自动控制理论习题答案

习题参考答案

2-1 已知R-L-C网络如图所示，试列写以ui为输入，uo为输出的微分方程模型。

解： 电感方程：L电容方程：C

di3

uoR1i1ui...（1） dt

duc

i2...（2） dt

有6个变量，列出微分方程模型时保留2个，因此要消掉4个变量，还需要列出3个方程：

由KVL：R1i1ucR2i2ui...（3） 由KCL：i1i2i3...（4） 在输出端：R3i3uo...（5）

将（5）代入（1）（4）可消去i3，然后将（4）代入（1）（3）消去i1得到： uLduo

uoR1(i2o)ui(6)R3dtR3

uo

R1(i2)ucR2i2ui(7)R3

用方程（2）消去uc：将（7）整理为代入，得到： R1duoi2didu

(R1R2)2i R3dtCdtdt

R1C

R1

uouc(R1R2)i2ui后取时间的导数，再将（2）R3

duodidu

R3i2R3(R1R2)C2R3Ci...（8） dtdtdt

duo

(R3R1)uo]，代入(8)R1得到 dt

最后，将（6）整理为R1R3i2R3ui[L

duodu

{R3ui[Lo(R3R1)uo]}dtdt

duid2uoduodui

(R1R2)C{R3[L2(R3R1)]}R1R3C

dtdtdtdtR12C

经整理，可得到系统的微分方程模型为

(R1R2)LCd2uoR1R2CR1R3CR2R3CLduo

uo

R1R3R1R3dtdt2 R2R3CduiR3uiR1R3dtR1R3

2-2 已知机械系统如图所示，其中位移xi为输入，位移xo为输出。试列写该系统的微分方程模型及其传递函数。

1

解：在阻尼器1和2取辅助点，设其位移为x1，由弹簧力和阻尼力平衡的原则，可得到

f1(xix1)K1(xix1)f2(x1xo)f2(x1xo)K2xo

消去中间变量x1，可得到系统的微分方程模型为

f1f22f22fKf2K1f2K2fff

xo12xoxo12xi2xi

K1K2K1K2K1K2K2

则系统的传递函数为

f1f22f2

ss

Xo(s)K1K2K2 2

ff2ffKfKfKXi(s)1222122

s212s1

K1K2K1K2

2-3 已知水箱系统如图所示，该系统为有自衡能力双容过程，其中C1 和C2分别为水箱1和水箱2的容量系数，R1、R2和R3分别为阀门1、阀门2和阀门3的液阻，Q1为输入，h2为输出。试列写该系统的微分方程模型及其传递函数G(s)

H2(s)

。 Q1(s)

3

解：根据动态物料平衡，可列出下列增量方程： 对水箱1：

dh

Q1Q2C11

dthQ21

R2

对水箱2：

Q2Q3C2

Q3

h2R3

dh2 dt

从以上四个式子中消去h1、Q2和Q3，并整理得

d2h2dh

C1C2R2R32(C1R2C2R3)2h2R3Q1

dtdt

上式中，令T1C1R2，T2C2R3，则得

d2h2dh

T1T22(T1T2)2h2R3Q1

dtdt

对上式进行Laplace变换，并分解因式，得传递函数为

R3H(s)

G(s)2

Q1(s)(T1s1)(T2s1)

2-4 试求下列函数的Laplace变换，假设t0时，函数f(t)0。

(2)f(t)5(1cos2t) (1)f(t)2sin(3t)

6

3t

(3)f(t)ecos4t

(4)f

(t)tcos3t 解：



(1)f(t)2sin(3t)2sin3tcos2cos3tsin3tcos3t

666sF（s）=L[f(t)]2s91s20

(2)F（s）=L[f(t)]L[5(1cos2t)]5(2)

ss4s(s24)



(3)F（s）=L[f(t)]L[e3tcos4t]

s3s3

2 2

(s3)16(s9s25)

s29s29

(4)F(s)L[f(t)]L[tcos3t]2

(s9)2s418s281

2s214s12

2-5 已知某传递函数为 G(s)4， 32

s5s12s18s

(1) 试将传递函数化为首1标准型（零、极点形式）； (2) 求系统的静态增益K0； (3) 求系统的微分方程； (4) 求系统的零、极点。 解：

(1) G(s)(2)K0

122 183

Y(s)2s214s12

(3)由G(s)得到 

U(s)s45s312s218s

(s45s312s218s)Y(s)(2s214s12)U(s)

在零初始条件下进行Laplace反变换可得系统的微分方程

d4y(t)d3y(t)d2y(t)dy(t)d2u(t)du(t)

5121821412u(t) 2

dtdtdtdtdtdt

(4)令分子多项式等于零，求出z11，z26，令分母多项式等于零，求出p10，

p2

3，p3,412-6 试用结构图等效化简求下图的传递函数

Y(s)

。

U(s)

解：（1）将环节G3输出端的引出点后移，并将G3、G4反馈环节合并，得到图（1）； （2）将环节G2输出端的引出点后移，并将反馈环节合并，得到图（2）；

(

1)

(2)

（3）由图（2）可计算得系统的传递函数为

G1G2G3G4Y(s)



U(s)1G1G2G2G3G3G4G1G2G3G4

2-7 已知系统方程组如下：

ìX1(s)=G1(s){U(s)-[H3(s)-H4(s)]Y(s)}ïïïïïX2(s)=G2(s)[X1(s)-H1(s)X3(s)] íïX3(s)=G3(s)[X2(s)-Y(s)H2(s)]ïïïïïîY(s)=G4(s)X3(s)

试绘制系统结构图，并求闭环传递函数

Y(s)

。 U(s)

解：由系统方程绘制系统结构图如下所示，该系统有4个独立环路：L1=-G2G3H1，

L2=-G3G4H2，L3=-G1G2G3G4H3，L3=G1G2G3G4H4，有1条前向通路，其前向通

路的传递函数分别为F，D1=1。

1=G1G2G3G4

由Mason增益公式可直接写出系统的传递函数为

G1G2G3G4Y(s)F1D1

==

U(s)D1+G2G3H1+G3G4H2+G1G2G3G4H3-G1G2G3G4H4

2-8 试用Mason增益公式求下图中各系统的传递函数

Y(s)

。

U(s)

(a)U(sY(s)

(b)

解：（a）该系统有4个独立环路：L1=-G2G3H1，L2=-G3G4H2，L3=-G1G2G3H3，

L4=G1G2G3G4H4。有1条前向通路，其前向通路的传递函数分别为F1=G1G2G3，G4D=11。

由Mason增益公式可直接写出系统的传递函数为

G1G2G3G4Y(s)F1D1

==

U(s)D1+G2G3H1+G3G4H2+G1G2G3H3-G1G2G3G4H4

（b）该系统有3个独立环路：L1=-G1H1，L2=-G3H3，L3=-G1G2G3H1H2H3。有2条前向通路，其前向通路的传递函数分别为：F，=1，1=G1G2G3D1

F2=G3G4，D2=1+G1H1，有1组互不接触环路：L1和L2。由Mason增益公式可直接

写出系统的传递函数为

G1G2G3+G3G4(1+G1H1)Y(s)F1D1+F2D2

==

U(s)D1+G1H1+G3H3+G1G2G3H1H2H3+G1H1G3H3

2-9 已知系统如图所示，试求系统的传递函数

Y(s)

。 U(s)

解：该系统有3个独立环路：L1=-G3H1，L2=G1G2G3H1，L3=-G2G3G4H2。

有2条前向通路，其前向通路的传递函数分别为F，D1=1 1=G1G2G3G4

F2=G5，D2=1+G3H1-G1G2G3H1+G2G3G4H2

由Mason增益公式可直接写出系统的传递函数为

Y(s)F1D1+F2D2

=U(s)D

G1G2G3G4

=+G5

1+

G3H1-G1G2G3H1+G2G3G4H2

2-10 已知系统如图所示，试求系统的输出Y(s)。

解：令N1(s)=0，N2(s)=0，N3(s)=0，则

G1G2Y(s)

=

U(s)1+G1G2H1+G2H2

令U(s)=0，N2(s)=0，N3(s)=0，则

G2Y(s)

Gyn1(s)==

N1(s)1+G1G2H1+G2H2

令U(s)=0，N1(s)=0，N3(s)=0，则

-G2Y(s)

Gyn2(s)==

N2(s)1+G1G2H1+G2H2

令U(s)=0，N1(s)=0，N2(s)=0，则

-G1G2H1Y(s)

Gyn3(s)==

N3(s)1+G1G2H1+G2H2

Gyu(s)=

根据叠加原理，则有系统的输出

Y(s)

Y(s)Y(s)Y(s)Y(s)

U(s)N1(s)N2(s)N3(s)U(s)N1(s)N2(s)N3(s)

G1G2G2

U(s)N1(s)

1G1G2H1G2H21G1G2H1G2H2G2G1G2H1

N2(s)N3(s)

1G1G2H1G2H21G1G2H1G2H2

G1U(s)N1(s)N2(s)G1H1N3(s)

1G1G2H1G2H2

G2

3-1 已知系统的特征方程如下，判断系统的稳定性。

（1）s2s7s60

（2）s11s8s4s3s70 （3）s9ss3s100

（4）s5s2s7s9ss120 解：用Routh判据。

（1）稳定。（2）不稳定。（3）不稳定。（4）不稳定。

3-2 已知单位反馈系统的开环传递函数如下，试确定使系统稳定的参数K的范围。

（1）G(s)

6

5

4

3

2

4

3

2

5

4

3

2

3

2

K

s(s1)

（2）G(s)

Ks1

2

s(s1)

解：用Routh判据。

（1）系统闭环特征多项式为ssK。列出Routh表

2

s2s1s0

因此系统稳定的充要条件是K0。

11K

K0

（2）系统闭环特征多项式为ssKs1。列出Routh表

32

s3s2s1s0

1K11

K11

因此系统稳定的充要条件是K1。

3-3 已知单位反馈系统的开环传递函数如下，试确定使系统稳定的参数K和T的范围。

（1）G(s)

K

s(Ts1)

（2）G(s)

K(s1)

s(Ts1)(2s1)

解：用Routh判据。

（1）系统闭环特征多项式为TssK。列出Routh表

2

s2s1s0

因此系统稳定的充要条件是K0,T0。

T1K

K0

（2）系统闭环特征多项式为2Ts(2T)s(K1)sK。列出Routh表

32

s3s2s1s0

2T2T

KTT2K2

T2K

K1K

不妨设K1，则系统稳定的充要条件是

T02T0

KTT2K2

0

T2

即K0,T0,KTT2K2。 3-4某典型二阶系统单位阶跃响应曲线如图所示。求

（1）调节时间ts（5%）； （2）超调量%； （3）峰值时间tp； （4）阻尼振荡频率d； （5）系统的极点位置。

3-4题图

1

解：(1)过渡过程时间ts(5%)5.49 (2)超调量%

1.261

100%26% 1

(3)峰值时间tp2.48s

(4)阻尼振荡频率d/tp3.14/2.481.266rad/s (5)

n3/ts0.546，极点为nid

0.546i1.266。

3-5已知单位反馈系统结构图如图所示。求

（1）K＝50时系统单位阶跃响应的超调量%；

（2）K取何值才能使系统单位阶跃响应的超调量%10%。

3-5题图

解：（1）闭环系统特征多项式s10s50，



2

n52,0.707。代入



2

%e

100%得到%e100%4.3%。





2

（2）由%e100%得到

2







。

ln(/100)

。

将

令

cos

得到

tan

ln(/100)

