测验题
一、填空题（42分）
1、设集合M 与M 分别有代数运算 与 ，且M ~M ，则当 时， 也满足结合律；当 时， 也满足交换律。
2、对群中任意元素a , b , 有(ab ) -1；
3、设群G 中元素a 的阶是n ，n|m则a
4、设a 是任意一个循环群，若|a |=∞，则a 与|a |=n ， 则a 与 同构；
5、设G=a 为6阶循环群，则G 的生成元有 m
)(24) 的阶是； 6、n 次对称群S n 的阶是τ=(1378
⎛1234⎫⎛1234⎫7、设α= 2341⎪⎪，β= 4132⎪⎪，则αβ=； ⎝⎭⎝⎭
8、设σ=(14)(235) ，τ=(136)(25) ，则στσ-1=；
9、设H 是有限群G 的一个子群，则；
10、任意一个群都同一个同构。
二、证明题（24）
1、 设G 为n 阶有限群，证明：G 中每个元素都满足方程x =e 。
2、 叙述群G 的一个非空子集H 作成子群的充要条件，并证明群G 的任意两个子群H 与K 的交H K 仍然是G 的一个子群。
3、 证明:如果群G 中每个元素都满足方程x =e ，则G 必为交换群。
2n
二、解答题（34）
1、 叙述群的定义并按群的定义验证整数集Z 对运算a b =a +b +4作成群。
2、 写出三次对称群S 3的所有子群并写出S 3关于子群H=｛（1），（23）｝的所有左陪集和所
有右陪集。
参考答案：
一、填空题
1、满足结合律； 满足交换律；
2、b a ；
3、e ；
4、整数加群；n 次单位根群；
5、a , a 5；{e }, e , a 3, e , a 2, a 4, e , a , a 2, a 3, a 4, a 5；
6、n!;4
7、 -1-1{}{}{}⎛1234⎫⎪⎪ 4132⎝⎭
8、(456)(32)
9、|H|:(G:H)
10、（双射）变换群；
二、证明题
1、已知G =|n |，|a|=k,则
k|n
令n=kq,则a =a n kq =(a k ) q =e
n 即G 中每个元素都满足方程x =e
2、充要条件：a , b ∈H , ⇒ab ∈H ; a ∈H ⇒a -1∈H ；
证明：已知H 、K 为G 的子群，令Q 为H 与K 的交
设a , b ∈H , 则a , b ∈H , a , b ∈K
H 是G 的子群，有ab ∈H
K 是G 的子群，有ab ∈K
∴ab ∈Q
∀a ∈H ，则a ∈H 且a ∈K
由定理1，可知
a -1∈H
综上所述，H 也是G 的子群。
3、证：
∀a , b ∈G ;
ab ∈G
a ⋅a -1=a ⋅a =a 2
由消元法得
a =a -1
ab =(ab ) -1=b -1a -1=ba
G 是交换群。
三、解答题
1、解：设G 是一个非空集合， 是它的一个代数运算，如果满足以下条件：
（1）结合律成立，即对G 中任意元素a , b , c ，有(a b ) c =a (b c )
（2）G 中有元素e ，它对G 中每个元素a ，都有e a =a
（3）对G 中每个元素a , 在G 中有元素a ，使a -1-1 a =e
则G 对代数运算 作成一个群。
对任意整数a,b ，显然a+b+4由a,b 唯一确定，故 为G 的代数运算。 （a b ） c=(a+b+4) c=(a+b+4)+c+4=a+b+c+8
a (b c)=a+b+c+8
即（a b ） c= a (b c) 满足结合律
∀a 均有（-4） a=-4+a+4=a
故-4为G 的左单位元。
（-8-a ） a=-8-a+a+4=-4
故-8-a 是a 的左逆元。
2、解：|S 3|=6其子群的阶数只能是1，2，3，6
1阶子群｛（1）｝
2阶子群｛（1）（12）｝｛（1）（13）｝｛（1）（23）｝
3阶子群｛（1）（123）（132）｝ 6阶子群S 3
左陪集：（1）H=｛（1）（23）｝=（23）H
（12）H=｛（12）（123）｝=（123）H
（13）H=｛（13）（132）｝=（132）H 右陪集：H （1）=｛（1）（23）｝=H（23） H （13）=｛（13）（23）｝=H（123） H （12）=｛（12）（132）｝=H（132）
