第十三章 磁 场
第七课时、带电粒子在有界匀强磁场中做圆周运动时圆心、运动时间的不确定问题
制定人:殷裕华 审核人:胡怀平 时间:2006年1月6日
一.热身训练
例题1.(97)如图,在x轴的上方(y≥0)存在着垂直于纸面向外的匀强磁场,磁感应强度为B。在原点O有一个离子源向x轴上方的各个方向发射出质量为m、电量为q的正离子,速率都为v。对那些在xy平面内运动的离子,在磁场中可能到达的最大x=________________,最大y=________________。
2mv/qB; 2mv/qB;
二、讲练平台
例题2..环状匀强磁场围成的中空区域,具有束缚带电粒子的作用,中空区域中的带电粒子,只要速度不是很大,都不会穿出磁场的外边缘,设环状磁场的内半径为R1=0.5m,径R2=1.0m,磁场的磁感应强度B=1.0T,若被束缚的带电粒子的比荷为q/m=4×107
c/kg,中空区域中的带电粒子具有各个方向的速度。试计算:
(1)若粒子沿圆环的半径方向射入磁场,粒子不能穿过磁场的最大速度。 (2)若粒子的速度方向各个方向都有,所有不能穿过磁场的粒子中速度最大的粒子的速度 解析:(1)速度最大的沿半径方向飞出的粒子,作圆周运动的轨迹与大圆相
切。设其半径为r则qvB=mV22R2
1,最大速度为V11/r1 r1+1=(R2-r1)解得最大
速度V107
1=1.5×m/s (2)在环形磁场中作圆周运动的最大半径对应的圆与大、小圆同时相切则,设作圆
周运动的半径为rqvB=mV2
2,对应的最大速度为V2则2/r2 r2=(R1+R2)/2 解
得最大速度V7
1=3×10m/s
例题3.图中,虚线MN是一垂直纸面的平面与纸面的交线,在平面右侧的半空间存在一磁感应
强度为B的匀强磁场,方向垂直纸面向外.O是MN上的一点,从O点可以向磁场区域发射电量为+q、质量为m、速率为v的粒子.粒子射入磁场时的速度可在纸面内向各个方向.已知先后射入的两个粒子恰好在磁场中给定的P点相遇,P到O的距离为L,不计重力及粒子间的相互作用.
(1)求所考查的粒子在磁场中的轨道半径. (2)求这两个粒子从O点射入磁场的时间间隔.
解析:(1)设粒子在磁场中作圆周运动的轨道半径为R,由牛顿第二定律,有 qvB=mv2
/R 得 R=mv/qB ①
(2)如图所示,以OP为弦可画两个半径相同的圆,分别表示在P点相遇的两个粒子的轨道。圆心和直径分别为 O1、O2和OO1Q1,OO2Q2,在0处两个圆的切线分别表示两个粒子的射入方向,用θ表示它们之间的夹角。由几何关系可知 ∠PO1Q1=∠PO2Q2θ ② 从0点射入到相遇,粒子1的路程为半个圆周加弧长Q1P Q1P=Pθ ③ 粒子2的路程为半个圆周减弧长PQ2=2 PQ2=Rθ ④ 粒子1运动的时间 t1=(1/2T)+(Rθ/v) ⑤
其中T为圆周运动的周期。粒子2运动的时间为t2=(1/2T)-(Rθ/v) ⑥ 两粒子射入的时间问隔 △t=t1-t2=2Rθ/V ① 因 Rcos(θ/2) =1/2L 得 θ =2arccos (L/2R) ③ 由①、①、③三式得 △t=4marccos(lqB/2mv)/qB
三、拓展提升
例题4.如图所示,真空室内有匀强磁场,磁场方向垂直于纸面向里,磁感应强度的大小B=0.60T,磁场内有一块平行感光板ab,板面与磁场方向平行,在距ab的距离l=16cm处,有一个点状的α粒子发射源S,它向各个方向发射α粒子,α粒子的速度都是v=3.0×106m/s.已知α粒子的电量与质量之比q/m=5.0×107C/kg,现只考虑在纸平面中运动的α粒子,求ab上被α粒子打中的区域长度.
b a
b
c d
分析与解:洛伦兹力是α粒子作圆运动的向心力;计算出圆半径后,确定圆心的位置就成为解题的关键,α粒子轨迹与ab相切,以及α粒子离S最远的距离为2r是判定最远点的条件.如图11-3-2.
