天体运动（经典版）
一、开普勒运动定律
1、开普勒第一定律：所有的行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上．
2、开普勒第二定律：对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等．
3、开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等．
二、万有引力定律
1、内容：宇宙间的一切物体都是互相吸引的，两个物体间的引力大小，跟它们的质量的乘积成正
比，跟它们的距离的平方成反比．
2、公式：F ＝G m 1m 2
r 2, 其中G =6. 67⨯10-11N ⋅m 2/kg 2，称为为有引力恒量。
3、适用条件：严格地说公式只适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远远大于物体本身
的大小时，公式也可近似使用，但此时r 应为两物体重心间的距离．
注意：万有引力定律把地面上的运动与天体运动统一起来，是自然界中最普遍的规律之一，式中
引力恒量G 的物理意义：G 在数值上等于质量均为1千克的两个质点相距1米时相互作用的万有引力．
4、万有引力与重力的关系：合力与分力的关系。
三、卫星的受力和绕行参数（角速度、周期与高度）
1、由G
2、由G mM (r +h )mM 2v 2，得
v =h↑，v↓ =m r +h GM
(r +h )
mM 2=mω2（r+h），得ω=r +h 3，∴当h↑，ω↓ 4π24π2(r +h )3=m 2(r +h )，得T=3、由G ∴当h↑，T↑ 2GM T r +h 注：（1）卫星进入轨道前加速过程，卫星上物体超重．
（2）卫星进入轨道后正常运转时，卫星上物体完全失重．
4、三种宇宙速度
（1）第一宇宙速度（环绕速度）：v 1=7.9km/s，人造地球卫星的最小发射速度。也是人造卫星绕
地球做匀速圆周运动的最大速度。
计算：在地面附近物体的重力近似地等于地球对物体的万有引力，重力就是卫星做圆周运
v 12动的向心力．mg =m ．当r ＞＞h 时．g h ≈g 所以v 1＝gr =7．9×103m/s r +h 第一宇宙速度是在地面附近（h ＜＜r ），卫星绕地球做匀速圆周运动的最大速度．
（2）第二宇宙速度（脱离速度）：v 2=11.2km/s，使卫星挣脱地球引力束缚的最小发射速度．
（3）第三宇宙速度（逃逸速度）：v 3=16.7km/s，使卫星挣脱太阳引力束缚的最小发射速度．
四、两种常见的卫星
1、近地卫星
近地卫星的轨道半径r 可以近似地认为等于地球半径R ，其线速度大小为v 1=7.9×103m/s；其周期为T =5.06×103s=84min。期。
神舟号飞船的运行轨道离地面的高度为340km ，线速度约7.6km/s，周期约90min 。
2、同步卫星
“同步”的含义就是和地球保持相对静止，所以其周期等于地球自转周期，即T =24h。由式G mM
r +h 22GMT 4π2v 27=m= m2（r+h）可得，同步卫星离地面高度为 h ＝－r ＝3·58×10 m 即2r +h 4πT
其轨道半径是唯一确定的离地面的高度h =3.6×104km 转方向必须跟地球自转方向一致即由西向东。同步卫星的线速度 v=GM =3.07×103m/s r +h
通讯卫星可以实现全球的电视转播，一般通讯卫星都是地球同步卫星。
五、人造天体在运动过程中的能量关系
1、卫星动能：E K =GMm 2r
2、卫星势能：E P =-GMm （以无穷远处引力势能为零，M 为地球质量，m 为卫星质量，r 为卫星r
GMm 2r 轨道半径。由于从无穷远向地球移动过程中万有引力做正功，所以系统势能减小，为负。） 3、卫星机械能：E =-
越大，即离地面越高，卫星具有的机械能越大，发射越困难。
【例】开普勒第三定律及其应用
1．飞船沿半径为R 的圆周绕地球运动，如图所示，其周期为T ，如果飞船要返回地面，可在轨道
上某一点A 处将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的
椭圆轨道运行，椭圆和地球表面相切于B 点，设地球半径为R 0，问飞船
从A 点返回到地面上B 点所需时间为多少？
2．【2013江苏】火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知（ ）
A ．太阳位于木星运行轨道的中心 B ．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等
C ．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方
3B ．公式中的T 表示行星自转的周期
C ．式中的k 值，对所有行星（或卫星）都相等
