北京市朝阳区九年级综合练习（二）
数 学 试 卷 2016.6
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．2015年6月国家主席习大大和比利时国王菲利普，在人民大会堂共同见证了两国公司在 集成电路方面进行合作研发的签约仪式，两国将共同着力研发14纳米量产技术，这标志 着我国芯片制造能力将进入国际顶尖水平．14纳米为0.000 000 014米，将0.000 000 014 用科学记数法表示应为
A ．0.14⨯10 B ．1.4⨯10 C ．0.014⨯10 D ．14⨯10 2．如图，在单位长度为1的数轴上，点A 、B 表示的两个数互为相反数，那么点A 表示的 数是
A ．2 B ．-2 C ． 3 D ．-3 3．在中国有很多吉祥的图案深受大家喜爱，人们会用这些图案来装饰生活，祈求平安． 比如下列图案分别表示“福”、“禄”、“寿”、“喜”，其中是轴对称图形，不是中心 ．．． 对称图形的为
-7
-8
-6
-9
A B C D
4．一个袋子中只装有黑、白两种颜色的球，这些球的形状、质地等完全相同，其中白色球有2个， 黑色球有n 个．在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子 中并摇匀．同学们进行了大量重复试验，发现摸出白球的频率稳定在0.4附近，则n 的值为 A ．2
B ．3 C ．4 D ．5
5．如图，螺母的一个面的外沿可以看作是正六边形，这个正六边形ABCDEF
的半径是， 则这个正六边形的周长是
A
． B ．12 cm C
．
D ．36 cm
第5题图
第6题图
第7题图
6．某篮球队12名队员的年龄统计如图所示，则该队队员年龄的众数和中位数分别是
A ．16，15 B ．15，15.5 C ．15，17 D ．15，16 7．一艘海上搜救船借助雷达探测仪寻找到事故船的位置，雷达示意图如图所示，搜救船位于图中 圆心O 处，事故船位于距O 点40海里的A 处，雷达操作员要用方位角把事故船相对于搜救船 ．．． 的位置汇报给船长，以便调整航向，下列四种表述方式中正确的为
A ．事故船在搜救船的北偏东60°方向 B ．事故船在搜救船的北偏东30°方向 C ．事故船在搜救船的北偏西60°方向 D ．事故船在搜救船的南偏东30°方向
8．现有A 、B 两种商品，买3件A 商品和2件B 商品用了160元，买2件A 商品和3件B 商品用 了190元．如果准备购买A 、B 两种商品共10件，下列方案中费用最低的为 A ．A 商品7件和B 商品3件 B ．A 商品6件和B 商品4件 C ．A 商品5件和B 商品5件 D ．A 商品4件和B 商品6件
9．把图1所示的正方体的展开图围成正方体（文字露在外面），再将这个正方体按照图2，依次 翻滚到第1格，第2格，第 3格，第4格，此时正方体朝上一面的文字为 ．．
A ．富 B ．强 C ．文 D ．民
图2 第10题图 第9题图
10．如图，∆ABC 为等边三角形，点O 在过点A 且平行于BC 的直线上运动，以∆A B C 的高为半
图1
径的⊙O 分别交线段AB 、AC 于点E 、F ，则
所对的圆周角的度数
A ．从0︒到30︒变化 B ．从30︒到60︒变化 C ．总等于30︒ D ．总等于60︒
二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．分解因式：3a -12=________． 12．函数y =2x +
2
1
的自变量x 的取值范围是________． x +1
13．请写出一个开口向下，并且与y 轴交于点（0，2）的抛物线的表达式，y =________． 14．将一元二次方程x -6x +5=0化成(x -a ) 2=b 的形式，
则ab =________．
15．如图，在⊙O 中，AB 为⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，
若OB 的长为10，sin ∠BOD =
2
4
， 则AB 的长为________． 5
16．在数学活动课上，老师说有人根据如下的证明过程，得到“1=2”的结论．
大家经过认真讨论，发现上述证明过程中从某一步开始出现错误，这一步是________ （填入编号），造成错误的原因是________．
三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）
17
|-5|-() -1-2tan60︒．
12
⎧2x +y =1，
18．解方程组⎨
⎩x -y =2．
19．已知a 2-2a -2=0，求代数式
2a -1
÷的值． a 2-1a +1
20．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC = 90º，AD 是BC 边上的中线， ED ⊥BC 于D ，交BA 延长
线于点E ，若∠E =35°，
E
求∠BDA 的度数．
B
21．每年的4月23日，是“世界读书日”．据统计，“幸福家园小区”1号楼的住户一年内共阅
读纸质图书460本，2号楼的住户一年内共阅读纸质图书184本，1号楼住户的人数比2号楼住户人数的2倍多20人，且两栋楼的住户一年内人均阅读纸质图书的数量相同．求这两栋楼的住户一年内人均阅读纸质图书的数量是多少本？
22．如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，∠B = 90º， F 为DC 上一点，且FC
= AB ，E 为AD 上一点，EC 交AF 于点G ． （1）求证：四边形ABCF 是矩形； （2）若ED = EC ，求证：EA = EG ．
