不等式选讲

选修4--5 不等式选讲

一、课程目标解读

选修系列4-5专题不等式选讲，内容包括：不等式的基本性质、含有绝对值的不等式、不等式的证明、几个著名的不等式、利用不等式求最大（小）值、数学归纳法与不等式。

通过本专题的教学，使学生理解在自然界中存在着大量的不等量关系和等量关系，不等关系和相等关系都是基本的数学关系，它们在数学研究和数学应用中起着重要的作用；使学生了解不等式及其证明的几何意义与背景，以加深对这些不等式的数学本质的理解，提高学生的逻辑思维能力和分析问题解决问题的能力。二、教材内容分析

作为一个选修专题，虽然学生已经学习了高中必修课程的5个模块和三个选修模块，教材内容仍以初中知识为起点，在内容的呈现上保持了相对的完整性．整个专题内容分为四讲，结构如下图所示：

第一讲是“不等式和绝对值不等式”，为了保持专题内容的完整性，教材回顾了已学过的不等式6个基本性质，从“数与运算”的思想出发，强调了比较大小的基本方法。回顾了二元基本不等式，突出几何背景和实际应用，同时推广到n个正数的情形，但教学中只要求理解掌握并会应用二个和三个正数的均值不等式。

对于绝对值不等式，借助几何意义，从“运算”角度，探究归纳了绝对值三角不等式，并用代数方法给出证明。通过讨论两种特殊类型不等式的解法，学习解含有绝对值不等式的一般思想和方法，而不是系统研究。

第二讲是“证明不等式的基本方法”，教材通过一些简单问题，回顾介绍了证明不等式的比较法、综合法、分析法，反证法、放缩法。其中，用反证法和放缩法证明不等式是新的课程标准才引入到中学数学教学中的内容。这些方法大多在选修2-2“推理与证明”已经学过，此处再现也是为了专题的完整性，对于新增的放缩法，应通过实际实际例子，使学生明确不等式放缩的几个简单途径和方法，比如舍掉或加进一些项，在分式中放大或缩小分子或分母，应用基本不等式进行放缩等（见分节教学设计）。本讲内容也是本专题的一个基础内容。

第三讲是“柯西不等式和排序不等式”。这两个不等式也是本专题实质上的新增内容，教材主要介绍柯西不等式的几种形式、几何背景和实际应用。其中柯西不等式及其在证明不等式和求某些特殊类型函数极值中的应用是教材编写和我们教学的重点。事实上，柯西不等式和均值不等式在求最值方面的简单应用，二者同样重要，在某些问题中，异曲同工。比如课本P41页，习题3.2 第四题。

排序不等式只作了解，建议在老师指导下由学生阅读自学，了解教材中展示的“探究——猜想——证明——应用”的研究过程，初步认识排序不等式的有关知识。

第四讲是“数学归纳法证明不等式”．数学归纳法在选修2-2中也学过，建议放在第二讲，结合放缩法的教学，进一步理解“归纳递推”的证明。同时了解贝努利不等式及其在数学估算方面的初步运用。三、教学目标要求 1．不等式的基本性质

掌握不等式的基本性质，会应用基本性质进行简单的不等式变形。 2．含有绝对值的不等式

理解绝对值的几何意义，理解绝对值三角不等式，会解绝对值不等式。 3．不等式的证明

通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法 4．几个著名的不等式

(1)认识柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，会用二维三维柯西不等式进行简单的证明与求最值。 (2)理解掌握两个或三个正数的算术—几何平均不等式并应用。

(3)了解n个正数的均值不等式，n维柯西不等式，排序不等式，贝努利不等式 5．利用不等式求最大（小）值

会用两个或三个正数的算术—几何平均不等式、柯西不等式求一些特定函数的最值。 6．数学归纳法与不等式

了解数学归纳法的原理及其使用范围；会用数学归纳法证明简单的不等式。会用数学归纳法证明贝努利不等式。四、教学重点难点

1、本专题的教学重点：不等式基本性质、均值不等式及其应用、绝对值不等式的解法及其应用；用比较法、分析法、综合法证明不等式；柯西不等式及其应用、排序不等式；

2、本专题的教学难点：三个正数的算术-几何平均不等式及其应用、绝对值不等式解法；用反证法，放缩法证明不等式；运用柯西不等式和排序不等式证明不等式以及求最值等。五、教学总体建议