D ．式中的k 值，对围绕同一中心天体运行的行星（或卫星）都相同
4．【2014浙江卷】长期以来“卡戎星(Charon)”被认为是冥王星唯一的卫星，它的公转轨道半径
r 1＝19 600 km，公转周期T 1＝6.39天.2006年3月，天文学家新发现两颗冥王星的小卫星，
其中一颗的公转轨道半径r 2＝48 000 km，则它的公转周期T 2最接近于（ ）
A ．15天 B．25天
C．35天 D．45天
2、C ； 3、D ； 4、B 1
【例】计算中心天体的质量、密度
1．已知万有引力常量G ，地球半径R ，月球和地球之间的距离r ，同步卫星距地面的高度h ，月球
绕地球的运转周期T 1，地球的自转周期T 2，地球表面的重力加速度g 。某同学根据以上条件，
23⎛⎫4πh Mm 2π提出一种估算地球质量M 的方法：同步卫星绕地球作圆周运动，由G 2=m ⎪h 得M = T ⎪h GT 22⎝2⎭2
⑴判断以上结果是否正确，并说明理由。如不正确，给出正确的解法和结果。
⑵请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果。
2．宇航员站在某一星球表面某高处，沿水平方向抛出一小球。经过时间t ，小球落到星球表面，
测得抛出点与落地点之间的距离为L 。若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为3L 。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R ，万有引力常数为G 。求该星球质量M 。
3．2003年10月16日北京时间6时34分，中国首次载人航天飞行任务获得圆满成功。据报道，
中国首位航天员杨利伟乘坐的“神舟”五号载人飞船，于北京时间十月十五日九时，在酒泉卫星发射中心用“长征二号F ”型运载火箭发射升空。此后，飞船按照预定轨道环绕地球十四圈，在太空飞行约二十一小时，若其运动可近似认为是匀速圆周运动，飞船距地面高度约为340千米，已知万有引力常量为G=6.67×10－11牛·米2/千克2，地球半径约为6400千米，且地球可视为均匀球体，则试根据以上条件估算地球的密度。（结果保留1位有效数学）
4．中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。现有一中子星，观测到它的自转周期
为T =1/30s。问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星的稳定，不致因自转而瓦解。计算时星体可视为均匀球体。(引力常数G =6.67⨯10-11m 3/kg.s2)
5．【2014·新课标Ⅱ卷】假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的
大小为g 0，在赤道的大小为g ；地球自转的周期为T ，引力常量为G . 地球的密度为（ ） 3πg 0－g 3πg 3π3πg A. GT g B. GT C. GT D. GT g g 0－g 0
1、略；2
、M 3π3π(R +h ) 314333；3、ρ= 4、； 5、B ρ==1. 27⨯10kg /m =6⨯10kg m 2GT GT 2R 3
【例】卫星运动和宇宙速度
1．(卫星轨道）如图所示的三个人造地球卫星，下列说法正确的是（ ）
①卫星可能的轨道为a 、b 、c ②卫星可能的轨道为a 、c
③同步卫星可能的轨道为a 、c ④同步卫星可能的轨道为a
A ．①③是对的 B．①④是对的 C．②③是对的 D．②④是对的
2．（环绕参数）【2013上海】小行星绕恒星运动，恒星均匀地向四周辐射能量，质量缓慢减小，
可认为小行星在绕恒星运动一周的过程中近似做圆周运动。则经过足够长的时间后，小行星运动的（ ）
A ．半径变大 B ．速率变大 C ．角速度变大 D ．加速度变大
3．2007年10月24日，我国发射的“嫦娥一号”探月卫星简化后的路线示意图如图，卫星由地面
发射后经过发射轨道进入停泊轨道，然后在停泊轨道经过调速后进入地月转移轨道，再次调速后进入工作轨道，卫星开始对月球进行探测。已知地球与月球的质量之比为a ，卫星的停泊轨道与工作轨道的半径之比为b ，卫星在停泊轨道和工作轨道上均可
视为做匀速圆周运动，则卫星（ ）
A ．在停泊轨道和工作轨道运行的速度之比为
B ．在停泊轨道和工作轨道运行的周期之比为b a b 3
a
C ．在停泊轨道运行的速度大于地球的第一宇宙速度
D ．从停泊轨道进入到地月转移轨道，卫星必须加速
4．发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，
最后再次点火，将卫星送入同步轨道3。轨道1、2相切于Q 点，轨道2、3相切于P 点(如图) ，则卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的（ ）
