凸轮曲线设计
当根据使用要求确定了凸轮机构的类型、基本参数以及从动件运动规律后，即可进行凸轮轮廓曲线的设计。设计方法有几何法和解析法，两者所依据的设计原理基本相同。几何法简便、直观，但作图误差较大，难以获得凸轮轮廓曲线上各点的精确坐标，所以按几何法所得轮廓数据加工的凸轮只能应用于低速或不重要的场合。对于高速凸轮或精确度要求较高的凸轮，必须建立凸轮理论轮廓曲线、实际轮廓曲线以及加工刀具中心轨迹的坐标方程，并精确地计算出凸轮轮廓曲线或刀具运动轨迹上各点的坐标值，以适合在数控机床上加工。
圆柱凸轮的廓线虽属空间曲线，但由于圆柱面可展成平面，所以也可以借用平面盘形凸轮轮廓曲线的设计方法设计圆柱凸轮的展开轮廓。本节分别介绍用几何法和解析法设计凸轮轮廓曲线的原理和步骤。 1 几何法
反转法设计原理：
以尖底偏置直动从动件盘形凸轮机构为例：
凸轮机构工作时，凸轮和从动件都在运动。为了在图纸上画出凸轮轮廓曲线，应当使凸轮与图纸平面相对静止，为此，可采用如下的反转法：使整个机构以角速度(-w)绕O转动，其结果是从动件与凸轮的相对运动并不改变，但凸轮固定不动，机架和从动件一方面以角速度(-w)绕O转动，同时从动件又以原有运动规律相对机架往复运动。根据这种关系，不难求出一系列从动件尖底的位置。由于尖底始终与凸轮轮廓接触，所以反转后尖底的运动轨迹就是凸轮轮廓曲线。
1). 直动从动件盘形凸轮机构
尖底偏置直动从动件盘形凸轮机构：
已知从动件位移线图，凸轮以等角速w顺时针回转，其基圆半径为r0，从动件导路偏距为e，要求绘出此凸轮的轮廓曲线。
运用反转法绘制尖底直动从动件盘形凸轮机构凸轮轮廓曲线的方法和步骤如下：
1) 以r0为半径作基圆，以e为半径作偏距圆，点K为从动件导路线与偏距圆的切点，导路线与基圆的交点B0(C0)便是从动件尖底的初始位置。
2) 将位移线图s-f的推程运动角和回程运动角分别作若干等分（图中各为四等分）。
3) 自OC0开始，沿w的相反方向取推程运动角(180)、远休止角(30)、回程运动角(190)、近休止角(60)，在基圆上得C4、C5、C9诸点。将推程运动角和回程运动角分成与从动件位移线图对应的等分，得C1、C2、C30000
和C6、C7、C8诸点。
4) 过C1、C2、C3、...作偏距圆的一系列切线，它们便是反转后从动件导路的一系列位置。
5) 沿以上各切线自基圆开始量取从动件相应的位移量，即取线段C1B1=11' 、C2B2=22'、...，得反转后尖底的一系列位置B1、B2、...。
6) 将B0、B1、B2、...连成光滑曲线（B4和B5之间以及B9和B0之间均为以O为圆心的圆弧），便得到所求的凸轮轮廓曲线。
滚子直动从动件盘形凸轮机构：
首先取滚子中心为参考点，把该点当作尖底从动件的尖底，按照上述方法求出一条轮廓曲线h。再以h上各点为中心画一系列滚子，最后作这些滚子的内包络线h'（对于凹槽凸轮还应作外包络线h''）。它便是滚子从动件盘形凸轮机构凸轮的实际轮廓曲线，或称为工作轮廓曲线，而h称为此凸轮的理论轮廓曲线。由作图过程可知，在滚子从动件凸轮机构设计中，r0是指理论轮廓曲线的基圆半径。
在以上两例中，当e=0时，即得对心直动从动件凸轮机构。这时，偏距圆的切线化为过点O的径向射线，其设计方法与上述相同。
平底从动件盘形凸轮机构：