%10%

代入得到



]arctan1.3640.938。因此0.591。闭环系统特征多项式

ln(/100)

s210sK，nK,5/K。因此有5/K0.591，得到K71.6。

3-6根据以下二阶系统的技术指标要求，画出系统极点在s平面上的分布。

n2s1 11

（2）0.5,2sn4s

1

（3）0.50.707,n4s

11

（4）0.5,1sn2s

（1）00.707,解：

11



3-7某速度反馈系统结构图如右图所示。求

（1）K＝0时，闭环系统的阻尼系数、超调量和调整时间。 （2）K取何值闭环系统的阻尼系数0.707？ （3）K取何值使得闭环系统为过阻尼系统？

3-7题图

解：闭环系统传递函数为

4

。因此有n2，K0.5。

s2(4K2)s4

（1）K＝0时，0.5，因此

%e0.58100%16.2%，ts3/n3

（2）0.707时，要求K＝0.207。

（3）要使闭环系统为过阻尼系统，要求K>0.5。

12

3-8已知系统结构图如图所示。求

（1）T＝0时，闭环系统的超调量和调整时间。 （2）T＝2时，闭环系统的超调量和调整时间。 （3）T取何值使得系统的超调量为零？

3-8题图

解：闭环系统传递函数为

Ts16

。因此有n4，(T4)/8。

s2(4T)s16

（1）T＝0时，0.5，因此

%e0.58100%16.2%，ts3/n1.5

（2）T＝2时，0.75，对于典型二阶系统，

%e1.13100%2.84%，ts3/n1

但实际闭环系统传递函数为

2s16

，含有零点。可用计算机辅助计算得到实际

s26s16

%3.5%，ts0.62。

（3）要使系统的超调量为零，要求T>4。

3-9 某一阶系统结构图如图所示。要求系统闭环增益为2，调节时间ts0.4s

。试确定参数T和K的值。

3-9题图

解：闭环系统传递函数为

111

。

TSKK(T/K)s1

13

闭环增益

1

2得到K＝0.5。调节时间ts3T/K0.4s得到T0.067。 K

3-10给定典型二阶系统的设计指标：超调量%5%，调节时间ts3s，峰值时间

tp1s。试确定系统极点配置的区域，以获得预期的响应特性。

解：系统为欠阻尼二阶系统。根据设计指标确定系统参数

（1）若令cos，前面已经得到

]。因此

ln(/100)

cos[arctan(



)]0.69。

ln0.05

（2）由tp/d得到d/tp。

（3）调节时间比较复杂。如果设0.8，则ts3.5/n3，得到n1.17。事实上，n越大，调节时间越短。

系统极点配置的区域如图阴影部分所示。

3-11 已知单位反馈系统的开环传递函数如下，求系统单位阶跃响应和单位斜坡响应的稳态误差。

20

(s5)(s2)

50

（2）G(s)

s(s1)(s5)K(s2)

（3）G(s)

s(s3)(s5)

（1）G(s)

14

（4）G(s)

K(s10)

s2(Ts1)(5s1)

1

。单位斜坡响应的稳态误差为

s01G(s)

解：单位阶跃响应的稳态误差为ess1lim

ess2lim

s0

1

。 sG(s)

11

,ess2 123

（1）闭环系统稳定，ess1（2）闭环系统不稳定。

（3）闭环系统稳定，ess10,（4）闭环系统不稳定。 3-12 已知温度计的传递函数为

ess215/2K

1

。用其测量容器内的水温，1分钟才能显示出该温度Ts1

的98%的数值。若加热容器使水温按每分钟5ºC的速度匀速上升，问温度计的稳态指示误差有多大？

解：依题意，温度计的时间常数T1/4min。输入信号为斜坡信号u(t)Rt，

R5/min。输出稳态误差为

esslims

s0

R1RT(1)limRT1.25 2s0Ts1Ts1s

3-13 已知如图系统的输入和扰动均为1(t)。求 （1）系统输出的稳态误差。

（2）调整哪个环节可以使稳态误差为零？如何调整？ 解：（1）系统输出为Y(s)

3R(s)3(s2)N(s)

。输出稳态值为32

s3s2s3

y()limsY(s)9/33。稳态误差essy()r()2。

s0

（2）在扰动输入之前，即

1s0.1处，串联一个比例积分环节就可以消除稳态误差。

ss2

只增加纯积分环节不能保持系统稳定性。

15

)

3-13题图

3-14题图

3-14 如图是船舶横摇镇定系统结构图，引入内环速度反馈是为了增加船只的阻尼。

（1）求海浪扰动力矩对船只倾斜角的传递函数(s)/Md(s)；

（2）为保证Md为单位阶跃输入时倾斜角的值不超过0.1，且系统的阻尼比为0.5，求K1、K2和K3应满足的方程；

（3）K2=1时，确定满足（2）中指标的K1和K3值。 解：（1）由Mason公式得到

0.5

2(s)s0.2s1

0.5K2K3s0.5K1K2Md(s)

122

s0.2s1s0.2s1

0.5

2

s(0.20.5K2K3)s(10.5K1K2)

（2）扰动Md(s)1/s。由Laplace变换的终值定理，倾斜角的稳态值

()lims(s)

s0

0.5

0.1，得到K1K28。

10.5K1K2

0.5，即

系统的阻尼比为

0.20.5K2K320.5K1K2

0.5，可简化为

16

0.20.5K2K30.5K1K2。

即应满足K1K28，0.20.5K2K30.5K1K2。 （3）K2=1时，K18，K320.5K1K20.4。

3-15 已知单位反馈系统的开环传递函数如下，试绘制系统的常规根轨迹。

K

s(s1)(s3)

K

（2）G(s) 2

s(s2)(s4s20)

（1）G(s)解：根轨迹如图。步骤略。

Imaginary Axis

Imaginary Axis

Real Axis

Real Axis

3-15（1）根轨迹 3-15（2）根轨迹

3-16 已知单位反馈系统的开环传递函数如下，试绘制以a为变量的参数根轨迹。 （1）G(s)

2

s(s2a)

（2）G(s)

as25

s(s4)

解：

（1）闭环系统特征方程为

1G(s)1

解出a得到

2

s(s2a)

0

s22a

2s

变换为

a2s

1

s22

17

实际上就是绘制G*(s)

2s

的常规根轨迹。

s22

系统有2条根轨迹分支，起始于极点p1,2实轴负无穷。起始角满足相角条件

i，一条趋向零点z10，另一条趋向

121(2k1)180

可得到起始角为180。分离点满足方程解出d。根轨迹如图。 （2）闭环系统特征方程为

111222

，经整理得2dd，ddidi

1G(s)1

解出a得到

as25

0

s(s4)

s24s25a

s

变换为

as

1 2

s4s25

*

实际上就是绘制G(s)

s

的常规根轨迹。

s24s25

18

系统有2条根轨迹分支，起始于极点p1,22i，一条趋向零点z10，另一条趋向实轴负无穷。起始角满足相角条件

121(2k1)180

可得到p1起始角为90(180)202.2。分离点满足方程

111

，解出d5。根轨迹如图。 

ddp1dp2

3-17 已知单位反馈系统的开环传递函数为G(s)

K

。希望系统的所有特征根位于s

s(sa)

平面上s＝－2的左侧区域，且阻尼比0.50.707。求K和a的取值范围。 解：先画出根轨迹。如图所示。

分别做出0.5和0.707的等阻尼线，它们与负实轴夹角分别为arccos60和45。它们与根轨迹的交点分别为

19



11a/2ia/2 12a/2ia/2 2

闭环系统特征多项式为D(s)sasK。0.5时特征根为a/2i3a/2，

可得到

K1a2

0.707时特征根为a/2ia/2，可得到

K2a2/2

因此K的取值范围是

a2/2Ka2

为了使所有特征根位于s平面上s＝－2的左侧区域，应使a/22。即a的取值范围是a4。

3-18 已知单位反馈系统的开环传递函数为G(s)

K

。试确定系统在阻尼比

s(s2)(s5)



0.5时对应的K值以及相应的闭环极点，估算此时系统的动态性能指标。

解：先画出根轨迹。做出0.5的等阻尼线，它与负实轴夹角为arccos60。如图所示。等阻尼线与根轨迹的交点即为相应的闭环极点，可设相应两个复数闭环极点分别为

1ni0.5n

i0.866n 2ni0.5ni0.866n

闭环特征多项式为

D(s)(s1)(s2)(s3)

s(n3)s(3n)s3

同时

20

3

2

2n

2n

D(s)s37s210sK

比较系数有

n372

n3n10 23nK

解得

n10/71.43

35.57

K11.39

故0.5时

K11.39

10.71i1.23 20.71i1.23

35.57

在所求得的3个闭环极点中，3至虚轴的距离与1或2至虚轴的距离之比为

5.57

80.71

倍。可见，1、2是系统的主导闭环极点。于是，可由1、2所构成的二阶系统来估算原三阶系统的动态性能指标。将n1.43,0.5代入二阶系统动态性能指标的公式得

%e

e0.53.0.516.3% 3.53.5ts4.89(s)

n0.51.43

KK

1.14

s(s2)(s5)10

2

2

原系统为Ⅰ型系统，系统的静态速度误差系数计算如下

KvlimsG(s)lims

s0

s0

系统在单位阶跃信号作用下的稳态误差为0，在单位斜坡信号作用下的稳态误差为

ess

11

0.88。 KvK

3-19在正反馈条件下，系统特征方程为G(s)H(s)1时，此时根轨迹方程为

G(s)H(s)1，相角条件为G(s)H(s)2k，k0,1,2,；或者，将负反馈条件

下非最小相位系统化为标准形式时，会出现增益为负的情形，根轨迹的相角条件也为

G(s)H(s)2k。以相角条件为G(s)H(s)2k相应绘制的根轨迹称为零度根轨

迹。在绘制零度根轨迹时，仅与幅值有关的性质都与相角条件为G(s)H(s)(2k1)的常规根轨迹的性质相同，而所有跟相位有关的性质则与常规根轨迹的性质不同，请你列举零度根轨迹这些不同的性质，并加以说明。

法则3 实轴上的根轨迹：实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数之和为偶数，则该区域必是根轨迹。

法则4 根轨迹的渐近线与实轴夹角应改为

a

2k

（k=0，±1，±2，„） nm

G(s)H(s)2k180

法则6 根轨迹的出射角和入射角用可直接利用相角条件

4-1已知单位反馈系统的开环传递函数为G(s)试求：

⑴使系统增益裕度为10的K值； ⑵使系统相角裕度为30的K值。

解: 系统开环频率特性为G(i)(1) 求gm10的K值：

K

s(0.2s1)2

K

i(0.2i1)2

令180为相角交越频率，有arctan0.218045，1805由

gm

1G(i180)



10

可解得K=1。

(2) 求m30的K值：

由定义m180G(ic)180(902arctan0.2c)30

arctan0.2c30

求得系统幅值交越频率

c由

|G(ic)|

K

c(10.04c)

2

2

1

将cKc(10.04c)3.85。

4-2试由幅相频率计算式

G(i)90argtanargtanG(i5)2

确定最小相位系统的传递函数。

解:由相频计算式可得出传递函数的形式为



3

argtan10

G(s)

由幅频计算式

K(s/31)s(s1)(10s1)

G(i5)2

有

2

求得K10/3，所求最小相位系统的传递函数为

G(s)

4-3已知单位反馈系统开环传递函数

1312(s/31)s(s1)(10s1)

G(s)

K

(s1)(s1.5)(s2)

若希望系统闭环极点都具有小于-1的实部，试用Nyquist判据确定增益K的最大值。

解：令us1， 则“u平面所有极点均处于负平面”等价于“s平面所有闭环极点均具有小于-1的实部”，并且

G(u)

K

u(u0.5)(u1)

可见G(u)并无右半平面的开环极点，所以G(u)的Nyquist轨线不能包围(1,i0)点。只要满足：G(u)轨线与负实轴的交点在-1点右侧（大于-1）即可，令G(u)的相频为180，得到

G(iuc)90arctan2ucarctanuc180

arctan2ucarctanuc90

arctan

2ucuc

2

12

c

tan90

2

12u0c

求得G(u)的相角交越频率

u

c

G(uc)

1

即若希望系统闭环极点都具有小于-1的实部，增益K的最大值为3/4。

4-4设某系统结构图如下图所示，其中K >0。

（1）试求系统稳态误差ess；

（2）若ω=1时,要求稳态误差幅值ess0.4A，试选择K值。

Kmax

3

4

r

Asint

y

解：(1)求系统稳态误差ess，系统开环传递函数为G(s)闭环系统的误差传递函数为

K

， s2

Φe(s)

其幅值与相位为

1s2



1G(s)s2K

Φe(i)Φe(i)arctan0.5arctan

因输入r(t)Asint，系统的稳态误差为



2K

essAΦe(i)sin(tΦe(i))



tarctan0.5arctan)

2K

(2)因1，令

1

0.4

有

K24K26.250

解得

K13.5，K27.5(舍去).