A ．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率
B ．卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度
C ．卫星在轨道1上经过Q 点时的速率小于它在2上经过Q 点的速率
D ．卫星在轨道2上经过P 点时的加速度等于它在3上经过P 点的加速
度
5．月球绕地球做匀速圆周运动的向心加速度大小为a ，设月球表面的重力加速度大小为g 1，在月
，则（ ）
A ． g 1=g 2=a B ．g 2=a ≠g 1 C D ．g 1+a =g 2 6．（同步卫星）在地球（看作质量均匀的球体）上空有许多同步卫星，下面说法中正确的是（ ）
A ．它们的质量可能不同
C ．它们的向心加速度可能不同 B ．它们的速度可能不同 D ．它们离地心的距离可能不同
7．【2014天津】研究表明，地球自转在逐渐变慢，3亿年前地球自转的周期约为22小时．假设这
种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比（ ）
A ．距地面的高度变大 B ．向心加速度变大 C ．线速度变大 D ．角速度变大
8．【2013四川】太阳系外行星大多不适宜人类居住，绕恒星“Glicsc581”运行的行星“Gl-581c ”
却很值得我们期待。该行星的温度在0℃到40℃之间，质量是地球的6倍，直径是地球的1.5倍、公转周期为13个地球日。“Glicsc581”的质量是太阳质量的0.31倍。设该行星与地球均视为质量分布均匀的球体，绕其中心天体做匀速圆周运动，则（ ）
A ．在该行星和地球上发射卫星的第一宇宙速度相同
B ．如果人到了该行星，其体重是地球上的22倍 3
C ．该行星与“Glicsc581”的距离是日地距离的13倍 365
D ．由于该行星公转速率比地球大，地球上的米尺如果被带上该行星，其长度一定会变短
1、D 2、A 3、BD 4、BCD 5、B 6、A 7、A 8、B
【例】双星（多星）系统
1．如图，质量分别为m 和M 的两个星球A 和B 在彼此的引力作用下都绕O 点做匀速周运动，
星球A 和B 两者中心之间距离为L 。已知A 、B 的中心和O 三点始终共线，A 和B 分别在O 的两侧。引力常数为G 。（1）求两星球做圆周运动的周期。
（2）在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A 和B ，月球
绕其轨道中心运行为的周期记为T 1。但在近似处理问题时，常常认为
月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期T 2。已知地球和月
球的质量分别为5.98×1024kg 和 7.35 ×1022kg 。求T 2与T 1两者平方之
比。（结果保留3位小数）
2．两个星球组成双星，它们只在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆
周运动。现测得两星中心距离为R ，其运动周期为T ，求两星的总质量。
3. 【2013山东】双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某
一点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T, ，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k 倍，两星之间的距离变为原来的n 倍，则此时圆周运动的周期为（ ）
A
B
T C．
D．
T 4．宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星
体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本
的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央
星在同一半径为R 的圆轨道上运行；另一种是三颗星位于等边
三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运
行。设每个星体的质量均为m 。
（1）试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期；
（2）假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？
1
、T=21.01；
2、M 1＋M 2＝4π23R 2； 3、B 4、v =GT Gm R 2R 312⎫3，T =4πR ，r =⎛ ⎪R 5Gm ⎝5⎭1
