§2.1 变量分离方程与变量变换习题及解答 1.
dy
=2xy , 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. dx
解：对原式进行变量分离得
1
dy =2xdx , 两边同时积分得：ln y =y
c =1, 故它的特解为y =e x 。
2
x
2
+c , 即y =c e x 把x =0, y =1代入得
2
2. y dx +(x +1) dy =0, 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.
2
解：对原式进行变量分离得：
-
1111
dx =2dy , 当y ≠0ln x +=+c , 即y =x +1y c +ln x +y
当y =0时显然也是原方程的解。当x =0, y =1时，代入式子得c =1, 故特解是
1
y =。
1+ln +x
2
1+y dy
3 =
dx xy +x 3y 解：原式可化为：
1+y dy 1+y 1y 1
=∙显然≠0, dy =dx 323dx y y x +x x +x 1+y 1
ln +
2
2
2
y
2
12
=ln x -ln +x +ln c (c ≠0), 即(1+
2(1+x ) =c x y ）
2
2
2
y )(1+x ) =c x
2
2
2
故原方程的解为（1+
4：(1+x ) ydx +(1-y ) xdy =0
1+x 1-y
解：由y =0或x =0是方程的解，当xy ≠0dx =dy =0
x y 两边积分ln x +x +ln y -y =c , 即ln xy +x -y =c , 故原方程的解为ln xy +x -y =c ; y =0; x =0.
5:(y +x ) dy +(y -x ) dx =0
dy y -x y dy du =, 令=u , y =ux , =u +x
dx y +x x dx dx
du u +1u +11
则u +x =, 变量分离，得：-2du =dx
dx u +1x u +1两边积分得：arctgu +
12
ln(1+u ) =-ln x +c 。2
2dy 2
=y +x -y dx y dy du
解：令=u , y =ux , =u +x , 则原方程化为：
x dx dx
6：x
du =dx
x
2
(1-u ) x
2
11
, du =sgn x ∙dx
2x -u
-
两边积分得：arcsin u =sgn x ∙ln x +c
-y
代回原来变量，得arcsin =sgn x ∙ln x +c
x
另外，y =x 也是方程的解。
2
2
7：tgydx -ctgxdy =0
解：变量分离，得：ctgydy =tgxdx 两边积分得：ln sin y =-ln cos x +c .
y
2
dy 8:=-dx y
+3x
e
y 13x
dy =-e +c 2
3y
9:x (lnx -ln y ) dy -ydx =0
y y
解：方程可变为：-ln ∙dy -dx =0
x x
y 1ln u 令u =, dx =-d ln u
x x 1+ln u
y
代回原变量得：cy =1+ln 。
x
dy x -y 10=e dx 解：变量分离e dy =e dx 两边积分e =e +c
y
x y
x
dy x -y
=e dx
解：变量分离，e dy =e dx 两边积分得：e =e +c
2dy 11. =(x +y ) dx
y
x y
x
dy dt =+1dx dx dt 1
=2+1
dx t 解：令x +y =t , 则2
1+1
t
dt =dx , 两边积分arctgt =x +c
代回变量得：arctg (x +y ) =x +c
dy 1
=2
dx (x +y )
12．解
令x +y =t ，则
dy dt dt 1=-1=2+1dx dx dx t
t 2
变量分离2dt =dx ，两边积分t -arctgt =x +c ，代回变量
t +1
x +y -arctg (x +y ) =x +c
13.
dy 2x -y -1=
dx x -2y +1
11
解：方程组2x -y -1=0, x -2y +1=0; 的解为x =-, y =
33
11dY 2X -Y
令x =X -, y =Y +, 则有='
33dX X -2Y Y dU 2-2U +2令=U ，则方程可化为：X =
X dX 1-2U 变量分离
2
14,
dy x -y +5=
dx x -y -2
dy dt =1-, dx dx dt t
原方程化为：1-=, 变量分离(t -7) dt -7dx
dx t -712
两边积分t -7t =-7x +c
2
21
代回变量(x -y +5) -7(x -y +5) =-7x +c .
