【本讲教育信息】
一. 教学内容:
弧长及扇形的面积 圆锥的侧面积
二. 教学要求
1、了解弧长计算公式及扇形面积计算公式,并会运用公式解决具体问题。 2、了解圆锥的侧面积公式,并会应用公式解决问题。
三. 重点及难点 重点:
1、弧长的公式、扇形面积公式及其应用。
2、圆锥的侧面积展开图及圆锥的侧面积、全面积的计算。 难点:
1、弧长公式、扇形面积公式的推导。 2、圆锥的侧面积、全面积的计算。
[知识要点]
知识点1、弧长公式
因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C =2R ,所以1
°的圆心角所对的弧长是
,于是可得半径为R 的圆中,n °的圆心角所对的弧长l 的计算公式:,
说明:(1)在弧长公式中,n 表示1°的圆心角的倍数,n 和180都不带单位“度”,例如,圆的半径R =10,计算20°的圆心角所对的弧长l 时,不要错写成
(2)在弧长公式中,已知l ,n ,R 中的任意两个量,都可以求出第三个量。
。
知识点2、扇形的面积
如图所示,阴影部分的面积就是半径为R ,圆心角为n °的扇形面积,显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分,因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面积为1°的扇形面积是
又因为扇形的弧长的另一个计算公式:
,由此得圆心角为n °的扇形面积的计算公式是
,扇形面积。
,所以圆心角
。
,所以又得到扇形面积
知识点3、弓形的面积
(1)弓形的定义:由弦及其所对的弧(包括劣弧、优弧、半圆)组成的图形叫做弓形。 (2)弓形的周长=弦长+弧长
(3)弓形的面积
如图所示,每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积,从图中可以看出,只要把扇形OAmB 的面积和△AOB 的面积计算出来,就可以得到弓形AmB 的面积。
当弓形所含的弧是劣弧时,如图1所示,当弓形所含的弧是优弧时,如图2所示,
当弓形所含的弧是半圆时,如图3所示,
例:如图所示,⊙O 的半径为2,∠ABC =45°,则图中阴影部分的面积是 ( )(结果用表示)
分析:由图可知由圆周角定理可知∠ABC
=∠AOC =2∠ABC =90°,所以△OAC 是直角三角形,所以
,
所以
∠AOC ,所以
(2)扇形与弓形的联系与区别
知识点4、圆锥的侧面积
圆锥的侧面展开图是一个扇形,如图所示,设圆锥的母线长为l ,底面圆的半径为r ,那么这个扇形的半径为l ,扇形的弧长为2面积
,圆锥的侧面积
,圆锥的全
说明:(1)圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。
(2)研究有关圆锥的侧面积和全面积的计算问题,关键是理解圆锥的侧面积公式,并明确圆锥全面积与侧面积之间的关系。
或知识点4、
如果用r 来表示底面半径,l 表示圆锥的母线,n°表示圆锥侧面扇形的圆心角的度数,则底面周长为2πr, 所以扇形的弧线长度也为2πr ,而弧线长度(扇形所占圆周长)就等于n°/360°.扇形所占圆是以以母线l 为半径的,所以它的周长为2πr ,得出
n /360 = 2πr /2πl = r/l
r / l就是弧线长度与扇形所占圆周长之比,也就是扇形与扇形所占圆的面积之比。所以,只需求出扇形所占圆的面积再乘以r /l 便可以得出扇形的面积。而扇形所占圆的面积为πl2,即可得出:
S 侧 = πl2×r/l
= πrl
向前再推一步,又得出扇形面积的计算公式:
S侧 =πrl
=1/2×2πr×l
= 1/2×底面弧线长× 母线长
由此推导出圆锥侧面扇形面积等于πrl ,等于3.14乘以底面半径再乘以母线即可。圆锥的表面积为侧面积加底面积,又为:
S表 = S侧+S 底
=πrl +πr2
=πrl +πr×r
=πr(l+r)
知识点5、圆柱的侧面积
圆柱的侧面积展开图是矩形,如图所示,其两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面圆的周长,若圆柱的底面半径为r ,高为h ,则圆柱的侧面
积
,圆柱的全面
积
知识小结:
【典型例题】
例1. (2003. 辽宁)如图所示,在同心圆中,两圆的半径分别为2,1,∠AOB =120°,则阴影部分的面积是( )
A.
