第一章 行列式 (2011-2-21)
§1 二阶、三阶行列式
下面让我们来回顾一下初等数学里的关于二阶、三阶行列式的一些知识。
1．二元线性方程组与二阶行列式
二阶行列式是由解二元线性方程组得来的。下面我们通过解二元线性方程组来描述二阶行列式的定义。
设有二阶线性方程组(二个未知数，二个线性方程的方程组) ：
⎧a 11x 1+a 12x 2=b 1
⎨。 a x +a x =b ⎩2112222
我们解此方程（用消元法）：当
时：
，
。
a ij 称为行列式的元素。 注意代数和的特点。
故我们可以把方程组的解表示为：，。这样
我们就利用二阶行列式，很简捷地表达出了二阶线性方程组的解。 例1
求解二元现性方程组
⎧3x 1-2x 2=12⎨
⎩2x 1+x 2=1
解：D= , D1=
, D2=…. 补充例 设
,
问（1）λ为何值时，D=0? (2)λ为何值时，D ≠0？
2．三阶行列式
（与二阶行列式一样，三阶行列式也是在求解三元一次线性方程组的
问题中抽象出来的）
例2
计算三阶行列式
12-4
D =-221
-34-2
解 （用对角线法）。。。。 例3
求解方程
11
1
D =23x =0
49x 2
方法：方程左端是三阶行列式，先计算这个行列式，用对角线法。
D =3x 2+4x +18-9x -2x 2-12=x 2-5x +6
因为 D=0,
所以 x 2-5x +6=0， 解得 x=2 或x=3.
§2 全排列及其逆序数
全排列——把n 个不同的元素排成一列的所有排法，叫做全排列。 例，写出1，2，3这三个数的全排列：
123，132，213，231，312，321
逆序——对于n 个不同的元素，先规定各元素之间有一个标准，于是在这n 个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有1个逆序。
例，规定自然数为标准，那么在132中，“3”的逆序为0， “2”的逆序为1.
排列的逆序数——一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数。
例，在132中, 其逆序数为1。 例，写出1，2，3这三个数的全排列：
123，132，213，231，312，321
其逆序数分别为 0， 1， 1， 2， 2， 3 §3 n 阶行列式的定义 必须明确
n 阶行列式定义
a 11
a 21
D =
...
a n 1
a 12a 22...
... a 1n ... a 2n ... ... =
∑
(-1) a 1p 1a 2p 2... a np n
t
a n 21... a nn
其中，
p 1p 2... p n 为自然数1，2，…, n的一个排列(共有n! 项) ，
t 为奇数，这一项为负数。
t 为这个排列的逆序数， t 为偶数，这一项为正数，
验证二阶行列式：
a 11a 12
a 21a 22
验证二阶行列式：
=a 11a 22-a 12a 21
用行列式定义，计算
λ1
λ2
对角行列式 D =
=λ1λ2 λn
λn
λ1
反对角行列式 D =
λn
a 11
λ2
=(-1)
n (n -1) 2
λ1λ2 λn
a 22
=a 11a 22 a nn
下三角形行列式D =
a 21 a n 1
a n 2 a nn
§4 对换 略
§5 行列式的性质（以三行列式为例说明） （目的是提高计算行列式的能力）
请大家计算下列行列式：（用对角线法）
123
11-10
123
D 1=1-10 ， D 2=2
302-22， D 3=02-2
-21-10
D 1=2+6+4=12， D 2=2+6+4=12， D 3=-4-6-2=-12
性质1的作用
由此我们可以看出行列式中行与列具有相同的地位，因此行列式的性质对行成立，对列也成立。
第i 行与第j 行互换： r i ←→r j
推论：若行列式的两行（列）完全相同，则此行列式的值为零.
k 2k 3k 123
1-10=k 1-10=k D 1
02-202-2
推论
行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.
例
a b +y a b a y
=+
c d +w c d c w
第j 行乘以k 加到第i 行对应元素上：i 例：。。。
经常用此性质把行列式化为上三角行列式。 例7 计算
31-12
-513-4
D =
201-11-53-3
r +kr j ，
解： P12
方法：（1）第一、二列对换，使第一行第一列元素为1； （2）用行列式性质6化上三角形；
（3）主对角线上的元素的乘积就是行列式的值（根据例5的结果）
又例：
（化上三角）
1-3761-3761-376
r 2+2r 1
0-11315r 3+r 20-113150-11315
r 3-3r 1(-1) (-1) r 4+3r 3(-1) =-14
01-6-5r 4-2r [1**********]
r 4-2r 1
0-25-200-21-32000-2
1作业：P25 1 (1) (2) (3) 2 (1)(3)(5) 4 (1) (2)
例8 计算
31D =
11
1311113111 13
特点：各列之和相等，都为6。
§6 行列式按行（列）展开 (降阶法) 1. 余子式 M ij
行列式D 中划去第i 行第j 列元素后所剩的行列式称为a ij 的余子式。
2. 代数余子式 A ij
A ij =(-1) i +j M ij 称为a ij 的代数余子式。
-10
D =1-10 例1中，a 11的余子式是M 11=，
2-2
02-2
1
2
3
a 11的代数余子式是A 11=(-1) 1+1M 11=(-1) 1+13. 行列式按行展开定理
-10
。 2-2
（上面定理对列也成立）
下面我们利用定理3来解题.