2解：令x -y =5=t , 则
dy
=(x +1) 2+(4y +1) 2+8xy +1
15．dx
dy
=x 2+2x +1+16y 2+8y +1+8xy +1=(x +4y +1) 2+2
dx
dy du 1du 9
令1+x +4y =u ，则关于x 求导得1+4=，所以=u 2+，
dx dx 4dx 4
1228
分离变量2du =dx ，两边积分得arctg (+x +y ) =6x +c ，是
3334u +9
原方程的解。
dy y 6-2x 2
16． =522
dx 2xy +x y
dy (y 3) 2-2x 2dy 33[(y 3) 2-2x 2]解：=2==，，令y 3=u ，则原方程化为 3232
dx y (2xy +x dx 2xy +x 3u 2
-62du 3u 2-6x 2==2
u dx 2xu +x
2+1x
，这是齐次方程，令
u du dz 3z 2-6dz dz z 2-z -6=z ，则=z +x ，所以=z +x ，，x =，.......... .(1) x dx dx 2z +1dx dx 2z +1当z 2-z -6=0，得z =3或z =-2是（1）方程的解。即y 3=3x 或y 3=-2x 是方程的解。
2z +11
当z 2-z -6≠02dz =dx ，两边积分的（z -3) 7(z +2) 3=x 5c ,
x z -z -d
即（y 3-3x ) 7(y 3+2x ) 3=x 5c ，又因为y 3=3x 或y 3=-2x 包含在通解中当c =0时。故原方程的解为(y 3-3x ) 7(y 3+2x ) 3=x 15c
dy 2x 3+3xy +x 17. =2
3
dx 3x y +2y -y
dy x (2x 2+3y 2+1) dy 22x 2+3y 2+1
解：原方程化为 =; ; ; ; ; 2=2
222
dx y (3x +2y -1) dx 3x +2y -1 令y 2=u , ; ; ; ; ; x 2=v ; ; ; ; ; ; ; 则
du 2v +3u +1
=.......(1) dv 3v +2u -1
⎧2v +3u +1=0
的解为（1，-1）；令Z =v -1，，Y =u +1，⎨
方程组⎩3v +2u -1=0 y ⎧
2+3⎪dy ⎪2z +3y =0z 则有⎨，，，，从而方程（1=
dz ⎪3z +2y =03+2⎪z ⎩令
y dy dt dt 2+3t dt 2-2t 2
t =，，则有=t +z ，，所以t +z =，，z =，.......... .(2)
z dz dz dz 3+2t dz 3+2t
当
2-2t 2=0时，，即t =±1，是方程(2) 的解。得y 2=x 2-2或y 2=-x 2是原方程的解当
2-2t 2≠0时，，分离变量得
3+2t 1
dt =dz 两边积分的y 2+x 2=(y 2-x 2+2) 5c 2
z 2-2t
另外
y 2=x 2-2，或y 2=-x 2，包含在其通解中，故原方程的解为y 2+x 2=(y 2-x 2+2) 5c
18. 证明方程
x dy
=f (xy ) 经变换xy =u 可化为变量分离方程，并由此求解下列方程y dx
（1）. y (1+x 2y 2) dx =xdy x dy 2+x 2y 2(2). =
y dx 2-x 2y 2
dy dy dy du =, 所以x =-y dx dx dx dx
1du du u 1-1=f(u),=(f(u)+1) =(uf(u)+u)
y dx dx =y(f(u)+1) x x 证明：因为xy =u, 关于x 求导导得y +x 故此方程为此方程为变程。
2x dy 2解(1):当x =0或y =0是原方程的解，当xy ≠0s =1+x y
y dx
du 1du 13
令xy =u, =(2u+u ), =dx 3
dx x x 2u +u
y =c x , 即=c x u +2x y +2y 故原方程的解=c x , x =0. x y +2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
, y =0也包含在此通解中。
du 12+u 214u
解 (2)令xy =u =(u +u ) =
dx x 2-u 2x 2-u 2
y x 2y 22-u 21
分离变量得du =dx ，两边积分得ln =+c ，这也就是方程的解。
4u x x 4
x
19. 已知f(x)⎰f (x ) dt =1, x ≠0, 试求函数f (x ) 的一般表达式.