凸轮实际轮廓曲线的求法也与上述相仿。首先取平底与导路的交点B0为参考点，将它看作尖底，运用尖底从动件凸轮的设计方法求出参考点反转后的一系列位置B1、B2、B3...；其次，过这些点画出一系列平底，得一直线族；最后作此直线族的包络线，便可得到凸轮实际轮廓曲线。由于平底上与实际轮廓曲线相切的点是随机构位置变化的，为了保证在所有位置平底都能与轮廓曲线相切，平底左右两侧的宽度必须分别大于导路至左右最远切点的距离b'和b''。
从作图过程不难看出，对于平底直动从动件，只要不改变导路的方向，无论导路对心或偏置，无论取哪一点为参考点，所得出的直线族和凸轮实际轮廓曲线都是一样的。
2). 摆动从动件盘形凸轮机构
以尖底摆动从动件盘形凸轮机构为例。
已知凸轮以等角速w顺时针回转，凸轮基圆半径为r0，凸轮与摆动从动件的中心距为a，从动件长度l，从动件最大摆角ymax，以及从动件的运动规律（位移线图y-f），求作此凸轮的轮廓曲线。
当运用反转法给整个机构以(-w)绕O转动后，凸轮不动，一方面机架上的支承A将以(-w)绕点O转动，另一方面从动件仍按原有规律相对机架摆动。因此，这种凸轮轮廓曲线的设计可按下述步骤进行：
1) 将y-f线图的推程运动角和回程运动角分为若干等分（图中各为四等分）。
2) 根据给定的a定出O、A0的位置。以r0为半径作基圆，与以A0为中心及l为半径所作的圆弧交于点B0(C0)（如要求从动件推程逆时针摆动，B0在OA0右方；反之，则在左方），它便是从动件尖底的起始位置。
3) 以O为中心及OA0为半径画圆。沿(-w)方向顺次取180、30 、90 、60。再将推程运动角和回程运动角各分为与图b对应的等分，得A1、A2、A3、…。它们便是反转后从动件回转轴心的一系列位置。
4) 以A1、A2、A3、…为中心及l为半径作一系列圆弧，分别与基圆交于C1、C2、C3、…。自A1C1、A2C2、A3C3、…开始，向外量取与位移线图对应的从动件摆角y1、y2、y3、…，得从动件相对于凸轮的一系列位置A1B1、A2B2、A3B3、…。
5) 将点B1、B2、B3、…连成光滑曲线，便得到尖底摆动从动件盘形凸轮机构的凸轮轮廓曲线。由图可见，此轮廓曲线与直线AB在某些位置（如A3B3等）已经相交，故在考虑具体结构时，应将从动件做成弯杆以避免干涉。
同前所述，如采用滚子或平底从动件，那么上述B1、B2、B3、…等点即为参考点的运动轨迹。过这些点作一系列滚子或平底，最后作其包络线便可得到实际轮廓曲线。 0000
3). 摆动从动件圆柱凸轮机构
圆柱凸轮展开成平面后便成为移动凸轮，因此，可以用平面凸轮的设计方法来绘制其展开轮廓曲线。
已知平均圆柱半径rm，从动件长度l，滚子半径rT，从动件运动规律y=y(f)及凸轮回转方向，其展开轮廓曲线可近似绘制如下：
1) 作O－A线垂直于凸轮回转轴线，作∠OAB0=ymax/2，从而得出从动件的初始位置AB0。再根据y－f线图画出从动件的各个位置AB1'、AB2'、AB3'、…。
2) 取线段B0B0之长为2prm。沿(-v1)方向将B0B0分为与从动件位移线图横轴对应的等分，得点C1、C2、C3、…，过这些点画一系列中心在O－A线上、半径等于l的圆弧。
3) 自B1'作水平线交过C1的圆弧于点B1，自B2'作水平线交过C2的圆弧于点B2，…。将B0、B1、B2、…连成光滑曲线，便得到展开图的理论轮廓曲线。
4) 以理论轮廓曲线上诸点为圆心画一系列滚子，而后作两条包络线，即得该凸轮展开图的实际轮廓曲线（图中未示出）。