故满足题意要求的K值范围为

K3.5

4-5已知系统

G(s)

K(ks1)s

v

(Ts1)

jj

k

型次ν0（含有ν个积分环节），Nyquist曲线起始于实轴（0），试问什么情况下起始于负实轴，什么情况下起始于正实轴。

答：当开环增益K0时，起始点位于正实轴；当开环增益K0时，起始点位于负实轴。

4-6 设系统的开环传递函数为

G(s)

其中K，T1，T2，T3，T4>0。

K(T1s1)

s2(T2s1)(T3s1)(T4s1)

（1）已知T2T3T4T1，试概略绘制该系统的Nyquist图。 （2）若T2T3T4T1，请概略绘制该系统的Nyquist图。 解：（1）G(i0)e



i180

，而且对于小正数，有

G(i)180(T2T3T4T1)180

G(i)0ei360， 概略绘制的Nyquist图如下

（2）G(i0)e



i180

，而且对于小正数，有

G(i)180(T2T3T4T1)180

G(i)0ei360，概略绘制的Nyquist图如下

4-7 设系统的开环频率特性函数的极坐标图如图所示。试用Nyquist稳定性判据判定闭环系统的稳定性。

开环系统稳定 开环系统稳定 开环系统有2个RHP极点

解：（1）P=0，wn2，N= P+wn=2，闭环系统不稳定，有2个RHP极点。 （2）P=0，wn1，故N= P+wn=1，闭环系统不稳定，有1个RHP极点。 （3）P=2，wn-2，故N= P+wn=0，闭环系统稳定。 4-8已知系统开环传递函数

L(s)

图，据此判定闭环系统的稳定性。

K

s(Ts1)

把虚轴上的开环极点视为不稳定的开环极点，重新确定Nyquist路径，并绘制L(s)的Nyquist

解：s平面小圆弧顺时针的路径映射为L(s)平面逆时针的大圆弧。

Nyquists)的w

n =-1（逆时针）， P=1，N=0，闭环系统稳定。

4-9已知最小相位（单位反馈）开环系统的渐近对数幅频特性如图所示。 （1）试求取系统的开环传递函数；

（2）要求系统具有30的稳定裕度，求开环放大倍数应改变的倍数。

解: (1) 由图可得出系统开环传递函数的基本形式为

G(s)

K

s(10s1)(0.1s1)

将点(0.1，40)代入上式，因低频段幅值仅由比例环节和积分环节决定，即

K

20logG(i0.1)20log40

0.1

求得 K=10，所求系统开环传递函数为

G(s)

10

s(10s1)(0.1s1)

(2)由相角裕度的定义

m18090arctan10carctan0.1c30

导出

10.1c2

arctan60c10.13 0c2

1c解出

由交越频率的定义有

c0.17

K

1

|G(ic)|

0.17.710.0171

22

解出K=0.335。即开环放大倍数衰减30倍。

4-10 已知系统的开环传递函数为

400(25s215s9)

G(s)2

3s(s0.2)(s12)(s50)

（1）用渐近线法绘制系统的开环Bode图； （2）由Bode图判断闭环系统的稳定性； （3）求出交越频率以及相角裕度的近似值；

（4）由MATTAB作Bode图，求出交越频率和相角裕度，并与渐近线图解比较。 解：（1）首先将G(s)化为尾1标准形式

400(25s215s9)

G(s)2

3s(s0.2)(s12)(s50)

2

10(5s/3)5s/31

=

s2(5s1)s/121s/501

知该系统为典型Ⅱ型系统，各环节转折频率为0.2、0.6 、12、50rad/s，20lgK=20lg10=20，过=1，|G(iω)|dB=20的点，作斜率为-40的直线，遇到转折频率0.2、0.6 、12、50时，相应地直线斜率变化，如下图所示。

-135-180-225-270



（2）P=0，wn2(cc)2(11)0故N= P+wn=0，闭环系统稳定。



40025c2

（3）由|G(ic)|=1 ，解得c5.56，

3c2c1250

15c

m180G(i180)180arctan1802

925c



arctan5carctancarctanc54.62

1250

（4）MATTAB程序校验

>>num=400/3*[25 15 9];

den=conv([1 0.2 0 0],[1 62 600]);

bode(num,den); grid on

Magnitude (dB)Phase (deg)

10

10

10

10

10

10

10

Frequency (rad/sec)

>> [Gm,Pm,Wcg,Wcp] = margin(num,den)

Gm =10.7036；Pm =56.7919；Wcg =23.9829；Wcp =5.0533

交越频率为5.05rad/s，相角裕度为56.8，这与近似计算值非常接近。

4-11 已知各最小相位系统的开环对数幅频特性曲线如图所示， （1）试确定各系统的开环传递函数； （2）求相角裕度；

（3）概略画出对应的相频特性曲线； （4）分析闭环系统的稳定性。

解：I. 针对(a)图：

(1)如图，转折频率为2、10、20。该系统为典型Ⅱ型系统，其开环传递函数形式为

G(s)

K(0.5s1)

2

s(0.1s1)(0.05s1)

1

60 0.1

20lgK+40lg

即20lgK=20，解得K=10。

该系统的开环传递函数为

10(0.5s1)

s2(0.1s1)(0.05s1)

(2)20=40lg

2

+20lgc即20=20lg(2c) ，解得c=5，由此 12

m180arctan0.5c180arctan0.1carctan0.05c

27.60

(3) G(i)arctan0.5180arctan0.1arctan0.05

-135

o

-180-225-270



(4)P=0，wn2(cc)2(00)0，故N= P+wn=0，闭环系统稳定。 II. 针对(b)图：

(1)设未知转折频率从左至右依次为11/T1、21/T2、31/T3、41/T4，

则其开环传递函数形式为

G(s)

K(10s1)

(T1s1)(T2s1)(T3s1)(T4s1)

20lgK20， 解得K=10； 20lg

1

0.1

4020，解得1=1 T1=1；

60lg

40lg20lg

100

4

5，解得4=82.54， T4=0.0121

4

155，解得3=46.42，T3=0.0215 3

3

4015 解得2=2.61 T2=0.383 2

G(s)

10(10s1)

(s1)(0.383s1)(0.0215s1)(0.0121s1)

该系统的开环传递函数为

(2)c=100，由此

m180arctan10carctancarctan0.383c

arctan0.0215carctan0.0121c24

(3)

G(i)arctan10arctan

arctan0.383arctan0.0215arctan0.0121

90

0-90--

(4)P=0，wn2(cc)2(10)2故N= P+wn=2，闭环系统不稳定，有2个RHP





极点。

4-12针对正反馈系统，Nyquist给出ω=0→∞的幅相频率特性图如下，临界点为1，重新表述Nyquist稳定性定理。

正反馈系统的Nyquist图，临界点为1

答：若开环传递函数L(s)的RHP极点数为P, 则闭环系统稳定的充分必要条件是L(s) 的Nyquist 图{ L(iω) ，ω=−∞→∞}顺时针环绕临界点L=1的圈数为P。

6(s23s5)

4-13设系统的开环传递函数为G(s)，求交越频率c和相角交越频率

(s3)(s1)

180，并用MATLAB程序进行校核，你得到什么结论。

解：（1）起点：G(i0)1010e（2）终点：G(i)66e

i0

i180

6(23i5)6[(52)3i][(32)2i]（3）G(i)=

(i3)(i1)[(32)2i][(32)2i]

6[(48215)i(521)]=

(32)242

与实轴的交点：令虚部为0即521=0 解得2=0.2，c=0.447，此时G(i)=-9。 与虚轴的交点：令实部为0即48215=0 解得2=9.57 180=3.09，此时G(i)=4.43。

使用理论计算值与nyquist(sys)的计算结果基本没差别，但ω相差较大。原因是ω变化范围为-∞~+∞。若指定频率范围，采用命令nyquist(sys,w)，w={wmin,wmax}，可使之与理论计算值吻合。

>>num=[6 -18 30]; den=[1 2 -3]; sys=tf(num,den); w={0.1,100}; nyquist(sys,w) >>margin(sys)

Bode Diagram

Magnitude (dB)

Imaginary Axis

Phase (deg)

10

10

10

10

Real Axis

Frequency (rad/sec)

5-1设一单位负反馈系统的开环传递函数为P(s)

200

。设计串联校正环节，使

s(0.1s1)

校正后系统的相角裕度m45，交越频率c50rad/s。

解 由MATLAB程序

num=200;den=[0.1 1 0];margin(num,den);grid on

绘制未校正环节的幅频特性图，得到：c44.2rad/s，m12.8，所需要的相角最大超前量为

mmm4512.812.845

00

由于cc，可使用超前校正

a

1sinm

5.8

1sinm

Bode Diagram

Gm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 12.8 deg (at 44.2 rad/sec)Magnitude (dB)Phase (deg)

10

10

10

10

10

Frequency (rad/sec)

校正装置在m处增益10lga7.65dB。令c

m，KP在交越频率c处幅值为

|KP(ic)|dB10lga，由此得到40lgc/c07.65，由此解出c68.7rad/s。校

正装置的传递函数



0.035s1

0.006，a0.035，C(s)

0.006s12000.035s1

s(0.1s1)0.006s1校验否满足设计条件：校正后系统的开环传递函数为

L(s)P(s)C(s)

由MATLAB程序

num=200*[0.035 1];den=conv([0.1 1 0],[0.006 1]);margin(num,den);grid on

校正后系统的Bode图为

Bode Diagram

Gm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 53.2 deg (at 69.2 rad/sec)Magnitude (dB)Phase (deg)

10

10

10

10

10

10

Frequency (rad/sec)

m53.245，c69.2rad/s50rad/s，满足设计要求。

5-2 设单位反馈系统的开环传递函数

P(s)

1

s(0.04s1)

要求校正后系统的静态速度误差系数Kv100rad/s，相角裕度m45，c25rad/s，试设计串联校正装置。

解（1）根据稳态误差要求，选取控制器的静态增益K100。 (2)绘制未校正系统KP(i)的Bode图。

Bode Diagram

Gm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 28 deg (at 47 rad/sec)Magnitude (dB)Phase (deg)

10

10

10

10

Frequency (rad/sec)

P(s)

100

的Bode图及稳定裕度

s(0.04s1)

因为cc，可使用滞后校正，由

180KP(ic)m45651

确定校正后系统的交越频率，从图中直接读出c20.1 rad/s。在交越频率c20.1 rad/s下KP(i)的增益为11.8dB，由|KP(ic)|dB20lgb11.8dB，解出

b3.89，T10/c0.5s

滞后校正为

C(s)K

校正后系统的开环传递函数为

Ts10.5s1

100

bTs11.9s1

P(s)

MATLAB程序验证：

100(0.5s1)

s(0.04s1)1.9s1num=100;den=[0.04 1 0];numc=[0.5 1];denc=[1.9 1]; G=tf(num,den);C=tf(numc,denc);L=G*C;margin(L)

Bode Diagram

Gm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 46.6 deg (at 20.5 rad/sec)Magnitude (dB)Phase (deg)

10

10

10

10

10

10

Frequency (rad/sec)

校正后系统的Bode图及稳定裕度

m46.645，c20.5rad/s25rad/s，满足要求。

5-3 已知单位反馈最小相位系统的固有部分对数幅频特性|P(i)|dB和串联校正装置的对数幅频特性|C(i)|dB如下图所示。（1）由图形写出传递函数P(s)和C(s)；（2）求校正前系统的相角裕度；（3）画出校正后系统的对数幅频特性|L(i)|dB。

80

60

40

20

20

解 （1）未校正系统的开环传递函数为

P(s)

K

s(0.1s1)(0.01s1)

K

80dB，故K100。（2）未校正系统的交0.01

当0.01时，其幅值为80dB，即20lg

越频率为

100

1，解得c031.6，未校正系统的相位裕度为 02

0.1(c)

0m18090arctan(0.131.6)arctan(0.0131.6)0.02

（3）校正装置的传递函数为C(s)

2.5s1

，校正后开环系统的传递函数为

50s1

L(s)P(s)C(s)

100(2.5s1)

，由20logL(i)可以求得，在各转折频

s(50s1)(0.1s1)(0.01s1)

率处的幅值：当0.02时，74dB；当0.4时，21.9dB；当10时，－6dB；当100时，－46dB。由此可知，已校正系统的交越频率c10。故有校正后的对数幅频特性图。

100(2.5c)

解出c5，1，

c(50c)

5-4 已知系统开环传递函数为

P(s)

250

s(0.1s1)(0.01s1)

试设计串联校正装置，使系统对斜坡输入的稳态误差为零，m40，且c30rad/s，系统具有100dB/dec的高频滚降特性。

解 依题意，校正装置需具有积分控制功能。由MATLAB程序： num=250;den=[0.001 0.11 1 0];margin(num, den) 作P(s)的Bode图，由此可知不能仅靠PI校正实现系统的校正目标，应采用PID校正选择。使系统校正后的交越频率cm31.6 rad/s。