1、回顾并重视学生已学知识

学习本专题，学生已掌握的知识有：第一、初中课标要求的不等式与不等式组

(1)根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义，并探索不等式的基本性质。

(2)解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集。解由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会用数轴确定解集。

(3)根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式和一元一次不等式组，解决简单的问题第二、高中必修5不等式内容：

(1)不等关系。通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。

(2)一元二次不等式。

(3)二元一次不等式组与简单线性规划问题。 (4)基本不等式及其应用（求最值）。

第三、高中选修2-2推理与证明中的比较法、综合法、分析法、反证法、数学归纳法等内容。

回顾并重视学生在学习本课程时已掌握的相关知识，可适当指导学生阅读自学，设置梯度恰当的习题，采用题组教学的形式，达到复习巩固系统化的效果，类似于高考第二轮的专题复习，构建知识体系。 2、控制难度不拓展

在解绝对值不等式的教学中，要控制难度：含未知数的绝对值不超过两个；绝对值内的关于未知数的函数主要限于一次函数。解含有绝对值的不等式的最基本和有效的方法是分区间来加以讨论，把含有绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式；

不等式证明的教学，主要使学生掌握比较法、综合法、分析法，其它方法如反证法、放缩法、数学归纳法，应用柯西不等式和排序不等式的证明，只要求了解。

代数恒等变换以及放缩法常常使用一些技巧。这些技巧是极为重要的，但对大多数学生来说，往往很难掌握这些技巧，教学中要尽力使学生理解这些不等式以及证明的数学思想，对一些技巧不做更多的要求，不要把不等式的教学陷在过于形式化的和复杂的技巧之中。 3、重视不等式的应用

不等式应用的教学，主要是引导学生解决涉及大小比较、解不等式和最值问题，其中最值问题主要是用二个或三个正数平均不等式、二维或三维柯西不等式求解。对于超过3个正数的均值不等式和柯西不等式；排序不等式；贝努里不等式的应用不作要求。 4、重视展现著名不等式的背景

几个重要不等式大都有明确的几何背景。教师应当引导学生了解重要不等式的数学意义和几何背景，使学生在学习中把握这些几何背景，力求直观理解这些不等式的实质。特别是对于n元柯西不等式、排序不等式、贝努利不等式等内容，可指导学生阅读了解相关背景知识。

第一讲不等式和绝对值不等式

课题：第01课时不等式的基本性质教学目标：

1．理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础。

2．掌握不等式的基本性质，并能加以证明；会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法，反证法证明简

单的不等式。

教学重点：应用不等式的基本性质推理判断命题的真假；代数证明，特别是反证法。教学难点：灵活应用不等式的基本性质。教学过程：一、引入：

不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。《列子•汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。

本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。

人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。

生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a克糖水中含有b克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么?

分析：起初的糖水浓度为

bbmbmb，加入m克糖后的糖水浓度为，只要证>即可。怎么证呢? aamama

二、不等式的基本性质：

1、实数的运算性质与大小顺序的关系：

数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：

abab0abab0abab0

得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。

2、不等式的基本性质：

①、如果a>b，那么bb。(对称性)②、如果a>b，且b>c，那么a>c，即a>b，b>ca>c。 ③、如果a>b，那么a+c>b+c，即a>ba+c>b+c。推论：如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d．即a>b， c>d