23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数y =
4
的图象 x
与正比例函数y =kx 的图象的一个交点为M （1，b ）． （1）求正比例函数y =kx 的表达式；
（2）若点N 在直线OM 上，且满足MN=2OM ， 直接写出点N 的坐标．
24．如图，O 是∠MAN 的边AN 上一点，以OA 为半径作⊙O ，交∠MAN 的平分线于点D ，
DE ⊥AM 于E ．
（1）求证：DE 是⊙O 的切线；
（2）连接OE ，若∠EDA =30º，AE =1，求OE 的长．
25．为弘扬中国传统文化，2016年4月30日“北京戏曲文化周”在北京园博园开始举行，活动
期间开展了丰富多样的戏曲文化互动体验活动，同时也推出了好戏连台园博看大戏的活动，主办方统计了前几天观看戏剧情况的部分相关数据，绘制统计图表如下：
图1
（1）m =_______；
（2）若5月3日当天看豫剧的人数为93人，请你补全图1；
（3）请你根据前四天接待观众人数，估计“北京戏曲文化周”活动在5月4日接待观众约为 ________人．5月4日的戏曲活动，分别演出 “京剧”、“北京曲剧”、“沪剧”、
“秦腔”、“粤剧”． 通过对100名观众的调查发现， 有12人喜欢“沪剧”，5人喜 欢“秦腔”，8人喜欢“粤剧”．主办方希望把“沪剧”、“秦腔”、“粤剧”三种戏 剧安排到以下五个园（如下表）中的三个园进行演出．请你结合下表为这三种戏剧选择 合适的演出地点，并说明理由．
前四天每天接待的观众人数统计图
5月3日观看各种戏剧人数分布统计图
图2
26．（1）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y =
1
x +3与抛物线y = x 2相交于点A 、B ， 2
与x 轴交于点C ，A 点横坐标为x 1，B 点横坐标为x 2（x 1
111
+与的值，并判断它们的数量关系． x 1x 2x 3
（2
条件中选择一组，证明．．．．
111
+与仍具有（1）中的数量关系． x 1x 2x 3
①如图，∠APC =120º，PB 平分∠APC ，直线l 与P A 、PB 、PC 分别交于点A 、B 、C ， P A =x 1，PC =x 2，PB =x 3．
A
C
P
l
②如图，在平面直角坐标系xOy 中，过点A (x 1，0) 、B (0，x 2) 作直线l ，与直线y =x 交于 点C ，点C 横坐标为x 3．
y x 2
B
A
x 3
x 1
l
27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =-2x 2+(m +9) x -6的对称轴是x =2．
（1）求抛物线表达式和顶点坐标；
（2）将该抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与原抛物线相交于点A ，求点A 的坐标； （3）抛物线y =-2x 2+(m +9) x -6与y 轴交于点C ，点A 关于平移后抛物线的对称轴的
对称点为点B ，两条抛物线在点A 、C 和点A 、B 之间的部分（包含点A 、B 、C ） 记 为图象M ．将直线y =2x -2向下平移b （b >0）个单位，在平移过程中直线与图象M 始终有两个公共点，请你写出b 的取值范围_________．
28．在∆ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，BE 、CD 相交于点O ，且∠DC B =∠EBC =
（1）如图1，若AB =AC ，则BD 与CE 的数量关系是______________；
1
∠A ．2
（2）如图2，若AB ≠AC ，请你补全图2，思考BD 与CE 是否仍然具有（1）中的数量关系， 并说明理由；
（3）如图3，∠BDC =105︒，BD = 3，且BE 平分∠ABC ，请写出求BE 长的思路． （不用写出计算结果）
图1
图2
图3
29．P 是⊙O 内一点，过点P 作⊙O 的任意一条弦AB ，我们把PA ⋅PB 的值称为点P 关于⊙O 的
“幂值”．
（1）⊙O 的半径为5，OP = 3．
①如图1，若点P 恰为弦AB 的中点，则点P 关于⊙O 的“幂值”为________； ②判断当弦AB 的位置改变时，点P 关于⊙O 的“幂值”是否为定值，若是定值，证明你的结论；若不是定值，求点P 关于⊙O 的“幂值”的取值范围．
（2）若⊙O 的半径为r ，OP = d ，请参考（1）的思路，用含r 、d 的式子表示点P 关于⊙O 的“幂值”或“幂值”的取值范围________；
（3）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为4，
若在直线y =
x +b 上存在点P ，使得 点P 关于⊙O 的“幂值”为13，请写出b 的取值范围________．
北京市朝阳区九年级综合练习（二）
数学试卷评分标准及参考答案 2016.6
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分， 第29题8分）
17．解：原式=5-2- …………………………………………………………4分 =3．…………………………………………………………………5
分
⎧2x +y =1, ①
18．解：⎨
x -y =2. ② ⎩
①+②，得3x =3，
x =1．………………………………………………………2分 把x =1代入②，得1-y =2，
y =-1．……………………………………………………4 所以这个方程组的解是⎨19．解：原式= =
分
⎧x =1,
…………………………………………………5分
⎩y =-1.