因圆柱凸轮轮廓凹槽位于圆柱面上，当与凹槽接触的圆柱滚子随从动件作平面圆弧运动时，滚子将以不同深度插入凸轮槽中。由于上述设计过程未考虑滚子与凸轮之间在从动件摆动轴线方向的相对运动，由此所得凸轮机构，其从动件实际运动规律与预期运动规律在理论上即存在偏差，所以是一种近似设计方法。欲消除设计偏差，必须对理论轮廓曲线进行修正，或者根据滚子与凸轮间的相对空间运动关系，采用解析法对凸轮轮廓曲面进行精确设计。
为减小滚子插入凸轮槽深度的变化量，可采用如下方法：
1) 减小从动件最大摆角；
2) 使从动件的中间位置AB与凸轮轴线交错垂直；
3）取从动件摆动轴线与凸轮轴线之间的距离为
直动从动件圆柱凸轮机构可看作是摆动从动件圆柱凸轮机构的特例，其凸轮轮廓曲线的设计方法与上述类似，但凸轮理论轮廓曲线无需修正。
2 解析法
1). 滚子从动件盘形凸轮机构
(1) 理论轮廓曲线方程:
1) 直动从动件盘形凸轮机构
偏置直动滚子从动件盘形凸轮机构，偏距e、基圆半径r0和从动件运动规律s=s(f)均已给定。以凸轮回转中心为原点、从动件推程运动方向为x轴正向建立右手直角坐标系。为获得统一的计算公式，引入凸轮转向系数h和从动件偏置方向系数d，并规定：当凸轮转向为顺时针时h=1，逆时针时h=-1；经过滚子中心的从动件导路线偏于y轴正侧时d=1，偏于y轴负侧时d=-1，与y轴重合时d=0。当凸轮自初始位置转过角f时，滚子中心将自点B0外移s到达B'(s+s0,de)。根据反转法原理，将点B'沿凸轮回转相反方向绕原点转过角f，即得凸轮理论轮廓曲线上的对应点B，其坐标为:
上式即为凸轮理论轮廓曲线的直角坐标参数方程。其中
(1) 理论轮廓曲线方程:
2) 摆动从动件盘形凸轮机构
摆动滚子从动件盘形凸轮机构，基圆半径r0、从动件长度l、中心距a和从动件运动规律y=y(f)均已给定。以凸轮回转中心O为原点、O→A为x轴正向建立右手直角坐标系。为使计算公式统一，引入凸轮转向系数h和从动件推程摆动方向系数d，并规定：当凸轮转向为顺时针时h=1，逆时针时h=-1；从动件推程摆动方向为顺时针时d=1，逆时针时d=-1。当凸轮自初始位置转过角f时，从动件摆过角y，滚子中心由B0到达B'{a-lcos[d(y0+y)],lsin[d(y0+y)]}。根据反转法原理，将点B'沿凸轮回转相反方向绕原点转过角f，便可得到凸轮理论轮廓曲线上的对应点B，其坐标为
:
上式即为凸轮理论轮廓曲线的直角坐标参数方程。式中
式中，s0、e和a、l、y0均为常数，s和y是f的函数，显然x和y也是凸轮转角f的函数。于是凸轮理论轮廓曲线的直角坐标参数方程一般可以表示为
(2) 实际轮廓曲线方程
滚子从动件盘形凸轮机构的实际轮廓曲线是滚子圆族的包络线。由微分几何可得，以f为参数的曲线族的包络线方程为
此即凸轮实际轮廓曲线的参数方程。式中：上面一组加、减号表示一条外包络线，下面一组加、减号表示另一条内包络线； 为滚子半径；而dx/df、dy/df可由式(8.1)或(8.2)对 求导得到。
(3) 刀具中心轨迹方程
在数控机床上加工凸轮，通常需给出刀具中心的直角坐标值。若刀具半径与滚子半径完全相等，那么理论轮廓曲线的坐标值即为刀具中心的坐标值。但当用数控铣床加工凸轮或用砂轮磨削凸轮时，刀具半径rc往往大于滚子半径rT。由图a可以看出，这时刀具中心的运动轨迹hc为理论轮廓曲线 的等距曲线，相当于以h为中心和以(rc-rT)为半径所作一系列滚子的外包络线；反之，当用钼丝在线切割机床上加工凸轮时，
rc
2). 平底从动件盘形凸轮机构
(1) 实际轮廓曲线方程