-4) =-6
按包含0最多的第3列展开。 “0是好朋友啊”。
例13 （P21）设
3-521110-5
, D 的元素a 的余子式和代数余子式依次 D =-13ij 13
2-4-1-3
记作M ij 和A ij ，求
A 11+A 12+A 13+A 14 及
M 11+M 21+M 31+M 41
例4 范德蒙行列式 （用递推方法或归纳法）
1x 12x 1
1x 22x 2
1
x 3=(x 2-x 1)(x 3-x 1)(x 3-x 2)
2
x 3
从而推出n 阶范德蒙行列式的计算公式。…….
我们要注意对范德蒙行列式的应用。 P26 , 5(2), 8(3)
例 用归纳法计算行列式
+a 1
11+a 2
1
111+a n
=a 1a 2
a n +a 1a 2
a n -1+
+a 2a 3
a n
11
D n =
解：用归纳法。（也可用加边法） 当n=2时，D 2=
+a 11
11+a 2
=(1+a 1) (1+a 2)-1=a 1a 2+a 1+a 2，结论成立，
假设n －1时成立，那么
1+a 1
D n =
11
11+a 2
1
111+
a n
c 1-c 2
a 1
1111+a n 111+a n
-a 21+a 2011
按第一列展开a 1D n -1+(-a 2)(-1) 2+1
1+a
31
各行减第1行…..
例 计算行列式, (b 1b 2b n ≠0)
（加边法）
1D n =0
a 1a 1a 11
a 1
a 2a 2a 2+b 2a 2a 20
a n 00 b n
a n a n a n a n +
b n
0a 1+b 1
r 2-r 1-1b 1
r 3-r 1-10b 2
-10
n
+∑
1
c 1+c j
b j
000
a j
j =1b j
a 1a 2b 10
0b 20
a n
n a 0j
=(1+∑) b 1b 20j =1b j
b n
b n
归纳总结计算行列式的方法：
（1）对于二阶、三阶行列式，采用对角线法进行计算
（2）利用行列式的性质、及三个特殊行列式（上三角、下三角、对角）的结果计算n 阶行列式。
一般的做法是利用行列式的性质化行列式为上三角形行列式。 步骤如下：
§7 克莱姆法则
含有n 个未知数的n 个方程组成的线性方程组
⎧a 11x 1+a 12x 2+⎪a x +a x +⎪211222⎨⎪⎪⎩a n 1x 1+a n 2x 2+
+a 1n x n =b 1+a 2n x n =b 2
+a nn x n =
b n
当它的系数行列式D 不等于零时，有惟一解
x j =
D j D
，j= 1,2,…n
(要充分理解D 和Dj)
例 求解方程组
=5⎧x 1+x 2⎪
+x 3=6⎨x 1
⎪x 2+x 3=7⎩
用克莱姆法则
⎛110⎫ ⎪A = 101⎪
，因为D =－2, 方程组有惟一解
011⎪⎝⎭
D1= －4， D2=－6, D3=－8 所以原方程组有惟一解 x1=D1/D=2,
x2=D2/D=3, x3=D3/D=4
例16（P25）问λ取何值时，齐次线性方程组有非零解。
2y +2z =0⎧(5-λ) x +
⎪
2x +(6-λ) y =0 ⎨⎪2x +(4-λ) z =0⎩
方法：先计算系数行列式，
再由D=0求出λ的值，即是齐次线性方程组有非零解的条
件。 2作业： P27
4 (4) （按第一行展开） 5 （1） (r1-2r2, r2-r3,展开) （2）（范德蒙） 6 （1）（2） 8（1） （2）（例8） 机动例 例10 D =
D 1C
O D 2
=D 1D 2.