a+c>b+d．④、如果a>b，且c>0，那么ac>bc；如果a>b，且cb >0，那么anbn

(nN，且n>1)⑥、如果a>b >0，那么ab (nN，且n>1)。三、典型例题：

例1、比较(x3)(x7)和(x4)(x6)的大小。

分析：通过考察它们的差与0的大小关系，得出这两个多项式的大小关系。例2、已知ab,cd，求证：acbd．例3、已知a>b>0，c>d>0，求证：四、课堂练习：

1：已知x3，比较x11x与6x6的大小。

adb

。 c

2：已知a>b>0，c

课本P9第1、2、3、4题

。 acbd

六、教学后记：

课题：第02课时基本不等式教学目标：

1.学会推导并掌握均值不等式定理；

2.能够简单应用定理证明不等式并解决一些简单的实际问题。教学重点：均值不等式定理的证明及应用。

教学难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧。教学过程：一、知识学习：

2 2

定理1：如果a、b∈R，那么a＋b ≥2ab（当且仅当a＝b时取“＝”号）

2 22

证明：a＋b－2ab＝（a－b）

当a≠b时，（a－b）＞0，当a＝b时，（a－b）＝0

2 2 2

所以，（a－b）≥0 即a＋b ≥2ab 由上面的结论，我们又可得到

定理2（基本不等式）：如果a，b是正数，那么号）

证明：∵（a ）b ）≥ab

a ＋b

∴a＋b≥2ab ，即 ab

2显然，当且仅当a＝b时，说明：1）我们称

a ＋b

≥ab （当且仅当a＝b时取“＝”

a ＋b

为a，b的算术平均数，称ab 为a，b的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两

个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

2）a＋b≥2ab和

a ＋b

ab 成立的条件是不同的：前者只要求a，b都是实数，而后者要求a，b都是正

数.

3）“当且仅当”的含义是充要条件. 4）几何意义. 二、例题讲解：

例1 已知x，y都是正数，求证：

（1）如果积xy是定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2P ；

（2）如果和x＋y是定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S

4证明：因为x，y都是正数，所以（1）积xy为定值P时，有

x＋y

≥xy

x＋y

P ∴x＋y≥2P

上式当x＝y时，取“＝”号，因此，当x＝y时，和x＋y有最小值P .

S1 2

（2）和x＋y为定值S时，有xy ≤ ∴xy≤S

241 2

上式当x=y时取“＝”号，因此，当x=y时，积xyS.

4说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件： ⅰ）函数式中各项必须都是正数;

ⅱ)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；

ⅲ）等号成立条件必须存在。

例2 ：已知a、b、c、d都是正数，求证：

（ab＋cd）（ac＋bd）≥4abcd

分析：此题要求学生注意与均值不等式定理的“形”上发生联系，从而正确运用，同时加强对均值不等式定理的条件的认识.

证明：由a、b、c、d都是正数，得

ab＋cd

2∴

≥ab·cd ＞0，

ac＋bd

≥ac·bd ＞0，

（ab＋cd）（ac＋bd）

≥abcd

即（ab＋cd）（ac＋bd）≥4abcd

例3 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m，深为3m，如果池底每1m的造价为150元，池2

壁每1m的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？

分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理.

解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l元，根据题意，得

l＝240000＋720（x＋

1600

）≥240000＋720×2

x·

1600

＝240000＋720×2×40＝297600

1600当x＝，即x＝40时，l有最小值297600

因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元.

评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件. 三、课堂练习：课本P91练习1，2，3，4. 四、课堂小结：

通过本节学习，要求大家掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一些不等式及求函数的最值，，但是在应用时，应注意定理的适用条件。五、课后作业

课本P10习题1.1第5，6，7题六、教学后记：

课题：第03课时三个正数的算术-几何平均不等式教学目标：

1．能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题； 2．了解基本不等式的推广形式。

教学重点：三个正数的算术-几何平均不等式

教学难点：利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题教学过程：一、知识学习：

定理3：如果a,b,cR，那么

abcabc。当且仅当abc时，等号成立。 3

推广：

a1a2an≥1a2an 。当且仅当a1a2an时，等号成立。

语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

333

思考：类比基本不等式，是否存在：如果a,b,cR，那么abc3abc（当且仅当abc时，等号成

立）呢？试证明。二、例题分析：例1：求函数y2x

(x0)的最小值。 x

解一： y2x

31112

2x22x234∴ymin34 xxxxx

33223解二：y2x22x2x当2x即x时 x2xx

∴ymin26

22 2

的最小值。

(ab)b

上述两种做法哪种是错的？错误的原因是什么？变式训练1 若a,bR且ab,求a

由此题，你觉得在利用不等式解决这类题目时关键是要_____________________

例2 ：如下图，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿名着虚线折转成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？

变式训练2 已知：长方体的全面积为定值Ｓ，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值．

由例题，我们应该更牢记一 ____ 二 _____ 三 ________，三者缺一不可。另外，由不等号的方向也可以知道：积定____________，和定______________. 三、巩固练习 1.函数y3x

(x0)的最小值是 ( ) 2x

A.6 B.6 C.9 D.12 2.函数y4x

的最小值是____________

(x21)2

3．函数yx4(2x2)(0x

2)的最大值是（）

A.0 B.1 C.