a +1
……………………………………………………1分
a +1a -1a -1
⋅
2
2
2
(a -1)
……………………………………………………………………3分
=
2
．
a 2-2a +1
2
∵a -2a -2=0，
∴a -2a =2．……………………………………………………………4分 ∴ 原式=
2
2
．………………………………………………………………5分 3
20．解：∵ED ⊥BC ，∠E =35︒，
∴∠B =55︒． …………………………………………1分
∵在Rt △ABC 中，∠BAC = 90º，AD 是BC 边上的中线， ∴AD =BD ． …………………………………………3分
∴∠BAD =∠B =55︒ ．………………………………4分
E B
∴∠BDA =70︒．…………………………………………………………………5分
21．解：设这两栋楼的住户一年内人均阅读纸质图书的数量为x 本．……………………1分 由题意，得
4602⨯184
=+20． …………………………………………3分 x x
解得 x =4.6． ……………………………………………………4分 经检验，x =4.6是原方程的解，且符合题意．……………………………5分 答：这两栋楼的住户一年内人均阅读纸质图书的数量为4.6本． 22．证明：（1）∵AB ∥DC ，FC=AB，
∴四边形A B C F 是平行四边形．…………………………………………1分
∵∠B =90︒，
∴四边形A B C F 是矩形．…………………………………………………2分
（2）由（1）可得，∠AFC =90︒，
∴∠DAF =90︒-∠D ，∠CGF =90︒-∠ECD ． ………………3分 ∵ED =EC ，
∴∠D =∠ECD ．…………………………4分 ∴∠DAF =∠CGF ．
∵∠EGA =∠CGF ， ∴∠EAG =∠EGA ．
∴EA =EG ．………………………………………………………5分 23．解：（1）∵双曲线y =
4
过点M （1，b ）， x
∴b =4．……………………………………………………………………1分 ∵正比例函数y =kx 的图象过点M （1，4），
∴k =4．……………………………………………………………………2分 ∴正比例函数的表达式为y =4x ．………………………………………3分 （2）（-1，-4），（3，12）． …………………………………………………5分
24．（1）证明：连接OD ．
∵AD 平分∠MAN ， ∴∠EAD =∠OAD ． ∵OA =OD ， ∴∠ODA =∠OAD ．
∴∠EAD =∠ODA ．……………………………1分 ∵DE ⊥AM 于E ， ∴∠AED =90︒． ∴∠EAD +∠EDA =90︒， ∴∠ODA +∠EDA =90︒．
∴OD ⊥ED ．
∴DE 是⊙O 的切线． ………………2分 （2）解：∵∠EDA =30︒，
∴∠ODA =60︒． ∵OA =OD ，
∴△ADO 为等边三角形．…………………………………………………3分
在Rt △AED 中，AE =1，可得AD =
2，ED =．………………4分 ∴OD =AD =2．
在Rt △ODE 中，由勾股定理可
得OE ． ………………………5分
25．解：（1）41． ……………………………………………………………………… ……1分 （2）补全图1，如图所示． ……………………………………………… ………2分
前四天每天接待的观众人数统计图
图1
（3）801； ………………………………………………………………3分
答：预计观看“沪剧”、“秦腔”、“粤剧”的人数分别约为96、40、64，…………4分
所以演出应分别安排在江苏园、福建园、岭南园．………………………………5分
11
26．（1）解： 由题意可得x = ∵x 1
2
1
x +3． 2
3
，x 2=2． …………………………………………………1分 2111
∴+=-．
x 1x 26
1
∵直线y =x +3与x 轴交于点C ，C 点横坐标为x 3，
2
∴x 3=-6．………………………………………………………………2分
11
∴=-．
x 36111
∴．…………………………………………………………3分 +=
x 1x 2x 3
∴x 1=-