B.
C.
D.
分析:阴影部分所在的两个扇形的圆心角为所以
故答案为:B.
,
例2. (2004·陕西)如图所示,点C 在以AB 为直径的半圆上,连接AC ,BC ,AB =10厘米,tan ∠BAC =
,求阴影部分的面积。
分析:本题考查的知识点有:(1)直径所对圆周角为90°,(2)解直角三角形的知识(3)组合图形面积的计算。
解:因为AB 为直径,所以∠ACB =90°,
在Rt △ABC 中,AB =10, tan ∠BAC =,而tan ∠BAC =设BC =3k ,AC =4k ,(k 不为0,且为正数) 由勾股定理得所以BC =6,AC =8,所以
例3. (2003. 福州)如图所示,已知扇形AOB 的圆心角为直角,正方形OCDE 内接于扇形AOB ,点C ,E ,D 分别在OA ,OB 及AB 弧上,过点A 作AF ⊥ED 交ED 的延长线于F ,垂足为F ,如果正方形的边长为1,那么阴影部分的面积为( )
,而
分析:连接OD ,由正方形性质可知∠EOD =∠DOC =45°,在Rt △OED 中,OD
=
,
因为正方形的边长为1,所以OE =DE =1,所以,设两部分阴影的面积中的
一部分为M ,另一部分为N ,则,阴影部分面积可求,但这种方法较麻烦,用割补法解此题较为简单,设一部分空白面积为P ,
因为∠BOD =∠DOC ,所以
所以M =P ,所以
答案:
例4. 如图所示,直角梯形ABCD 中,∠B =90°,AD ∥BC ,AB =2,BC =7,AD =3,以BC 为轴把直角梯形ABCD 旋转一周,求所得几何体的表面积。
。
分析:将直角梯形ABCD 绕BC 旋转一周所得的几何体是由相同底面的圆柱和圆锥组成的,所得几何体的表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和底面积三者之和。
解:作DH ⊥BC 于H ,所以DH =AB =2 CH =BC -BH =BC -AD =7-3=4 在△CDH 中,
所以
例5. (2003. 宁波)已知扇形的圆心角为120°,面积为300平方厘米 (1)求扇形的弧长。
(2)若把此扇形卷成一个圆锥,则这个圆锥的轴截面面积是多少?
分析:(1)由扇形面积公式
,可得扇形半径R ,扇形的弧长可由弧长
公式求得。(2)由此扇形卷成的圆锥如图所示,这个圆锥的轴截面为等腰三角形ABC ,(1)问中求得的弧长是这个圆锥的底面圆周长,而圆周长公式为C =2r ,底面圆半径r 即CD 的长可求,圆锥的高AD 可在Rt △ADC 中求得,所以
解:(1)设扇形的半径为R ,
由
,得
,解得R =30.
可求。
所以扇形的弧长(厘米)。
(2)如图所示,在等腰三角形ABC 中,AB =AC =R =30,BC =2r ,底面圆周长C =2r ,因为底面圆周长即为扇形的弧长,所以
在Rt △ADC 中,高AD =所以轴截面面积
(平方厘米)。
【模拟试题】(答题时间:40分钟)
一、选择题
1. 若一个扇形的圆心角是45°,面积为2л,则这个扇形的半径是( ) A. 4 B. 2 C. 47л D. 2л
2. 扇形的圆心角是60°,则扇形的面积是所在图面积的( )
A.
B.
C.
D.