1632 D. 2727

4.(2009浙江自选)已知正数x,y,z满足xyz1，求444的最小值。 5（2008，江苏，21）设a,b,c为正实数，求证：

111

abc23 333abc

四、课堂小结：

通过本节学习，要求大家掌握三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一些不等式及求函数的最值，，但是在应用时，应注意定理的适用条件。五、课后作业

P10习题1.1第11，12，13题六、教学后记：

课题：第04课时绝对值三角不等式教学目标：

1：了解绝对值三角不等式的含义，理解绝对值三角不等式公式及推导方法，会进行简单的应用。

2：充分运用观察、类比、猜想、分析证明的数学思维方法，体会转化和数形结合的数学思想，并能运用绝对值三角不等式公式进行推理和证明。

教学重点：绝对值三角不等式的含义，绝对值三角不等式的理解和运用。

教学难点：绝对值三角不等式的发现和推导、取等条件。教学过程：一、复习引入：

关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式。本节课探讨不等式证明这类问题。

1．请同学们回忆一下绝对值的意义。

x，如果x0

x0，如果x0。

x，如果x0

几何意义：在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。

2．证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：

（1）aa，当且仅当a0时等号成立，aa.当且仅当a0时等号成立。

（2）a

a2，（3）abab，（4）



(b0) b

那么abab?abab? 二、讲解新课：

探究: a,b,aba

b之间的什么关系?

结论：ab≤ab（当且仅当ab≥0时，等号成立.）

已知a,b是实数，试证明：ab≤ab（当且仅当ab≥0时，等号成立.）

方法一：证明:1 .当ab≥0时, 2. 当ab

ab|ab|,

ab|ab|,

|ab|

|ab|

  

  |a||b||a||b|

综合1, 2知定理成立.

方法二：分析法，两边平方（略）

定理1 如果a,b是实数，则ab≤ab（当且仅当ab≥0时，等号成立.）



（1）若把a,b换为向量a,b情形又怎样呢？



ab

ab

ab

根据定理1，有abbabb，就是，abba。所以，abab。定理（绝对值三角形不等式）

如果a,b是实数，则ab≤ab≤ab 注：当a,b为复数或向量时结论也成立.

推论1：a1a2an≤a1a2an

推论2：如果a、b、c是实数,那么ac≤abbc,当且仅当(ab)(bc)≥0时,等号成立.

思考：如何利用数轴给出推论2的几何解释？

（设A，B，C为数轴上的3个点，分别表示数a，b，c，则线段ABACCB.当且仅当C在A，B之间时，等号成立。这就是上面的例3。特别的，取c＝0（即C为原点），就得到例2的后半部分。）三、典型例题：

例1、已知 xa

,yb，求证 (xy)(ab)c. 22

证明 (xy)(ab)(xa)(yb) xayb （1）

xa

cc,yb， 22

∴xayb

c （2） 22

由（1），（2）得：(xy)(ab)c 例2、已知x

,y. 求证：2x3ya。 46aaaa

证明 x,y，∴2x,3y，

4622

由例1及上式，2x3y2x3ya。

注意：在推理比较简单时，我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法，只能用于不等号方向相同的不等式。

例3 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工,这两个地点分别位于公路路碑的第10公里和第20公里处.现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区,每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次,要使两个施工队每天往返的路程之和最小,生活区应该建于何处?

解：如果生活区建于公路路碑的第 x km处，两施工队每天往返的路程之和为S(x)km 那么 S(x)=2(|x-10|+|x-20|)

四、课堂练习：

1.(课本P20习题1.2第1题)求证:

⑴abab≥2a;⑵abab≤2b 2. (课本P19习题1.2第3题)求证:

⑴xaxb≥ab;⑵xaxb≤ab 3．（1）、已知Aa

,Bb.求证：(AB)(ab)c。 22cc

（2）、已知xa,yb.求证：2x3y2a3bc。

五、课堂小结：

1．实数a的绝对值的意义:

a(a0)

⑴a0(a0);（定义）

a(a0)

⑵a的几何意义:

