18.1.2平行四边形的判定（3） 三角形的中位线教学设计
一、教材分析
1、本节教材的地位与作用：
本课时所要探究的三角形中位线是三角形中一条重要的线段，三角形中位线定理是三角形的一个重要性质定理。因此，在教学中通过创设有趣的情境问题，激发学生的学习兴趣，注重新旧知识的联系，强调直观与抽象的结合，鼓励学生大胆猜想，大胆探索新颖独特的证明方法和思路，让学生充分经历“探索—发现—猜想—证明”这一过程，体会合情推理与演绎推理在获得结论的过程中发挥的作用，同时渗透归纳、类比、转化等数学思想方法。通过本节课的学习，应使学生理解三角形中位线定理不仅指出了三角形的中位线与第三边的位置关系和数量关系，而且为证明线段之间的位置关系和数量关系（倍分关系）提供了新的思路，从而提高学生分析问题、解决问题的能力。
2、教学重点与难点：
1、认识三角形的中位线，会画三角形的中位线；
2、理解三角形的中位线性质，会用中位线性质去解决相关问题。
二、教学目标
1、知识目标
1）了解三角形中位线的概念。
2）掌握三角形中位线定理的证明和有关应用。
2、能力目标
1） 经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，进一步发展推理论证能力。
2） 能够用多种方法证明三角形的中位线定理，体会在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等数学思想方法。 3）能够应用三角形的中位线定理进行有关的论证和计算，逐步提高学生分析问题和解决问题的能力。
3、情感目标
通过问题情境，激发学生学习数学的热情和兴趣；通过对三角形中位线的研究，体验数学活动充满探索性和创造性，在操作活动中，培养学生的合作精神。
三、教学方法与学法指导
对于三角形中位线定理的引入采用发现法，在教师的引导下，学生通过猜测、探索等自主探究的方法，先获得结论再去证明。在此过程中，注重对证明思路的启发和数学思想方法的渗透，提倡证明方法的多样性，而对于定理的证明过程，则运用多媒体演示。
四、教学过程
（一）温故知新
1、如图(1)，□ABCD中，AB=6，AD=10，∠B=40°，则,∠ 2、如图(2) ，□ABCD中, 对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD,AC=6，BD=8，则。 3、如图(1)，对角线AC、BD交于点O，OA=OC，增加一个条件 ，使四边形ABCD是平行四边形。
（投影图形）
Ｂ
Ｄ
图（2） 图（1）
研究平行四边形时，常常把它转化成三角形，利用三角形全等的性质来解决，有时我们也经常利用平行四边形研究三角形的有关问题。
（二）动手操作，形成概念，
1、折一折
①大家看，老师手里有一个三角形纸板，将一边对折，展开，得到这边的中点，连接这点与相对的顶点，得到一条线段，这是三角形的什么？
②请同学们拿出三角形纸片，折出两边的中点，连接这两点，也得到一条线段，这条线段是三角形的什么呢？
③这条线段叫做三角形的中位线。
2、观察图形，你能说一说什么是三角形的中位线吗？（投影）学生思考后回答 3、归纳定义:
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。（板书）
问题1.三角形中位线有什么特征?
A
E
B C
问题2.你会画一个三角形的中位线吗？请同学们拿出学案，在图（1）中画一画（如上图） 问题3.一个三角形有几条中位线?（投影）
问题4、三角形的中线是三角形的中位线吗？它们有什么区别？下图中，有中位线的是哪一个？启发学生得出：三角形的中位线的两端点都是三角形边的中点，而三角形中线只有一个端点是边中点，另一端点上三角形的一个顶点。
B
C
（1） （2） （三）、合作交流，探究新知
1、拼一拼
①请同学们拿出刚才折叠的纸片，将它沿中位线剪开， ②你能将这两部分拼成一个平行四边形吗?