3. 扇形的面积等于其半径的平方,则扇形的圆心角是( )
A. 90° B. C. D.180°
4. 两同心圆的圆心是O ,大圆的半径是以OA ,OB 分别交小圆于点M , N .已知大圆半径是小圆半径的3倍,则扇形OAB 的面积是扇形OMN 的面积的( )
A. 2倍 B. 3倍 C. 6倍 D. 9倍
5. 半圆O 的直径为6cm ,∠BAC =30°,则阴影部分的面积是( ) A.
C.
B. D.
6 用一个半径长为 6cm 的半圆围成一个圆锥的侧面,则此圆锥的底面半径为( ) A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 6cm
7. 圆锥的全面积和侧面积之比是3 :2,这个圆锥的轴截面的顶角是( ) A. 30° B. 60° C. 90° D. 120°
8. 已知两个母线相等的圆锥的侧面展开图恰好能拼成一个圆,且它们的侧面积之比为1∶2,则它们的高之比为( )
A. 2:1 B. 3:2 C. 2: D. 5:
9. 如图,在△ABC 中,∠C =Rt ∠,AC > BC,若以AC 为底面圆半径,BC 为高的圆锥的侧面积为S 1,以BC 为底面圆半径,AC 为高的圆锥的侧面积为S 2,则( )
A. S1=S 2 B. S1 > S2 C. S1
二、填空题
1. 扇形的弧长是12лcm ,其圆心角是90°,则扇形的半径是 cm ,扇形的面积是 cm 2.
2. 扇形的半径是一个圆的半径的3倍,且扇形面积等于圆面积,则扇形的圆心角是 . 3. 已知扇形面积是12cm 2,半径为8cm ,则扇形周长为 .
4 在△ABC 中,AB =3,AC =4,∠A =90°,把Rt △ABC 绕直线AC 旋转一周得到一个圆锥,其全面积为S 1;把Rt △ABC 绕AB 旋转一周得到另一个圆锥,其全面积为S 2,则S 1: S 2= 。
5. 一个圆柱形容器的底面直径为2cm ,要用一块圆心角为240°的扇形铁板做一个圆锥形的盖子,做成的盖子要能盖住圆柱形容器,这个扇形的半径至少要有 cm 。 6. 如图,扇形AOB 的圆心角为60°,半径为6cm ,C ,D 分别是影部分的面积是 。
的三等分点,则阴
7. 如图正方形的边长为2,分别以正方形的两个对角顶点为圆心,以2为半径画弧,则阴影部分面积为 。
三、计算题
1. 如图,在Rt △ABC 中,AC =BC ,以A 为圆心画弧,交AB 于点D ,交AC 延长线于点F ,交BC 于点E ,若图中两个阴影部分的面积相等,求AC 与AF 的长度之比(л取3)。
2. 一个等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱)的侧面积是S 1,另一个圆锥的侧面积是S 2,如果圆锥和圆柱等底等高,求.
3. 圆锥的底面半径是R ,母线长是3R ,M 是底面圆周上一点,从点M 拉一根绳子绕圆锥一圈,再回到M 点,求这根绳子的最短长度. 【试题答案】 一、选择题 1. A 2. B 3. C 4. D 5. B 6. B 7. B
二、填空题
1、24 1442、40° 3、19cm 4、3:4 5、3 6、2 7、2-4
三、计算题 1、连接AE ,则
8. C 9. B
,所以
2、
3、连接展开图的两个端点MM' ,即是最短长度。
利用等量关系得出∠MAM ′=120°,∠AMD =30°,AD =
,
四棱台体积计算公式 v=h*(a*b+(a+a1)*(b+b1)+a1*b1)/6=h/3(S上底面积+S下底面积+开根号√S 上底面积×S 下底面积)
体积公式
正四棱台
V=H/3[S1+S2+√(S1S 2)]
注:非通用公式, (s 1是上底的面积 ,s 2是下底的面积 ) 通用公式
V=[S1 + 4S0 + S2] * H / 6
=h/6×[a1×b1+a2×b2+(a1+a2)×(b1+b2)]
注:上底面积S
1,下底面积S 2,中截面面积S 0,高H , 此体积公式多一个参量S 0——中截面积, 它有“万能公式”的美誉。 体积公式推导编辑
由相似三角形可得b/h1=a/(h1+h2),所以h1=bh2/(a-b).