α粒子带正电,用左手定则判定α粒子在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动,用r表示轨
道半径,有Bqv=mv2vr,解得r3106
m0.10m,可见2r>l>r. (q5.0107
0.6m
)B
因向不同方向发射的α粒子的圆轨迹都过S,由此可知,某一圆轨迹在图中N左侧与ab相切,则此切点P1就是α粒子能打中的左侧最远点,为定出P1的位置,可作平行与ab的直线cd,cd到ab的距离为r=0.10m.以S为圆心,r为半径,作弧交cd于Q点,过Q作ab的垂线,它与
ab的交点即为P1.由图中几何关系得:NP1
r2(lr)2.
再考虑N的右侧,任何α粒子在运动中离S的距离不可能超过2r,以2r为半径,S为圆心作圆,交ab于N右侧的P2点,P2即为α粒子在右侧能达到的最远点.由几何关系得:
NP24r2l2.
所求长度为:P1P2=NP1+NP2=0.20m.
点评:中左右两边最远点考虑方式不一样,不少同学会利用左右对称来解,这就失去了一半.错误的主要原因在于对于α粒子在空间飞行的轨迹不熟悉
【益智演练】
1. (05河北)如图,在一水平放置的平板MN的上方有匀强磁场,磁感应强度的大小为B,磁场方向垂直于纸面向里。许多质量为m带电量为+q的粒子,以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向,由小孔O射入磁场区域。不计重力,不计粒子间的相互影响。下列图中阴影部分表示带电粒子可
能经过的区域,其中Rmv
Bq。哪个图是正确的( A )
O
N
A. B. C. D.
2.如图所示,半径为R=10cm的圆形匀强磁场,区域边界跟y轴相切于坐标系原点O,磁感应强度B=0.332T,方向垂直纸面向里,在O处放有一放射源
s,可沿纸面
向各个方向射出速率均为v=3.2×106m/s的α粒子,已知α粒子质量为m=6.64×10-27kg,q=3.2×
10-19m/s,求:
(1)画出α粒子通过磁场空间做圆周运动的圆心点的连线形状; (2)求出α粒子通过磁场的最大偏向角;
s (3)再以过O并垂直纸面的直线为轴轴旋转磁场区域,能使穿
过磁场区域且偏转角最大的α粒子射出磁场后,沿y轴正方
向运动,则圆形磁场直径OA至少应转过多少角度.
2.
(1)以原点为圆心,半径r=0.2m的一个半圆;(2)60o;(3)转过60o
3.核聚变反应需要几百万度以上的高温,为把高温条件下高速运动的离子约束在小范围内,通常采用磁约束的方法.如图所示,环状匀强磁场围成中空区域,中空区域中的带电粒子只要速度不是很大,都不会穿出磁场的外边缘而被约束在该区域内.设环状磁场的内半径Rl=0.5m,外半径R2=1.0m,磁场的磁感应强度B=1.0T.若被束缚带电粒子的荷质比为q/m=4×107c/kg.中空区域内带电粒子具有各个方向的速度.试计算:
(1)粒子沿环状的半径方向射入磁场,不能穿越磁场的最大速度. (2)所有粒子不能穿越磁场的最大速度. 3.(1)1.5×107m/s;(2)1.0×107m/s
4.如图所示,有两个方向相反,均垂直于纸面的匀强磁场,磁感应强度分别为B和2B,MN是
它们的分界面,有一束电量均为q,但质量不全相同的带电粒子,经相同的电势差U加速后从分界面上的O点垂直于分界面射入磁场,求:
(1)质量多大的粒子可到达距O点为L的分界面上的P点? (2)这些不同的粒子到达P点需要的时间最长是多少?