③说一说你是怎么拼的？一名学生展示后课件演示
④四边形BCFD是平行四边形，为什么？
⑤此时DE与BC有什么关系？你是怎么知道的？（提示两种关系）
（让学生打开思路，为探究三角形的中位线的相关问题做好准备）
2、观察猜想
（1）△ABC中，中位线DE与第三边BC有什么关系？（课件投影）
①观察图形，你能发现△ABC的中位线DE与边BC有什么位置关系吗？
A
②请同学们拿出学案，量一量图（2）中的DE与BC， 它们之间有什么数量关系？
（使学生养成大胆猜测和想象的能力， E 积极参与数学问题的谈论，敢于发表自己的见解。） C （2）、想一想
你发现中位线DE与第三边BC之间有什么关系了吗（位置、数量两方面）？
让学生通过实验操作、观察比较、估计猜测,自己发现结论,这可培养学生对数学的内在兴趣,让学生认识到数学不是少数天才创造的,而是经过努力一般人都可以发现的。
3、这个结论只是我们通过直接的观察和测量得到的，它一定是正确的吗？我们能不能通过推理来验证呢？（投影）
（1）适当点拨，启导全班学生思考、 ①以前我们学过哪些证明线段平行的方法? 学生进行联想,回答。（由角的相等或互补得出平行，由平行四边形得出平行等）
②怎样证明一条线段等于另一条的一半?
学生回答:截(把长的平分)与补(把短的加倍)。 （若学生不知道，可提示：以前我们会证线段间
的相等关系，能不能把一半的关系转化为相等关系）
③要把DE加倍怎么作辅助线？学生回答延长DE到F使EF=DE，连接CF。（课件投影） 请同学们拿出学案，在图（2）中，画出延长线，试一试
（2）学生合作交流讨论证法,教师巡视与学生一起研究,收集信息,了解情况。
（图中会出现什么四边形？怎样证明这个四边形是平行四边形？平行四边形的对边有什么性质？你还有什么方法？引导学生使用不同方法证明）
本环节为这节课的重难点之一所在，培养学生相互学习，合作的好习惯，在过程中体会逻辑推理的乐趣，增强了学习数学的自信心。给学生一个交流的平台，一个展现自我的空间。通过讨论与交流，学生可以共同提高。
（3）成果展示：（课件投影）
①：延长DE到F使EF=DE，连接CF
2)证明：如图，延长DE至F,使EF=DE， 连接CD、AF、CF ∵AE=EC DE=EF
∴四边形ADCF是平行四边形∴
又D为AB中点， ∴ FC
∴四边形BCFD是平行四边形 ∴BC 又DE=EF ∴DE// BC 且DE=EF=1/2BC
创设思维情境,启发学生“联想”学过的有关知识和方法,使新
旧知识得到顺利同化,并引导学生展开讨论,实现思维交锋,对于不同的方法，教师应给与及时
的表扬和鼓励，提倡学生多角度思考问题，努力去寻找更好更简捷的方法。这大大激发了学生的求知兴趣,让他们体验到成功的喜悦,数学思维能力在这一过程中得到了有效的发展。
4 、学生归纳概括、
我们已经证明这个题目的结论是正确的，它的已知和求证是什么，你能用自己的语言说一说吗？加大学生的参与度,对提高学生的独立表达能力大有好处。
5、精讲总结,理性归纳
（1）定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.（板书） 引导学生分析定理的特点:题设:两个“中点”;结论:“平行”,“一半”。 （2）推理格式
如图 ∵D、E是ABC两边的中点
2
∴DE∥BC且DE= BC
B C
(3)再指出:定理的作用①证明平行关系②证明线段间的2倍或 ½ 关系（凡是与“中点”、“平行”、“线段倍分”有关的问题可考虑使用此定理。）
帮助学生揭示定理的本质特征,为灵活运用定理作准备。
（四）、尝试练习，巩固性质
1、 如图,△ABC 中,D、E 分别AB, AC的中点,当BC =10㎝时,则。
2、如图, MN 为△ABC 的中位线, 若∠ABC =61°则∠若MN =12 ,则BC .