V 台 = a^2(h1+h2)/3 - b^2*h1/3 =h1(a^2-b^2)/3+h2*a^2/3 =(a+b)*b*h/3+a^2*h/3 =(a^2+b^2+ab)*h/3
棱台计算公式
四棱台的公式是:V=(1/3)H (S 上+S 下+√[S上×S 下])
当是正四棱台时带入上述公式,简化后就是:V=(h/3)(a2+ab+b2)﹝其中a ,b ,h 分別为正四棱台的上、下底边及高的大小)
挖土方需放坡计算公式现在接触已经有三个了 1、(A+2C+KH)(B+2C+KH)*H+1/3 K2 H3 (K2:放坡系数的平方;H3:高度三次方) 2、H/3(F1+F2+ㄏF1*F2)
(F1:上底面积;F2:下底面积;ㄏF1*F2:上底面积乘以下底面积开根) 3、H/6 [ A1*B1+A*B+(A1+A)(B1+B)]
(A1:上底面积一个边长;B1:上底面积另一个边长)
(A :下底面积一个边长;B :下底面积另一个边长)
1公式:是建筑预算员常用的基坑土方计算公式,直接套用放坡系数;
2公式:是中学生计算棱台的体积公式;用于土方计算时需先计算边长,再计算面积,再计算体积;
3公式:是棱台体积公式的延伸,当A1/A=B1/B时成立。也不够方便,可用于现场测量结果的计算(施工计算),土方工程量近似计算。
【本讲教育信息】
一. 教学内容:
弧长及扇形的面积 圆锥的侧面积
二. 教学要求
1、了解弧长计算公式及扇形面积计算公式,并会运用公式解决具体问题。 2、了解圆锥的侧面积公式,并会应用公式解决问题。
三. 重点及难点 重点:
1、弧长的公式、扇形面积公式及其应用。
2、圆锥的侧面积展开图及圆锥的侧面积、全面积的计算。 难点:
1、弧长公式、扇形面积公式的推导。 2、圆锥的侧面积、全面积的计算。
[知识要点]
知识点1、弧长公式
因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C =2R ,所以1
°的圆心角所对的弧长是
,于是可得半径为R 的圆中,n °的圆心角所对的弧长l 的计算公式:,
说明:(1)在弧长公式中,n 表示1°的圆心角的倍数,n 和180都不带单位“度”,例如,圆的半径R =10,计算20°的圆心角所对的弧长l 时,不要错写成
(2)在弧长公式中,已知l ,n ,R 中的任意两个量,都可以求出第三个量。
。
知识点2、扇形的面积
如图所示,阴影部分的面积就是半径为R ,圆心角为n °的扇形面积,显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分,因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面积为1°的扇形面积是
又因为扇形的弧长的另一个计算公式:
,由此得圆心角为n °的扇形面积的计算公式是
,扇形面积。
,所以圆心角
。
,所以又得到扇形面积
知识点3、弓形的面积
(1)弓形的定义:由弦及其所对的弧(包括劣弧、优弧、半圆)组成的图形叫做弓形。 (2)弓形的周长=弦长+弧长
(3)弓形的面积
如图所示,每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积,从图中可以看出,只要把扇形OAmB 的面积和△AOB 的面积计算出来,就可以得到弓形AmB 的面积。
当弓形所含的弧是劣弧时,如图1所示,当弓形所含的弧是优弧时,如图2所示,
当弓形所含的弧是半圆时,如图3所示,
例:如图所示,⊙O 的半径为2,∠ABC =45°,则图中阴影部分的面积是 ( )(结果用表示)
分析:由图可知由圆周角定理可知∠ABC
=∠AOC =2∠ABC =90°,所以△OAC 是直角三角形,所以
,
所以
∠AOC ,所以
(2)扇形与弓形的联系与区别
知识点4、圆锥的侧面积
圆锥的侧面展开图是一个扇形,如图所示,设圆锥的母线长为l ,底面圆的半径为r ,那么这个扇形的半径为l ,扇形的弧长为2面积
,圆锥的侧面积