1
y =-2y ' 1
解：设f(x)=y, 则原方程化为⎰f (x ) dt = 两边求导得 y
y 0
x
-y 3=
dy 1111
; ; ; ; ; ; ; ; ; ; dx =-3; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 两边积分得x +c =; ; ; ; ; 所以y =±dx 2y 2y dy 2x +c
12x +c
x
把y =±
代入⎰f (x ) dt =
1
y
x
±⎰
12t +c
dt =±2x +c ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ±(2x +c -) =±2x +c 得c =0, 所以y =±
12x
20. 求具有性质 x(t+s)=
x (t ) +x (s )
的函数x(t),已知x’(0)存在。
1-x (t ) x (s )
解：令t=s=0 x(0)=
x (0) +x (0) 2x (0)
= 若x(0)≠0 得x 2=-1矛盾。
1-x (0) 1-x (0) x (0)
x (t +∆t ) -x (t ) x (∆t )(1+x 2(t ))
所以x(0)=0. x’(t)=lim =lim =x ' (0)(1+x 2(t ) )
∆t ∆t [1-x (t ) x (∆t )
dx (t ) dx (t )
=x ' (0)(1+x 2(t )) =x ' (0) dt 两边积分得arctg x(t)=x’(0)t+c 2dt 1+x (t )
所以x(t)=tg[x’(0)t+c] 当t=0时 x(0)=0 故c=0 所以 x(t)=tg[x’(0)t]
§2.1 变量分离方程与变量变换习题及解答 1.
dy
=2xy , 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. dx
解：对原式进行变量分离得
1
dy =2xdx , 两边同时积分得：ln y =y
c =1, 故它的特解为y =e x 。
2
x
2
+c , 即y =c e x 把x =0, y =1代入得
2
2. y dx +(x +1) dy =0, 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.
2
解：对原式进行变量分离得：
-
1111
dx =2dy , 当y ≠0ln x +=+c , 即y =x +1y c +ln x +y
当y =0时显然也是原方程的解。当x =0, y =1时，代入式子得c =1, 故特解是
1
y =。
1+ln +x
2
1+y dy
3 =
dx xy +x 3y 解：原式可化为：
1+y dy 1+y 1y 1
=∙显然≠0, dy =dx 323dx y y x +x x +x 1+y 1
ln +
2
2
2
y
2
12
=ln x -ln +x +ln c (c ≠0), 即(1+
2(1+x ) =c x y ）
2
2
2
y )(1+x ) =c x
2
2
2
故原方程的解为（1+
4：(1+x ) ydx +(1-y ) xdy =0
1+x 1-y
解：由y =0或x =0是方程的解，当xy ≠0dx =dy =0
x y 两边积分ln x +x +ln y -y =c , 即ln xy +x -y =c , 故原方程的解为ln xy +x -y =c ; y =0; x =0.