通过一组简单的练习题，结合图形的变式，及时巩固拓展所学知识。培养学生数形结合的思想。1题主要考察数量关系，2题主要考察位置和数量综合关系。
(五)、例题运用，形成能力
下面我们通过习题尝试运用三角形的中位线性质。
例题： 如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形。
分析： （1）中点相连中位线，EF是边AB、BC的中点你想到什么？ （2）EF是哪个三角形的中位线？这个三角形存在吗？学生意识到要连接AC，构造“三角形的中位线”的基本图形。 （3）连接AC，应用三角形的中位线定理，能得到什么？四
边形EFGH的还有哪条边与AC有关系？有什么关系？你能得出EF∥GH吗？为什么？
（4）你能证明了吗？还有其他方法吗？
证明：如图，连接AC。
∵EF是⊿ABC的中位线，
∴1/2AC（三角形的中位线定理）。
同理，HG 1/2AC。
C∴EF HG。 ∴四边形EFGH是平行四边形（一组对边平行并且相等的四边形是平
行四边形）
证法2如图（过程略）生口述
C这是一道补充题，它是三角形中位线性质与平行四边形的判定的混合应用题，题型挺好，添加辅助线的方法也很巧，结论以后也会经常用到.
让学生先后口述证明过程,教师板书或用多媒体演示。
（5）教师指出:①三角形中位线定理的应用要求三角形与中位线同在，有时需要作辅助线，构造含有中位线的三角形。②定理的两个结论可选用一个或两个都用。
（六）学以致用、
1、如图，A、B两地被池塘阻隔，为测量A、B两地间的 距离，在地面上选一点C，连接CA、CB，分别取CA、CB 的中点D、E。
①若DE的长为36m，求AB两地间的距离 C ②如果D、E两地间还有阻隔，你有什么解决办法？
2、如图，在△ABC中， D、E、F分别是AB、BC、CA的中点。以这些点为顶点，你能画出多少个平行四边形？为什么？
数学是解决实际问题的有力工具，增强数学的应用意识。
（七）、小结反思，巩固提高
本节课你有哪些收获？ 知识方面
1、定义 ：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 2、三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。
数学思想：转化思想
线段的倍分问题可转化为相等问题来解决.
3、你还有什么疑问？（让学生通过知识性内容的小结，提高归纳的能力。）
（八）布置作业
1、同步学习第51页反思拓展
2、配套练习册57页第8题
18.1.2平行四边形的判定（3） 三角形的中位线教学设计
一、教材分析
1、本节教材的地位与作用：
本课时所要探究的三角形中位线是三角形中一条重要的线段，三角形中位线定理是三角形的一个重要性质定理。因此，在教学中通过创设有趣的情境问题，激发学生的学习兴趣，注重新旧知识的联系，强调直观与抽象的结合，鼓励学生大胆猜想，大胆探索新颖独特的证明方法和思路，让学生充分经历“探索—发现—猜想—证明”这一过程，体会合情推理与演绎推理在获得结论的过程中发挥的作用，同时渗透归纳、类比、转化等数学思想方法。通过本节课的学习，应使学生理解三角形中位线定理不仅指出了三角形的中位线与第三边的位置关系和数量关系，而且为证明线段之间的位置关系和数量关系（倍分关系）提供了新的思路，从而提高学生分析问题、解决问题的能力。
2、教学重点与难点：
1、认识三角形的中位线，会画三角形的中位线；
2、理解三角形的中位线性质，会用中位线性质去解决相关问题。
二、教学目标
1、知识目标
1）了解三角形中位线的概念。
2）掌握三角形中位线定理的证明和有关应用。
2、能力目标
1） 经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，进一步发展推理论证能力。
2） 能够用多种方法证明三角形的中位线定理，体会在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等数学思想方法。 3）能够应用三角形的中位线定理进行有关的论证和计算，逐步提高学生分析问题和解决问题的能力。
3、情感目标
通过问题情境，激发学生学习数学的热情和兴趣；通过对三角形中位线的研究，体验数学活动充满探索性和创造性，在操作活动中，培养学生的合作精神。
三、教学方法与学法指导
对于三角形中位线定理的引入采用发现法，在教师的引导下，学生通过猜测、探索等自主探究的方法，先获得结论再去证明。在此过程中，注重对证明思路的启发和数学思想方法的渗透，提倡证明方法的多样性，而对于定理的证明过程，则运用多媒体演示。
四、教学过程
（一）温故知新
1、如图(1)，□ABCD中，AB=6，AD=10，∠B=40°，则,∠ 2、如图(2) ，□ABCD中, 对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD,AC=6，BD=8，则。 3、如图(1)，对角线AC、BD交于点O，OA=OC，增加一个条件 ，使四边形ABCD是平行四边形。
（投影图形）
Ｂ
Ｄ
图（2） 图（1）
研究平行四边形时，常常把它转化成三角形，利用三角形全等的性质来解决，有时我们也经常利用平行四边形研究三角形的有关问题。
（二）动手操作，形成概念，
1、折一折
①大家看，老师手里有一个三角形纸板，将一边对折，展开，得到这边的中点，连接这点与相对的顶点，得到一条线段，这是三角形的什么？
②请同学们拿出三角形纸片，折出两边的中点，连接这两点，也得到一条线段，这条线段是三角形的什么呢？
③这条线段叫做三角形的中位线。
2、观察图形，你能说一说什么是三角形的中位线吗？（投影）学生思考后回答 3、归纳定义:
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。（板书）
问题1.三角形中位线有什么特征?