平底从动件盘形凸轮机构凸轮的实际轮廓曲线是反转后一系列平底所构成的直线族的包络线。对于直动平底从动件盘形凸轮机构，基圆半径r0和从动件运动规律s=s(f)均已给定。以凸轮回转中心为原点、从动件推程运动方向为x轴正向建立右手直角坐标系，并取导路中心线与x轴重合。引入凸轮转向系数h，并规定当凸轮转向为顺时针时h=1，逆时针时h=-1。当凸轮自初始位置转过角f时，导路中心线与平底的交点自B0外移s到达B'。根据反转法原理，将点B'沿凸轮回转相反方向绕原点转过角f，便可得出表示反转后平底的直线AB。由图可知，点B的坐标为
:
过点B的平底直线族的包络线方程为：
此即凸轮实际轮廓曲线的直角坐标参数方程。
(2) 刀具中心轨迹方程：
底从动件盘形凸轮机构凸轮的轮廓曲线可以用砂轮的端面磨削，也可以用砂轮（铣刀、钼丝）的外圆加工。由图可以看出，当用砂轮端面加工时，刀具上点B的轨迹方程即入式(8.4)所示；当用外圆加工时，刀具中心的轨迹hc是凸轮实际轮廓曲线的等距曲线，也即是以式(8.5)表示的曲线上各点为中心，以rc为半径所作一族圆的外包络线，其参数方程可根据式(8.3)求出。
例8.1
设计平底直动从动件盘形凸轮机构。已知F=90，F=60,F=90,F=120,行程h=10mm，基圆半径r0=30mm，从动件推程和回程均作简谐运动，凸轮转向为顺时针。若取磨削凸轮轮廓的砂轮半径rc=40mm，试计算f=30时凸轮实际轮廓曲线和刀具中心轨迹上对应点的坐标值。 00000
解
从动件推程作简谐运动时，
1． 求实际轮廓曲线坐标值（X，Y）
由式(8.5)得(h=1)：
对上式求导得
2． 求刀具中心轨迹坐标值(Xc,Yc)
由式(8.3)得
实际设计时，为了获得足够多的点的坐标值，可在0≤f≤2p范围内每隔一定步长给一个f值进行计算。这种大量重复的计算工作通常由计算机来完成。
凸轮曲线设计
当根据使用要求确定了凸轮机构的类型、基本参数以及从动件运动规律后，即可进行凸轮轮廓曲线的设计。设计方法有几何法和解析法，两者所依据的设计原理基本相同。几何法简便、直观，但作图误差较大，难以获得凸轮轮廓曲线上各点的精确坐标，所以按几何法所得轮廓数据加工的凸轮只能应用于低速或不重要的场合。对于高速凸轮或精确度要求较高的凸轮，必须建立凸轮理论轮廓曲线、实际轮廓曲线以及加工刀具中心轨迹的坐标方程，并精确地计算出凸轮轮廓曲线或刀具运动轨迹上各点的坐标值，以适合在数控机床上加工。
圆柱凸轮的廓线虽属空间曲线，但由于圆柱面可展成平面，所以也可以借用平面盘形凸轮轮廓曲线的设计方法设计圆柱凸轮的展开轮廓。本节分别介绍用几何法和解析法设计凸轮轮廓曲线的原理和步骤。 1 几何法
反转法设计原理：
以尖底偏置直动从动件盘形凸轮机构为例：
凸轮机构工作时，凸轮和从动件都在运动。为了在图纸上画出凸轮轮廓曲线，应当使凸轮与图纸平面相对静止，为此，可采用如下的反转法：使整个机构以角速度(-w)绕O转动，其结果是从动件与凸轮的相对运动并不改变，但凸轮固定不动，机架和从动件一方面以角速度(-w)绕O转动，同时从动件又以原有运动规律相对机架往复运动。根据这种关系，不难求出一系列从动件尖底的位置。由于尖底始终与凸轮轮廓接触，所以反转后尖底的运动轨迹就是凸轮轮廓曲线。
1). 直动从动件盘形凸轮机构
尖底偏置直动从动件盘形凸轮机构：
已知从动件位移线图，凸轮以等角速w顺时针回转，其基圆半径为r0，从动件导路偏距为e，要求绘出此凸轮的轮廓曲线。
运用反转法绘制尖底直动从动件盘形凸轮机构凸轮轮廓曲线的方法和步骤如下：
1) 以r0为半径作基圆，以e为半径作偏距圆，点K为从动件导路线与偏距圆的切点，导路线与基圆的交点B0(C0)便是从动件尖底的初始位置。