【例】万有引力综合应用
1．如图，A 是地球同步卫星，另一卫星B 的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h ，已知地
球半径为R ，地球自转角速度ω0，地球表面的重力加速度为g ，O 为地球
中心。
（1）求卫星B 的运动周期；
（2）如卫星B 绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A 、B 两卫星相距最
近（O 、B 、A 在同一直线上）则至少经过多长时间，它们再一次相距
最近？
2．一颗在赤道上空飞行的人造地球卫星, 其轨道半径为r =3R (R 为地球半径), 已知地球表面重力
加速度为g , 则：（1）该卫星的运行周期是多大？
（2）若卫星的运动方向与地球自转方向相同, 已知地球自转角速度为ω0, 某一时刻该卫星通过
赤道上某建筑物的正上方, 再经过多少时间它又一次出现在该建筑物正上方？
3．【2014·新课标全国卷Ⅰ】 太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动．当
地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”．据报道，2014年各行星冲日时间分别是：1月6日木星冲日；4月9日火星冲日；5月11日土星冲日；8月29日海王星冲日；10月8日天王星冲日．已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨
半径如下表所
则下列判断正
的是（ ）
A. 各地外行星每年都会出现冲日现象 B. 在2015年内一定会出现木星冲日
C. 天王星相邻两次冲日的时间间隔为土星的一半 D. 地外行星中海王星相邻两次冲日的时间间隔最短
4．某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者，他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫
星，试问，春分那天（太阳光直射赤道）在日落12小时内有多长时间
该观察者看不见此卫星？已知地球半径为R ，地球表面处的重力加速度
为g, 地球自转周期为T ，不考虑大气对光的折射。
道示，确
5．晴天晚上，人能看见卫星的条件是卫星被太阳照着且在人的视野之内。一个可看成漫反射体的
人造地球卫星的圆形轨道与赤道共面，卫星自西向东运动。春分期间太阳垂直射向赤道，赤道上某处的人在日落后8小时时在西边的地平线附近恰能看到它，之后极快地变暗而看不到了。已知地球的半径R 地=6.4×106m ，地面上的重力加速度为g=10m/s2，估算：（答案要求精
确到两位有效数字）
（1）卫星轨道离地面的高度；（2）卫星的速度。
6．宇宙飞船以周期为T 绕地地球作圆周运动时，由于地球遮挡阳光，会经
历“日全食”过程，如图。已知地球的半径为R ，地球质量为M ，引力常
量为G ，地球自转周期T 0，太阳光可看作平行光，宇航员在A 点测出
的张角为α，则（ ）
A. 飞船绕地球运动的线速度为2πR B. 一天内飞船经历“日全食”的次数为T/T0 αT sin()
C. 飞船每次“日全食”过程的时间为aT 0/(2π) D. 飞船周期为
7．【2014·广东卷】如图所示，飞行器P 绕某星球做匀速圆周运动，星球相对飞
行器的张角为θ，下列说法正确的是（ ）
A ．轨道半径越大，周期越长 B．轨道半径越大，速度越大
C ．若测得周期和张角，可得到星球的平均密度
D ．若测得周期和轨道半径，可得到星球的平均密度
8．侦察卫星在通过地球两极上的圆轨道上运行，它的运行轨道距地面高度为h ，要使卫星在一天
的时间内将地面上赤道各处在日照条件的情况下全都拍摄下来，卫星在通过赤道上空时，卫星上的摄像机至少应拍摄地面上赤道圆周的弧长是多少？设地球半径为R ，地面处的重力加速度为g ，地球自转的周期为T 。
9．【2014·全国卷】已知地球的自转周期和半径分别为T 和R ，地球同步卫星A 的圆轨道半径为h ，
卫星B 沿半径为r (r ＜h ) 的圆轨道在地球赤道的正上方运行，其运行方向与地球自转方向相同．求：
(1)卫星B 做圆周运动的周期；
(2)卫星A 和B 连续地不能直接通讯的最长时间间隔(信号传输时间可忽略) ．
10．【2014北京】万有引力定律揭示了天体运行规律与地上物体运动规律具有内在的一致性．
(1)用弹簧秤称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结
果．已知地球质量为M ，自转周期为T ，万有引力常量为G . 将地球视为半径为R 、质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响．设在地球北极地面称量时，弹簧秤的读数是F 0
.
