带顶附近状态密度
g (E) =
* 32 dZ V (2 m p ) ( Ev − E )1 2 = 3 dE 2π 2
dZ =
2V × 4π k 2 dk 8π 3
k2 2m* p
2
求出k和dk，带入（2）式，得：
(5)
算法2、
球面等能面
球面半径 =
球体内的量子态数：
(2m
* n
/
2
)[E (k ) − E ]
c
3 2
* ⎤ 2V 4π ⎡ 2 m n × ⎢ 2 (E − Ec )⎥ 3 8π 3 ⎣ ⎦
球面半径 =
(2m
* n
/
2
)[E (k ) − E ]
c
从而获得：
g(E) =
* 32 ) dZ V (2mn (E − Ec )1 2 = 2 3 dE 2π
实际Si、Ge，导带底是旋转椭球面：
导带底共有s个状态
g(E) = s V (8mt2ml )1/2 1/2 ( E(k) − Ec ) 3 2π 2
* 32 ) dZ V (2mn = 2 (E − Ec )1 2 3 dE 2π
E ( k ) = Ec +
椭球半长轴：
a=b= c=
2 k12 + k 2 k2 + 3) 2 mt ml 2
(
( 2m
l
t
/
2
) [ E (k ) − E ]
c c
对比球形等能面：
g ( E) =
( 2m
/
2
) [ E (k ) − E ]
s个旋转椭球
g ( E) =
V (2mdn )3/2 1/2 ( E(k ) − Ec ) (5) 3 2π 2
3/ 2
椭球体内的体积：
1/2 4π 4π 3/2 8mt2 ml ) [ E(k ) − Ec ] abc = ( 3 3 3
* ( s 2 8mt2 ml )1/ 2 = ( 2mdn ) ⇒ mdn = s 2 3 (ml mt2 )1 3
mdn为导带底电子状态密度有效质量, 对Si s=6, 对Ge, s=4
价带顶附近：重空穴(mp)h和轻空穴(mp)l带状态密度均满足形式：
g (E) =
* 32 dZ V (2m p ) ( Ev − E )1 2 = 2 3 dE 2π
结论
导带底附近，电子E越高，mn 越大，g(E)越大； 价带顶附近，空穴E越高，m p 越大，g(E)越大。
*
(6)
*
价带顶状态密度为重空穴和轻空穴带状态密度之 和，此时（6）式中
m* p 为：
mdp 价带顶空穴有效状态质量
Si：
Ec Ev
gc gv
mdp = 0.59m0
Ge：mdn
= 0.37m0
3.2 费米能级和载流子的统计分布
z3.2.1
f n ( E ) 叫电子的费米分布函数。满足：
所有量子态中被电子占据 的量子态数等于电子总数
费米分布函数及费米能级
¾晶体中的单个电子，能量时大时小； ¾热平衡态，大量电子按能量存在统计分布规律；
¾电子是费米子，服从泡利不相容原理，遵循费米统计分布。
∑f
i
n
( Ei ) = N
未被电子占据的几率即空穴的费米分布函数：
1、费米分布函数
2、费米能级EF
a. 与温度、导电类型、杂质含量及能量零点选取有关。 b. 定义为：
3、讨论费米分布函数 f n ( E ) =
当T＝0时
1 ⎛ E − EF ⎞ 1 + exp ⎜ ⎟ ⎝ k0T ⎠
f(E) A B C 1/2 C B 1
E 〉 EF
f (E) = 0 f (E) = 1
EF = μ = (∂F ∂N )T
(3)
E 〈 EF
在T>0时
EF
表示：当系统处于热平衡也不对外界做功的情况 下，系统增加一个电子所引起系统自由能的变化。 c. 处于热平衡的电子系统有统一的EF
E 〉 EF E = EF E 〈 EF E 〉〉 E F E 〈〈 E F
f ( E ) 〈1 2 f ( E ) =1 2 1〉 f ( E ) 〉 1 2 f (E) = 0 f (E) ≈ 1
E
A
EF
0
A、B和C分别表0、300、1000K
费米能级的意义：
a. T＝0，EF是量子态是否被电子占据的界限。 b. 温度不太高时，高于EF的能级基本不被电子 占据，低于EF的能级基本被电子占据；
3.2.2 玻尔兹曼分布函数
数学上，E − EF 〉〉 k0T 时，
玻尔兹曼分布
c. T升高, 电子占据E>EF能级的几率升高，占据 EEF能级； d. 费米能级直观地反映电子占据量子态的情 况，它标志电子填充能级的水平。EF 越高， 说明有较多高能量量子态上有电子。
玻尔兹曼分布不受泡利不相容原理限制
物理上
E − E F 〉〉 k 0T 时， 电子占据量子态的几率极小，
泡利不相容失去作用，费米分布转化为玻尔兹曼分布。