（2）①证明：如图，过点B 作BE ∥PA 交PC 于点E ．
∴△BEC ∽△APC ．…………………………………………………4分 由PB 平分∠APC ，∠APC =120︒，可得△PBE 是等边三角形．
∴BE =PE =PB =x 3．
∴EC =x 2-x 3．
BE EC
=， AP PC x x -x 3
∴3=2．
x 1x 2
∴x 2x 3+x 1x 3=x 1x 2． l
111
∴．…………………………………………………………5分 +=
x 1x 2x 3
∵
②解：过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，CE ⊥y 轴于点E ．
∵点C 在直线y =x 上，且横坐标为x 3， ∴点C (x 3，x 3) ．
∴CE =CD =x 3．……………………………4分 ∵S ∆BOC +S ∆AOC =S ∆AOB ，
y x 2E B
A 3x 1
x
111
∴x 2x 3+x 1x 3=x 1x 2． 222
∴
l
111
+=．…………………………………………………………5分 x 1x 2x 3
12
27．解：（1）∵抛物线y =-2x 2+(m +9)x -6的对称轴是x =2，
m +9
=2．
2⨯(-2)
∴m =-1． ……………………………………………………………1分
∴-
2
∴抛物线的表达式为y =-2x +8x -6．…………………………………2分
∴y =-2(x -2) 2+2．
∴顶点坐标为（2，2）．………………………………………………3分 （2）由题意得，平移后抛物线表达式为 y =-2(x -3)+2……………………4分 ∵-2(x -2)=-2(x -3)，
2
2
2
5
． 253
∴A （，）．………………………5分
227
（3）0
2
28．（1）BD =CE ；………………………………………1分
∴x =
（2）补全图形．………………………………………2分
证明：如图2，在BE 上截取BF =CD ，连接CF ．
∵∠DCB =∠EBC =
1
∠A ， 2
∴△DCB ≌△FBC ．………………………3分 ∴BD =CF ，∠FCB =∠DBC ．
图
2 ∴∠CFE =∠FBC +∠FCB =2∠FBC +∠ABE ．
∵∠CEF =∠A +∠ABE ．
∴∠CFE =∠CEF ．………………………………………………………4分 ∴CF =CE ．
∴BD =CE ．………………………………………………………5分
A
（3）求解思路如下：
a ．如图3，过点E 作EM ⊥BC 于M ； b ．由BE 平分∠ABC ，可得∠ABC =∠A ； c ．由∠BDC =105︒，可得∠EBC =25︒，
B
D
E
图3
∠A =50︒，∠ACB =80︒；………………………………………………………6分 d ．由（2）知CE =BD =3，在Rt △CEM 中，可求EM 的长度；
M
C
e ．在Rt △BEM 中，由∠EBM 的度数和的EM 的长度，可求BE 的长度．…7分
13
29．（1）①16．………………………………………………………………………………1分
②当弦AB 的位置改变时，点P 关于⊙O 的“幂值”为定值．………………2分 证明：如图，AB 为⊙O 中过点P 的任意一条弦，且不与OP 垂直． 过点P 作⊙O 的弦A ' B ' ⊥OP ，连接AA ' 、BB ' ． ∵在⊙O 中，∠AA ' P =∠B ' BP ，∠APA ' =∠BPB ' ，
∴△APA ' ∽△B ' P B ．…………………………………………………3分
∴
PA PA '
=． PB ' PB
∴PA ⋅PB =PA ' ⋅PB ' ．…………………………4分
∵OP ⊥A ' B ' ，OP =3，⊙O 半径为5． ∴A ' P =B ' P =4．
∴PA ⋅PB =16．…………………………………………………………5分 ∴当弦AB 的位置改变时，点P 关于⊙O 的“幂值”为定值．
（2）r -d ． …………………………………………………………………………6分 （3）-2≤b ≤2． …………………………………………………………………8分
说明：各解答题的其他正确解法请参照以上标准给分.