a. 若在北极上空高出地面h 处称量，弹簧秤读数为F 1，求比值的表达式，并就h ＝1.0%R
的情形算出具体数值(计算结果保留两位有效数字) ； F 1F 0
F 2b. 若在赤道地面称量，弹簧秤读数为F 2，求比值 F 0
(2)设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径r 、太阳的半径R s 和地球的半径R 三者均减小为现在的
1.0%，而太阳和地球的密度均匀且不变．仅考虑太阳和地球之间的相互作用，以现实地球的1年为标准，计算“设想地球”的1年将变为多长．
3(R +h ) 1、T B =2π，t =2g R 2πgR 2
(R +h ) 3；T =6π-ω； 2、3R 2π； 3、BD ∆t =g ，1g -ω033R
234
5、h =
6. 4⨯106m 6、AD ； 7、AC ； 8、S =4π(h +R ) T g 2R R F R F r 39、() 2，arcsin T ；10、 a. = 0.98 b ． 1－33h r F F （R ＋h ）00h π（h r 22234πR
GMT ；1年
r 2
天体运动（经典版）
一、开普勒运动定律
1、开普勒第一定律：所有的行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上．
2、开普勒第二定律：对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等．
3、开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等．
二、万有引力定律
1、内容：宇宙间的一切物体都是互相吸引的，两个物体间的引力大小，跟它们的质量的乘积成正
比，跟它们的距离的平方成反比．
2、公式：F ＝G m 1m 2
r 2, 其中G =6. 67⨯10-11N ⋅m 2/kg 2，称为为有引力恒量。
3、适用条件：严格地说公式只适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远远大于物体本身
的大小时，公式也可近似使用，但此时r 应为两物体重心间的距离．
注意：万有引力定律把地面上的运动与天体运动统一起来，是自然界中最普遍的规律之一，式中
引力恒量G 的物理意义：G 在数值上等于质量均为1千克的两个质点相距1米时相互作用的万有引力．
4、万有引力与重力的关系：合力与分力的关系。
三、卫星的受力和绕行参数（角速度、周期与高度）
1、由G
2、由G mM (r +h )mM 2v 2，得
v =h↑，v↓ =m r +h GM
(r +h )
mM 2=mω2（r+h），得ω=r +h 3，∴当h↑，ω↓ 4π24π2(r +h )3=m 2(r +h )，得T=3、由G ∴当h↑，T↑ 2GM T r +h 注：（1）卫星进入轨道前加速过程，卫星上物体超重．
（2）卫星进入轨道后正常运转时，卫星上物体完全失重．
4、三种宇宙速度
（1）第一宇宙速度（环绕速度）：v 1=7.9km/s，人造地球卫星的最小发射速度。也是人造卫星绕
地球做匀速圆周运动的最大速度。
计算：在地面附近物体的重力近似地等于地球对物体的万有引力，重力就是卫星做圆周运
v 12动的向心力．mg =m ．当r ＞＞h 时．g h ≈g 所以v 1＝gr =7．9×103m/s r +h 第一宇宙速度是在地面附近（h ＜＜r ），卫星绕地球做匀速圆周运动的最大速度．
（2）第二宇宙速度（脱离速度）：v 2=11.2km/s，使卫星挣脱地球引力束缚的最小发射速度．
（3）第三宇宙速度（逃逸速度）：v 3=16.7km/s，使卫星挣脱太阳引力束缚的最小发射速度．
四、两种常见的卫星
1、近地卫星
近地卫星的轨道半径r 可以近似地认为等于地球半径R ，其线速度大小为v 1=7.9×103m/s；其周期为T =5.06×103s=84min。期。
神舟号飞船的运行轨道离地面的高度为340km ，线速度约7.6km/s，周期约90min 。
2、同步卫星
“同步”的含义就是和地球保持相对静止，所以其周期等于地球自转周期，即T =24h。由式G mM
r +h 22GMT 4π2v 27=m= m2（r+h）可得，同步卫星离地面高度为 h ＝－r ＝3·58×10 m 即2r +h 4πT
其轨道半径是唯一确定的离地面的高度h =3.6×104km 转方向必须跟地球自转方向一致即由西向东。同步卫星的线速度 v=GM =3.07×103m/s r +h
通讯卫星可以实现全球的电视转播，一般通讯卫星都是地球同步卫星。
五、人造天体在运动过程中的能量关系
1、卫星动能：E K =GMm 2r
2、卫星势能：E P =-GMm （以无穷远处引力势能为零，M 为地球质量，m 为卫星质量，r 为卫星r
GMm 2r 轨道半径。由于从无穷远向地球移动过程中万有引力做正功，所以系统势能减小，为负。） 3、卫星机械能：E =-
越大，即离地面越高，卫星具有的机械能越大，发射越困难。
【例】开普勒第三定律及其应用
1．飞船沿半径为R 的圆周绕地球运动，如图所示，其周期为T ，如果飞船要返回地面，可在轨道
上某一点A 处将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的
椭圆轨道运行，椭圆和地球表面相切于B 点，设地球半径为R 0，问飞船
从A 点返回到地面上B 点所需时间为多少？