空穴的玻尔兹曼分布函数：
费米分布
⑴ 服从费米分布的系统 是简并系统（高掺杂），受泡利 不相容原理的限制。 ⑵ 服从玻尔兹曼分布的系统 非简并系统（中低掺 杂），每个被占据的量子态最多只有一个电子。
f p ( E ) = 1 [1 + exp (
EF − E F − E 〉 〉k 0T )] ⎯E ⎯ ⎯⎯ ⎯→ k 0T
玻尔兹曼分布 f Bp ( E ) = exp( −
EF − E E ) = B exp( ) k 0T k 0T
(5)
Ec EF Ei Ev 非简并n型半导体 轻掺杂半导体
Ec Ei Ev
EF 或
Ec Ei Ev
EF
E远低于EF的量子态被空穴占据的几率 很小， 这些低能态几乎被电子占据。
简并n型半导体（重掺杂） Ge、Si N>1018cm-3
Ec Ei EF Ev 非简并p型半导体 轻掺杂半导体
Ec Ei Ev EF 或
Ec Ei Ev EF
z
两种分布函数
Fermi分布函数:
f (E) = 1 E − EF 1 + exp( ) kT
E
简并p型半导体（重掺杂） Ge、Si N>1018cm-3
z
在 (E－EF)/kT >> 0 时, f(E)≈0; 在 (E－EF)/kT
Boltzmann 分布
(3) 通常情况：EF位于禁带内距Ec或Ev远大于k0T，适 用玻尔兹曼分布。 (4) 随E增大，fBn(E)指数减小，电子集中在导带底附 近；fBp(E)指数增加，空穴多集中在价带顶附近
EF
Boltzmann分布函数:
在 (E－EF)/kT >> 1 时, 得到经典 Boltzmann分布
Fermi分布 T>0 T=0
f ( E ) ≈ exp[
− (E − EF ) ] kT
0
1/2
1
f (E)
Ec Ei EF Ev 非简并p型半导体
Ec Ei Ev
3.2.3 导带中电子浓度和价带中空穴浓度
EF E gc(E)
Ec EF Ec EF
E gc(E)
E n0
非简并n型半导体
fn(E)
Ev Ev
1-fn(E)
以上两种的半导体，电子和空穴占据导带底和价带顶的几率如何？
E − EF E ) = A exp( − ) f Bn ( E ) = exp( − k 0T k 0T
E −E E f Bp ( E ) = exp( − F ) = B exp( ) k 0T k 0T
gv(E)
0 1 0
gv(E)
1
p0
dn0/dE, dp0/dE 载流子浓度
分布函数和状态密度
非简并 半导体
导带底电子浓度 价带顶空穴浓度
n0 =
1 Ec' f Bn ( E ) g c ( E )dE (1) V ∫Ec 1 Ev p0 = ∫ ' f Bp ( E ) g v ( E )dE (2) V Ev
⎛ m*k T ⎞ E − EF n0 = 2 ⎜ n 0 2 ⎟ exp(− c ) （3） π k0T 2 ⎝ ⎠
3/2
令导带底有效状态密度
n0 = ∫
' Ec
Ec
* 32 ) E − EF V (2mn exp(− )(E − Ec )1/2 dE 2 3 2π k0T
令 x = (E − Ec ) / k0T 得到 n0 =
∞ * ‘ k0T )3 2 E −E x 1 (2mn exp(− c F )∫ x1/2e－x dx 2 3 0 2π k0T
* (2πmn k 0T ) 3 / 2 ∝ T 3/ 2 h3 E − EF 得 n0 = N c exp( − c ) k 0T
Nc = 2
（4）
利用 ∫ x1/2e－x dx＝
0
π
2
E − EF ) 类比 n0 = N c exp( − c k 0T
E − EF ) f Bn ( E ) = exp( − k 0T
利用
p0 =
g (E ) =
1 Ev f Bp ( E ) g v ( E )dE ' V ∫Ev
3 (2 m * p ) 2 3 2
dZ V = 2π dE
( E v − E )1
2
导带电子浓度可看成导带底Ec处的Nc个量子态上具有的电子数。
f Bp ( E ) = exp( −
p0 =
EF − E E ) = B exp( ) k 0T k 0T
导带 Ec Eg Ev 价带
令 x = (Ev − E) / k0T , d (Ev − E) = ( k0T ) dx
32
* 32 E − EF 1 (2mp ) Ev 1/2 2 3 ∫Ev' exp( k0T )(Ev − E) dE 2π
