湖南文
6．设双曲线
的渐近线方程为
则
的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
答案：C
解析：由双曲线方程可知渐近线方程为
，故可知
。
9．在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
．在极坐标系（与直角坐标系
取相同的长度单位，且以原点
为极点，以
轴正半轴为极轴）中，曲线
的方程为
则
与
的交点个数为 ．答案：2
解析：曲线
，曲线
，联立方程消
得
，易得
，故有2个交点。
15．已知圆
直线
（1）圆
的圆心到直线
的距离为 ．
(2) 圆
上任意一点
到直线
的距离小于2的概率为 ．
答案：5，
解析：（1）由点到直线的距离公式可得
；
（2）由（1）可知圆心到直线的距离为5，要使圆上点到直线的距离小于2，即
与圆相交所得劣弧上，由半径为
，圆心到直线的距离为3可知劣弧所对圆心角为
，故所求概率为
.
21．已知平面内一动点
到点F（1，0）的距离与点
到
轴的距离的等等于1．
（I）求动点
的轨迹
的方程；
（II）过点
作两条斜率存在且互相垂直的直线
，设
与轨迹
相交于点
，
与轨迹
相交于点
，求
的最小值．
解析：（I）设动点
的坐标为
，由题意为
化简得
当
、
所以动点P的轨迹C的方程为
（II）由题意知，直线
的斜率存在且不为0，设为
，则
的方程为
．
由
，得
设
则
是上述方程的两个实根，于是
．
因为
，所以
的斜率为
．设
则同理可得：
故
当且仅当
即
时，
取最小值16．
江苏
14.设集合
,
, 若
则实数m的取值范围是________.
答案：
.
解析：当
时，集合A是以（2，0）为圆心，以
为半径的圆，集合B是在两条平行线之间，（2，0）在直线的上方
，又因为
此时无解；
当
时，集合A是以（2，0）为圆心，以
和
为半径的圆环，集合B是在两条平行线之间，必有当
时,只要,
.
当
时, 只要,
当
时,一定符合
又因为
,
.
本题主要考查集合概念,子集及其集合运算、线性规划,直线的斜率,两直线平行关系,点到直线的距离,圆的方程,直线与圆的位置关系、含参分类讨论、解不等式，及其综合能力.本题属难题.
18.（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系
中，M、N分别是椭圆
的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k.
（1）当直线PA平分线段MN时，求k的值；
（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；
（3）对任意k>0，求证：PA⊥PB.
答案：（1）由题意知M(-2,0),N(0,
),M、N的中点坐标为(-1,
),
直线PA平分线段MN时，即直线PA经过M、N的中点,又直线PA经过原点,所以
.
（2）直线
,由
得
，
，
AC方程：
即：
所以点P到直线AB的距离
（3）法一：由题意设
，
A、C、B三点共线，
又因为点P、B在椭圆上，
，两式相减得：
.
法二：设
,
A、C、B三点共线，
又因为点A、B在椭圆上,
,两式相减得：
,
,
法三：由
得
，直线
代入
得到
，解得
，
解析：本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质，直线的斜率及其方程，点到直线距离公式、直线的垂直关系的判断.另外还考查了解方程组，共线问题、点在曲线上,字母运算的运算求解能力, 考查推理论证能力.(1)(2)是容易题；（3）是考察学生灵活运用、数学综合能力是难题.