例11 （用性质，用例10，递推法）
a
D 2n =
c
a c b d
b
a b c d
00a
a c c
00
00b
=(-1) 2(2n -2)
d
b d
d
00
=D 2D 2(n -1) =(ad -cd ) D 2(n -1) =(ad -cd ) 2D 2(n -2) =…= =(ad -cd ) n -1D 2=(ad -cd ) n 堂上练习8(4)
第一章 行列式 (2011-2-21)
§1 二阶、三阶行列式
下面让我们来回顾一下初等数学里的关于二阶、三阶行列式的一些知识。
1．二元线性方程组与二阶行列式
二阶行列式是由解二元线性方程组得来的。下面我们通过解二元线性方程组来描述二阶行列式的定义。
设有二阶线性方程组(二个未知数，二个线性方程的方程组) ：
⎧a 11x 1+a 12x 2=b 1
⎨。 a x +a x =b ⎩2112222
我们解此方程（用消元法）：当
时：
，
。
a ij 称为行列式的元素。 注意代数和的特点。
故我们可以把方程组的解表示为：，。这样
我们就利用二阶行列式，很简捷地表达出了二阶线性方程组的解。 例1
求解二元现性方程组
⎧3x 1-2x 2=12⎨
⎩2x 1+x 2=1
解：D= , D1=
, D2=…. 补充例 设
,
问（1）λ为何值时，D=0? (2)λ为何值时，D ≠0？
2．三阶行列式
（与二阶行列式一样，三阶行列式也是在求解三元一次线性方程组的
问题中抽象出来的）
例2
计算三阶行列式
12-4
D =-221
-34-2
解 （用对角线法）。。。。 例3
求解方程
11
1
D =23x =0
49x 2
方法：方程左端是三阶行列式，先计算这个行列式，用对角线法。
D =3x 2+4x +18-9x -2x 2-12=x 2-5x +6
因为 D=0,
所以 x 2-5x +6=0， 解得 x=2 或x=3.
§2 全排列及其逆序数
全排列——把n 个不同的元素排成一列的所有排法，叫做全排列。 例，写出1，2，3这三个数的全排列：
123，132，213，231，312，321
逆序——对于n 个不同的元素，先规定各元素之间有一个标准，于是在这n 个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有1个逆序。
例，规定自然数为标准，那么在132中，“3”的逆序为0， “2”的逆序为1.
排列的逆序数——一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数。
例，在132中, 其逆序数为1。 例，写出1，2，3这三个数的全排列：
123，132，213，231，312，321
其逆序数分别为 0， 1， 1， 2， 2， 3 §3 n 阶行列式的定义 必须明确
n 阶行列式定义
a 11
a 21
D =
...
a n 1
a 12a 22...
... a 1n ... a 2n ... ... =
∑
(-1) a 1p 1a 2p 2... a np n
t
a n 21... a nn
其中，
p 1p 2... p n 为自然数1，2，…, n的一个排列(共有n! 项) ，
t 为奇数，这一项为负数。
t 为这个排列的逆序数， t 为偶数，这一项为正数，
验证二阶行列式：
a 11a 12
a 21a 22
验证二阶行列式：
=a 11a 22-a 12a 21
用行列式定义，计算
λ1
λ2
对角行列式 D =
=λ1λ2 λn
λn
λ1
反对角行列式 D =
λn
a 11
λ2
=(-1)
n (n -1) 2
λ1λ2 λn
a 22
=a 11a 22 a nn
下三角形行列式D =
a 21 a n 1
a n 2 a nn
§4 对换 略
§5 行列式的性质（以三行列式为例说明） （目的是提高计算行列式的能力）
请大家计算下列行列式：（用对角线法）
123
11-10
123
D 1=1-10 ， D 2=2
302-22， D 3=02-2
-21-10
D 1=2+6+4=12， D 2=2+6+4=12， D 3=-4-6-2=-12
性质1的作用
由此我们可以看出行列式中行与列具有相同的地位，因此行列式的性质对行成立，对列也成立。
第i 行与第j 行互换： r i ←→r j
推论：若行列式的两行（列）完全相同，则此行列式的值为零.
k 2k 3k 123
1-10=k 1-10=k D 1
02-202-2
推论
行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.
例
a b +y a b a y
=+
c d +w c d c w
第j 行乘以k 加到第i 行对应元素上：i 例：。。。
经常用此性质把行列式化为上三角行列式。 例7 计算
31-12
-513-4
D =
201-11-53-3
r +kr j ，
解： P12
方法：（1）第一、二列对换，使第一行第一列元素为1； （2）用行列式性质6化上三角形；
（3）主对角线上的元素的乘积就是行列式的值（根据例5的结果）
又例：
（化上三角）
1-3761-3761-376
r 2+2r 1
0-11315r 3+r 20-113150-11315
r 3-3r 1(-1) (-1) r 4+3r 3(-1) =-14
01-6-5r 4-2r [1**********]
r 4-2r 1
0-25-200-21-32000-2
1作业：P25 1 (1) (2) (3) 2 (1)(3)(5) 4 (1) (2)
例8 计算
31D =
11
1311113111 13
特点：各列之和相等，都为6。
§6 行列式按行（列）展开 (降阶法) 1. 余子式 M ij
行列式D 中划去第i 行第j 列元素后所剩的行列式称为a ij 的余子式。
2. 代数余子式 A ij
A ij =(-1) i +j M ij 称为a ij 的代数余子式。
-10
D =1-10 例1中，a 11的余子式是M 11=，
2-2
02-2
1
2
3
a 11的代数余子式是A 11=(-1) 1+1M 11=(-1) 1+13. 行列式按行展开定理
-10
。 2-2
（上面定理对列也成立）
下面我们利用定理3来解题.