2．定理（绝对值三角形不等式）

如果a,b是实数，则ab≤ab≤ab注意取等的条件。六、课后作业：课本P19第2，4，5题七．教学后记：

课题：第05课时绝对值不等式的解法教学目标：

1：理解并掌握xa和xa型不等式的解法。

2：充分运用观察、类比、猜想、分析证明的数学思维方法，体会转化和数形结合的数学思想，并能运用绝对值三角不等式公式进行推理和证明。

教学重点：绝对值三角不等式的含义，绝对值三角不等式的理解和运用。

教学难点：绝对值三角不等式的发现和推导、取等条件。教学过程：

一、复习引入：

在初中课程的学习中，我们已经对不等式和绝对值的一些基本知识有了一定的了解。请同学们回忆一下绝对值的意义。

在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。即

x，如果x0

x0，如果x0。

x，如果x0

在此基础上，本节讨论含有绝对值的不等式。二、新课学习：

关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式。下面分别就这两类问题展开探讨。

1、解在绝对值符号内含有未知数的不等式（也称绝对值不等式），关键在于去掉绝对值符号，化成普通的不等式。主要的依据是绝对值的几何意义.

2、含有绝对值的不等式有两种基本的类型。

第一种类型：设a为正数。根据绝对值的意义，不等式xa的解集是 {x|axa}，它的几何意义就是数轴上到原点的距离小于a的点的集合是开区间（－a，a），如图所示。

a 图1-1 a

如果给定的不等式符合上述形式，就可以直接利用它的结果来解。

第二种类型：设a为正数。根据绝对值的意义，不等式xa的解集是

{x|xa或xa}，它的几何意义就是数轴上到原点的距离大于a的点的集合是两个开区间(,a),(a,)的并集。如图1-2所示。

–a

图1-2

同样，如果给定的不等式符合这种类型，就可以直接利用它的结果来解。 3、axbc和axbc型不等式的解法。

axbccaxbc axbcaxbc或axbc

4、xaxbc和xaxbc型不等式的解法。（三种思路）三、典型例题：

例1、解不等式3xx2。例2、解不等式3x2x。

方法1：分类讨论。

方法2：依题意，原不等式等价于3x12x或3x1x2，然后去解。例3、解不等式2x3x25。例4、解不等式x2x5。

解：本题可以按照例3的方法解，但更简单的解法是利用几何意义。原不等式即数轴上的点x到1，2的距离的和大于等于5。因为1，2的距离为1，所以x在2的右边，与2的距离大于等于2（＝（5－1）2)；或者x在1的左边，与1的距离大于等于2。这就是说，x4或x1.

例5、不等式 xx3>a，对一切实数x都成立，求实数a的取值范围。四、课堂练习：解下列不等式：

1、 22x1. 2、43x10 3、 32xx4.

4、 x2x. 5、 x2x41 6、 x1x2.

7、 xx24 8、 xx6. 9、 xx2 10、 xx42.

五、课后作业：课本20第6、7、8、9题。六、教学后记：

第二讲证明不等式的基本方法

课题：第01课时不等式的证明方法之一：比较法教学目标：能熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。

教学重、难点：能熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。教学过程：

一、新课学习：

要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可，即利用不等式的性质：

abab0

abab0 abab0

二、典型例题：

3322

例1、设a,b都是正数，且ab，求证：ababab。

例2、若实数x1，求证：3(1x2x4)(1xx2)2.

证明：采用差值比较法：3(1x2x4)(1xx2)2 =33x3x1xx2x2x2x

=2(x4x3x1) =2(x1)2(x2x1) =2(x1)[(x)].

242423

1313

x1,从而(x1)20,且(x)20,∴ 2(x1)2[(x)2]0,

2424

∴ 3(1x2x4)(1xx2)2.

讨论：若题设中去掉x1这一限制条件，要求证的结论如何变换？例3、已知a,bR,求证abab.