C．选修4-4：坐标系与参数方程
（本小题满分10分）
在平面直角坐标系
中，求过椭圆
（
为参数）的右焦点，且与直线
（
为参数）平行的直线的普通方程．
C．选修4-4：坐标系与参数方程
本小题主要考查椭圆与直线的参数方程等基础知识，考查转化问题的能力，满分10分。
解：由题设知，椭圆的长半轴长
，短半轴长
，从而
，所以右焦点为（4，0），将已知直线的参数方程化为普通方程：
故所求直线的斜率为
，因此其方程为
。
湖南文
6．设双曲线
的渐近线方程为
则
的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
答案：C
解析：由双曲线方程可知渐近线方程为
，故可知
。
9．在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
．在极坐标系（与直角坐标系
取相同的长度单位，且以原点
为极点，以
轴正半轴为极轴）中，曲线
的方程为
则
与
的交点个数为 ．答案：2
解析：曲线
，曲线
，联立方程消
得
，易得
，故有2个交点。
15．已知圆
直线
（1）圆
的圆心到直线
的距离为 ．
(2) 圆
上任意一点
到直线
的距离小于2的概率为 ．
答案：5，
解析：（1）由点到直线的距离公式可得
；
（2）由（1）可知圆心到直线的距离为5，要使圆上点到直线的距离小于2，即
与圆相交所得劣弧上，由半径为
，圆心到直线的距离为3可知劣弧所对圆心角为
，故所求概率为
.
21．已知平面内一动点
到点F（1，0）的距离与点
到
轴的距离的等等于1．
（I）求动点
的轨迹
的方程；
（II）过点
作两条斜率存在且互相垂直的直线
，设
与轨迹
相交于点
，
与轨迹
相交于点
，求
的最小值．
解析：（I）设动点
的坐标为
，由题意为
化简得
当
、
所以动点P的轨迹C的方程为
（II）由题意知，直线
的斜率存在且不为0，设为
，则
的方程为
．
由
，得
设
则
是上述方程的两个实根，于是
．
因为
，所以
的斜率为
．设
则同理可得：
故
当且仅当
即
时，
取最小值16．
江苏
14.设集合
,
, 若
则实数m的取值范围是________.
答案：
.
解析：当
时，集合A是以（2，0）为圆心，以
为半径的圆，集合B是在两条平行线之间，（2，0）在直线的上方
，又因为
此时无解；
当
时，集合A是以（2，0）为圆心，以
和
为半径的圆环，集合B是在两条平行线之间，必有当
时,只要,
.
当
时, 只要,
当
时,一定符合
又因为
,
.
本题主要考查集合概念,子集及其集合运算、线性规划,直线的斜率,两直线平行关系,点到直线的距离,圆的方程,直线与圆的位置关系、含参分类讨论、解不等式，及其综合能力.本题属难题.
18.（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系
中，M、N分别是椭圆
的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k.
（1）当直线PA平分线段MN时，求k的值；
（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；
（3）对任意k>0，求证：PA⊥PB.
答案：（1）由题意知M(-2,0),N(0,
),M、N的中点坐标为(-1,
),
直线PA平分线段MN时，即直线PA经过M、N的中点,又直线PA经过原点,所以
.
（2）直线
,由
得
，
，
AC方程：
即：
所以点P到直线AB的距离
（3）法一：由题意设
，
A、C、B三点共线，
又因为点P、B在椭圆上，
，两式相减得：
.
法二：设
,
A、C、B三点共线，
又因为点A、B在椭圆上,
,两式相减得：
,
,
法三：由
得
，直线
代入
得到
，解得
，
解析：本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质，直线的斜率及其方程，点到直线距离公式、直线的垂直关系的判断.另外还考查了解方程组，共线问题、点在曲线上,字母运算的运算求解能力, 考查推理论证能力.(1)(2)是容易题；（3）是考察学生灵活运用、数学综合能力是难题.
C．选修4-4：坐标系与参数方程
（本小题满分10分）
在平面直角坐标系
中，求过椭圆
（
为参数）的右焦点，且与直线
（
为参数）平行的直线的普通方程．
C．选修4-4：坐标系与参数方程
本小题主要考查椭圆与直线的参数方程等基础知识，考查转化问题的能力，满分10分。
解：由题设知，椭圆的长半轴长
，短半轴长
，从而
，所以右焦点为（4，0），将已知直线的参数方程化为普通方程：
故所求直线的斜率为
，因此其方程为
。