测验题
一、填空题（42分）
1、设集合M 与M 分别有代数运算 与 ，且M ~M ，则当 时， 也满足结合律；当 时， 也满足交换律。
2、对群中任意元素a , b , 有(ab ) -1；
3、设群G 中元素a 的阶是n ，n|m则a
4、设a 是任意一个循环群，若|a |=∞，则a 与|a |=n ， 则a 与 同构；
5、设G=a 为6阶循环群，则G 的生成元有 m
)(24) 的阶是； 6、n 次对称群S n 的阶是τ=(1378
⎛1234⎫⎛1234⎫7、设α= 2341⎪⎪，β= 4132⎪⎪，则αβ=； ⎝⎭⎝⎭
8、设σ=(14)(235) ，τ=(136)(25) ，则στσ-1=；
9、设H 是有限群G 的一个子群，则；
10、任意一个群都同一个同构。
二、证明题（24）
1、 设G 为n 阶有限群，证明：G 中每个元素都满足方程x =e 。
2、 叙述群G 的一个非空子集H 作成子群的充要条件，并证明群G 的任意两个子群H 与K 的交H K 仍然是G 的一个子群。
3、 证明:如果群G 中每个元素都满足方程x =e ，则G 必为交换群。
2n
二、解答题（34）
1、 叙述群的定义并按群的定义验证整数集Z 对运算a b =a +b +4作成群。
2、 写出三次对称群S 3的所有子群并写出S 3关于子群H=｛（1），（23）｝的所有左陪集和所
有右陪集。
参考答案：
一、填空题
1、满足结合律； 满足交换律；
2、b a ；
3、e ；
4、整数加群；n 次单位根群；
5、a , a 5；{e }, e , a 3, e , a 2, a 4, e , a , a 2, a 3, a 4, a 5；
6、n!;4
7、 -1-1{}{}{}⎛1234⎫⎪⎪ 4132⎝⎭
8、(456)(32)
9、|H|:(G:H)
10、（双射）变换群；
二、证明题
1、已知G =|n |，|a|=k,则
k|n
令n=kq,则a =a n kq =(a k ) q =e
n 即G 中每个元素都满足方程x =e
2、充要条件：a , b ∈H , ⇒ab ∈H ; a ∈H ⇒a -1∈H ；
证明：已知H 、K 为G 的子群，令Q 为H 与K 的交
设a , b ∈H , 则a , b ∈H , a , b ∈K
H 是G 的子群，有ab ∈H
K 是G 的子群，有ab ∈K
∴ab ∈Q
∀a ∈H ，则a ∈H 且a ∈K
由定理1，可知
a -1∈H
综上所述，H 也是G 的子群。
3、证：
∀a , b ∈G ;
ab ∈G
a ⋅a -1=a ⋅a =a 2
由消元法得
a =a -1
ab =(ab ) -1=b -1a -1=ba
G 是交换群。
三、解答题
1、解：设G 是一个非空集合， 是它的一个代数运算，如果满足以下条件：
（1）结合律成立，即对G 中任意元素a , b , c ，有(a b ) c =a (b c )
（2）G 中有元素e ，它对G 中每个元素a ，都有e a =a
（3）对G 中每个元素a , 在G 中有元素a ，使a -1-1 a =e
则G 对代数运算 作成一个群。
对任意整数a,b ，显然a+b+4由a,b 唯一确定，故 为G 的代数运算。 （a b ） c=(a+b+4) c=(a+b+4)+c+4=a+b+c+8
a (b c)=a+b+c+8
即（a b ） c= a (b c) 满足结合律
∀a 均有（-4） a=-4+a+4=a
故-4为G 的左单位元。
（-8-a ） a=-8-a+a+4=-4
故-8-a 是a 的左逆元。
2、解：|S 3|=6其子群的阶数只能是1，2，3，6
1阶子群｛（1）｝
2阶子群｛（1）（12）｝｛（1）（13）｝｛（1）（23）｝
3阶子群｛（1）（123）（132）｝ 6阶子群S 3
左陪集：（1）H=｛（1）（23）｝=（23）H
（12）H=｛（12）（123）｝=（123）H
（13）H=｛（13）（132）｝=（132）H 右陪集：H （1）=｛（1）（23）｝=H（23） H （13）=｛（13）（23）｝=H（123） H （12）=｛（12）（132）｝=H（132）