本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。

证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于a,b对称，不妨设ab0.

ab0

ababab(a

ab

b

ab

)0

，从而原不等式得证。

2）商值比较法：设ab0,

aaabba

1,ab0, ba()ab1.故原不等式得证。 bbab

例4、甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙

有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走。如果mn，问甲、乙两人谁先到达指定地点。

分析：设从出发地点至指定地点的路程是S，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为t1,t2。要回答题目中的问题，只要比较t1,t2的大小就可以了。

解：设从出发地点至指定地点的路程是S，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为t1,t2，根据题意有

t1tSS2SS(mn)

t2，可得t1m1nS，，t2， 2m2nmn2mn222SS(mn)S[4mn(mn)2]S(mn)2从而t1t2， mn2mn2(mn)mn2(mn)mn

其中S,m,n都是正数，且mn。于是t1t20，即t1t2。从而知甲比乙首先到达指定地点。

讨论：如果mn，甲、乙两人谁先到达指定地点？

三、课堂练习：

1．比较下面各题中两个代数式值的大小：

（1）x与xx1；（2）xx1与(x1)2.

22．已知a1. 求证：（1）a2a1; （2）

1. 2

1a

3．若abc0，求证abc(abc)

abc

abc3

四、课时小结：

比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。“变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。五、课后作业：

课本23页第1、2、3、4题。六、教学后记：

课题：第02课时不等式的证明方法之二：综合法与分析法教学目标：

1、结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法。 2、了解分析法和综合法的思考过程。

教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程。

教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法。教学过程：一、引入：

综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方法，也是不等式证明中的基本方法。由

于两者在证明思路上存在着明显的互逆性，这里将其放在一起加以认识、学习，以便于对比研究两种思路方法的特点。

所谓综合法，即从已知条件出发，根据不等式的性质或已知的不等式，逐步推导出要证

的不等式。而分析法，则是由结果开始，倒过来寻找原因，直至原因成为明显的或者在已知中。前一种是“由因及果”，后一种是“执果索因”。打一个比方：张三在山里迷了路，救援人员从驻地出发，逐步寻找，直至找到他，这是“综合法”；而张三自己找路，直至回到驻地，这是“分析法”。二、典型例题：

例1、已知a,b,c0，且不全相等。求证：

a(b2c2)b(c2a2)c(a2b2)6abc 分析：用综合法。

例2、设a0,b0，求证ababab. 证法一分析法

要证ababab成立.

只需证(ab)(a2abb2)ab(ab)成立，又因ab0，只需证aabbab成立，又需证a2abb0成立，即需证(ab)20成立.而(ab)20显然成立. 由此命题得证。

证法二综合法

(ab)20a22abb20a2abb2ab

注意到a0,b0，即ab0，

由上式即得(ab)(a2abb2)ab(ab)，从而ababab成立。议一议：根据上面的例证，你能指出综合法和分析法的主要特点吗？例3、已知a，b，m都是正数，并且ab.求证：

ama

. （1） bmb

证法一要证（1），只需证b(am)a(bm) （2）要证（2），只需证bmam （3）

要证（3），只需证ba （4）已知（4）成立，所以（1）成立。

上面的证明用的是分析法。下面的证法二采用综合法。证法二因为 ba,m是正数，所以bmam

两边同时加上ab得b(am)a(bm)两边同时除以正数b(bm)得（1）。

例4、证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的水管比横截面是

正方形的水管流量大。

分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管横截面面积的大小。设截面的周长为L，则周长为L的圆的

LLLLLL

半径为，截面积为 ；周长为L的正方形为，截面积为。所以本题只需证明。

244224

2222

L证明：设截面的周长为L，则截面是圆的水管的截面面积为，截面是正方形的水管的截面面积为

2LLL

。只需证明：。 424

L2L2

为了证明上式成立，只需证明。 2

164

两边同乘以正数

411

。因此，只需证明4。，得：

4L2

LL

上式显然成立，所以 。

24

这就证明了：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的水管比横截面是

正方形的水管流量大。

例5、证明：abcabbcca。

证法一：因为 ab2ab （2） bc2bc （3） ca2ca （4）

所以三式相加得2(a2b2c2)2(abbcca) （5）两边同时除以2即得（1）。

证法二：

a2b2c2(abbcca)