Bode Diagram

Gm = -7.13 dB (at 31.6 rad/sec) , Pm = -13.2 deg (at 47 rad/sec)

Magnitude (dB)Phase (deg)

10

10

10

10

10

10

Frequency (rad/sec)

P(s)

250

的Bode图

s(0.1s1)(0.01s1)

PD校正部分：

mm[180P(ic)]4001555N

1sinm10，Td0.1

1sinmc

C1(s)

PI校正部分：

Tds10.1s1 

Tds/N10.01s1

11

c3.16rad/s，Ti0.316s Ti10

20lgKp|P(ic)|dB10lgN0，|P(ic)|dB7.13dB

解出

Kp0.14

C2(s)Kp

高频滚降部分：

Tis10.316s10.316s1

0.140.44

Tis0.316ss

00.5，T00.1/c0.00316s，C3(s)

所以，校正装置的传递函数：

1

0.00316s

2

0.00316s1

C(s)C1(s)C2(s)C3(s)0.44

(0.1s1)(0.316s1)

2

s0.00316s0.00316s1(0.01s1)

验算：校正后系统的开环传递函数为

L(s)P(s)C(s)

采用MATLAB来验证：

numP=[250];denP=conv([0.1 1 0],[0.01 1]);P=tf(numP,denP);

numC=0.44*conv([0.1 1],[0.316 1]);

denC=conv([0.01 1 0],[0.00316^2 0.00316 1]);C=tf(numC,denC); L=P*C;margin(L)

由图直接读出以下数据：

①c31.9rad/s>30rad/s； ②m43.240；

③高频具有450滞后相角，对应于具有100dB/dec的高频滚降特性。 满足校正要求。

Bode Diagram

Magnitude (dB

)Phase (deg)

10

10

10

10

10

10

Frequency (rad/sec)

L(s)P(s)C(s)的Bode图

5-5设一单位反馈系统如下图所示，试设计一速度反馈校正装置，使系统校正后对单位阶跃响应的超调量不超过15%。

解 采用如下图所示的局部速度反馈校正方案

校正后系统的开环传递函数为

P(s)

闭环传递函数为

10

s(s10Kt)

2n10

s22

2

s10Kts10s2ns

n

由此得到

n3.16， 2n10Kt

由%100e

15%，得到0.517，取0.517

Kt

2n

0.33 10

5-6 对含有谐振环节的高阶系统，设其开环传递函数为

0.2(s20.1s0.5)

P(s)2

s(s1)(s0.05s0.45)

试设计串联校正装置C(s)，使校正后的系统满足：模裕度sm0.65，误差系数Kv100，交越频率5 rad/sc8 rad/s。

解：（1）由校正后系统的稳态误差要求，确定C(s)的静态增益为K500。 绘制KP(s)的频率特性，由如下MATLAB程序

numKP=500*0.2*[1 0.1 0.5]; denKP=conv([1 1 0],[1 0.05 0.45]); KP=tf(numKP,denKP); margin(KP)

9.97rad/s。由如下MATLAB程序 计算出KP(s)的交越频率c

S0=feedback(1,KP ,-1); [ninf,fpeak] = norm(S0,inf)

1/Ms00.095。这些性能指标都不符合系统的设计要求。 得到Ms010.54，模裕度sm

（2）确定校正装置

采用超前校正显然不能满足交越频率要求；若使用滞后校正，可能使谐振频段的开环幅频特性靠近0dB线，对系统的鲁棒性不利。因此考虑采用滞后-超前校正。

Bode Diagram

Gm = -42.5 dB (at 0.707 rad/sec) , Pm = 5.44 deg (at 9.97 rad/sec)Magnitude (dB)Phase (deg)

10

10

10

10

10

Frequency (rad/sec)

取sm0.65,计算校正后的相角裕度m2arcsin(sm/2)38；取c5rad/s，由上图读出KP(i5)169。取m45，11。超前校正部分提供的相角补偿

mm[180KP(i5)]45111045

1sinm1sin45a5.8，0.083s

1sinm1sin45所以，超前装置部分的参数为

C1(s)

②确定滞后校正部分

0.48s1

0.083s1

由图可以读出|KP(i5)|dB11.8dB，滞后校正部分提供的高频衰减参数为

20lgbKP(ic)|dB10lga11.84.716.5dBb6.7

11

c0.5rad/s，T2s T10

Ts12s1

 C2(s)

bTs113.4s1

（3）验算

写出校正后系统的开环传递函数

100(s20.1s0.5)(0.48s1)(2s1)

LKC1(s)C2(s)P

s(s1)(s20.05s0.45)(0.083s1)(13.4s1)

绘制校正后系统的频率特性，得到c6.54rad/s，符合要求。

numP=0.2*[1 0.1 0.5]; denP= conv([1 1 0],[1 0.05 0.45]) ; P=tf(numP,denP);

numC=500*conv([0.48 1],[2 1]);denC=conv([0.083 1],[13.4 1]); C=tf(numC,denC);L=P*C; margin(L)

Bode Diagram

Gm = -25.3 dB (at 0.731 rad/sec) , Pm = 48.4 deg (at 6.54 rad/sec)Magnitude (dB)Phase (deg)

10

10

10

Frequency (rad/sec)

由MATLAB 程序

S=feedback(1,L ,-1); [ninf,fpeak] = norm(S,inf)

得到Ms1.4522，模裕度sm1/Ms0.69，满足要求。

5-7极点配置：已知图5-29中被控对象的传递函数为

P(s)

b

s(sa)

设参考输入uc指令至输出y的理想的闭环系统传递函数由

Bm(s)2

2

2

Am(s)s2s

指定，求控制器的多项式R(s)，S(s)和T(s)。

解：(1)B(s)1，B(s)b，Bm'(s)Bm(s)/B(s)/b， （2）取degAc(s)2degA(s)12213，





2

degAo(s)degAc(s)degAm(s)degB(s)321

Ao(s)sao

degR'degAodegAmdegA1221

degS(s)degA1211

令

R'(s)sr1，S(s)s0ss1

得到多项式R(s)和S(s) 的Diophantine方程

s(sa)(sr1)b(s0ss1)(s22s2)(sao)

比较方程各次幂的系数，给出

ar12ao

ar1bs022ao

bs12ao

若b0，这些方程有解，有

2ao2ar12ao

，s1 r12aoa，s0

bb

控制器的多项式R(s)，S(s)和T(s)为

T(s)Bm'(s)Ao(s)

2

b

(sao)

R(s)R'(s)s2aoa

2ao2ar12ao

S(s)s

bb

6-1 已知线性系统的微分方程如下，试用等倾线法绘制其相轨迹。

3x2x0 x2x0 xx（1） （2）2x0 x2x0 xx（3） （4）3x1 1 xx（5） （6）

6-2 已知二阶非线性系统的微分方程如下，求其奇点并确定奇点类型。

(1x3)xx0 （1）x

(1|x|)xx0 （2）x

6-3 如图所示二阶系统，非线性部分输出M>1。

（1）输入r(t)0时，试用等倾线法做出变量x的相平面图，分析极限环的形成情况。 （1）输入r(t)t时，试用等倾线法做出变量x的相平面图，并与（1）对比。

题6-3图

解：由图列出系统变量的方程：

M,xa

u0,axa

M,xa

xry

yu y

得到变量x的方程：

M,xarr

x,axa xrr

M,xarr

（1）r(t)0时，变量x的方程：

xM,xa,Ixx,axa,II xxM,xa,IIIx

。当xM时0，当x0时，当在I区，等倾线方程为1M/x

时1，因此相轨迹汇合到水平线xM并趋向无穷远处。 x

在II区，等倾线方程为1，即一簇平行线。

。当xM时0，当x0时，当在III区，等倾线方程为1M/x

时1，因此相轨迹汇合到水平线xM并趋向无穷远处。 x

当a = 0时，不存在II区，可形成极限环。 （2）r(t)t时，变量x的方程：

xM1,xa,Ixx1,axa,II xxM1,xa,IIIx

1M时0，0时，。在I区，等倾线方程为1(1M)/x当x当x

时1，因此相轨迹汇合到水平线x1M并趋向无穷远处。 当x

。1时0，0时，在II区，等倾线方程为11/x当x当x当x1并趋向无穷远处。 时1，因此相轨迹汇合到水平线x

1M时0，当x0时。当x在III区，等倾线方程为1(1M)/x

时1，因此相轨迹汇合到水平线x1M并趋向无穷远处。 ，当x

可见相轨迹形成一个稳定的极限环。

x

（1） （2）

6-4 如图所示二阶系统，非线性部分k>1

，输入r(t)0。试用等倾线法做出变量x的相平面图，分析极限环的形成情况。

题6-4图

解：由图列出系统变量的方程：

x(1Ts)y，y

即x

1

u

s(s1)

1Ts

u。再由 2

ss

ka,xa

ukx,axa

ka,xa

得到变量x的微分方程：

xka,xa,xIxkxkT,axa,II xxka,xa,xIII

。当xka时0，当x0时，当在I区，等倾线方程为1ka/x

时1，因此相轨迹汇合到水平线xka并趋向无穷远处。 x

。当xka时0，当x0时，当在III区，等倾线方程为1ka/x

时1，因此相轨迹汇合到水平线xka并趋向无穷远处。 x

zkz0。奇点z＝0（x＝－T）z在II区，作变量替换zxT，系统方程变为

是稳定的焦点。

x

当Ta时，I区和III区的相轨迹进入II区，但是II区的奇点x＝－T在I区，因此相轨迹将在I区和II区循环，形成极限环。

6-5 如图所示非线性系统中，继电特性输出幅值M=4.7。 （1）如果继电器特性的a=0，求系统的自持振荡周期和振幅。 （2）a为何值时，系统无自持振荡？

题6-5图

解： 设正弦输入信号的幅值为A。死区继电器特性描述函数为：

N(A)

4Ma

()2

AA

(Aa)

Y(iω)N(A)P(iω)

，产生自持振荡的条件是

R(iω)1N(A)P(iω)

其负倒描述函数为实数。系统频率特性

1N(A)P(i)0，即P(i)1/N(A)。因此分析系统自持振荡就是确定P(i)和1/N(A)的交点。

线性部分的频率特性为

P(i)

11



i(i1)(2i1)i(1223i)

2

画出其Nyquist图。当120，即2/2时，P(i)与实轴相交，交点为

P(i2/2)2/3。

（1）a=0时，当A从0变化时，1/N(A)从0。与1/N(A)相交，交点为实轴的－2/3，即N(A)

2/2时，P(i)

4M3244.7

，4.0。得到AA233.14

因此自持振荡周期T2/228.89，振幅A4.0。

（2）a>0时，当A从0变化时，1/N(A)从，其中A到最大值

2a时达

a

2M

。如果

24M

，则P(i)和1/N(A)不相交。因此a2.02M33

a

时，系统无自持振荡。

6-6已知非线性系统结构图如图所示，其中M＝h＝1，G1(s)当K取何值时，系统会产生自振？

5K

G2(s)，。

s1s(s3)

题6-6图

解：输入为正弦信号时，非线性元件的描述函数与频率无关，可以看作常数。由梅森公式写出闭环系统的传递函数为

G1(s)Y(s)



R(s)1G1(s)N(A)G1(s)G2(s)

闭环系统特征方程为1G1(s)N(A)G1(s)G2(s)0，即

G1(s)G2(s)1



1G1(s)N(A)

由Nyquist判据可知，当G(s)

G1(s)G2(s)

在右半s平面没有零极点时，要使系统稳定，

1G1(s)

要求G(i)曲线与N(A)不相交。

两位置滞环继电器特性的描述函数

N(A)

负倒描述函数为

4Mh4Mh4

()2iAAA2A2

1

N(A)4

A21i

4

2

A



再由

A21i



4

K5



G(s)G2(s)s(s3)s15K

G(s)13 2

K1G1(s)s4s(3K)sK1

s(s3)

将si代入得到

G(j)

作出s平面图如下。

5K

i[(3K)3](K42)

下面计算G(i)曲线与虚轴的交点。令G(i)实部为0，即

K4

0，得到

2

K/2。此时

G(j)