2．【2013江苏】火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知（ ）
A ．太阳位于木星运行轨道的中心 B ．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等
C ．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方
3B ．公式中的T 表示行星自转的周期
C ．式中的k 值，对所有行星（或卫星）都相等
D ．式中的k 值，对围绕同一中心天体运行的行星（或卫星）都相同
4．【2014浙江卷】长期以来“卡戎星(Charon)”被认为是冥王星唯一的卫星，它的公转轨道半径
r 1＝19 600 km，公转周期T 1＝6.39天.2006年3月，天文学家新发现两颗冥王星的小卫星，
其中一颗的公转轨道半径r 2＝48 000 km，则它的公转周期T 2最接近于（ ）
A ．15天 B．25天
C．35天 D．45天
2、C ； 3、D ； 4、B 1
【例】计算中心天体的质量、密度
1．已知万有引力常量G ，地球半径R ，月球和地球之间的距离r ，同步卫星距地面的高度h ，月球
绕地球的运转周期T 1，地球的自转周期T 2，地球表面的重力加速度g 。某同学根据以上条件，
23⎛⎫4πh Mm 2π提出一种估算地球质量M 的方法：同步卫星绕地球作圆周运动，由G 2=m ⎪h 得M = T ⎪h GT 22⎝2⎭2
⑴判断以上结果是否正确，并说明理由。如不正确，给出正确的解法和结果。
⑵请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果。
2．宇航员站在某一星球表面某高处，沿水平方向抛出一小球。经过时间t ，小球落到星球表面，
测得抛出点与落地点之间的距离为L 。若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为3L 。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R ，万有引力常数为G 。求该星球质量M 。
3．2003年10月16日北京时间6时34分，中国首次载人航天飞行任务获得圆满成功。据报道，
中国首位航天员杨利伟乘坐的“神舟”五号载人飞船，于北京时间十月十五日九时，在酒泉卫星发射中心用“长征二号F ”型运载火箭发射升空。此后，飞船按照预定轨道环绕地球十四圈，在太空飞行约二十一小时，若其运动可近似认为是匀速圆周运动，飞船距地面高度约为340千米，已知万有引力常量为G=6.67×10－11牛·米2/千克2，地球半径约为6400千米，且地球可视为均匀球体，则试根据以上条件估算地球的密度。（结果保留1位有效数学）
4．中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。现有一中子星，观测到它的自转周期
为T =1/30s。问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星的稳定，不致因自转而瓦解。计算时星体可视为均匀球体。(引力常数G =6.67⨯10-11m 3/kg.s2)
5．【2014·新课标Ⅱ卷】假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的
大小为g 0，在赤道的大小为g ；地球自转的周期为T ，引力常量为G . 地球的密度为（ ） 3πg 0－g 3πg 3π3πg A. GT g B. GT C. GT D. GT g g 0－g 0
1、略；2
、M 3π3π(R +h ) 314333；3、ρ= 4、； 5、B ρ==1. 27⨯10kg /m =6⨯10kg m 2GT GT 2R 3
【例】卫星运动和宇宙速度
1．(卫星轨道）如图所示的三个人造地球卫星，下列说法正确的是（ ）
①卫星可能的轨道为a 、b 、c ②卫星可能的轨道为a 、c
③同步卫星可能的轨道为a 、c ④同步卫星可能的轨道为a
A ．①③是对的 B．①④是对的 C．②③是对的 D．②④是对的
2．（环绕参数）【2013上海】小行星绕恒星运动，恒星均匀地向四周辐射能量，质量缓慢减小，
可认为小行星在绕恒星运动一周的过程中近似做圆周运动。则经过足够长的时间后，小行星运动的（ ）
A ．半径变大 B ．速率变大 C ．角速度变大 D ．加速度变大
3．2007年10月24日，我国发射的“嫦娥一号”探月卫星简化后的路线示意图如图，卫星由地面
发射后经过发射轨道进入停泊轨道，然后在停泊轨道经过调速后进入地月转移轨道，再次调速后进入工作轨道，卫星开始对月球进行探测。已知地球与月球的质量之比为a ，卫星的停泊轨道与工作轨道的半径之比为b ，卫星在停泊轨道和工作轨道上均可
视为做匀速圆周运动，则卫星（ ）
A ．在停泊轨道和工作轨道运行的速度之比为
B ．在停泊轨道和工作轨道运行的周期之比为b a b 3
a
C ．在停泊轨道运行的速度大于地球的第一宇宙速度
D ．从停泊轨道进入到地月转移轨道，卫星必须加速
4．发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，
最后再次点火，将卫星送入同步轨道3。轨道1、2相切于Q 点，轨道2、3相切于P 点(如图) ，则卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的（ ）