A
E
B C
问题2.你会画一个三角形的中位线吗？请同学们拿出学案，在图（1）中画一画（如上图） 问题3.一个三角形有几条中位线?（投影）
问题4、三角形的中线是三角形的中位线吗？它们有什么区别？下图中，有中位线的是哪一个？启发学生得出：三角形的中位线的两端点都是三角形边的中点，而三角形中线只有一个端点是边中点，另一端点上三角形的一个顶点。
B
C
（1） （2） （三）、合作交流，探究新知
1、拼一拼
①请同学们拿出刚才折叠的纸片，将它沿中位线剪开， ②你能将这两部分拼成一个平行四边形吗?
③说一说你是怎么拼的？一名学生展示后课件演示
④四边形BCFD是平行四边形，为什么？
⑤此时DE与BC有什么关系？你是怎么知道的？（提示两种关系）
（让学生打开思路，为探究三角形的中位线的相关问题做好准备）
2、观察猜想
（1）△ABC中，中位线DE与第三边BC有什么关系？（课件投影）
①观察图形，你能发现△ABC的中位线DE与边BC有什么位置关系吗？
A
②请同学们拿出学案，量一量图（2）中的DE与BC， 它们之间有什么数量关系？
（使学生养成大胆猜测和想象的能力， E 积极参与数学问题的谈论，敢于发表自己的见解。） C （2）、想一想
你发现中位线DE与第三边BC之间有什么关系了吗（位置、数量两方面）？
让学生通过实验操作、观察比较、估计猜测,自己发现结论,这可培养学生对数学的内在兴趣,让学生认识到数学不是少数天才创造的,而是经过努力一般人都可以发现的。
3、这个结论只是我们通过直接的观察和测量得到的，它一定是正确的吗？我们能不能通过推理来验证呢？（投影）
（1）适当点拨，启导全班学生思考、 ①以前我们学过哪些证明线段平行的方法? 学生进行联想,回答。（由角的相等或互补得出平行，由平行四边形得出平行等）
②怎样证明一条线段等于另一条的一半?