,圆锥的全
说明:(1)圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。
(2)研究有关圆锥的侧面积和全面积的计算问题,关键是理解圆锥的侧面积公式,并明确圆锥全面积与侧面积之间的关系。
或知识点4、
如果用r 来表示底面半径,l 表示圆锥的母线,n°表示圆锥侧面扇形的圆心角的度数,则底面周长为2πr, 所以扇形的弧线长度也为2πr ,而弧线长度(扇形所占圆周长)就等于n°/360°.扇形所占圆是以以母线l 为半径的,所以它的周长为2πr ,得出
n /360 = 2πr /2πl = r/l
r / l就是弧线长度与扇形所占圆周长之比,也就是扇形与扇形所占圆的面积之比。所以,只需求出扇形所占圆的面积再乘以r /l 便可以得出扇形的面积。而扇形所占圆的面积为πl2,即可得出:
S 侧 = πl2×r/l
= πrl
向前再推一步,又得出扇形面积的计算公式:
S侧 =πrl
=1/2×2πr×l
= 1/2×底面弧线长× 母线长
由此推导出圆锥侧面扇形面积等于πrl ,等于3.14乘以底面半径再乘以母线即可。圆锥的表面积为侧面积加底面积,又为:
S表 = S侧+S 底
=πrl +πr2
=πrl +πr×r
=πr(l+r)
知识点5、圆柱的侧面积
圆柱的侧面积展开图是矩形,如图所示,其两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面圆的周长,若圆柱的底面半径为r ,高为h ,则圆柱的侧面
积
,圆柱的全面
积
知识小结:
【典型例题】
例1. (2003. 辽宁)如图所示,在同心圆中,两圆的半径分别为2,1,∠AOB =120°,则阴影部分的面积是( )
A.
B.
C.
D.
分析:阴影部分所在的两个扇形的圆心角为所以
故答案为:B.
,
例2. (2004·陕西)如图所示,点C 在以AB 为直径的半圆上,连接AC ,BC ,AB =10厘米,tan ∠BAC =
,求阴影部分的面积。
分析:本题考查的知识点有:(1)直径所对圆周角为90°,(2)解直角三角形的知识(3)组合图形面积的计算。
解:因为AB 为直径,所以∠ACB =90°,
在Rt △ABC 中,AB =10, tan ∠BAC =,而tan ∠BAC =设BC =3k ,AC =4k ,(k 不为0,且为正数) 由勾股定理得所以BC =6,AC =8,所以
例3. (2003. 福州)如图所示,已知扇形AOB 的圆心角为直角,正方形OCDE 内接于扇形AOB ,点C ,E ,D 分别在OA ,OB 及AB 弧上,过点A 作AF ⊥ED 交ED 的延长线于F ,垂足为F ,如果正方形的边长为1,那么阴影部分的面积为( )
,而
分析:连接OD ,由正方形性质可知∠EOD =∠DOC =45°,在Rt △OED 中,OD
=
,
因为正方形的边长为1,所以OE =DE =1,所以,设两部分阴影的面积中的
一部分为M ,另一部分为N ,则,阴影部分面积可求,但这种方法较麻烦,用割补法解此题较为简单,设一部分空白面积为P ,
因为∠BOD =∠DOC ,所以
所以M =P ,所以
答案:
例4. 如图所示,直角梯形ABCD 中,∠B =90°,AD ∥BC ,AB =2,BC =7,AD =3,以BC 为轴把直角梯形ABCD 旋转一周,求所得几何体的表面积。
。
分析:将直角梯形ABCD 绕BC 旋转一周所得的几何体是由相同底面的圆柱和圆锥组成的,所得几何体的表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和底面积三者之和。
解:作DH ⊥BC 于H ,所以DH =AB =2 CH =BC -BH =BC -AD =7-3=4 在△CDH 中,
所以
例5. (2003. 宁波)已知扇形的圆心角为120°,面积为300平方厘米 (1)求扇形的弧长。
(2)若把此扇形卷成一个圆锥,则这个圆锥的轴截面面积是多少?