就是G(i)曲线与虚轴的交点。当K0时，交点为0；当K时，交点也为0。因此当K由0变化时，交点由0向虚轴负无穷方向移动，达到最大值后又向0移动。当交点位于虚轴(



4

,0)时，G(i)曲线与N(A)不相交，系统稳定。临界的K值满足

K



123K4

即

3KK120 K16.K40

解得

K

16.98288.204416.9816.50



22

习题参考答案

2-1 已知R-L-C网络如图所示，试列写以ui为输入，uo为输出的微分方程模型。

解： 电感方程：L电容方程：C

di3

uoR1i1ui...（1） dt

duc

i2...（2） dt

有6个变量，列出微分方程模型时保留2个，因此要消掉4个变量，还需要列出3个方程：

由KVL：R1i1ucR2i2ui...（3） 由KCL：i1i2i3...（4） 在输出端：R3i3uo...（5）

将（5）代入（1）（4）可消去i3，然后将（4）代入（1）（3）消去i1得到： uLduo

uoR1(i2o)ui(6)R3dtR3

uo

R1(i2)ucR2i2ui(7)R3

用方程（2）消去uc：将（7）整理为代入，得到： R1duoi2didu

(R1R2)2i R3dtCdtdt

R1C

R1

uouc(R1R2)i2ui后取时间的导数，再将（2）R3

duodidu

R3i2R3(R1R2)C2R3Ci...（8） dtdtdt

duo

(R3R1)uo]，代入(8)R1得到 dt

最后，将（6）整理为R1R3i2R3ui[L

duodu

{R3ui[Lo(R3R1)uo]}dtdt

duid2uoduodui

(R1R2)C{R3[L2(R3R1)]}R1R3C

dtdtdtdtR12C

经整理，可得到系统的微分方程模型为

(R1R2)LCd2uoR1R2CR1R3CR2R3CLduo

uo

R1R3R1R3dtdt2 R2R3CduiR3uiR1R3dtR1R3

2-2 已知机械系统如图所示，其中位移xi为输入，位移xo为输出。试列写该系统的微分方程模型及其传递函数。

1

解：在阻尼器1和2取辅助点，设其位移为x1，由弹簧力和阻尼力平衡的原则，可得到

f1(xix1)K1(xix1)f2(x1xo)f2(x1xo)K2xo

消去中间变量x1，可得到系统的微分方程模型为

f1f22f22fKf2K1f2K2fff

xo12xoxo12xi2xi

K1K2K1K2K1K2K2

则系统的传递函数为

f1f22f2

ss

Xo(s)K1K2K2 2

ff2ffKfKfKXi(s)1222122

s212s1

K1K2K1K2

2-3 已知水箱系统如图所示，该系统为有自衡能力双容过程，其中C1 和C2分别为水箱1和水箱2的容量系数，R1、R2和R3分别为阀门1、阀门2和阀门3的液阻，Q1为输入，h2为输出。试列写该系统的微分方程模型及其传递函数G(s)

H2(s)

。 Q1(s)

3

解：根据动态物料平衡，可列出下列增量方程： 对水箱1：

dh

Q1Q2C11

dthQ21

R2

对水箱2：

Q2Q3C2

Q3

h2R3

dh2 dt

从以上四个式子中消去h1、Q2和Q3，并整理得

d2h2dh

C1C2R2R32(C1R2C2R3)2h2R3Q1

dtdt

上式中，令T1C1R2，T2C2R3，则得

d2h2dh

T1T22(T1T2)2h2R3Q1

dtdt

对上式进行Laplace变换，并分解因式，得传递函数为

R3H(s)

G(s)2

Q1(s)(T1s1)(T2s1)

2-4 试求下列函数的Laplace变换，假设t0时，函数f(t)0。

(2)f(t)5(1cos2t) (1)f(t)2sin(3t)

6

3t

(3)f(t)ecos4t

(4)f

(t)tcos3t 解：



(1)f(t)2sin(3t)2sin3tcos2cos3tsin3tcos3t

666sF（s）=L[f(t)]2s91s20

(2)F（s）=L[f(t)]L[5(1cos2t)]5(2)

ss4s(s24)



(3)F（s）=L[f(t)]L[e3tcos4t]

s3s3

2 2

(s3)16(s9s25)

s29s29

(4)F(s)L[f(t)]L[tcos3t]2

(s9)2s418s281

2s214s12

2-5 已知某传递函数为 G(s)4， 32

s5s12s18s

(1) 试将传递函数化为首1标准型（零、极点形式）； (2) 求系统的静态增益K0； (3) 求系统的微分方程； (4) 求系统的零、极点。 解：

(1) G(s)(2)K0

122 183

Y(s)2s214s12

(3)由G(s)得到 

U(s)s45s312s218s

(s45s312s218s)Y(s)(2s214s12)U(s)

在零初始条件下进行Laplace反变换可得系统的微分方程

d4y(t)d3y(t)d2y(t)dy(t)d2u(t)du(t)

5121821412u(t) 2

dtdtdtdtdtdt

(4)令分子多项式等于零，求出z11，z26，令分母多项式等于零，求出p10，

p2

3，p3,412-6 试用结构图等效化简求下图的传递函数

Y(s)

。

U(s)

解：（1）将环节G3输出端的引出点后移，并将G3、G4反馈环节合并，得到图（1）； （2）将环节G2输出端的引出点后移，并将反馈环节合并，得到图（2）；

(

1)

(2)

（3）由图（2）可计算得系统的传递函数为

G1G2G3G4Y(s)



U(s)1G1G2G2G3G3G4G1G2G3G4

2-7 已知系统方程组如下：

ìX1(s)=G1(s){U(s)-[H3(s)-H4(s)]Y(s)}ïïïïïX2(s)=G2(s)[X1(s)-H1(s)X3(s)] íïX3(s)=G3(s)[X2(s)-Y(s)H2(s)]ïïïïïîY(s)=G4(s)X3(s)

试绘制系统结构图，并求闭环传递函数

Y(s)

。 U(s)

解：由系统方程绘制系统结构图如下所示，该系统有4个独立环路：L1=-G2G3H1，

L2=-G3G4H2，L3=-G1G2G3G4H3，L3=G1G2G3G4H4，有1条前向通路，其前向通

路的传递函数分别为F，D1=1。

1=G1G2G3G4

由Mason增益公式可直接写出系统的传递函数为

G1G2G3G4Y(s)F1D1

==

U(s)D1+G2G3H1+G3G4H2+G1G2G3G4H3-G1G2G3G4H4

2-8 试用Mason增益公式求下图中各系统的传递函数

Y(s)

。

U(s)

(a)U(sY(s)

(b)

解：（a）该系统有4个独立环路：L1=-G2G3H1，L2=-G3G4H2，L3=-G1G2G3H3，

L4=G1G2G3G4H4。有1条前向通路，其前向通路的传递函数分别为F1=G1G2G3，G4D=11。

由Mason增益公式可直接写出系统的传递函数为

G1G2G3G4Y(s)F1D1

==

U(s)D1+G2G3H1+G3G4H2+G1G2G3H3-G1G2G3G4H4

（b）该系统有3个独立环路：L1=-G1H1，L2=-G3H3，L3=-G1G2G3H1H2H3。有2条前向通路，其前向通路的传递函数分别为：F，=1，1=G1G2G3D1

F2=G3G4，D2=1+G1H1，有1组互不接触环路：L1和L2。由Mason增益公式可直接

写出系统的传递函数为

G1G2G3+G3G4(1+G1H1)Y(s)F1D1+F2D2

==

U(s)D1+G1H1+G3H3+G1G2G3H1H2H3+G1H1G3H3

2-9 已知系统如图所示，试求系统的传递函数

Y(s)

。 U(s)

解：该系统有3个独立环路：L1=-G3H1，L2=G1G2G3H1，L3=-G2G3G4H2。

有2条前向通路，其前向通路的传递函数分别为F，D1=1 1=G1G2G3G4

F2=G5，D2=1+G3H1-G1G2G3H1+G2G3G4H2

由Mason增益公式可直接写出系统的传递函数为

Y(s)F1D1+F2D2

=U(s)D

G1G2G3G4

=+G5

1+

G3H1-G1G2G3H1+G2G3G4H2

2-10 已知系统如图所示，试求系统的输出Y(s)。

解：令N1(s)=0，N2(s)=0，N3(s)=0，则

G1G2Y(s)

=

U(s)1+G1G2H1+G2H2

令U(s)=0，N2(s)=0，N3(s)=0，则

G2Y(s)

Gyn1(s)==

N1(s)1+G1G2H1+G2H2

令U(s)=0，N1(s)=0，N3(s)=0，则

-G2Y(s)

Gyn2(s)==

N2(s)1+G1G2H1+G2H2

令U(s)=0，N1(s)=0，N2(s)=0，则

-G1G2H1Y(s)

Gyn3(s)==

N3(s)1+G1G2H1+G2H2

Gyu(s)=

根据叠加原理，则有系统的输出

Y(s)

Y(s)Y(s)Y(s)Y(s)

U(s)N1(s)N2(s)N3(s)U(s)N1(s)N2(s)N3(s)

G1G2G2

U(s)N1(s)

1G1G2H1G2H21G1G2H1G2H2G2G1G2H1

N2(s)N3(s)

1G1G2H1G2H21G1G2H1G2H2

G1U(s)N1(s)N2(s)G1H1N3(s)

1G1G2H1G2H2

G2

3-1 已知系统的特征方程如下，判断系统的稳定性。

（1）s2s7s60

（2）s11s8s4s3s70 （3）s9ss3s100

（4）s5s2s7s9ss120 解：用Routh判据。

（1）稳定。（2）不稳定。（3）不稳定。（4）不稳定。

3-2 已知单位反馈系统的开环传递函数如下，试确定使系统稳定的参数K的范围。

（1）G(s)

6

5

4

3

2

4

3

2

5

4

3

2

3

2

K

s(s1)

（2）G(s)

Ks1

2

s(s1)

解：用Routh判据。

（1）系统闭环特征多项式为ssK。列出Routh表

2

s2s1s0

因此系统稳定的充要条件是K0。

11K

K0

（2）系统闭环特征多项式为ssKs1。列出Routh表

32

s3s2s1s0

1K11

K11

因此系统稳定的充要条件是K1。

3-3 已知单位反馈系统的开环传递函数如下，试确定使系统稳定的参数K和T的范围。

（1）G(s)

K

s(Ts1)

（2）G(s)

K(s1)

s(Ts1)(2s1)

解：用Routh判据。

（1）系统闭环特征多项式为TssK。列出Routh表

2

s2s1s0

因此系统稳定的充要条件是K0,T0。

T1K

K0

（2）系统闭环特征多项式为2Ts(2T)s(K1)sK。列出Routh表

32

s3s2s1s0

2T2T

KTT2K2

T2K

K1K

不妨设K1，则系统稳定的充要条件是

T02T0

KTT2K2

0

T2

即K0,T0,KTT2K2。 3-4某典型二阶系统单位阶跃响应曲线如图所示。求

（1）调节时间ts（5%）； （2）超调量%； （3）峰值时间tp； （4）阻尼振荡频率d； （5）系统的极点位置。

3-4题图

1

解：(1)过渡过程时间ts(5%)5.49 (2)超调量%

1.261

100%26% 1

(3)峰值时间tp2.48s

(4)阻尼振荡频率d/tp3.14/2.481.266rad/s (5)

n3/ts0.546，极点为nid

0.546i1.266。

3-5已知单位反馈系统结构图如图所示。求

（1）K＝50时系统单位阶跃响应的超调量%；

（2）K取何值才能使系统单位阶跃响应的超调量%10%。

3-5题图

解：（1）闭环系统特征多项式s10s50，



2

n52,0.707。代入



2

%e

100%得到%e100%4.3%。





2

（2）由%e100%得到

2







。

ln(/100)

。

将

令

cos

得到

tan

ln(/100)