⎛ m* ⎞ x E −E ‘ p k0T 得到 p0 = 4 ⎜ exp( v F )∫ x1/2e－x dx 0 ⎜ 2π 2 ⎟ ⎟ k0T ⎝ ⎠ 利用 ∫ x1/2e－x dx＝
0 ∞
π
2
令价带顶有效状态密度 Nv = 2 得
32 (2πm* p k 0T )
结论
h3
∝T3 2 （5）
Nc , Nv ∝ T 3 2
p0 = N v exp( −
E F − Ev ) k 0T
(1) n0和p0随
T EF
∝ exp(−1 T )
而变化
价带空穴浓度可看成价带顶Ev处的Nv 个量子态上具有的空穴数。
(2) EF与温度和半导体掺杂情况密切相关 (3) n0, p0随温度、掺杂类型和掺杂浓度而变化
3.2.4 载流子浓度乘积n0p0
n0 p0 = N c N v exp( − n0 p0 ∝ T exp( −
3
3.3 本征半导体的载流子浓度
Eg Ec − Ev ) = N c N v exp( − ) k0T k0T )
Eg k0T
本征半导体: 没有杂质和缺陷的半导体。 T=0时，不导电； T>0时, 本征激发产生载流子导电，此时 n0＝p0
不同半导体，由Eg 、T决定。 乘积n0p0与EF无关 一定半导体，取决于T, 与杂质无关。 应用？ 温度一定的某半导体， n0，p0成反比
适用于热平衡下的本征半导体和非简并杂质半导体。
电中性条件：
本征半导体
N c exp( −
Ec − Ei E −E ) = N v exp( − i v ) (1) k 0T k 0T
Ec + Ev k 0T N ln v + Nc 2 2
3/ 2 ( 2πm* n k 0T )
Ei =
h ⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ ⎯⎯ ⎯→ h3
3
Nc =2
Nv =2
3/ 2 ( 2πm* p k 0T )
=
m Ec + Ev 3k 0T + ln m 2 4
∗ p ∗ n
(2)
用Ei 表示本征半导体的费米能级
对Si、Ge和GaAs一般情况，Ei基本在禁带中线处
ni = n0 = p0 = ( N c N v ) exp( − E g 2k 0T )
12
n0 p0 = ni2 = Nc Nv exp(− Eg k0T ) (4)
ni ∝ T 3 / 2 exp( − E g 2k 0T )
适于热平衡下的本征半导体和非简并杂质半导体。
假定Eg按线性变化
E g = E g ( 0) + β T
T一定，Eg越大，ni指数下降； Eg一定， ni随T升高而增大
则
⎡ E g (0) ⎤ ⎛ β ⎞ ⎟ ni ∝ T 3 / 2 exp ⎢− ⎥ exp ⎜ ⎟ ⎜− ⎣ 2k0T ⎦ ⎝ 2k 0 ⎠
所以 ln ni T －3 / 2 — 1 / T关系为直线 由斜率求得 E g (0)
(
)
1000 0C
500 0C
200 0C
100 0C
27 0C
本征载流子浓度 ni (cm-3)
1020 1018 1016 1014 1012 1010 108 106
¾半导体器件和芯片，载流子主要来源于杂质电离； ¾欲使载流子主要源于杂质电离，掺杂浓度应高于该 温度下的本征载流子浓度或半导体不能超过一定温度；
Ge Si GaAs GaP
¾本征载流子浓度随温度升高急剧上升；
纯硅的温度升高8K，本征载流子浓度增加1倍； 纯锗的温度升高12K，本征载流子浓度增加1倍。
¾当温度升高到本征载流子浓度可与杂质电离的载流子浓 度比拟，器件失效。
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
1000 / T (K-1)
总结
(1) T一定，Eg越大，ni指数下降； Eg一定， ni随T升高而迅速增大 (2) 常用杂质半导体制作器件或IC，常温下杂质 全电离，载流子浓度一定，性能稳定；用本征 材料制作的器件ni随T指数增加，性能极不稳定。 (3) 每一种半导体材料器件有一定的极限工作温 度（ ni比杂质电离提供载流子浓度低1个数量级）， 其随Eg增大而增加, 随掺杂浓度增大而缓慢增加 。
3.4 杂质半导体的载流子浓度
3.4.1 杂质能级上的电子和空穴 杂质能级与能带中能级的区别：
能带中的1个能级可容纳2个自旋相反的电子。 1个杂质能级最多只能容纳1个电子
（如前所述的深能级，接收多个电子对应不同能级）
导带电子和价带空穴的费米分布函数
⎡ ⎛ E − EF f n ( E ) = 1 ⎢1 + exp ⎜ ⎝ k 0T ⎣ ⎞⎤ ⎟⎥ ⎠⎦