2) 将位移线图s-f的推程运动角和回程运动角分别作若干等分（图中各为四等分）。
3) 自OC0开始，沿w的相反方向取推程运动角(180)、远休止角(30)、回程运动角(190)、近休止角(60)，在基圆上得C4、C5、C9诸点。将推程运动角和回程运动角分成与从动件位移线图对应的等分，得C1、C2、C30000
和C6、C7、C8诸点。
4) 过C1、C2、C3、...作偏距圆的一系列切线，它们便是反转后从动件导路的一系列位置。
5) 沿以上各切线自基圆开始量取从动件相应的位移量，即取线段C1B1=11' 、C2B2=22'、...，得反转后尖底的一系列位置B1、B2、...。
6) 将B0、B1、B2、...连成光滑曲线（B4和B5之间以及B9和B0之间均为以O为圆心的圆弧），便得到所求的凸轮轮廓曲线。
滚子直动从动件盘形凸轮机构：
首先取滚子中心为参考点，把该点当作尖底从动件的尖底，按照上述方法求出一条轮廓曲线h。再以h上各点为中心画一系列滚子，最后作这些滚子的内包络线h'（对于凹槽凸轮还应作外包络线h''）。它便是滚子从动件盘形凸轮机构凸轮的实际轮廓曲线，或称为工作轮廓曲线，而h称为此凸轮的理论轮廓曲线。由作图过程可知，在滚子从动件凸轮机构设计中，r0是指理论轮廓曲线的基圆半径。
在以上两例中，当e=0时，即得对心直动从动件凸轮机构。这时，偏距圆的切线化为过点O的径向射线，其设计方法与上述相同。
平底从动件盘形凸轮机构：
凸轮实际轮廓曲线的求法也与上述相仿。首先取平底与导路的交点B0为参考点，将它看作尖底，运用尖底从动件凸轮的设计方法求出参考点反转后的一系列位置B1、B2、B3...；其次，过这些点画出一系列平底，得一直线族；最后作此直线族的包络线，便可得到凸轮实际轮廓曲线。由于平底上与实际轮廓曲线相切的点是随机构位置变化的，为了保证在所有位置平底都能与轮廓曲线相切，平底左右两侧的宽度必须分别大于导路至左右最远切点的距离b'和b''。
从作图过程不难看出，对于平底直动从动件，只要不改变导路的方向，无论导路对心或偏置，无论取哪一点为参考点，所得出的直线族和凸轮实际轮廓曲线都是一样的。
2). 摆动从动件盘形凸轮机构
以尖底摆动从动件盘形凸轮机构为例。
已知凸轮以等角速w顺时针回转，凸轮基圆半径为r0，凸轮与摆动从动件的中心距为a，从动件长度l，从动件最大摆角ymax，以及从动件的运动规律（位移线图y-f），求作此凸轮的轮廓曲线。
当运用反转法给整个机构以(-w)绕O转动后，凸轮不动，一方面机架上的支承A将以(-w)绕点O转动，另一方面从动件仍按原有规律相对机架摆动。因此，这种凸轮轮廓曲线的设计可按下述步骤进行：
1) 将y-f线图的推程运动角和回程运动角分为若干等分（图中各为四等分）。
2) 根据给定的a定出O、A0的位置。以r0为半径作基圆，与以A0为中心及l为半径所作的圆弧交于点B0(C0)（如要求从动件推程逆时针摆动，B0在OA0右方；反之，则在左方），它便是从动件尖底的起始位置。
3) 以O为中心及OA0为半径画圆。沿(-w)方向顺次取180、30 、90 、60。再将推程运动角和回程运动角各分为与图b对应的等分，得A1、A2、A3、…。它们便是反转后从动件回转轴心的一系列位置。
4) 以A1、A2、A3、…为中心及l为半径作一系列圆弧，分别与基圆交于C1、C2、C3、…。自A1C1、A2C2、A3C3、…开始，向外量取与位移线图对应的从动件摆角y1、y2、y3、…，得从动件相对于凸轮的一系列位置A1B1、A2B2、A3B3、…。