%10%

代入得到



]arctan1.3640.938。因此0.591。闭环系统特征多项式

ln(/100)

s210sK，nK,5/K。因此有5/K0.591，得到K71.6。

3-6根据以下二阶系统的技术指标要求，画出系统极点在s平面上的分布。

n2s1 11

（2）0.5,2sn4s

1

（3）0.50.707,n4s

11

（4）0.5,1sn2s

（1）00.707,解：

11



3-7某速度反馈系统结构图如右图所示。求

（1）K＝0时，闭环系统的阻尼系数、超调量和调整时间。 （2）K取何值闭环系统的阻尼系数0.707？ （3）K取何值使得闭环系统为过阻尼系统？

3-7题图

解：闭环系统传递函数为

4

。因此有n2，K0.5。

s2(4K2)s4

（1）K＝0时，0.5，因此

%e0.58100%16.2%，ts3/n3

（2）0.707时，要求K＝0.207。

（3）要使闭环系统为过阻尼系统，要求K>0.5。

12

3-8已知系统结构图如图所示。求

（1）T＝0时，闭环系统的超调量和调整时间。 （2）T＝2时，闭环系统的超调量和调整时间。 （3）T取何值使得系统的超调量为零？

3-8题图

解：闭环系统传递函数为

Ts16

。因此有n4，(T4)/8。

s2(4T)s16

（1）T＝0时，0.5，因此

%e0.58100%16.2%，ts3/n1.5

（2）T＝2时，0.75，对于典型二阶系统，

%e1.13100%2.84%，ts3/n1

但实际闭环系统传递函数为

2s16

，含有零点。可用计算机辅助计算得到实际

s26s16

%3.5%，ts0.62。

（3）要使系统的超调量为零，要求T>4。

3-9 某一阶系统结构图如图所示。要求系统闭环增益为2，调节时间ts0.4s

。试确定参数T和K的值。

3-9题图

解：闭环系统传递函数为

111

。

TSKK(T/K)s1

13

闭环增益

1

2得到K＝0.5。调节时间ts3T/K0.4s得到T0.067。 K

3-10给定典型二阶系统的设计指标：超调量%5%，调节时间ts3s，峰值时间

tp1s。试确定系统极点配置的区域，以获得预期的响应特性。

解：系统为欠阻尼二阶系统。根据设计指标确定系统参数

（1）若令cos，前面已经得到

]。因此

ln(/100)

cos[arctan(



)]0.69。

ln0.05

（2）由tp/d得到d/tp。

（3）调节时间比较复杂。如果设0.8，则ts3.5/n3，得到n1.17。事实上，n越大，调节时间越短。

系统极点配置的区域如图阴影部分所示。

3-11 已知单位反馈系统的开环传递函数如下，求系统单位阶跃响应和单位斜坡响应的稳态误差。

20

(s5)(s2)

50

（2）G(s)

s(s1)(s5)K(s2)

（3）G(s)

s(s3)(s5)

（1）G(s)

14

（4）G(s)

K(s10)

s2(Ts1)(5s1)

1

。单位斜坡响应的稳态误差为

s01G(s)

解：单位阶跃响应的稳态误差为ess1lim

ess2lim

s0

1

。 sG(s)

11

,ess2 123

（1）闭环系统稳定，ess1（2）闭环系统不稳定。

（3）闭环系统稳定，ess10,（4）闭环系统不稳定。 3-12 已知温度计的传递函数为

ess215/2K

1

。用其测量容器内的水温，1分钟才能显示出该温度Ts1

的98%的数值。若加热容器使水温按每分钟5ºC的速度匀速上升，问温度计的稳态指示误差有多大？

解：依题意，温度计的时间常数T1/4min。输入信号为斜坡信号u(t)Rt，

R5/min。输出稳态误差为

esslims

s0

R1RT(1)limRT1.25 2s0Ts1Ts1s

3-13 已知如图系统的输入和扰动均为1(t)。求 （1）系统输出的稳态误差。

（2）调整哪个环节可以使稳态误差为零？如何调整？ 解：（1）系统输出为Y(s)

3R(s)3(s2)N(s)

。输出稳态值为32

s3s2s3

y()limsY(s)9/33。稳态误差essy()r()2。

s0

（2）在扰动输入之前，即

1s0.1处，串联一个比例积分环节就可以消除稳态误差。

ss2

只增加纯积分环节不能保持系统稳定性。

15

)

3-13题图

3-14题图

3-14 如图是船舶横摇镇定系统结构图，引入内环速度反馈是为了增加船只的阻尼。

（1）求海浪扰动力矩对船只倾斜角的传递函数(s)/Md(s)；

（2）为保证Md为单位阶跃输入时倾斜角的值不超过0.1，且系统的阻尼比为0.5，求K1、K2和K3应满足的方程；

（3）K2=1时，确定满足（2）中指标的K1和K3值。 解：（1）由Mason公式得到

0.5

2(s)s0.2s1

0.5K2K3s0.5K1K2Md(s)

122

s0.2s1s0.2s1

0.5

2

s(0.20.5K2K3)s(10.5K1K2)

（2）扰动Md(s)1/s。由Laplace变换的终值定理，倾斜角的稳态值

()lims(s)

s0

0.5

0.1，得到K1K28。

10.5K1K2

0.5，即

系统的阻尼比为

0.20.5K2K320.5K1K2

0.5，可简化为

16

0.20.5K2K30.5K1K2。

即应满足K1K28，0.20.5K2K30.5K1K2。 （3）K2=1时，K18，K320.5K1K20.4。

3-15 已知单位反馈系统的开环传递函数如下，试绘制系统的常规根轨迹。

K

s(s1)(s3)

K

（2）G(s) 2

s(s2)(s4s20)

（1）G(s)解：根轨迹如图。步骤略。

Imaginary Axis

Imaginary Axis

Real Axis

Real Axis

3-15（1）根轨迹 3-15（2）根轨迹

3-16 已知单位反馈系统的开环传递函数如下，试绘制以a为变量的参数根轨迹。 （1）G(s)

2

s(s2a)

（2）G(s)

as25

s(s4)

解：

（1）闭环系统特征方程为

1G(s)1

解出a得到

2

s(s2a)

0

s22a

2s

变换为

a2s

1

s22

17

实际上就是绘制G*(s)

2s

的常规根轨迹。

s22

系统有2条根轨迹分支，起始于极点p1,2实轴负无穷。起始角满足相角条件

i，一条趋向零点z10，另一条趋向

121(2k1)180

可得到起始角为180。分离点满足方程解出d。根轨迹如图。 （2）闭环系统特征方程为

111222

，经整理得2dd，ddidi

1G(s)1

解出a得到

as25

0

s(s4)

s24s25a

s

变换为

as

1 2

s4s25

*

实际上就是绘制G(s)

s

的常规根轨迹。

s24s25

18

系统有2条根轨迹分支，起始于极点p1,22i，一条趋向零点z10，另一条趋向实轴负无穷。起始角满足相角条件

121(2k1)180

可得到p1起始角为90(180)202.2。分离点满足方程

111

，解出d5。根轨迹如图。 

ddp1dp2

3-17 已知单位反馈系统的开环传递函数为G(s)

K

。希望系统的所有特征根位于s

s(sa)

平面上s＝－2的左侧区域，且阻尼比0.50.707。求K和a的取值范围。 解：先画出根轨迹。如图所示。

分别做出0.5和0.707的等阻尼线，它们与负实轴夹角分别为arccos60和45。它们与根轨迹的交点分别为

19



11a/2ia/2 12a/2ia/2 2

闭环系统特征多项式为D(s)sasK。0.5时特征根为a/2i3a/2，

可得到

K1a2

0.707时特征根为a/2ia/2，可得到

K2a2/2

因此K的取值范围是

a2/2Ka2

为了使所有特征根位于s平面上s＝－2的左侧区域，应使a/22。即a的取值范围是a4。

3-18 已知单位反馈系统的开环传递函数为G(s)

K

。试确定系统在阻尼比

s(s2)(s5)



0.5时对应的K值以及相应的闭环极点，估算此时系统的动态性能指标。

解：先画出根轨迹。做出0.5的等阻尼线，它与负实轴夹角为arccos60。如图所示。等阻尼线与根轨迹的交点即为相应的闭环极点，可设相应两个复数闭环极点分别为

1ni0.5n

i0.866n 2ni0.5ni0.866n

闭环特征多项式为

D(s)(s1)(s2)(s3)

s(n3)s(3n)s3

同时

20

3

2

2n

2n

D(s)s37s210sK

比较系数有

n372

n3n10 23nK

解得

n10/71.43

35.57

K11.39

故0.5时

K11.39

10.71i1.23 20.71i1.23

35.57

在所求得的3个闭环极点中，3至虚轴的距离与1或2至虚轴的距离之比为

5.57

80.71

倍。可见，1、2是系统的主导闭环极点。于是，可由1、2所构成的二阶系统来估算原三阶系统的动态性能指标。将n1.43,0.5代入二阶系统动态性能指标的公式得

%e

e0.53.0.516.3% 3.53.5ts4.89(s)

n0.51.43

KK

1.14

s(s2)(s5)10

2

2

原系统为Ⅰ型系统，系统的静态速度误差系数计算如下

KvlimsG(s)lims

s0

s0

系统在单位阶跃信号作用下的稳态误差为0，在单位斜坡信号作用下的稳态误差为

ess

11

0.88。 KvK

3-19在正反馈条件下，系统特征方程为G(s)H(s)1时，此时根轨迹方程为

G(s)H(s)1，相角条件为G(s)H(s)2k，k0,1,2,；或者，将负反馈条件

下非最小相位系统化为标准形式时，会出现增益为负的情形，根轨迹的相角条件也为

G(s)H(s)2k。以相角条件为G(s)H(s)2k相应绘制的根轨迹称为零度根轨

迹。在绘制零度根轨迹时，仅与幅值有关的性质都与相角条件为G(s)H(s)(2k1)的常规根轨迹的性质相同，而所有跟相位有关的性质则与常规根轨迹的性质不同，请你列举零度根轨迹这些不同的性质，并加以说明。

法则3 实轴上的根轨迹：实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数之和为偶数，则该区域必是根轨迹。

法则4 根轨迹的渐近线与实轴夹角应改为

a

2k

（k=0，±1，±2，„） nm

G(s)H(s)2k180

法则6 根轨迹的出射角和入射角用可直接利用相角条件

4-1已知单位反馈系统的开环传递函数为G(s)试求：

⑴使系统增益裕度为10的K值； ⑵使系统相角裕度为30的K值。

解: 系统开环频率特性为G(i)(1) 求gm10的K值：

K

s(0.2s1)2

K

i(0.2i1)2

令180为相角交越频率，有arctan0.218045，1805由

gm

1G(i180)



10

可解得K=1。

(2) 求m30的K值：

由定义m180G(ic)180(902arctan0.2c)30

arctan0.2c30

求得系统幅值交越频率

c由

|G(ic)|

K

c(10.04c)

2

2

1

将cKc(10.04c)3.85。

4-2试由幅相频率计算式

G(i)90argtanargtanG(i5)2

确定最小相位系统的传递函数。

解:由相频计算式可得出传递函数的形式为



3

argtan10

G(s)

由幅频计算式

K(s/31)s(s1)(10s1)

G(i5)2

有

2

求得K10/3，所求最小相位系统的传递函数为

G(s)

4-3已知单位反馈系统开环传递函数

1312(s/31)s(s1)(10s1)

G(s)

K

(s1)(s1.5)(s2)

若希望系统闭环极点都具有小于-1的实部，试用Nyquist判据确定增益K的最大值。

解：令us1， 则“u平面所有极点均处于负平面”等价于“s平面所有闭环极点均具有小于-1的实部”，并且

G(u)

K

u(u0.5)(u1)

可见G(u)并无右半平面的开环极点，所以G(u)的Nyquist轨线不能包围(1,i0)点。只要满足：G(u)轨线与负实轴的交点在-1点右侧（大于-1）即可，令G(u)的相频为180，得到

G(iuc)90arctan2ucarctanuc180

arctan2ucarctanuc90

arctan

2ucuc

2

12

c

tan90

2

12u0c

求得G(u)的相角交越频率

u

c

G(uc)

1

即若希望系统闭环极点都具有小于-1的实部，增益K的最大值为3/4。

4-4设某系统结构图如下图所示，其中K >0。

（1）试求系统稳态误差ess；

（2）若ω=1时,要求稳态误差幅值ess0.4A，试选择K值。

Kmax

3

4

r

Asint

y

解：(1)求系统稳态误差ess，系统开环传递函数为G(s)闭环系统的误差传递函数为

K

， s2

Φe(s)

其幅值与相位为

1s2



1G(s)s2K

Φe(i)Φe(i)arctan0.5arctan

因输入r(t)Asint，系统的稳态误差为



2K

essAΦe(i)sin(tΦe(i))



tarctan0.5arctan)

2K

(2)因1，令

1

0.4

有

K24K26.250

解得

K13.5，K27.5(舍去).