gD: 施主能级的基态简并度，gA: 受主能级的基态简并度. 对Si, Ge, GaAs, gD=2, gA=4。
施主能级上 的电子浓度 电离施主 浓度
nD = ND fD (E) =
ND 1+[exp(ED − EF )/ k0T] gD
ND 1 + gD exp[( EF − ED ) / k0T ]
⎡ ⎛ E − E ⎞⎤ f p ( E ) = 1 ⎢1 + exp ⎜ F ⎟⎥ ⎝ k 0T ⎠ ⎦ ⎣
+ nD = ND − nD =
杂质能级中费米分布函数
ED上电子费米分布 EA上空穴费米分布
fD (E) = f A (E) =
1 (1) 1+ [exp(ED − EF ) / k0T ] gD 1 (2) 1+ [exp(EF − EA ) / k0T ] gA
受主能级上 的空穴浓度
pA = NA f A (E) =
− pA = NA − pA =
NA 1+ [exp(EF − EA ) / k0T ] gA
电离受主 浓度
NA 1+ g A exp[(EA − EF ) / k0T ]
讨论：
3.4.2 n型半导体的载流子浓度
E D − E F 〉〉 k 0T
+ nD ≈ 0 nD = ND
1、n型半导体的载流子浓度
E
导带 Ec EF Eg
+ E F − E D 〉〉 k 0T nD ≈ N D nD ≈0
+ E F = E D nD ≈ 2 N D / 3 nD ≈ ND 3
E
gc(E)
n0
EF − E A 〉〉 k0T
E A − E F 〉〉 k 0T
pA ≈ 0
pA ≈ N A
p = NA
− A
f (E)
Ev
p =0
− A
− A
价带
0
gv(E)
1
p0
dn0/dE, dp0/dE 载流子浓度
EF = E A pA ≈ 4ND / 5 p ≈ ND 5
n型半导体
分布函数和 能态密度
热平衡时，电中性条件：
+ n0 = p0 + nD
本征激发区 n0 = p0
N型
温 度
+ 过渡区 n 0 = p 0 + n D
+ 强电离区 n0 = nD = ND
Nc exp(−
Ec − EF E − Ev ND ) = Nv exp(− F )+ (1) 1 + 2exp[( EF − ED ) / k0T ] k0T k0T
+ n0 = p0 + n D
杂质离化区
+ n0 = nD
中间电离区 低温电离区
g D=2
(1) 杂质离化区
T 低，本征激发忽略，杂质离化为主。 中性条件：
A. 低温弱电离区
+ nD 〈〈 N D , exp[( E F − E D ) / k0T ]〉〉1,
电中性条件为：
n0 = n
N c exp(−
+ D
Ec − EF ND )= (2) k 0T 1 + 2exp[ ( EF − ED ) / k0T ]
N c exp( −
Ec − E F ND )= 2 exp[( E F − E D ) / k 0T ] k 0T
(3)
EF与T、ND及
E D有关
Ec + ED k0T N ln D ＋ 2 2 2Nc
位于导带底和 施主能级间中线处
低温弱电离区EF随温度变化关系
3 dE F k0 N k T d ( − ln 2 N c ) k 0 N = ln( D ) + 0 = [ln( D ) − ] 2 2Nc 2 2 2Nc 2 dT dT (5)
EF =
E + ED 利用 lim (T ln T ) = 0 ⇒ lim EF = c T →0 T →0 2
⎛N N ⎞ n0 = ⎜ c D ⎟ ⎝ 2 ⎠
1/ 2
⎛ ΔED exp ⎜ ⎜− ⎝ 2k 0T
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
E
(4)
Ec EF ED
n0 ∝ T 3 / 4 exp( − ΔE D / 2k 0T )随温度升高， n0 迅速上升。由 ln n0T
−3 / 4
T
0.11ND
－1 / T图，确定 E D
B. 中间电离区
¾ T → 0 时，dEF dT >> 0 ; 随T增加， dEF dT 减小； ¾ 当 N c = 0.5 N D e −1.5 = 0.11N D 时,
dEF dT = 0 ，EF最大；
根据： EF =
Ec + ED k0T N D ＋ ln 2 2 2 Nc
¾ ND越大， EF 达到极值的T 越大。 ¾ T继续增加，dEF