2
2
14
北京市朝阳区九年级综合练习（二）
数 学 试 卷 2016.6
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．2015年6月国家主席习大大和比利时国王菲利普，在人民大会堂共同见证了两国公司在 集成电路方面进行合作研发的签约仪式，两国将共同着力研发14纳米量产技术，这标志 着我国芯片制造能力将进入国际顶尖水平．14纳米为0.000 000 014米，将0.000 000 014 用科学记数法表示应为
A ．0.14⨯10 B ．1.4⨯10 C ．0.014⨯10 D ．14⨯10 2．如图，在单位长度为1的数轴上，点A 、B 表示的两个数互为相反数，那么点A 表示的 数是
A ．2 B ．-2 C ． 3 D ．-3 3．在中国有很多吉祥的图案深受大家喜爱，人们会用这些图案来装饰生活，祈求平安． 比如下列图案分别表示“福”、“禄”、“寿”、“喜”，其中是轴对称图形，不是中心 ．．． 对称图形的为
-7
-8
-6
-9
A B C D
4．一个袋子中只装有黑、白两种颜色的球，这些球的形状、质地等完全相同，其中白色球有2个， 黑色球有n 个．在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子 中并摇匀．同学们进行了大量重复试验，发现摸出白球的频率稳定在0.4附近，则n 的值为 A ．2
B ．3 C ．4 D ．5
5．如图，螺母的一个面的外沿可以看作是正六边形，这个正六边形ABCDEF
的半径是， 则这个正六边形的周长是
A
． B ．12 cm C
．
D ．36 cm
第5题图
第6题图
第7题图
6．某篮球队12名队员的年龄统计如图所示，则该队队员年龄的众数和中位数分别是
A ．16，15 B ．15，15.5 C ．15，17 D ．15，16 7．一艘海上搜救船借助雷达探测仪寻找到事故船的位置，雷达示意图如图所示，搜救船位于图中 圆心O 处，事故船位于距O 点40海里的A 处，雷达操作员要用方位角把事故船相对于搜救船 ．．． 的位置汇报给船长，以便调整航向，下列四种表述方式中正确的为
A ．事故船在搜救船的北偏东60°方向 B ．事故船在搜救船的北偏东30°方向 C ．事故船在搜救船的北偏西60°方向 D ．事故船在搜救船的南偏东30°方向
8．现有A 、B 两种商品，买3件A 商品和2件B 商品用了160元，买2件A 商品和3件B 商品用 了190元．如果准备购买A 、B 两种商品共10件，下列方案中费用最低的为 A ．A 商品7件和B 商品3件 B ．A 商品6件和B 商品4件 C ．A 商品5件和B 商品5件 D ．A 商品4件和B 商品6件
9．把图1所示的正方体的展开图围成正方体（文字露在外面），再将这个正方体按照图2，依次 翻滚到第1格，第2格，第 3格，第4格，此时正方体朝上一面的文字为 ．．
A ．富 B ．强 C ．文 D ．民
图2 第10题图 第9题图
10．如图，∆ABC 为等边三角形，点O 在过点A 且平行于BC 的直线上运动，以∆A B C 的高为半
图1
径的⊙O 分别交线段AB 、AC 于点E 、F ，则
所对的圆周角的度数
A ．从0︒到30︒变化 B ．从30︒到60︒变化 C ．总等于30︒ D ．总等于60︒
二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．分解因式：3a -12=________． 12．函数y =2x +
2
1
的自变量x 的取值范围是________． x +1
13．请写出一个开口向下，并且与y 轴交于点（0，2）的抛物线的表达式，y =________． 14．将一元二次方程x -6x +5=0化成(x -a ) 2=b 的形式，
则ab =________．
15．如图，在⊙O 中，AB 为⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，
若OB 的长为10，sin ∠BOD =
2
4
， 则AB 的长为________． 5
16．在数学活动课上，老师说有人根据如下的证明过程，得到“1=2”的结论．
大家经过认真讨论，发现上述证明过程中从某一步开始出现错误，这一步是________ （填入编号），造成错误的原因是________．
三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）
17
|-5|-() -1-2tan60︒．
12
⎧2x +y =1，
18．解方程组⎨
⎩x -y =2．
19．已知a 2-2a -2=0，求代数式
2a -1
÷的值． a 2-1a +1
20．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC = 90º，AD 是BC 边上的中线， ED ⊥BC 于D ，交BA 延长
线于点E ，若∠E =35°，
E
求∠BDA 的度数．
B
21．每年的4月23日，是“世界读书日”．据统计，“幸福家园小区”1号楼的住户一年内共阅
读纸质图书460本，2号楼的住户一年内共阅读纸质图书184本，1号楼住户的人数比2号楼住户人数的2倍多20人，且两栋楼的住户一年内人均阅读纸质图书的数量相同．求这两栋楼的住户一年内人均阅读纸质图书的数量是多少本？
22．如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，∠B = 90º， F 为DC 上一点，且FC
= AB ，E 为AD 上一点，EC 交AF 于点G ． （1）求证：四边形ABCF 是矩形； （2）若ED = EC ，求证：EA = EG ．