分析:(1)由扇形面积公式
,可得扇形半径R ,扇形的弧长可由弧长
公式求得。(2)由此扇形卷成的圆锥如图所示,这个圆锥的轴截面为等腰三角形ABC ,(1)问中求得的弧长是这个圆锥的底面圆周长,而圆周长公式为C =2r ,底面圆半径r 即CD 的长可求,圆锥的高AD 可在Rt △ADC 中求得,所以
解:(1)设扇形的半径为R ,
由
,得
,解得R =30.
可求。
所以扇形的弧长(厘米)。
(2)如图所示,在等腰三角形ABC 中,AB =AC =R =30,BC =2r ,底面圆周长C =2r ,因为底面圆周长即为扇形的弧长,所以
在Rt △ADC 中,高AD =所以轴截面面积
(平方厘米)。
【模拟试题】(答题时间:40分钟)
一、选择题
1. 若一个扇形的圆心角是45°,面积为2л,则这个扇形的半径是( ) A. 4 B. 2 C. 47л D. 2л
2. 扇形的圆心角是60°,则扇形的面积是所在图面积的( )
A.
B.
C.
D.
3. 扇形的面积等于其半径的平方,则扇形的圆心角是( )
A. 90° B. C. D.180°
4. 两同心圆的圆心是O ,大圆的半径是以OA ,OB 分别交小圆于点M , N .已知大圆半径是小圆半径的3倍,则扇形OAB 的面积是扇形OMN 的面积的( )
A. 2倍 B. 3倍 C. 6倍 D. 9倍
5. 半圆O 的直径为6cm ,∠BAC =30°,则阴影部分的面积是( ) A.
C.
B. D.
6 用一个半径长为 6cm 的半圆围成一个圆锥的侧面,则此圆锥的底面半径为( ) A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 6cm
7. 圆锥的全面积和侧面积之比是3 :2,这个圆锥的轴截面的顶角是( ) A. 30° B. 60° C. 90° D. 120°
8. 已知两个母线相等的圆锥的侧面展开图恰好能拼成一个圆,且它们的侧面积之比为1∶2,则它们的高之比为( )
A. 2:1 B. 3:2 C. 2: D. 5:
9. 如图,在△ABC 中,∠C =Rt ∠,AC > BC,若以AC 为底面圆半径,BC 为高的圆锥的侧面积为S 1,以BC 为底面圆半径,AC 为高的圆锥的侧面积为S 2,则( )
A. S1=S 2 B. S1 > S2 C. S1
二、填空题
1. 扇形的弧长是12лcm ,其圆心角是90°,则扇形的半径是 cm ,扇形的面积是 cm 2.
2. 扇形的半径是一个圆的半径的3倍,且扇形面积等于圆面积,则扇形的圆心角是 . 3. 已知扇形面积是12cm 2,半径为8cm ,则扇形周长为 .