T增加, 当 2Nc >ND时， EF 降至(Ec＋ED ) / 2之下; 当EF = ED , 1/3杂质电离 中间电离区:
dT
E D − 3k 0T
Ec + E D 2
C. 强电离区
+ n0 = nD ≈ N D ,因而E D − E F 〉〉 k 0T，中性条件
导带
0.6 0.4 0
EF – Ei(eV)
E − EF ND N c exp(− c )= (2) k 0T 1 + 2 exp[ ( EF − ED ) / k0T ]
简化
n型 Ei N=1013cm-3
N=1018cm-3 N=1015cm-3
N c exp[( EF − Ec ) / k0T ] = N D
(6)
-0.4 -0.6
p型
价带
E F = Ec + k 0T ln( N D / N c ) n0 = N D
T(K)
( 7) ( 8)
当T一定， ND(或NA)越大， EF越 靠近Ec (或Ev); 而ND (或NA)一定，T 越高， EF越靠近Ei。
思考： 根据 如果 结果
E F = Ec + k 0T ln( N D / N c )
施主杂质达到全电离的浓度上限
杂质全电离，E D − E F 〉〉 k 0T，
未电离： nD
=
N D ≥ NC
ND 1 + [exp( ED − E F ) / k 0T ] 2
简 化
？？？？
nD = 2 N D exp [ −( ED − EF ) / k0T ]
EF = Ec + k0T ln( N D / N c )
⎛ 2ND nD = N D ⎜ ⎜ N ⎝ C
⎞ ⎛ ΔED ⎞ ⎟ ⎜ kT ⎟ ⎟ ⎟ exp ⎜ ⎠ ⎝ 0 ⎠
⎛ 2N D ⎞ ⎛ ΔE D ⎞ nD = N D ⎜ (9) ⎜ N ⎟ ⎟ exp ⎜ ⎜ kT ⎟ ⎟ ⎝ C ⎠ ⎝ 0 ⎠ 令：未电离施主占施主杂质数的百分比为：
强电离与弱电离
D− = (2 N D / N c ) exp ( ΔED / k0T ) (10)
nD ≈ D− N D (11 )
弱电离 强电离
D− > 10 %
D−
T一定，某杂质要全电离，掺杂存在浓度上限！！！
如 D− = (2 N D / N c ) exp ( ΔE D / k 0T ) ≤ 10％
!!!注意:式(9)-(11)仅适用于全电离区， 即D-
z 杂质全部电离的温度T决定于电离能和杂质浓度。
则 10 ni ≤ N D ≤ (0.1× N c / 2) exp ( − ΔE D / k 0T )
全电离时，当杂质浓度≧10ni时，
ΔED 和ND 越高，T越高。
z 全部电离的杂质浓度上限NDmax ，决定于电离能△E和T 。 △E越 大， T越低，NDmax 越小。
n0≌ND
(2) 过渡区
杂质全电离
n0 = N c exp( −
Ec − E F ) k 0T E c − Ei ) k 0T
半导体处于饱和区 和完全本征激发之间
本征激发不能忽略， 但非完全本征激发
ni = N c exp( − N c = ni exp(
E c − Ei ) k 0T
n0 = n i exp[ E F − Ei ) / k0T ] p0 = n i exp[ Ei − E F ) / k0T ]
n0 = N D + p 0
利用
N型半导体过渡区的载流子浓度
少数载流子—少子 多数载流子—多子
n0 =n i exp[ EF − Ei ) / k0T ] p0 =n i exp[ Ei − EF ) / k0T ]
p0 = n0 − N D n0 p0 = ni2
n0 = p0 = 4ni2 1 2 ND [1 + (1 + 2 ) ] 2 ND 2ni2 4ni2 1 2 −1 [1 + (1 + 2 ) ] ND ND
n0 = N D + ni2 N D p0 = n0 − N D = n N D
2 i
N D = 2ni sh ⎡ ⎣( EF − Ei ) k0T ⎤ ⎦
更接近于 饱和区
n0 〉〉 p0
N D 〉〉 ni
EF = Ei + k0Tarsh ( N D / 2ni )
N D
接近本征激发
N D 〉〉 2ni
N D 〈〈ni
n0 = N D / 2 + ni p0 = − N D / 2 + ni
一般情况
向饱和区接近
0 0 更接近于 本征激发
n ≈p
(3) 高温本征激发
平衡载流子浓度 (cm-
n0 = p0 ≈ ni 〉〉 N D
EF接近禁带中线处，载流子浓度随温度升高而迅 速增加。 杂质浓度越高，本征激发起作用的温度越高。
3)