所以（1）成立。

111

(ab)2(bc)2(ca)20, 222

例6、证明：(ab)(cd)(acbd). （1）证明（1）(ab)(cd)(acbd)0 （2）

2222

a2c2b2c2a2d2b2d2(a2c22abcdb2d2)0 （3）  b2c2a2d22abcd0 （4）  (bcad)20 （5）

（5）显然成立。因此（1）成立。

.并指出等号在什么时候成立？例7、已知a,b,c都是正数，求证abc3abc

分析：本题可以考虑利用因式分解公式

abc3abc(abc)(abcabbcca)着手。证明： abc3abc

=(abc)(abcabbcca) =

333

333222

(abc)[(ab)2(bc)2(ca)2]. 2

由于a,b,c都是正数，所以abc0.而(ab)2(bc)2(ca)20，

可知abc3abc0

333

即abc3abc（等号在abc时成立）

探究：如果将不等式abc3abc中的a3,b3,c3分别用a,b,c来代替，并在两边同除以3，会得到怎样的不等式？并利用得到的结果证明不等式：

(1ab)(1bc)(1ca)27，其中a,b,c是互不相等的正数，且abc1.

三、课堂小结：

解不等式时，在不等式的两边分别作恒等变形，在不等式的两边同时加上（或减去）一个数或代数式，移项，在不等式的两边同时乘以（或除以）一个正数或一个正的代数式，得到的不等式都和原来的不等式等价。这些方法，也是利用综合法和分析法证明不等式时常常用到的技巧。四、课堂练习：

1、已知x0,求证：x

333

2. x

2、已知x0,y0,xy,求证

114. xyxy

3、已知ab0,求证ab4、已知a0,b0.求证：（1）(ab)(a

1

a.

b1)4.（2） (ab)(a2b2)(a3b3)8a3b3.

5、已知a,b,c,d都是正数。求证：

（1）

abcdabcdab; （2）abcd.

. 6、已知a,b,c都是互不相等的正数，求证(abc)(abbcca)9abc

五、课后作业：

课本25页第1、2、3、4题。六、教学后记：

课题：第03课时不等式的证明方法之三：反证法教学目标：

通过实例，体会反证法的含义、过程与方法，了解反证法的基本步骤，会用反证法证明简单的命题。教学重点：体会反证法证明命题的思路方法，会用反证法证明简单的命题。教学难点：会用反证法证明简单的命题。教学过程: 一、引入：

前面所讲的几种方法，属于不等式的直接证法。也就是说，直接从题设出发，经过一系列的逻辑推理，证明不等式成立。但对于一些较复杂的不等式，有时很难直接入手求证，这时可考虑采用间接证明的方法。所谓间接证明即是指不直接从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假，或转而证明它的等价命题为真，以间接地达到

目的。其中，反证法是间接证明的一种基本方法。

反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾。具体地说，反证法不直接证明命题“若p则q”，而是先肯定命题的条件p，并否定命题的结论q，然后通过合理的逻辑推理，而得到矛盾，从而断定原来的结论是正确的。

利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：第一步分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；第二步作出与所证不等式相反的假定；

第三步从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；

第四步断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立。二、典型例题：

例1、已知ab0，求证：ab（nN且n1）例1、设ab2，求证ab2. 证明：假设ab2，则有a2b，从而

a3812b6b2b3,

ab6b12b86(b1)2.

3333

因为6(b1)222，所以ab2，这与题设条件ab2矛盾，所以，原不等式ab2成

立。

例2、设二次函数f(x)xpxq，求证：f(1),f(2),f(3)中至少有一个不小于证明：假设f(1),f(2),f(3)都小于

1. 2

，则 2

f(1)2f(2)f(3)2. （1）另一方面，由绝对值不等式的性质，有

f(1)2f(2)f(3)f(1)2f(2)f(3)(1pq)2(42pq)(93pq)2

（2）

（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。

注意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行。议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？

例3、设0

1 4

111, (1  b)c >, (1  c)a >, 444

① 64

则三式相乘：ab

1(1a)a

又∵0

同理：(1b)b

, (1c)c 44

以上三式相乘： (1  a)a•(1  b)b•(1  c)c≤

与①矛盾∴原式成立 64

例4、已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求证：a, b, c > 0

证：设a 0, ∴bc 0, 则b + c = a > 0

∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc 0矛盾， ∴必有a > 0 同理可证：b > 0, c > 0 三、课堂练习：