4 在△ABC 中,AB =3,AC =4,∠A =90°,把Rt △ABC 绕直线AC 旋转一周得到一个圆锥,其全面积为S 1;把Rt △ABC 绕AB 旋转一周得到另一个圆锥,其全面积为S 2,则S 1: S 2= 。
5. 一个圆柱形容器的底面直径为2cm ,要用一块圆心角为240°的扇形铁板做一个圆锥形的盖子,做成的盖子要能盖住圆柱形容器,这个扇形的半径至少要有 cm 。 6. 如图,扇形AOB 的圆心角为60°,半径为6cm ,C ,D 分别是影部分的面积是 。
的三等分点,则阴
7. 如图正方形的边长为2,分别以正方形的两个对角顶点为圆心,以2为半径画弧,则阴影部分面积为 。
三、计算题
1. 如图,在Rt △ABC 中,AC =BC ,以A 为圆心画弧,交AB 于点D ,交AC 延长线于点F ,交BC 于点E ,若图中两个阴影部分的面积相等,求AC 与AF 的长度之比(л取3)。
2. 一个等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱)的侧面积是S 1,另一个圆锥的侧面积是S 2,如果圆锥和圆柱等底等高,求.
3. 圆锥的底面半径是R ,母线长是3R ,M 是底面圆周上一点,从点M 拉一根绳子绕圆锥一圈,再回到M 点,求这根绳子的最短长度. 【试题答案】 一、选择题 1. A 2. B 3. C 4. D 5. B 6. B 7. B
二、填空题
1、24 1442、40° 3、19cm 4、3:4 5、3 6、2 7、2-4
三、计算题 1、连接AE ,则
8. C 9. B
,所以
2、
3、连接展开图的两个端点MM' ,即是最短长度。
利用等量关系得出∠MAM ′=120°,∠AMD =30°,AD =
,
四棱台体积计算公式 v=h*(a*b+(a+a1)*(b+b1)+a1*b1)/6=h/3(S上底面积+S下底面积+开根号√S 上底面积×S 下底面积)
体积公式
正四棱台
V=H/3[S1+S2+√(S1S 2)]
注:非通用公式, (s 1是上底的面积 ,s 2是下底的面积 ) 通用公式
V=[S1 + 4S0 + S2] * H / 6
=h/6×[a1×b1+a2×b2+(a1+a2)×(b1+b2)]
注:上底面积S
1,下底面积S 2,中截面面积S 0,高H , 此体积公式多一个参量S 0——中截面积, 它有“万能公式”的美誉。 体积公式推导编辑
由相似三角形可得b/h1=a/(h1+h2),所以h1=bh2/(a-b).
V 台 = a^2(h1+h2)/3 - b^2*h1/3 =h1(a^2-b^2)/3+h2*a^2/3 =(a+b)*b*h/3+a^2*h/3 =(a^2+b^2+ab)*h/3
棱台计算公式
四棱台的公式是:V=(1/3)H (S 上+S 下+√[S上×S 下])
当是正四棱台时带入上述公式,简化后就是:V=(h/3)(a2+ab+b2)﹝其中a ,b ,h 分別为正四棱台的上、下底边及高的大小)
挖土方需放坡计算公式现在接触已经有三个了 1、(A+2C+KH)(B+2C+KH)*H+1/3 K2 H3 (K2:放坡系数的平方;H3:高度三次方) 2、H/3(F1+F2+ㄏF1*F2)
(F1:上底面积;F2:下底面积;ㄏF1*F2:上底面积乘以下底面积开根) 3、H/6 [ A1*B1+A*B+(A1+A)(B1+B)]
(A1:上底面积一个边长;B1:上底面积另一个边长)
(A :下底面积一个边长;B :下底面积另一个边长)
1公式:是建筑预算员常用的基坑土方计算公式,直接套用放坡系数;
2公式:是中学生计算棱台的体积公式;用于土方计算时需先计算边长,再计算面积,再计算体积;
3公式:是棱台体积公式的延伸,当A1/A=B1/B时成立。也不够方便,可用于现场测量结果的计算(施工计算),土方工程量近似计算。