故满足题意要求的K值范围为

K3.5

4-5已知系统

G(s)

K(ks1)s

v

(Ts1)

jj

k

型次ν0（含有ν个积分环节），Nyquist曲线起始于实轴（0），试问什么情况下起始于负实轴，什么情况下起始于正实轴。

答：当开环增益K0时，起始点位于正实轴；当开环增益K0时，起始点位于负实轴。

4-6 设系统的开环传递函数为

G(s)

其中K，T1，T2，T3，T4>0。

K(T1s1)

s2(T2s1)(T3s1)(T4s1)

（1）已知T2T3T4T1，试概略绘制该系统的Nyquist图。 （2）若T2T3T4T1，请概略绘制该系统的Nyquist图。 解：（1）G(i0)e



i180

，而且对于小正数，有

G(i)180(T2T3T4T1)180

G(i)0ei360， 概略绘制的Nyquist图如下

（2）G(i0)e



i180

，而且对于小正数，有

G(i)180(T2T3T4T1)180

G(i)0ei360，概略绘制的Nyquist图如下

4-7 设系统的开环频率特性函数的极坐标图如图所示。试用Nyquist稳定性判据判定闭环系统的稳定性。

开环系统稳定 开环系统稳定 开环系统有2个RHP极点

解：（1）P=0，wn2，N= P+wn=2，闭环系统不稳定，有2个RHP极点。 （2）P=0，wn1，故N= P+wn=1，闭环系统不稳定，有1个RHP极点。 （3）P=2，wn-2，故N= P+wn=0，闭环系统稳定。 4-8已知系统开环传递函数

L(s)

图，据此判定闭环系统的稳定性。

K

s(Ts1)

把虚轴上的开环极点视为不稳定的开环极点，重新确定Nyquist路径，并绘制L(s)的Nyquist

解：s平面小圆弧顺时针的路径映射为L(s)平面逆时针的大圆弧。

Nyquists)的w

n =-1（逆时针）， P=1，N=0，闭环系统稳定。

4-9已知最小相位（单位反馈）开环系统的渐近对数幅频特性如图所示。 （1）试求取系统的开环传递函数；

（2）要求系统具有30的稳定裕度，求开环放大倍数应改变的倍数。

解: (1) 由图可得出系统开环传递函数的基本形式为

G(s)

K

s(10s1)(0.1s1)

将点(0.1，40)代入上式，因低频段幅值仅由比例环节和积分环节决定，即

K

20logG(i0.1)20log40

0.1

求得 K=10，所求系统开环传递函数为

G(s)

10

s(10s1)(0.1s1)

(2)由相角裕度的定义

m18090arctan10carctan0.1c30

导出

10.1c2

arctan60c10.13 0c2

1c解出

由交越频率的定义有

c0.17

K

1

|G(ic)|

0.17.710.0171

22

解出K=0.335。即开环放大倍数衰减30倍。

4-10 已知系统的开环传递函数为

400(25s215s9)

G(s)2

3s(s0.2)(s12)(s50)

（1）用渐近线法绘制系统的开环Bode图； （2）由Bode图判断闭环系统的稳定性； （3）求出交越频率以及相角裕度的近似值；

（4）由MATTAB作Bode图，求出交越频率和相角裕度，并与渐近线图解比较。 解：（1）首先将G(s)化为尾1标准形式

400(25s215s9)

G(s)2

3s(s0.2)(s12)(s50)

2

10(5s/3)5s/31

=

s2(5s1)s/121s/501

知该系统为典型Ⅱ型系统，各环节转折频率为0.2、0.6 、12、50rad/s，20lgK=20lg10=20，过=1，|G(iω)|dB=20的点，作斜率为-40的直线，遇到转折频率0.2、0.6 、12、50时，相应地直线斜率变化，如下图所示。

-135-180-225-270



（2）P=0，wn2(cc)2(11)0故N= P+wn=0，闭环系统稳定。



40025c2

（3）由|G(ic)|=1 ，解得c5.56，

3c2c1250

15c

m180G(i180)180arctan1802

925c



arctan5carctancarctanc54.62

1250

（4）MATTAB程序校验

>>num=400/3*[25 15 9];

den=conv([1 0.2 0 0],[1 62 600]);

bode(num,den); grid on

Magnitude (dB)Phase (deg)

10

10

10

10

10

10

10

Frequency (rad/sec)

>> [Gm,Pm,Wcg,Wcp] = margin(num,den)

Gm =10.7036；Pm =56.7919；Wcg =23.9829；Wcp =5.0533

交越频率为5.05rad/s，相角裕度为56.8，这与近似计算值非常接近。

4-11 已知各最小相位系统的开环对数幅频特性曲线如图所示， （1）试确定各系统的开环传递函数； （2）求相角裕度；

（3）概略画出对应的相频特性曲线； （4）分析闭环系统的稳定性。

解：I. 针对(a)图：

(1)如图，转折频率为2、10、20。该系统为典型Ⅱ型系统，其开环传递函数形式为

G(s)

K(0.5s1)

2

s(0.1s1)(0.05s1)

1

60 0.1

20lgK+40lg

即20lgK=20，解得K=10。

该系统的开环传递函数为

10(0.5s1)

s2(0.1s1)(0.05s1)

(2)20=40lg

2

+20lgc即20=20lg(2c) ，解得c=5，由此 12

m180arctan0.5c180arctan0.1carctan0.05c

27.60

(3) G(i)arctan0.5180arctan0.1arctan0.05

-135

o

-180-225-270



(4)P=0，wn2(cc)2(00)0，故N= P+wn=0，闭环系统稳定。 II. 针对(b)图：

(1)设未知转折频率从左至右依次为11/T1、21/T2、31/T3、41/T4，

则其开环传递函数形式为

G(s)

K(10s1)

(T1s1)(T2s1)(T3s1)(T4s1)

20lgK20， 解得K=10； 20lg

1

0.1

4020，解得1=1 T1=1；

60lg

40lg20lg

100

4

5，解得4=82.54， T4=0.0121

4

155，解得3=46.42，T3=0.0215 3

3

4015 解得2=2.61 T2=0.383 2

G(s)

10(10s1)

(s1)(0.383s1)(0.0215s1)(0.0121s1)

该系统的开环传递函数为

(2)c=100，由此

m180arctan10carctancarctan0.383c

arctan0.0215carctan0.0121c24

(3)

G(i)arctan10arctan

arctan0.383arctan0.0215arctan0.0121

90

0-90--

(4)P=0，wn2(cc)2(10)2故N= P+wn=2，闭环系统不稳定，有2个RHP





极点。

4-12针对正反馈系统，Nyquist给出ω=0→∞的幅相频率特性图如下，临界点为1，重新表述Nyquist稳定性定理。

正反馈系统的Nyquist图，临界点为1

答：若开环传递函数L(s)的RHP极点数为P, 则闭环系统稳定的充分必要条件是L(s) 的Nyquist 图{ L(iω) ，ω=−∞→∞}顺时针环绕临界点L=1的圈数为P。

6(s23s5)

4-13设系统的开环传递函数为G(s)，求交越频率c和相角交越频率

(s3)(s1)

180，并用MATLAB程序进行校核，你得到什么结论。

解：（1）起点：G(i0)1010e（2）终点：G(i)66e

i0

i180

6(23i5)6[(52)3i][(32)2i]（3）G(i)=

(i3)(i1)[(32)2i][(32)2i]

6[(48215)i(521)]=

(32)242

与实轴的交点：令虚部为0即521=0 解得2=0.2，c=0.447，此时G(i)=-9。 与虚轴的交点：令实部为0即48215=0 解得2=9.57 180=3.09，此时G(i)=4.43。

使用理论计算值与nyquist(sys)的计算结果基本没差别，但ω相差较大。原因是ω变化范围为-∞~+∞。若指定频率范围，采用命令nyquist(sys,w)，w={wmin,wmax}，可使之与理论计算值吻合。

>>num=[6 -18 30]; den=[1 2 -3]; sys=tf(num,den); w={0.1,100}; nyquist(sys,w) >>margin(sys)

Bode Diagram

Magnitude (dB)

Imaginary Axis

Phase (deg)

10

10

10

10

Real Axis

Frequency (rad/sec)

5-1设一单位负反馈系统的开环传递函数为P(s)

200

。设计串联校正环节，使

s(0.1s1)

校正后系统的相角裕度m45，交越频率c50rad/s。

解 由MATLAB程序

num=200;den=[0.1 1 0];margin(num,den);grid on

绘制未校正环节的幅频特性图，得到：c44.2rad/s，m12.8，所需要的相角最大超前量为

mmm4512.812.845

00

由于cc，可使用超前校正

a

1sinm

5.8

1sinm

Bode Diagram

Gm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 12.8 deg (at 44.2 rad/sec)Magnitude (dB)Phase (deg)

10

10

10

10

10

Frequency (rad/sec)

校正装置在m处增益10lga7.65dB。令c

m，KP在交越频率c处幅值为

|KP(ic)|dB10lga，由此得到40lgc/c07.65，由此解出c68.7rad/s。校

正装置的传递函数



0.035s1

0.006，a0.035，C(s)

0.006s12000.035s1

s(0.1s1)0.006s1校验否满足设计条件：校正后系统的开环传递函数为

L(s)P(s)C(s)

由MATLAB程序

num=200*[0.035 1];den=conv([0.1 1 0],[0.006 1]);margin(num,den);grid on

校正后系统的Bode图为

Bode Diagram

Gm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 53.2 deg (at 69.2 rad/sec)Magnitude (dB)Phase (deg)

10

10

10

10

10

10

Frequency (rad/sec)

m53.245，c69.2rad/s50rad/s，满足设计要求。

5-2 设单位反馈系统的开环传递函数

P(s)

1

s(0.04s1)

要求校正后系统的静态速度误差系数Kv100rad/s，相角裕度m45，c25rad/s，试设计串联校正装置。

解（1）根据稳态误差要求，选取控制器的静态增益K100。 (2)绘制未校正系统KP(i)的Bode图。

Bode Diagram

Gm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 28 deg (at 47 rad/sec)Magnitude (dB)Phase (deg)

10

10

10

10

Frequency (rad/sec)

P(s)

100

的Bode图及稳定裕度

s(0.04s1)

因为cc，可使用滞后校正，由

180KP(ic)m45651

确定校正后系统的交越频率，从图中直接读出c20.1 rad/s。在交越频率c20.1 rad/s下KP(i)的增益为11.8dB，由|KP(ic)|dB20lgb11.8dB，解出

b3.89，T10/c0.5s

滞后校正为

C(s)K

校正后系统的开环传递函数为

Ts10.5s1

100

bTs11.9s1

P(s)

MATLAB程序验证：

100(0.5s1)

s(0.04s1)1.9s1num=100;den=[0.04 1 0];numc=[0.5 1];denc=[1.9 1]; G=tf(num,den);C=tf(numc,denc);L=G*C;margin(L)

Bode Diagram

Gm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 46.6 deg (at 20.5 rad/sec)Magnitude (dB)Phase (deg)

10

10

10

10

10

10

Frequency (rad/sec)

校正后系统的Bode图及稳定裕度

m46.645，c20.5rad/s25rad/s，满足要求。

5-3 已知单位反馈最小相位系统的固有部分对数幅频特性|P(i)|dB和串联校正装置的对数幅频特性|C(i)|dB如下图所示。（1）由图形写出传递函数P(s)和C(s)；（2）求校正前系统的相角裕度；（3）画出校正后系统的对数幅频特性|L(i)|dB。

80

60

40

20

20

解 （1）未校正系统的开环传递函数为

P(s)

K

s(0.1s1)(0.01s1)

K

80dB，故K100。（2）未校正系统的交0.01

当0.01时，其幅值为80dB，即20lg

越频率为

100

1，解得c031.6，未校正系统的相位裕度为 02

0.1(c)

0m18090arctan(0.131.6)arctan(0.0131.6)0.02

（3）校正装置的传递函数为C(s)

2.5s1

，校正后开环系统的传递函数为

50s1

L(s)P(s)C(s)

100(2.5s1)

，由20logL(i)可以求得，在各转折频

s(50s1)(0.1s1)(0.01s1)

率处的幅值：当0.02时，74dB；当0.4时，21.9dB；当10时，－6dB；当100时，－46dB。由此可知，已校正系统的交越频率c10。故有校正后的对数幅频特性图。

100(2.5c)

解出c5，1，

c(50c)

5-4 已知系统开环传递函数为

P(s)

250

s(0.1s1)(0.01s1)

试设计串联校正装置，使系统对斜坡输入的稳态误差为零，m40，且c30rad/s，系统具有100dB/dec的高频滚降特性。

解 依题意，校正装置需具有积分控制功能。由MATLAB程序： num=250;den=[0.001 0.11 1 0];margin(num, den) 作P(s)的Bode图，由此可知不能仅靠PI校正实现系统的校正目标，应采用PID校正选择。使系统校正后的交越频率cm31.6 rad/s。