M
N
B
8.(1) m= qL2B2qL2B2
18n2U(n=1、2、
3…)或m=
2(3n1)2U
(n=1、2、3…);(2)tBL2
m=
8U
第十三章 磁 场
第七课时、带电粒子在有界匀强磁场中做圆周运动时圆心、运动时间的不确定问题
制定人:殷裕华 审核人:胡怀平 时间:2006年1月6日
一.热身训练
例题1.(97)如图,在x轴的上方(y≥0)存在着垂直于纸面向外的匀强磁场,磁感应强度为B。在原点O有一个离子源向x轴上方的各个方向发射出质量为m、电量为q的正离子,速率都为v。对那些在xy平面内运动的离子,在磁场中可能到达的最大x=________________,最大y=________________。
2mv/qB; 2mv/qB;
二、讲练平台
例题2..环状匀强磁场围成的中空区域,具有束缚带电粒子的作用,中空区域中的带电粒子,只要速度不是很大,都不会穿出磁场的外边缘,设环状磁场的内半径为R1=0.5m,径R2=1.0m,磁场的磁感应强度B=1.0T,若被束缚的带电粒子的比荷为q/m=4×107
c/kg,中空区域中的带电粒子具有各个方向的速度。试计算:
(1)若粒子沿圆环的半径方向射入磁场,粒子不能穿过磁场的最大速度。 (2)若粒子的速度方向各个方向都有,所有不能穿过磁场的粒子中速度最大的粒子的速度 解析:(1)速度最大的沿半径方向飞出的粒子,作圆周运动的轨迹与大圆相
切。设其半径为r则qvB=mV22R2
1,最大速度为V11/r1 r1+1=(R2-r1)解得最大
速度V107
1=1.5×m/s (2)在环形磁场中作圆周运动的最大半径对应的圆与大、小圆同时相切则,设作圆
周运动的半径为rqvB=mV2
2,对应的最大速度为V2则2/r2 r2=(R1+R2)/2 解
得最大速度V7
1=3×10m/s
例题3.图中,虚线MN是一垂直纸面的平面与纸面的交线,在平面右侧的半空间存在一磁感应
强度为B的匀强磁场,方向垂直纸面向外.O是MN上的一点,从O点可以向磁场区域发射电量为+q、质量为m、速率为v的粒子.粒子射入磁场时的速度可在纸面内向各个方向.已知先后射入的两个粒子恰好在磁场中给定的P点相遇,P到O的距离为L,不计重力及粒子间的相互作用.
(1)求所考查的粒子在磁场中的轨道半径. (2)求这两个粒子从O点射入磁场的时间间隔.
解析:(1)设粒子在磁场中作圆周运动的轨道半径为R,由牛顿第二定律,有 qvB=mv2
/R 得 R=mv/qB ①
(2)如图所示,以OP为弦可画两个半径相同的圆,分别表示在P点相遇的两个粒子的轨道。圆心和直径分别为 O1、O2和OO1Q1,OO2Q2,在0处两个圆的切线分别表示两个粒子的射入方向,用θ表示它们之间的夹角。由几何关系可知 ∠PO1Q1=∠PO2Q2θ ② 从0点射入到相遇,粒子1的路程为半个圆周加弧长Q1P Q1P=Pθ ③ 粒子2的路程为半个圆周减弧长PQ2=2 PQ2=Rθ ④ 粒子1运动的时间 t1=(1/2T)+(Rθ/v) ⑤
其中T为圆周运动的周期。粒子2运动的时间为t2=(1/2T)-(Rθ/v) ⑥ 两粒子射入的时间问隔 △t=t1-t2=2Rθ/V ① 因 Rcos(θ/2) =1/2L 得 θ =2arccos (L/2R) ③ 由①、①、③三式得 △t=4marccos(lqB/2mv)/qB
三、拓展提升
例题4.如图所示,真空室内有匀强磁场,磁场方向垂直于纸面向里,磁感应强度的大小B=0.60T,磁场内有一块平行感光板ab,板面与磁场方向平行,在距ab的距离l=16cm处,有一个点状的α粒子发射源S,它向各个方向发射α粒子,α粒子的速度都是v=3.0×106m/s.已知α粒子的电量与质量之比q/m=5.0×107C/kg,现只考虑在纸平面中运动的α粒子,求ab上被α粒子打中的区域长度.
b a
b
c d
分析与解:洛伦兹力是α粒子作圆运动的向心力;计算出圆半径后,确定圆心的位置就成为解题的关键,α粒子轨迹与ab相切,以及α粒子离S最远的距离为2r是判定最远点的条件.如图11-3-2.