23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数y =
4
的图象 x
与正比例函数y =kx 的图象的一个交点为M （1，b ）． （1）求正比例函数y =kx 的表达式；
（2）若点N 在直线OM 上，且满足MN=2OM ， 直接写出点N 的坐标．
24．如图，O 是∠MAN 的边AN 上一点，以OA 为半径作⊙O ，交∠MAN 的平分线于点D ，
DE ⊥AM 于E ．
（1）求证：DE 是⊙O 的切线；
（2）连接OE ，若∠EDA =30º，AE =1，求OE 的长．
25．为弘扬中国传统文化，2016年4月30日“北京戏曲文化周”在北京园博园开始举行，活动
期间开展了丰富多样的戏曲文化互动体验活动，同时也推出了好戏连台园博看大戏的活动，主办方统计了前几天观看戏剧情况的部分相关数据，绘制统计图表如下：
图1
（1）m =_______；
（2）若5月3日当天看豫剧的人数为93人，请你补全图1；
（3）请你根据前四天接待观众人数，估计“北京戏曲文化周”活动在5月4日接待观众约为 ________人．5月4日的戏曲活动，分别演出 “京剧”、“北京曲剧”、“沪剧”、
“秦腔”、“粤剧”． 通过对100名观众的调查发现， 有12人喜欢“沪剧”，5人喜 欢“秦腔”，8人喜欢“粤剧”．主办方希望把“沪剧”、“秦腔”、“粤剧”三种戏 剧安排到以下五个园（如下表）中的三个园进行演出．请你结合下表为这三种戏剧选择 合适的演出地点，并说明理由．
前四天每天接待的观众人数统计图
5月3日观看各种戏剧人数分布统计图
图2
26．（1）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y =
1
x +3与抛物线y = x 2相交于点A 、B ， 2
与x 轴交于点C ，A 点横坐标为x 1，B 点横坐标为x 2（x 1
111
+与的值，并判断它们的数量关系． x 1x 2x 3
（2
条件中选择一组，证明．．．．
111
+与仍具有（1）中的数量关系． x 1x 2x 3
①如图，∠APC =120º，PB 平分∠APC ，直线l 与P A 、PB 、PC 分别交于点A 、B 、C ， P A =x 1，PC =x 2，PB =x 3．
A
C
P
l
②如图，在平面直角坐标系xOy 中，过点A (x 1，0) 、B (0，x 2) 作直线l ，与直线y =x 交于 点C ，点C 横坐标为x 3．
y x 2
B
A
x 3
x 1
l
27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =-2x 2+(m +9) x -6的对称轴是x =2．
（1）求抛物线表达式和顶点坐标；
（2）将该抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与原抛物线相交于点A ，求点A 的坐标； （3）抛物线y =-2x 2+(m +9) x -6与y 轴交于点C ，点A 关于平移后抛物线的对称轴的
对称点为点B ，两条抛物线在点A 、C 和点A 、B 之间的部分（包含点A 、B 、C ） 记 为图象M ．将直线y =2x -2向下平移b （b >0）个单位，在平移过程中直线与图象M 始终有两个公共点，请你写出b 的取值范围_________．
28．在∆ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，BE 、CD 相交于点O ，且∠DC B =∠EBC =
（1）如图1，若AB =AC ，则BD 与CE 的数量关系是______________；
1
∠A ．2
（2）如图2，若AB ≠AC ，请你补全图2，思考BD 与CE 是否仍然具有（1）中的数量关系， 并说明理由；
（3）如图3，∠BDC =105︒，BD = 3，且BE 平分∠ABC ，请写出求BE 长的思路． （不用写出计算结果）
图1
图2
图3
29．P 是⊙O 内一点，过点P 作⊙O 的任意一条弦AB ，我们把PA ⋅PB 的值称为点P 关于⊙O 的
“幂值”．
（1）⊙O 的半径为5，OP = 3．
①如图1，若点P 恰为弦AB 的中点，则点P 关于⊙O 的“幂值”为________； ②判断当弦AB 的位置改变时，点P 关于⊙O 的“幂值”是否为定值，若是定值，证明你的结论；若不是定值，求点P 关于⊙O 的“幂值”的取值范围．
（2）若⊙O 的半径为r ，OP = d ，请参考（1）的思路，用含r 、d 的式子表示点P 关于⊙O 的“幂值”或“幂值”的取值范围________；
（3）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为4，
若在直线y =
x +b 上存在点P ，使得 点P 关于⊙O 的“幂值”为13，请写出b 的取值范围________．
北京市朝阳区九年级综合练习（二）
数学试卷评分标准及参考答案 2016.6
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分， 第29题8分）
17．解：原式=5-2- …………………………………………………………4分 =3．…………………………………………………………………5
分
⎧2x +y =1, ①
18．解：⎨
x -y =2. ② ⎩
①+②，得3x =3，
x =1．………………………………………………………2分 把x =1代入②，得1-y =2，
y =-1．……………………………………………………4 所以这个方程组的解是⎨19．解：原式= =
分
⎧x =1,
…………………………………………………5分
⎩y =-1.