本征激发产生的载流子数远多于杂质电离产生的载流子 数，即：
本征区 2×1016 过渡区
多子n0
1×1016 饱和区 弱电离
ni
0 100 200 300 400 500 600 700
T
(K)
n-型Si中的载流子浓度与温度的关系
例题
设n型Si中ND=1.5×1014及ND=1012cm-3,计算500K 时电子和空穴浓度。 查表得500K时ni=3.5×1014cm-3,对ND=1.5×1014cm-3 该区属于过渡区：
4ni2 1 2 N ) ] = 4.3 × 1014 cm−3 n0 = D [1 + (1 + 2 2 ND p0 = ni2 = 2.8 × 1013 cm−3 n0
对ND=1012该区属于本征区： n0= p0 ≈ni=3.5×1014cm－3
答： 500K时， ND=1.5×1014时，
n0=4.3×1014cm-3， p0 =2.8×1013cm-3; ND=1012cm-3时，n0= p0 ≈ni=3.5×1014cm－3
2、 p型半导体的载流子浓度
P型半导体
A. 低温电离区
EF = (Ev + E A ) / 2 − (k0T / 2) ln( N A / 2 N v )
p0 = ( N v N A / 2)1 2 exp( − ΔE A 2k 0T )
B. 强电离区
EF = Ev − k0T ln( N A / N v ) p0 = N A p A = D+ N A 其中D+ = (2 N A N v ) exp( ΔE A k 0T )
C. 过渡区
不同掺杂下的费米能级
Ec ED EF Ei EF EA EF
E F = Ei − k0Tarsh ( N A / 2ni )
N 4ni2 1 2 p0 = A [1 + (1 + 2 ) ] 2 NA
n0 = 2ni2 4ni2 1 2 －1 [1 + (1 + 2 ) ] NA NA
EF Ev
强p型
弱p型
本征情况
弱 n型
强 n型
p 型半导体费米能级随温度的变化 ¾ 载流子浓度由掺杂浓度和温度决定。
Ec
¾ 费米能级反映半导体的导电类型和掺杂水平
EF
EA EF
Ei EA EF Ev
p型半导体导带和价带电子少，电子填充水平低，EF低, 且NA越大， EF越低； n型半导体导带和价带电子多，EF高，且ND越大， EF越高；
温度升高 随着T升高， p 型和n 型半导体的EF 最终均向 Ei 靠近
¾ 费米能级还与温度有关
随温度升高， p 型和n 型半导体的EF 最终均向Ei 靠近。
3. 少数载流子浓度
半导体类型 载 流 子 浓 度
pp0
p型 1010
多子浓度
少子浓度
nn0
n型
n型半导体 p型半导体
nn 0 = N D
p p0 = N A
pn0 = n p0 =
pn 0 = ni2 N D
np0
1016 1010
本
征
pn0
n p 0 = ni2 N A
ni2 ND − N A ni2 N A − ND
补偿半导体
0 1010 1016
Si中杂质浓度
n0 p0 = ni2 (4)
结论： （1）少子浓度与本征载流子浓度的平方成正比，与多 子浓度成反比。 （2）饱和区，少子浓度随温度升高而迅速增加。
思考 题:
（1）下图（浅能级杂质）：哪个半导体中掺有施主、哪个掺有受主？ 哪个半导体中的掺杂浓度高、哪个中的掺杂浓度低？ 哪个半导体中的少子浓度高、哪个中的少子浓度低？
EC EF
EC EF
EC
EF EV EV EV
3.6 简并半导体 1、简并半导体的载流子浓度服从费米分布函数
对n型
对p型
E F = Ec + k 0T ln( N D / N c ) ⎛ ND − NA ⎞ ⎟ E F = Ec + k 0T ln ⎜ ⎜ N ⎟ C ⎝ ⎠
(N A = 0) (N A ≠ 0 )
E F = Ev − k 0T ln( N A / N v ) ⎛ NA − ND E F = Ev − k 0T ln ⎜ ⎜ N v ⎝
(N D = 0)
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
(N D ≠ 0 )
当N D ≥ N C 或N D − N A ≥ N C时，
EF将与EC重合或在EC之上， EC附近的量子态基本被电子占据。
此类半导体称为简并半导体，其载流子分布受泡利不相容原理限 制，载流子分布服从费米分布函数
当N A ≥ N v或N A − N D ≥ N v时，
EF将与Ev重合或在Ev之上， 载流子分布服从费米分布函数