5) 将点B1、B2、B3、…连成光滑曲线，便得到尖底摆动从动件盘形凸轮机构的凸轮轮廓曲线。由图可见，此轮廓曲线与直线AB在某些位置（如A3B3等）已经相交，故在考虑具体结构时，应将从动件做成弯杆以避免干涉。
同前所述，如采用滚子或平底从动件，那么上述B1、B2、B3、…等点即为参考点的运动轨迹。过这些点作一系列滚子或平底，最后作其包络线便可得到实际轮廓曲线。 0000
3). 摆动从动件圆柱凸轮机构
圆柱凸轮展开成平面后便成为移动凸轮，因此，可以用平面凸轮的设计方法来绘制其展开轮廓曲线。
已知平均圆柱半径rm，从动件长度l，滚子半径rT，从动件运动规律y=y(f)及凸轮回转方向，其展开轮廓曲线可近似绘制如下：
1) 作O－A线垂直于凸轮回转轴线，作∠OAB0=ymax/2，从而得出从动件的初始位置AB0。再根据y－f线图画出从动件的各个位置AB1'、AB2'、AB3'、…。
2) 取线段B0B0之长为2prm。沿(-v1)方向将B0B0分为与从动件位移线图横轴对应的等分，得点C1、C2、C3、…，过这些点画一系列中心在O－A线上、半径等于l的圆弧。
3) 自B1'作水平线交过C1的圆弧于点B1，自B2'作水平线交过C2的圆弧于点B2，…。将B0、B1、B2、…连成光滑曲线，便得到展开图的理论轮廓曲线。
4) 以理论轮廓曲线上诸点为圆心画一系列滚子，而后作两条包络线，即得该凸轮展开图的实际轮廓曲线（图中未示出）。
因圆柱凸轮轮廓凹槽位于圆柱面上，当与凹槽接触的圆柱滚子随从动件作平面圆弧运动时，滚子将以不同深度插入凸轮槽中。由于上述设计过程未考虑滚子与凸轮之间在从动件摆动轴线方向的相对运动，由此所得凸轮机构，其从动件实际运动规律与预期运动规律在理论上即存在偏差，所以是一种近似设计方法。欲消除设计偏差，必须对理论轮廓曲线进行修正，或者根据滚子与凸轮间的相对空间运动关系，采用解析法对凸轮轮廓曲面进行精确设计。
为减小滚子插入凸轮槽深度的变化量，可采用如下方法：
1) 减小从动件最大摆角；
2) 使从动件的中间位置AB与凸轮轴线交错垂直；
3）取从动件摆动轴线与凸轮轴线之间的距离为
直动从动件圆柱凸轮机构可看作是摆动从动件圆柱凸轮机构的特例，其凸轮轮廓曲线的设计方法与上述类似，但凸轮理论轮廓曲线无需修正。
2 解析法
1). 滚子从动件盘形凸轮机构
(1) 理论轮廓曲线方程:
1) 直动从动件盘形凸轮机构
偏置直动滚子从动件盘形凸轮机构，偏距e、基圆半径r0和从动件运动规律s=s(f)均已给定。以凸轮回转中心为原点、从动件推程运动方向为x轴正向建立右手直角坐标系。为获得统一的计算公式，引入凸轮转向系数h和从动件偏置方向系数d，并规定：当凸轮转向为顺时针时h=1，逆时针时h=-1；经过滚子中心的从动件导路线偏于y轴正侧时d=1，偏于y轴负侧时d=-1，与y轴重合时d=0。当凸轮自初始位置转过角f时，滚子中心将自点B0外移s到达B'(s+s0,de)。根据反转法原理，将点B'沿凸轮回转相反方向绕原点转过角f，即得凸轮理论轮廓曲线上的对应点B，其坐标为:
上式即为凸轮理论轮廓曲线的直角坐标参数方程。其中
(1) 理论轮廓曲线方程:
2) 摆动从动件盘形凸轮机构