5:(y +x ) dy +(y -x ) dx =0
dy y -x y dy du =, 令=u , y =ux , =u +x
dx y +x x dx dx
du u +1u +11
则u +x =, 变量分离，得：-2du =dx
dx u +1x u +1两边积分得：arctgu +
12
ln(1+u ) =-ln x +c 。2
2dy 2
=y +x -y dx y dy du
解：令=u , y =ux , =u +x , 则原方程化为：
x dx dx
6：x
du =dx
x
2
(1-u ) x
2
11
, du =sgn x ∙dx
2x -u
-
两边积分得：arcsin u =sgn x ∙ln x +c
-y
代回原来变量，得arcsin =sgn x ∙ln x +c
x
另外，y =x 也是方程的解。
2
2
7：tgydx -ctgxdy =0
解：变量分离，得：ctgydy =tgxdx 两边积分得：ln sin y =-ln cos x +c .
y
2
dy 8:=-dx y
+3x
e
y 13x
dy =-e +c 2
3y
9:x (lnx -ln y ) dy -ydx =0
y y
解：方程可变为：-ln ∙dy -dx =0
x x
y 1ln u 令u =, dx =-d ln u
x x 1+ln u
y
代回原变量得：cy =1+ln 。
x
dy x -y 10=e dx 解：变量分离e dy =e dx 两边积分e =e +c
y
x y
x
dy x -y
=e dx
解：变量分离，e dy =e dx 两边积分得：e =e +c
2dy 11. =(x +y ) dx
y
x y
x
dy dt =+1dx dx dt 1
=2+1
dx t 解：令x +y =t , 则2
1+1
t
dt =dx , 两边积分arctgt =x +c
代回变量得：arctg (x +y ) =x +c
dy 1
=2
dx (x +y )
12．解
令x +y =t ，则
dy dt dt 1=-1=2+1dx dx dx t
t 2
变量分离2dt =dx ，两边积分t -arctgt =x +c ，代回变量
t +1
x +y -arctg (x +y ) =x +c
13.
dy 2x -y -1=
dx x -2y +1
11
解：方程组2x -y -1=0, x -2y +1=0; 的解为x =-, y =
33
11dY 2X -Y
令x =X -, y =Y +, 则有='
33dX X -2Y Y dU 2-2U +2令=U ，则方程可化为：X =
X dX 1-2U 变量分离
2
14,
dy x -y +5=
dx x -y -2
dy dt =1-, dx dx dt t
原方程化为：1-=, 变量分离(t -7) dt -7dx
dx t -712
两边积分t -7t =-7x +c
2
21
代回变量(x -y +5) -7(x -y +5) =-7x +c .
2解：令x -y =5=t , 则
dy
=(x +1) 2+(4y +1) 2+8xy +1
15．dx
dy
=x 2+2x +1+16y 2+8y +1+8xy +1=(x +4y +1) 2+2
dx
dy du 1du 9
令1+x +4y =u ，则关于x 求导得1+4=，所以=u 2+，
dx dx 4dx 4
1228
分离变量2du =dx ，两边积分得arctg (+x +y ) =6x +c ，是
3334u +9
原方程的解。
dy y 6-2x 2
16． =522
dx 2xy +x y
dy (y 3) 2-2x 2dy 33[(y 3) 2-2x 2]解：=2==，，令y 3=u ，则原方程化为 3232
dx y (2xy +x dx 2xy +x 3u 2
-62du 3u 2-6x 2==2
u dx 2xu +x
2+1x
，这是齐次方程，令
u du dz 3z 2-6dz dz z 2-z -6=z ，则=z +x ，所以=z +x ，，x =，.......... .(1) x dx dx 2z +1dx dx 2z +1当z 2-z -6=0，得z =3或z =-2是（1）方程的解。即y 3=3x 或y 3=-2x 是方程的解。
2z +11
当z 2-z -6≠02dz =dx ，两边积分的（z -3) 7(z +2) 3=x 5c ,
x z -z -d
即（y 3-3x ) 7(y 3+2x ) 3=x 5c ，又因为y 3=3x 或y 3=-2x 包含在通解中当c =0时。故原方程的解为(y 3-3x ) 7(y 3+2x ) 3=x 15c