1表示玻耳兹曼分布 2表示强简并近似 3表示精确值
2.简并化条件（N型）
Ec − EF > 2k 0T 0
开始发生强简并时杂质浓度：
N D 接近或大于 N C， 且与 T和ΔE D 有关
3.杂质带导电
重掺杂时，杂质原子的电子波函数交叠，孤立能级扩展为杂质能带。 杂质能带中的电子在杂质间做共有化运动而参与导电，杂质带导电 杂质能带与允带连接，形成带尾，禁带变窄。
n0 p0 = ni2
ni2 = N c N v exp( − E g k 0T )
重掺杂时
施主能带
导带
本征导带 Eg
施主能级
简并导带 能带边缘尾部 g(E) 价带
⎛ ΔE g pn = ni2 = ni20 exp ⎜ ⎜kT ⎝ 0 ΔE g 为禁带变窄量
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
g(E)
价带
Eg
如认为杂质全电离，则因禁带变窄少子浓度将增加
简并半导体的主要特点：
(1) 掺杂浓度高，以致Ec − E F ≤ 0或EF − Ev ≤ 0
(2) 杂质不能全电离，多子浓度小于掺杂浓度； (3) ΔED越小，发生简并的掺杂浓度越小； (4) 杂质能级形成杂质能带而使禁带变窄; (5) 本征载流子浓度和少子浓度因禁带变窄而增加
小 结
电子和空穴的费米分布函数适于简并半导体。
f n ( E ) = 1 [1 + exp ( E − EF )] k 0T E −E )] f p ( E ) = 1 [1 + exp ( F k 0T (1)
( 2)
电子、空穴的玻尔兹曼分布函数适于非简并半导体。
E − EF ) k0T E −E f Bp ( E ) = exp( − F ) k 0T f Bn ( E ) = exp( − (3) ( 4)
热平衡非简并半导体电子和空穴浓度
n0 = N c exp( −
p0 = N v exp( −
本征半导体的Ei和载流子浓度
Ei = Ec + Ev k0T N v + ln (8) 2 2 Nc
Ec − E F ) k 0T
E F − Ev ) k 0T
（5）
（6）
ni = n0 = p0 = ( N c N v )1 2 exp( − Eg 2k0T ) (10)
n0 p0 = N c N v exp( −
Eg k0T
) = ni2
(7)
⎛ Ei − EC ⎞ ni = N C exp ⎜ ⎟ ⎜ kT ⎟ ⎝ 0 ⎠
N型半导体的导电情况
本征激发 n0＝p0
过渡区
T
EF＝Ei
N D / 2ni 很小 接近本征激发 N D / 2ni 很大
向饱和区接近
N型半导体过渡区的载流子浓度
p0 = n0 − N D n0 p0 = ni2
n0 = p0 = 4n ND [1 + (1 + ) ] 2 N 2ni2 4ni2 1 2 −1 [1 + (1 + 2 ) ] ND ND
2 i 12 2 D
N D = 2ni sh ⎡ ⎣( EF − Ei ) k0T ⎤ ⎦ EF = Ei + k 0Tarsh ( N D / 2ni )
强电离区 n
+ D
n0 ≈ N D p0 = n0 − N D = ni2 ND
n0 〉〉 p0
更接近于 饱和区
= N D E F = Ec + k 0T ln( N D / N c )
EF在（Ec＋ED）/2至ED以下若干k0T范围
N D 〉〉 ni N D 〈〈ni
n0 = N D / 2 + ni p0 = − N D / 2 + ni
杂质电离
中间电离区
n0 = ( N c N D / 2)1 2 exp( − ΔE D 2k0T )
低温电离区
n0 ≈ p0
更接近于 本征激发
一般情况
EF =
Ec + E D k 0T N ＋ ln D 2 2 2Nc
问 题：
少数载流子浓度
半导体类型 掺一类杂质
n型半导体 p型半导体
多子浓度
少子浓度
nn 0 = N D
pn 0 = ni2 N D
p p0 = N A
ND − N A
n p 0 = ni2 N A
pn 0 = n p0 = ni2 ND − N A ni2 N A − ND
（1）当增加掺杂浓度时, 半导体中的少数种载流子浓度会减小还 是增加? （2）掺杂为ND的半导体, 在室温下, 其中的载流子浓度是否就是 n0=ND+ni？ p0=ni ? （3）为什么禁带宽度越大的半导体以及掺杂浓度越高的半导体, 其相应器件的工作温度就越高? （4）一般情况下，杂质半导体的电中性条件怎样?