-4) =-6
按包含0最多的第3列展开。 “0是好朋友啊”。
例13 （P21）设
3-521110-5
, D 的元素a 的余子式和代数余子式依次 D =-13ij 13
2-4-1-3
记作M ij 和A ij ，求
A 11+A 12+A 13+A 14 及
M 11+M 21+M 31+M 41
例4 范德蒙行列式 （用递推方法或归纳法）
1x 12x 1
1x 22x 2
1
x 3=(x 2-x 1)(x 3-x 1)(x 3-x 2)
2
x 3
从而推出n 阶范德蒙行列式的计算公式。…….
我们要注意对范德蒙行列式的应用。 P26 , 5(2), 8(3)
例 用归纳法计算行列式
+a 1
11+a 2
1
111+a n
=a 1a 2
a n +a 1a 2
a n -1+
+a 2a 3
a n
11
D n =
解：用归纳法。（也可用加边法） 当n=2时，D 2=
+a 11
11+a 2
=(1+a 1) (1+a 2)-1=a 1a 2+a 1+a 2，结论成立，
假设n －1时成立，那么
1+a 1
D n =
11
11+a 2
1
111+
a n
c 1-c 2
a 1
1111+a n 111+a n
-a 21+a 2011
按第一列展开a 1D n -1+(-a 2)(-1) 2+1
1+a
31
各行减第1行…..
例 计算行列式, (b 1b 2b n ≠0)
（加边法）
1D n =0
a 1a 1a 11
a 1
a 2a 2a 2+b 2a 2a 20
a n 00 b n
a n a n a n a n +
b n
0a 1+b 1
r 2-r 1-1b 1
r 3-r 1-10b 2
-10
n
+∑
1
c 1+c j
b j
000
a j
j =1b j
a 1a 2b 10
0b 20
a n
n a 0j
=(1+∑) b 1b 20j =1b j
b n
b n
归纳总结计算行列式的方法：
（1）对于二阶、三阶行列式，采用对角线法进行计算
（2）利用行列式的性质、及三个特殊行列式（上三角、下三角、对角）的结果计算n 阶行列式。
一般的做法是利用行列式的性质化行列式为上三角形行列式。 步骤如下：
§7 克莱姆法则
含有n 个未知数的n 个方程组成的线性方程组
⎧a 11x 1+a 12x 2+⎪a x +a x +⎪211222⎨⎪⎪⎩a n 1x 1+a n 2x 2+
+a 1n x n =b 1+a 2n x n =b 2
+a nn x n =
b n
当它的系数行列式D 不等于零时，有惟一解
x j =
D j D
，j= 1,2,…n
(要充分理解D 和Dj)
例 求解方程组
=5⎧x 1+x 2⎪
+x 3=6⎨x 1
⎪x 2+x 3=7⎩
用克莱姆法则
⎛110⎫ ⎪A = 101⎪
，因为D =－2, 方程组有惟一解
011⎪⎝⎭
D1= －4， D2=－6, D3=－8 所以原方程组有惟一解 x1=D1/D=2,
x2=D2/D=3, x3=D3/D=4
例16（P25）问λ取何值时，齐次线性方程组有非零解。
2y +2z =0⎧(5-λ) x +
⎪
2x +(6-λ) y =0 ⎨⎪2x +(4-λ) z =0⎩
方法：先计算系数行列式，
再由D=0求出λ的值，即是齐次线性方程组有非零解的条
件。 2作业： P27
4 (4) （按第一行展开） 5 （1） (r1-2r2, r2-r3,展开) （2）（范德蒙） 6 （1）（2） 8（1） （2）（例8） 机动例 例10 D =
D 1C
O D 2
=D 1D 2.
例11 （用性质，用例10，递推法）
a
D 2n =
c
a c b d
b
a b c d
00a
a c c
00
00b
=(-1) 2(2n -2)
d
b d
d
00
=D 2D 2(n -1) =(ad -cd ) D 2(n -1) =(ad -cd ) 2D 2(n -2) =…= =(ad -cd ) n -1D 2=(ad -cd ) n 堂上练习8(4)