学生回答:截(把长的平分)与补(把短的加倍)。 （若学生不知道，可提示：以前我们会证线段间
的相等关系，能不能把一半的关系转化为相等关系）
③要把DE加倍怎么作辅助线？学生回答延长DE到F使EF=DE，连接CF。（课件投影） 请同学们拿出学案，在图（2）中，画出延长线，试一试
（2）学生合作交流讨论证法,教师巡视与学生一起研究,收集信息,了解情况。
（图中会出现什么四边形？怎样证明这个四边形是平行四边形？平行四边形的对边有什么性质？你还有什么方法？引导学生使用不同方法证明）
本环节为这节课的重难点之一所在，培养学生相互学习，合作的好习惯，在过程中体会逻辑推理的乐趣，增强了学习数学的自信心。给学生一个交流的平台，一个展现自我的空间。通过讨论与交流，学生可以共同提高。
（3）成果展示：（课件投影）
①：延长DE到F使EF=DE，连接CF
2)证明：如图，延长DE至F,使EF=DE， 连接CD、AF、CF ∵AE=EC DE=EF
∴四边形ADCF是平行四边形∴
又D为AB中点， ∴ FC
∴四边形BCFD是平行四边形 ∴BC 又DE=EF ∴DE// BC 且DE=EF=1/2BC
创设思维情境,启发学生“联想”学过的有关知识和方法,使新
旧知识得到顺利同化,并引导学生展开讨论,实现思维交锋,对于不同的方法，教师应给与及时
的表扬和鼓励，提倡学生多角度思考问题，努力去寻找更好更简捷的方法。这大大激发了学生的求知兴趣,让他们体验到成功的喜悦,数学思维能力在这一过程中得到了有效的发展。
4 、学生归纳概括、
我们已经证明这个题目的结论是正确的，它的已知和求证是什么，你能用自己的语言说一说吗？加大学生的参与度,对提高学生的独立表达能力大有好处。
5、精讲总结,理性归纳
（1）定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.（板书） 引导学生分析定理的特点:题设:两个“中点”;结论:“平行”,“一半”。 （2）推理格式
如图 ∵D、E是ABC两边的中点
2
∴DE∥BC且DE= BC
B C
(3)再指出:定理的作用①证明平行关系②证明线段间的2倍或 ½ 关系（凡是与“中点”、“平行”、“线段倍分”有关的问题可考虑使用此定理。）
帮助学生揭示定理的本质特征,为灵活运用定理作准备。
（四）、尝试练习，巩固性质
1、 如图,△ABC 中,D、E 分别AB, AC的中点,当BC =10㎝时,则。
2、如图, MN 为△ABC 的中位线, 若∠ABC =61°则∠若MN =12 ,则BC .
通过一组简单的练习题，结合图形的变式，及时巩固拓展所学知识。培养学生数形结合的思想。1题主要考察数量关系，2题主要考察位置和数量综合关系。
(五)、例题运用，形成能力
下面我们通过习题尝试运用三角形的中位线性质。
例题： 如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形。
分析： （1）中点相连中位线，EF是边AB、BC的中点你想到什么？ （2）EF是哪个三角形的中位线？这个三角形存在吗？学生意识到要连接AC，构造“三角形的中位线”的基本图形。 （3）连接AC，应用三角形的中位线定理，能得到什么？四
边形EFGH的还有哪条边与AC有关系？有什么关系？你能得出EF∥GH吗？为什么？
（4）你能证明了吗？还有其他方法吗？
证明：如图，连接AC。
∵EF是⊿ABC的中位线，
∴1/2AC（三角形的中位线定理）。
同理，HG 1/2AC。
C∴EF HG。 ∴四边形EFGH是平行四边形（一组对边平行并且相等的四边形是平
行四边形）
证法2如图（过程略）生口述
C这是一道补充题，它是三角形中位线性质与平行四边形的判定的混合应用题，题型挺好，添加辅助线的方法也很巧，结论以后也会经常用到.
让学生先后口述证明过程,教师板书或用多媒体演示。
（5）教师指出:①三角形中位线定理的应用要求三角形与中位线同在，有时需要作辅助线，构造含有中位线的三角形。②定理的两个结论可选用一个或两个都用。
（六）学以致用、
1、如图，A、B两地被池塘阻隔，为测量A、B两地间的 距离，在地面上选一点C，连接CA、CB，分别取CA、CB 的中点D、E。
①若DE的长为36m，求AB两地间的距离 C ②如果D、E两地间还有阻隔，你有什么解决办法？
2、如图，在△ABC中， D、E、F分别是AB、BC、CA的中点。以这些点为顶点，你能画出多少个平行四边形？为什么？
数学是解决实际问题的有力工具，增强数学的应用意识。
（七）、小结反思，巩固提高
本节课你有哪些收获？ 知识方面
1、定义 ：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 2、三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。
数学思想：转化思想
线段的倍分问题可转化为相等问题来解决.
3、你还有什么疑问？（让学生通过知识性内容的小结，提高归纳的能力。）
（八）布置作业
1、同步学习第51页反思拓展
2、配套练习册57页第8题