a +1
……………………………………………………1分
a +1a -1a -1
⋅
2
2
2
(a -1)
……………………………………………………………………3分
=
2
．
a 2-2a +1
2
∵a -2a -2=0，
∴a -2a =2．……………………………………………………………4分 ∴ 原式=
2
2
．………………………………………………………………5分 3
20．解：∵ED ⊥BC ，∠E =35︒，
∴∠B =55︒． …………………………………………1分
∵在Rt △ABC 中，∠BAC = 90º，AD 是BC 边上的中线， ∴AD =BD ． …………………………………………3分
∴∠BAD =∠B =55︒ ．………………………………4分
E B
∴∠BDA =70︒．…………………………………………………………………5分
21．解：设这两栋楼的住户一年内人均阅读纸质图书的数量为x 本．……………………1分 由题意，得
4602⨯184
=+20． …………………………………………3分 x x
解得 x =4.6． ……………………………………………………4分 经检验，x =4.6是原方程的解，且符合题意．……………………………5分 答：这两栋楼的住户一年内人均阅读纸质图书的数量为4.6本． 22．证明：（1）∵AB ∥DC ，FC=AB，
∴四边形A B C F 是平行四边形．…………………………………………1分
∵∠B =90︒，
∴四边形A B C F 是矩形．…………………………………………………2分
（2）由（1）可得，∠AFC =90︒，
∴∠DAF =90︒-∠D ，∠CGF =90︒-∠ECD ． ………………3分 ∵ED =EC ，
∴∠D =∠ECD ．…………………………4分 ∴∠DAF =∠CGF ．
∵∠EGA =∠CGF ， ∴∠EAG =∠EGA ．
∴EA =EG ．………………………………………………………5分 23．解：（1）∵双曲线y =
4
过点M （1，b ）， x
∴b =4．……………………………………………………………………1分 ∵正比例函数y =kx 的图象过点M （1，4），
∴k =4．……………………………………………………………………2分 ∴正比例函数的表达式为y =4x ．………………………………………3分 （2）（-1，-4），（3，12）． …………………………………………………5分
24．（1）证明：连接OD ．
∵AD 平分∠MAN ， ∴∠EAD =∠OAD ． ∵OA =OD ， ∴∠ODA =∠OAD ．
∴∠EAD =∠ODA ．……………………………1分 ∵DE ⊥AM 于E ， ∴∠AED =90︒． ∴∠EAD +∠EDA =90︒， ∴∠ODA +∠EDA =90︒．
∴OD ⊥ED ．
∴DE 是⊙O 的切线． ………………2分 （2）解：∵∠EDA =30︒，
∴∠ODA =60︒． ∵OA =OD ，
∴△ADO 为等边三角形．…………………………………………………3分
在Rt △AED 中，AE =1，可得AD =
2，ED =．………………4分 ∴OD =AD =2．
在Rt △ODE 中，由勾股定理可
得OE ． ………………………5分
25．解：（1）41． ……………………………………………………………………… ……1分 （2）补全图1，如图所示． ……………………………………………… ………2分
前四天每天接待的观众人数统计图
图1
（3）801； ………………………………………………………………3分
答：预计观看“沪剧”、“秦腔”、“粤剧”的人数分别约为96、40、64，…………4分
所以演出应分别安排在江苏园、福建园、岭南园．………………………………5分
11
26．（1）解： 由题意可得x = ∵x 1
2
1
x +3． 2
3
，x 2=2． …………………………………………………1分 2111
∴+=-．
x 1x 26
1
∵直线y =x +3与x 轴交于点C ，C 点横坐标为x 3，
2
∴x 3=-6．………………………………………………………………2分
11
∴=-．
x 36111
∴．…………………………………………………………3分 +=
x 1x 2x 3
∴x 1=-