摆动滚子从动件盘形凸轮机构，基圆半径r0、从动件长度l、中心距a和从动件运动规律y=y(f)均已给定。以凸轮回转中心O为原点、O→A为x轴正向建立右手直角坐标系。为使计算公式统一，引入凸轮转向系数h和从动件推程摆动方向系数d，并规定：当凸轮转向为顺时针时h=1，逆时针时h=-1；从动件推程摆动方向为顺时针时d=1，逆时针时d=-1。当凸轮自初始位置转过角f时，从动件摆过角y，滚子中心由B0到达B'{a-lcos[d(y0+y)],lsin[d(y0+y)]}。根据反转法原理，将点B'沿凸轮回转相反方向绕原点转过角f，便可得到凸轮理论轮廓曲线上的对应点B，其坐标为
:
上式即为凸轮理论轮廓曲线的直角坐标参数方程。式中
式中，s0、e和a、l、y0均为常数，s和y是f的函数，显然x和y也是凸轮转角f的函数。于是凸轮理论轮廓曲线的直角坐标参数方程一般可以表示为
(2) 实际轮廓曲线方程
滚子从动件盘形凸轮机构的实际轮廓曲线是滚子圆族的包络线。由微分几何可得，以f为参数的曲线族的包络线方程为
此即凸轮实际轮廓曲线的参数方程。式中：上面一组加、减号表示一条外包络线，下面一组加、减号表示另一条内包络线； 为滚子半径；而dx/df、dy/df可由式(8.1)或(8.2)对 求导得到。
(3) 刀具中心轨迹方程
在数控机床上加工凸轮，通常需给出刀具中心的直角坐标值。若刀具半径与滚子半径完全相等，那么理论轮廓曲线的坐标值即为刀具中心的坐标值。但当用数控铣床加工凸轮或用砂轮磨削凸轮时，刀具半径rc往往大于滚子半径rT。由图a可以看出，这时刀具中心的运动轨迹hc为理论轮廓曲线 的等距曲线，相当于以h为中心和以(rc-rT)为半径所作一系列滚子的外包络线；反之，当用钼丝在线切割机床上加工凸轮时，
rc
2). 平底从动件盘形凸轮机构
(1) 实际轮廓曲线方程
平底从动件盘形凸轮机构凸轮的实际轮廓曲线是反转后一系列平底所构成的直线族的包络线。对于直动平底从动件盘形凸轮机构，基圆半径r0和从动件运动规律s=s(f)均已给定。以凸轮回转中心为原点、从动件推程运动方向为x轴正向建立右手直角坐标系，并取导路中心线与x轴重合。引入凸轮转向系数h，并规定当凸轮转向为顺时针时h=1，逆时针时h=-1。当凸轮自初始位置转过角f时，导路中心线与平底的交点自B0外移s到达B'。根据反转法原理，将点B'沿凸轮回转相反方向绕原点转过角f，便可得出表示反转后平底的直线AB。由图可知，点B的坐标为
:
过点B的平底直线族的包络线方程为：
此即凸轮实际轮廓曲线的直角坐标参数方程。
(2) 刀具中心轨迹方程：
底从动件盘形凸轮机构凸轮的轮廓曲线可以用砂轮的端面磨削，也可以用砂轮（铣刀、钼丝）的外圆加工。由图可以看出，当用砂轮端面加工时，刀具上点B的轨迹方程即入式(8.4)所示；当用外圆加工时，刀具中心的轨迹hc是凸轮实际轮廓曲线的等距曲线，也即是以式(8.5)表示的曲线上各点为中心，以rc为半径所作一族圆的外包络线，其参数方程可根据式(8.3)求出。
例8.1
设计平底直动从动件盘形凸轮机构。已知F=90，F=60,F=90,F=120,行程h=10mm，基圆半径r0=30mm，从动件推程和回程均作简谐运动，凸轮转向为顺时针。若取磨削凸轮轮廓的砂轮半径rc=40mm，试计算f=30时凸轮实际轮廓曲线和刀具中心轨迹上对应点的坐标值。 00000
解
从动件推程作简谐运动时，
1． 求实际轮廓曲线坐标值（X，Y）
由式(8.5)得(h=1)：
对上式求导得
2． 求刀具中心轨迹坐标值(Xc,Yc)
由式(8.3)得
实际设计时，为了获得足够多的点的坐标值，可在0≤f≤2p范围内每隔一定步长给一个f值进行计算。这种大量重复的计算工作通常由计算机来完成。