一般半导体
N A − ND
习题课
解：(1) 室温时， ni=1.5×1010cm-3, 平衡时， 1. 现有三块Si半导体，已知室温下（300K）的空穴浓度 分别为： p01=2.25×1016cm-3, p02=1.5×1010cm-3, p03=2.25×104cm-3。 （1）分别计算这三块材料的电子浓度n01、 n02 、 n03； （2）判别它们的导电类型； （3）分别计算它们的EF。
n01 = 1 × 10 4 cm−3
n0 = ni2 p0 ⇒
答： n01 = 1 × 10 4 cm−3
n03 = 1 × 1016 cm−3
n02 = 1.5 × 1010 cm−3
n03 = 1 × 1016 cm−3
n02 = 1.5 × 1010 cm−3
E − Ei p0 = ni exp( − F ) k 0T
（2）
(3)
∵ p0 = ni exp( −
E F − Ei ) k 0T p0 ni
∵ p01 > n01 , 故为p型半导体 ∵ p02＝n02 , 故为本征半导体 ∵ p03
∴ Ei − E F = k 0T ln
由此得到三块材料的费米能级分别为：
Ei − E F = k 0T ln Ei − E F = k 0T ln Ei − E F = k 0T ln
答：
p01 = 0.37 eV，E F 在Ei 之下0.37 eV ni p01 = 0eV，E F 与Ei重合， ni p03 = −0.35eV，E F 在Ei 之上0.35eV ni
2.在一掺硼的非简并P型Si中，含有一定浓度的铟，室温下测出空穴 浓度p0=1.1×1016cm-3。已知 硼浓度NA1= 1016cm-3 ,其电离能
ΔE A1 = E A1 − Ev = 0.046 eV
，铟的电离能 ΔE A2 = E A 2 − Ev = 0.16eV
已知室温下，Ge的Nc=1.04×1019cm-3,Nv=6.0×1018cm-3， 分别求在300K和500K时，含施主ND=5.0×1015cm-3、受主 NA=2.0×109cm-3的电子和空穴浓度。
试求其含铟的浓度。室温下Si的Nv＝1.04×1019cm-3。
解：有效杂质浓度
N eff = ND－ NA≈ ND, n= 5.0×1015cm-3
E F − Ev ) 解： ∵ p0 = N v exp(− k 0T
∴ ∴ ∴ E F = Ev + k 0T ln Nv = Ev + 0.178 eV p0
室温下，杂质全电离， ni=2.4×1013cm-3 所以电子浓度 空穴浓度
E F − E A1 = 0.178 − 0.046 = 0.133eV E F − E A 2 = 0.178 − 0.16 = 0.018 eV
N A1 N A2 p0 = + 1 + 2 exp[( E A1 − E F ) / k 0T ] 1 + 2 exp[( E A 2 − E F ) / k 0T ]
p = ni2 n = 1.15 × 1011 cm−3
500K时， ni=2×1016cm-3，此时本征激发产 生的载流子不可忽略，且ND
n0 = N D / 2 + ni = 2.25 × 1016 cm−3 p 0 = − N D / 2 + ni = 1.75 × 1016 cm−3
答：