（2）①证明：如图，过点B 作BE ∥PA 交PC 于点E ．
∴△BEC ∽△APC ．…………………………………………………4分 由PB 平分∠APC ，∠APC =120︒，可得△PBE 是等边三角形．
∴BE =PE =PB =x 3．
∴EC =x 2-x 3．
BE EC
=， AP PC x x -x 3
∴3=2．
x 1x 2
∴x 2x 3+x 1x 3=x 1x 2． l
111
∴．…………………………………………………………5分 +=
x 1x 2x 3
∵
②解：过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，CE ⊥y 轴于点E ．
∵点C 在直线y =x 上，且横坐标为x 3， ∴点C (x 3，x 3) ．
∴CE =CD =x 3．……………………………4分 ∵S ∆BOC +S ∆AOC =S ∆AOB ，
y x 2E B
A 3x 1
x
111
∴x 2x 3+x 1x 3=x 1x 2． 222
∴
l
111
+=．…………………………………………………………5分 x 1x 2x 3
12
27．解：（1）∵抛物线y =-2x 2+(m +9)x -6的对称轴是x =2，
m +9
=2．
2⨯(-2)
∴m =-1． ……………………………………………………………1分
∴-
2
∴抛物线的表达式为y =-2x +8x -6．…………………………………2分
∴y =-2(x -2) 2+2．
∴顶点坐标为（2，2）．………………………………………………3分 （2）由题意得，平移后抛物线表达式为 y =-2(x -3)+2……………………4分 ∵-2(x -2)=-2(x -3)，
2
2
2
5
． 253
∴A （，）．………………………5分
227
（3）0
2
28．（1）BD =CE ；………………………………………1分
∴x =
（2）补全图形．………………………………………2分
证明：如图2，在BE 上截取BF =CD ，连接CF ．
∵∠DCB =∠EBC =
1
∠A ， 2
∴△DCB ≌△FBC ．………………………3分 ∴BD =CF ，∠FCB =∠DBC ．
图
2 ∴∠CFE =∠FBC +∠FCB =2∠FBC +∠ABE ．
∵∠CEF =∠A +∠ABE ．
∴∠CFE =∠CEF ．………………………………………………………4分 ∴CF =CE ．
∴BD =CE ．………………………………………………………5分
A
（3）求解思路如下：
a ．如图3，过点E 作EM ⊥BC 于M ； b ．由BE 平分∠ABC ，可得∠ABC =∠A ； c ．由∠BDC =105︒，可得∠EBC =25︒，
B
D
E
图3
∠A =50︒，∠ACB =80︒；………………………………………………………6分 d ．由（2）知CE =BD =3，在Rt △CEM 中，可求EM 的长度；
M
C
e ．在Rt △BEM 中，由∠EBM 的度数和的EM 的长度，可求BE 的长度．…7分
13
29．（1）①16．………………………………………………………………………………1分
②当弦AB 的位置改变时，点P 关于⊙O 的“幂值”为定值．………………2分 证明：如图，AB 为⊙O 中过点P 的任意一条弦，且不与OP 垂直． 过点P 作⊙O 的弦A ' B ' ⊥OP ，连接AA ' 、BB ' ． ∵在⊙O 中，∠AA ' P =∠B ' BP ，∠APA ' =∠BPB ' ，
∴△APA ' ∽△B ' P B ．…………………………………………………3分
∴
PA PA '
=． PB ' PB
∴PA ⋅PB =PA ' ⋅PB ' ．…………………………4分
∵OP ⊥A ' B ' ，OP =3，⊙O 半径为5． ∴A ' P =B ' P =4．
∴PA ⋅PB =16．…………………………………………………………5分 ∴当弦AB 的位置改变时，点P 关于⊙O 的“幂值”为定值．
（2）r -d ． …………………………………………………………………………6分 （3）-2≤b ≤2． …………………………………………………………………8分
说明：各解答题的其他正确解法请参照以上标准给分.
2
2
14