Bode Diagram

Gm = -7.13 dB (at 31.6 rad/sec) , Pm = -13.2 deg (at 47 rad/sec)

Magnitude (dB)Phase (deg)

10

10

10

10

10

10

Frequency (rad/sec)

P(s)

250

的Bode图

s(0.1s1)(0.01s1)

PD校正部分：

mm[180P(ic)]4001555N

1sinm10，Td0.1

1sinmc

C1(s)

PI校正部分：

Tds10.1s1 

Tds/N10.01s1

11

c3.16rad/s，Ti0.316s Ti10

20lgKp|P(ic)|dB10lgN0，|P(ic)|dB7.13dB

解出

Kp0.14

C2(s)Kp

高频滚降部分：

Tis10.316s10.316s1

0.140.44

Tis0.316ss

00.5，T00.1/c0.00316s，C3(s)

所以，校正装置的传递函数：

1

0.00316s

2

0.00316s1

C(s)C1(s)C2(s)C3(s)0.44

(0.1s1)(0.316s1)

2

s0.00316s0.00316s1(0.01s1)

验算：校正后系统的开环传递函数为

L(s)P(s)C(s)

采用MATLAB来验证：

numP=[250];denP=conv([0.1 1 0],[0.01 1]);P=tf(numP,denP);

numC=0.44*conv([0.1 1],[0.316 1]);

denC=conv([0.01 1 0],[0.00316^2 0.00316 1]);C=tf(numC,denC); L=P*C;margin(L)

由图直接读出以下数据：

①c31.9rad/s>30rad/s； ②m43.240；

③高频具有450滞后相角，对应于具有100dB/dec的高频滚降特性。 满足校正要求。

Bode Diagram

Magnitude (dB

)Phase (deg)

10

10

10

10

10

10

Frequency (rad/sec)

L(s)P(s)C(s)的Bode图

5-5设一单位反馈系统如下图所示，试设计一速度反馈校正装置，使系统校正后对单位阶跃响应的超调量不超过15%。

解 采用如下图所示的局部速度反馈校正方案

校正后系统的开环传递函数为

P(s)

闭环传递函数为

10

s(s10Kt)

2n10

s22

2

s10Kts10s2ns

n

由此得到

n3.16， 2n10Kt

由%100e

15%，得到0.517，取0.517

Kt

2n

0.33 10

5-6 对含有谐振环节的高阶系统，设其开环传递函数为

0.2(s20.1s0.5)

P(s)2

s(s1)(s0.05s0.45)

试设计串联校正装置C(s)，使校正后的系统满足：模裕度sm0.65，误差系数Kv100，交越频率5 rad/sc8 rad/s。

解：（1）由校正后系统的稳态误差要求，确定C(s)的静态增益为K500。 绘制KP(s)的频率特性，由如下MATLAB程序

numKP=500*0.2*[1 0.1 0.5]; denKP=conv([1 1 0],[1 0.05 0.45]); KP=tf(numKP,denKP); margin(KP)

9.97rad/s。由如下MATLAB程序 计算出KP(s)的交越频率c

S0=feedback(1,KP ,-1); [ninf,fpeak] = norm(S0,inf)

1/Ms00.095。这些性能指标都不符合系统的设计要求。 得到Ms010.54，模裕度sm

（2）确定校正装置

采用超前校正显然不能满足交越频率要求；若使用滞后校正，可能使谐振频段的开环幅频特性靠近0dB线，对系统的鲁棒性不利。因此考虑采用滞后-超前校正。

Bode Diagram

Gm = -42.5 dB (at 0.707 rad/sec) , Pm = 5.44 deg (at 9.97 rad/sec)Magnitude (dB)Phase (deg)

10

10

10

10

10

Frequency (rad/sec)

取sm0.65,计算校正后的相角裕度m2arcsin(sm/2)38；取c5rad/s，由上图读出KP(i5)169。取m45，11。超前校正部分提供的相角补偿

mm[180KP(i5)]45111045

1sinm1sin45a5.8，0.083s

1sinm1sin45所以，超前装置部分的参数为

C1(s)

②确定滞后校正部分

0.48s1

0.083s1

由图可以读出|KP(i5)|dB11.8dB，滞后校正部分提供的高频衰减参数为

20lgbKP(ic)|dB10lga11.84.716.5dBb6.7

11

c0.5rad/s，T2s T10

Ts12s1

 C2(s)

bTs113.4s1

（3）验算

写出校正后系统的开环传递函数

100(s20.1s0.5)(0.48s1)(2s1)

LKC1(s)C2(s)P

s(s1)(s20.05s0.45)(0.083s1)(13.4s1)

绘制校正后系统的频率特性，得到c6.54rad/s，符合要求。

numP=0.2*[1 0.1 0.5]; denP= conv([1 1 0],[1 0.05 0.45]) ; P=tf(numP,denP);

numC=500*conv([0.48 1],[2 1]);denC=conv([0.083 1],[13.4 1]); C=tf(numC,denC);L=P*C; margin(L)

Bode Diagram

Gm = -25.3 dB (at 0.731 rad/sec) , Pm = 48.4 deg (at 6.54 rad/sec)Magnitude (dB)Phase (deg)

10

10

10

Frequency (rad/sec)

由MATLAB 程序

S=feedback(1,L ,-1); [ninf,fpeak] = norm(S,inf)

得到Ms1.4522，模裕度sm1/Ms0.69，满足要求。

5-7极点配置：已知图5-29中被控对象的传递函数为

P(s)

b

s(sa)

设参考输入uc指令至输出y的理想的闭环系统传递函数由

Bm(s)2

2

2

Am(s)s2s

指定，求控制器的多项式R(s)，S(s)和T(s)。

解：(1)B(s)1，B(s)b，Bm'(s)Bm(s)/B(s)/b， （2）取degAc(s)2degA(s)12213，





2

degAo(s)degAc(s)degAm(s)degB(s)321

Ao(s)sao

degR'degAodegAmdegA1221

degS(s)degA1211

令

R'(s)sr1，S(s)s0ss1

得到多项式R(s)和S(s) 的Diophantine方程

s(sa)(sr1)b(s0ss1)(s22s2)(sao)

比较方程各次幂的系数，给出

ar12ao

ar1bs022ao

bs12ao

若b0，这些方程有解，有

2ao2ar12ao

，s1 r12aoa，s0

bb

控制器的多项式R(s)，S(s)和T(s)为

T(s)Bm'(s)Ao(s)

2

b

(sao)

R(s)R'(s)s2aoa

2ao2ar12ao

S(s)s

bb

6-1 已知线性系统的微分方程如下，试用等倾线法绘制其相轨迹。

3x2x0 x2x0 xx（1） （2）2x0 x2x0 xx（3） （4）3x1 1 xx（5） （6）

6-2 已知二阶非线性系统的微分方程如下，求其奇点并确定奇点类型。

(1x3)xx0 （1）x

(1|x|)xx0 （2）x

6-3 如图所示二阶系统，非线性部分输出M>1。

（1）输入r(t)0时，试用等倾线法做出变量x的相平面图，分析极限环的形成情况。 （1）输入r(t)t时，试用等倾线法做出变量x的相平面图，并与（1）对比。

题6-3图

解：由图列出系统变量的方程：

M,xa

u0,axa

M,xa

xry

yu y

得到变量x的方程：

M,xarr

x,axa xrr

M,xarr

（1）r(t)0时，变量x的方程：

xM,xa,Ixx,axa,II xxM,xa,IIIx

。当xM时0，当x0时，当在I区，等倾线方程为1M/x

时1，因此相轨迹汇合到水平线xM并趋向无穷远处。 x

在II区，等倾线方程为1，即一簇平行线。

。当xM时0，当x0时，当在III区，等倾线方程为1M/x

时1，因此相轨迹汇合到水平线xM并趋向无穷远处。 x

当a = 0时，不存在II区，可形成极限环。 （2）r(t)t时，变量x的方程：

xM1,xa,Ixx1,axa,II xxM1,xa,IIIx

1M时0，0时，。在I区，等倾线方程为1(1M)/x当x当x

时1，因此相轨迹汇合到水平线x1M并趋向无穷远处。 当x

。1时0，0时，在II区，等倾线方程为11/x当x当x当x1并趋向无穷远处。 时1，因此相轨迹汇合到水平线x

1M时0，当x0时。当x在III区，等倾线方程为1(1M)/x

时1，因此相轨迹汇合到水平线x1M并趋向无穷远处。 ，当x

可见相轨迹形成一个稳定的极限环。

x

（1） （2）

6-4 如图所示二阶系统，非线性部分k>1

，输入r(t)0。试用等倾线法做出变量x的相平面图，分析极限环的形成情况。

题6-4图

解：由图列出系统变量的方程：

x(1Ts)y，y

即x

1

u

s(s1)

1Ts

u。再由 2

ss

ka,xa

ukx,axa

ka,xa

得到变量x的微分方程：

xka,xa,xIxkxkT,axa,II xxka,xa,xIII

。当xka时0，当x0时，当在I区，等倾线方程为1ka/x

时1，因此相轨迹汇合到水平线xka并趋向无穷远处。 x

。当xka时0，当x0时，当在III区，等倾线方程为1ka/x

时1，因此相轨迹汇合到水平线xka并趋向无穷远处。 x

zkz0。奇点z＝0（x＝－T）z在II区，作变量替换zxT，系统方程变为

是稳定的焦点。

x

当Ta时，I区和III区的相轨迹进入II区，但是II区的奇点x＝－T在I区，因此相轨迹将在I区和II区循环，形成极限环。

6-5 如图所示非线性系统中，继电特性输出幅值M=4.7。 （1）如果继电器特性的a=0，求系统的自持振荡周期和振幅。 （2）a为何值时，系统无自持振荡？

题6-5图

解： 设正弦输入信号的幅值为A。死区继电器特性描述函数为：

N(A)

4Ma

()2

AA

(Aa)

Y(iω)N(A)P(iω)

，产生自持振荡的条件是

R(iω)1N(A)P(iω)

其负倒描述函数为实数。系统频率特性

1N(A)P(i)0，即P(i)1/N(A)。因此分析系统自持振荡就是确定P(i)和1/N(A)的交点。

线性部分的频率特性为

P(i)

11



i(i1)(2i1)i(1223i)

2

画出其Nyquist图。当120，即2/2时，P(i)与实轴相交，交点为

P(i2/2)2/3。

（1）a=0时，当A从0变化时，1/N(A)从0。与1/N(A)相交，交点为实轴的－2/3，即N(A)

2/2时，P(i)

4M3244.7

，4.0。得到AA233.14

因此自持振荡周期T2/228.89，振幅A4.0。

（2）a>0时，当A从0变化时，1/N(A)从，其中A到最大值

2a时达

a

2M

。如果

24M

，则P(i)和1/N(A)不相交。因此a2.02M33

a

时，系统无自持振荡。

6-6已知非线性系统结构图如图所示，其中M＝h＝1，G1(s)当K取何值时，系统会产生自振？

5K

G2(s)，。

s1s(s3)

题6-6图

解：输入为正弦信号时，非线性元件的描述函数与频率无关，可以看作常数。由梅森公式写出闭环系统的传递函数为

G1(s)Y(s)



R(s)1G1(s)N(A)G1(s)G2(s)

闭环系统特征方程为1G1(s)N(A)G1(s)G2(s)0，即

G1(s)G2(s)1



1G1(s)N(A)

由Nyquist判据可知，当G(s)

G1(s)G2(s)

在右半s平面没有零极点时，要使系统稳定，

1G1(s)

要求G(i)曲线与N(A)不相交。

两位置滞环继电器特性的描述函数

N(A)

负倒描述函数为

4Mh4Mh4

()2iAAA2A2

1

N(A)4

A21i

4

2

A



再由

A21i



4

K5



G(s)G2(s)s(s3)s15K

G(s)13 2

K1G1(s)s4s(3K)sK1

s(s3)

将si代入得到

G(j)

作出s平面图如下。

5K

i[(3K)3](K42)

下面计算G(i)曲线与虚轴的交点。令G(i)实部为0，即

K4

0，得到

2

K/2。此时

G(j)

就是G(i)曲线与虚轴的交点。当K0时，交点为0；当K时，交点也为0。因此当K由0变化时，交点由0向虚轴负无穷方向移动，达到最大值后又向0移动。当交点位于虚轴(



4

,0)时，G(i)曲线与N(A)不相交，系统稳定。临界的K值满足

K



123K4

即

3KK120 K16.K40

解得

K

16.98288.204416.9816.50



22