A ．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率
B ．卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度
C ．卫星在轨道1上经过Q 点时的速率小于它在2上经过Q 点的速率
D ．卫星在轨道2上经过P 点时的加速度等于它在3上经过P 点的加速
度
5．月球绕地球做匀速圆周运动的向心加速度大小为a ，设月球表面的重力加速度大小为g 1，在月
，则（ ）
A ． g 1=g 2=a B ．g 2=a ≠g 1 C D ．g 1+a =g 2 6．（同步卫星）在地球（看作质量均匀的球体）上空有许多同步卫星，下面说法中正确的是（ ）
A ．它们的质量可能不同
C ．它们的向心加速度可能不同 B ．它们的速度可能不同 D ．它们离地心的距离可能不同
7．【2014天津】研究表明，地球自转在逐渐变慢，3亿年前地球自转的周期约为22小时．假设这
种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比（ ）
A ．距地面的高度变大 B ．向心加速度变大 C ．线速度变大 D ．角速度变大
8．【2013四川】太阳系外行星大多不适宜人类居住，绕恒星“Glicsc581”运行的行星“Gl-581c ”
却很值得我们期待。该行星的温度在0℃到40℃之间，质量是地球的6倍，直径是地球的1.5倍、公转周期为13个地球日。“Glicsc581”的质量是太阳质量的0.31倍。设该行星与地球均视为质量分布均匀的球体，绕其中心天体做匀速圆周运动，则（ ）
A ．在该行星和地球上发射卫星的第一宇宙速度相同
B ．如果人到了该行星，其体重是地球上的22倍 3
C ．该行星与“Glicsc581”的距离是日地距离的13倍 365
D ．由于该行星公转速率比地球大，地球上的米尺如果被带上该行星，其长度一定会变短
1、D 2、A 3、BD 4、BCD 5、B 6、A 7、A 8、B
【例】双星（多星）系统
1．如图，质量分别为m 和M 的两个星球A 和B 在彼此的引力作用下都绕O 点做匀速周运动，
星球A 和B 两者中心之间距离为L 。已知A 、B 的中心和O 三点始终共线，A 和B 分别在O 的两侧。引力常数为G 。（1）求两星球做圆周运动的周期。
（2）在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A 和B ，月球
绕其轨道中心运行为的周期记为T 1。但在近似处理问题时，常常认为
月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期T 2。已知地球和月
球的质量分别为5.98×1024kg 和 7.35 ×1022kg 。求T 2与T 1两者平方之
比。（结果保留3位小数）
2．两个星球组成双星，它们只在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆
周运动。现测得两星中心距离为R ，其运动周期为T ，求两星的总质量。
3. 【2013山东】双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某
一点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T, ，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k 倍，两星之间的距离变为原来的n 倍，则此时圆周运动的周期为（ ）
A
B
T C．
D．
T 4．宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星
体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本
的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央
星在同一半径为R 的圆轨道上运行；另一种是三颗星位于等边
三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运
行。设每个星体的质量均为m 。
（1）试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期；
（2）假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？
1
、T=21.01；
2、M 1＋M 2＝4π23R 2； 3、B 4、v =GT Gm R 2R 312⎫3，T =4πR ，r =⎛ ⎪R 5Gm ⎝5⎭1
【例】万有引力综合应用
1．如图，A 是地球同步卫星，另一卫星B 的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h ，已知地
球半径为R ，地球自转角速度ω0，地球表面的重力加速度为g ，O 为地球
中心。
（1）求卫星B 的运动周期；
（2）如卫星B 绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A 、B 两卫星相距最
近（O 、B 、A 在同一直线上）则至少经过多长时间，它们再一次相距