dy 2x 3+3xy +x 17. =2
3
dx 3x y +2y -y
dy x (2x 2+3y 2+1) dy 22x 2+3y 2+1
解：原方程化为 =; ; ; ; ; 2=2
222
dx y (3x +2y -1) dx 3x +2y -1 令y 2=u , ; ; ; ; ; x 2=v ; ; ; ; ; ; ; 则
du 2v +3u +1
=.......(1) dv 3v +2u -1
⎧2v +3u +1=0
的解为（1，-1）；令Z =v -1，，Y =u +1，⎨
方程组⎩3v +2u -1=0 y ⎧
2+3⎪dy ⎪2z +3y =0z 则有⎨，，，，从而方程（1=
dz ⎪3z +2y =03+2⎪z ⎩令
y dy dt dt 2+3t dt 2-2t 2
t =，，则有=t +z ，，所以t +z =，，z =，.......... .(2)
z dz dz dz 3+2t dz 3+2t
当
2-2t 2=0时，，即t =±1，是方程(2) 的解。得y 2=x 2-2或y 2=-x 2是原方程的解当
2-2t 2≠0时，，分离变量得
3+2t 1
dt =dz 两边积分的y 2+x 2=(y 2-x 2+2) 5c 2
z 2-2t
另外
y 2=x 2-2，或y 2=-x 2，包含在其通解中，故原方程的解为y 2+x 2=(y 2-x 2+2) 5c
18. 证明方程
x dy
=f (xy ) 经变换xy =u 可化为变量分离方程，并由此求解下列方程y dx
（1）. y (1+x 2y 2) dx =xdy x dy 2+x 2y 2(2). =
y dx 2-x 2y 2
dy dy dy du =, 所以x =-y dx dx dx dx
1du du u 1-1=f(u),=(f(u)+1) =(uf(u)+u)
y dx dx =y(f(u)+1) x x 证明：因为xy =u, 关于x 求导导得y +x 故此方程为此方程为变程。
2x dy 2解(1):当x =0或y =0是原方程的解，当xy ≠0s =1+x y
y dx
du 1du 13
令xy =u, =(2u+u ), =dx 3
dx x x 2u +u
y =c x , 即=c x u +2x y +2y 故原方程的解=c x , x =0. x y +2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
, y =0也包含在此通解中。
du 12+u 214u
解 (2)令xy =u =(u +u ) =
dx x 2-u 2x 2-u 2
y x 2y 22-u 21
分离变量得du =dx ，两边积分得ln =+c ，这也就是方程的解。
4u x x 4
x
19. 已知f(x)⎰f (x ) dt =1, x ≠0, 试求函数f (x ) 的一般表达式.
1
y =-2y ' 1
解：设f(x)=y, 则原方程化为⎰f (x ) dt = 两边求导得 y
y 0
x
-y 3=
dy 1111
; ; ; ; ; ; ; ; ; ; dx =-3; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 两边积分得x +c =; ; ; ; ; 所以y =±dx 2y 2y dy 2x +c
12x +c
x
把y =±
代入⎰f (x ) dt =
1
y
x
±⎰
12t +c
dt =±2x +c ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ±(2x +c -) =±2x +c 得c =0, 所以y =±
12x
20. 求具有性质 x(t+s)=
x (t ) +x (s )
的函数x(t),已知x’(0)存在。
1-x (t ) x (s )
解：令t=s=0 x(0)=
x (0) +x (0) 2x (0)
= 若x(0)≠0 得x 2=-1矛盾。
1-x (0) 1-x (0) x (0)
x (t +∆t ) -x (t ) x (∆t )(1+x 2(t ))
所以x(0)=0. x’(t)=lim =lim =x ' (0)(1+x 2(t ) )
∆t ∆t [1-x (t ) x (∆t )
dx (t ) dx (t )
=x ' (0)(1+x 2(t )) =x ' (0) dt 两边积分得arctg x(t)=x’(0)t+c 2dt 1+x (t )
所以x(t)=tg[x’(0)t+c] 当t=0时 x(0)=0 故c=0 所以 x(t)=tg[x’(0)t]