α粒子带正电,用左手定则判定α粒子在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动,用r表示轨
道半径,有Bqv=mv2vr,解得r3106
m0.10m,可见2r>l>r. (q5.0107
0.6m
)B
因向不同方向发射的α粒子的圆轨迹都过S,由此可知,某一圆轨迹在图中N左侧与ab相切,则此切点P1就是α粒子能打中的左侧最远点,为定出P1的位置,可作平行与ab的直线cd,cd到ab的距离为r=0.10m.以S为圆心,r为半径,作弧交cd于Q点,过Q作ab的垂线,它与
ab的交点即为P1.由图中几何关系得:NP1
r2(lr)2.
再考虑N的右侧,任何α粒子在运动中离S的距离不可能超过2r,以2r为半径,S为圆心作圆,交ab于N右侧的P2点,P2即为α粒子在右侧能达到的最远点.由几何关系得:
NP24r2l2.
所求长度为:P1P2=NP1+NP2=0.20m.
点评:中左右两边最远点考虑方式不一样,不少同学会利用左右对称来解,这就失去了一半.错误的主要原因在于对于α粒子在空间飞行的轨迹不熟悉
【益智演练】
1. (05河北)如图,在一水平放置的平板MN的上方有匀强磁场,磁感应强度的大小为B,磁场方向垂直于纸面向里。许多质量为m带电量为+q的粒子,以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向,由小孔O射入磁场区域。不计重力,不计粒子间的相互影响。下列图中阴影部分表示带电粒子可
能经过的区域,其中Rmv
Bq。哪个图是正确的( A )
O
N
A. B. C. D.
2.如图所示,半径为R=10cm的圆形匀强磁场,区域边界跟y轴相切于坐标系原点O,磁感应强度B=0.332T,方向垂直纸面向里,在O处放有一放射源
s,可沿纸面
向各个方向射出速率均为v=3.2×106m/s的α粒子,已知α粒子质量为m=6.64×10-27kg,q=3.2×
10-19m/s,求:
(1)画出α粒子通过磁场空间做圆周运动的圆心点的连线形状; (2)求出α粒子通过磁场的最大偏向角;
s (3)再以过O并垂直纸面的直线为轴轴旋转磁场区域,能使穿
过磁场区域且偏转角最大的α粒子射出磁场后,沿y轴正方
向运动,则圆形磁场直径OA至少应转过多少角度.
2.
(1)以原点为圆心,半径r=0.2m的一个半圆;(2)60o;(3)转过60o
3.核聚变反应需要几百万度以上的高温,为把高温条件下高速运动的离子约束在小范围内,通常采用磁约束的方法.如图所示,环状匀强磁场围成中空区域,中空区域中的带电粒子只要速度不是很大,都不会穿出磁场的外边缘而被约束在该区域内.设环状磁场的内半径Rl=0.5m,外半径R2=1.0m,磁场的磁感应强度B=1.0T.若被束缚带电粒子的荷质比为q/m=4×107c/kg.中空区域内带电粒子具有各个方向的速度.试计算:
(1)粒子沿环状的半径方向射入磁场,不能穿越磁场的最大速度. (2)所有粒子不能穿越磁场的最大速度. 3.(1)1.5×107m/s;(2)1.0×107m/s
4.如图所示,有两个方向相反,均垂直于纸面的匀强磁场,磁感应强度分别为B和2B,MN是
它们的分界面,有一束电量均为q,但质量不全相同的带电粒子,经相同的电势差U加速后从分界面上的O点垂直于分界面射入磁场,求:
(1)质量多大的粒子可到达距O点为L的分界面上的P点? (2)这些不同的粒子到达P点需要的时间最长是多少?
M
N
B
8.(1) m= qL2B2qL2B2
18n2U(n=1、2、
3…)或m=
2(3n1)2U
(n=1、2、3…);(2)tBL2
m=
8U