最近？
2．一颗在赤道上空飞行的人造地球卫星, 其轨道半径为r =3R (R 为地球半径), 已知地球表面重力
加速度为g , 则：（1）该卫星的运行周期是多大？
（2）若卫星的运动方向与地球自转方向相同, 已知地球自转角速度为ω0, 某一时刻该卫星通过
赤道上某建筑物的正上方, 再经过多少时间它又一次出现在该建筑物正上方？
3．【2014·新课标全国卷Ⅰ】 太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动．当
地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”．据报道，2014年各行星冲日时间分别是：1月6日木星冲日；4月9日火星冲日；5月11日土星冲日；8月29日海王星冲日；10月8日天王星冲日．已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨
半径如下表所
则下列判断正
的是（ ）
A. 各地外行星每年都会出现冲日现象 B. 在2015年内一定会出现木星冲日
C. 天王星相邻两次冲日的时间间隔为土星的一半 D. 地外行星中海王星相邻两次冲日的时间间隔最短
4．某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者，他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫
星，试问，春分那天（太阳光直射赤道）在日落12小时内有多长时间
该观察者看不见此卫星？已知地球半径为R ，地球表面处的重力加速度
为g, 地球自转周期为T ，不考虑大气对光的折射。
道示，确
5．晴天晚上，人能看见卫星的条件是卫星被太阳照着且在人的视野之内。一个可看成漫反射体的
人造地球卫星的圆形轨道与赤道共面，卫星自西向东运动。春分期间太阳垂直射向赤道，赤道上某处的人在日落后8小时时在西边的地平线附近恰能看到它，之后极快地变暗而看不到了。已知地球的半径R 地=6.4×106m ，地面上的重力加速度为g=10m/s2，估算：（答案要求精
确到两位有效数字）
（1）卫星轨道离地面的高度；（2）卫星的速度。
6．宇宙飞船以周期为T 绕地地球作圆周运动时，由于地球遮挡阳光，会经
历“日全食”过程，如图。已知地球的半径为R ，地球质量为M ，引力常
量为G ，地球自转周期T 0，太阳光可看作平行光，宇航员在A 点测出
的张角为α，则（ ）
A. 飞船绕地球运动的线速度为2πR B. 一天内飞船经历“日全食”的次数为T/T0 αT sin()
C. 飞船每次“日全食”过程的时间为aT 0/(2π) D. 飞船周期为
7．【2014·广东卷】如图所示，飞行器P 绕某星球做匀速圆周运动，星球相对飞
行器的张角为θ，下列说法正确的是（ ）
A ．轨道半径越大，周期越长 B．轨道半径越大，速度越大
C ．若测得周期和张角，可得到星球的平均密度
D ．若测得周期和轨道半径，可得到星球的平均密度
8．侦察卫星在通过地球两极上的圆轨道上运行，它的运行轨道距地面高度为h ，要使卫星在一天
的时间内将地面上赤道各处在日照条件的情况下全都拍摄下来，卫星在通过赤道上空时，卫星上的摄像机至少应拍摄地面上赤道圆周的弧长是多少？设地球半径为R ，地面处的重力加速度为g ，地球自转的周期为T 。
9．【2014·全国卷】已知地球的自转周期和半径分别为T 和R ，地球同步卫星A 的圆轨道半径为h ，
卫星B 沿半径为r (r ＜h ) 的圆轨道在地球赤道的正上方运行，其运行方向与地球自转方向相同．求：
(1)卫星B 做圆周运动的周期；
(2)卫星A 和B 连续地不能直接通讯的最长时间间隔(信号传输时间可忽略) ．
10．【2014北京】万有引力定律揭示了天体运行规律与地上物体运动规律具有内在的一致性．
(1)用弹簧秤称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结
果．已知地球质量为M ，自转周期为T ，万有引力常量为G . 将地球视为半径为R 、质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响．设在地球北极地面称量时，弹簧秤的读数是F 0
.
a. 若在北极上空高出地面h 处称量，弹簧秤读数为F 1，求比值的表达式，并就h ＝1.0%R
的情形算出具体数值(计算结果保留两位有效数字) ； F 1F 0
F 2b. 若在赤道地面称量，弹簧秤读数为F 2，求比值 F 0
(2)设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径r 、太阳的半径R s 和地球的半径R 三者均减小为现在的
1.0%，而太阳和地球的密度均匀且不变．仅考虑太阳和地球之间的相互作用，以现实地球的1年为标准，计算“设想地球”的1年将变为多长．
3(R +h ) 1、T B =2π，t =2g R 2πgR 2
(R +h ) 3；T =6π-ω； 2、3R 2π； 3、BD ∆t =g ，1g -ω033R
234
5、h =
6. 4⨯106m 6、AD ； 7、AC ； 8、S =4π(h +R ) T g 2R R F R F r 39、() 2，arcsin T ；10、 a. = 0.98 b ． 1－33h r F F （R ＋h ）00h π（h r 22234πR
GMT ；1年
r 2