1、利用反证法证明：若已知a，b，m都是正数，并且ab，则

ama

. bmb

2、设0 0，且x + y >2，则

1y1x

和中至少有一个小于2。 xy

提示：反设

1y1x

≥2，≥2 ∵x, y > 0，可得x + y ≤2 与x + y >2矛盾。 xy

四、课时小结：利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：

第一步分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；第二步作出与所证不等式相反的假定；

第三步从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；

第四步断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立。五、课后作业：

课本29页第1、4题。六、教学后记：

课题：第04课时不等式的证明方法之四：放缩法教学目标：

1．感受在什么情况下，需要用放缩法证明不等式。 2．探索用放缩法证明不等式的理论依据和技巧。教学重、难点：

1．掌握证明不等式的两种放缩技巧。

2．体会用放缩法证明不等式时放大或缩小的“度”。

教学过程：一、引入：

所谓放缩法，即是把要证的不等式一边适当地放大（或缩小），使之得出明显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法。这种方法是证明不等式中的常用方法，尤其在今后学习高等数学时用处更为广泛。

下面我们通过一些简单例证体会这种方法的基本思想。二、典型例题：

例1、若n是自然数，求证证明：

11112. 2222123n

1111

,k2,3,4,,n. 2

k(k1)k1kk



11111111



(n1)n122232n211223

111111

)

1223n1n1

=22.

1111

注意：实际上，我们在证明22222的过程中，已经得到一个更强的结论

123n

111112，这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想。

n122232n2

1111

3. 例2、求证：1

112123123n111

k1,（k是大于2的自然数）证明：由

123k122221111

 得1

112123123n

11n

1111313. 1123n11

122222n112

abcd

2 例3、若a, b, c, dR+，求证：1

abdbcacdbdac

abcd

证：记m = ∵a, b, c, dR+

abdbcacdbdac

abcd

1 ∴m

abcdabcacdabdabcabcdm2 ∴1

ababcddc

=()()(例4、当 n > 2 时，求证：logn(n1)logn(n1)1 证：∵n > 2 ∴logn(n1)0,

logn(n1)0

logn(n21)logn(n1)logn(n1)

 ∴logn(n1)logn(n1) 22lognn2

1

2

∴n > 2时, logn(n1)logn(n1)1

三、课堂练习：

11111. n1n2n32n21352n11

). 2、设n为自然数，求证(2)(2)(2)(2

nnnnn!

1、设n为大于1的自然数，求证四、课时小结：

常用的两种放缩技巧：对于分子分母均取正值的分式，

（Ⅰ）如果分子不变，分母缩小（分母仍为正数），则分式的值放大；（Ⅱ）如果分子不变，分母放大，则分式的值缩小。五、课后作业：课本29页第2、3题。

第三讲柯西不等式与排序不等式

课题：第01课时二维形式的柯西不等式（一）

教学目标：认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义，并会证明二维柯西不等式及向量形式. 教学重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式. 教学难点：理解几何意义. 教学过程：一、复习准备：

1. 提问：二元均值不等式有哪几种形式？

答案：

ab

(a0,b0)及几种变式. 2

2. 练习：已知a、b、c、d为实数，求证(a2b2)(c2d2)(acbd)2 证法：（比较法）(a2b2)(c2d2)(acbd)2=„.=(adbc)20 二、讲授新课： 1. 柯西不等式：

① 提出定理1：若a、b、c、d为实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2. → 即二维形式的柯西不等式 → 什么时候取等号？ ② 讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？

证法二：（综合法）(a2b2)(c2d2)a2c2a2d2b2c2b2d2

(acbd)2(adbc)2(acbd)2. （要点：展开→配方）





 证法三：（向量法）设向量m(a,b)，n(c,d)，则|m||n|

∵ mnacbd，且mn|m||n|cosm,n，则|mn||m||n|. ∴ „..

证法四：（函数法）设f(x)(a2b2)x22(acbd)xc2d2，则

f(x)(axc)2(bxd)2≥0恒成立.

∴ [2(acbd)]24(a2b2)(c2d2)≤0，即„.. ③ 讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？

|acbd| 或

|ac||bd|

acbd.

④ 提出定理2：设,是两个向量，则||||||. 即柯西不等式的向量形式（由向量法提出）

→ 讨论：上面时候等号成立？（是零向量，或者,共线）





⑤ 练习：已知a、b、c、d

证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义？（构造三角形） 2. 教学三角不等式：

① 出示定理3：设x1,y1,x2,y2

R分析其几何意义 → 如何利用柯西不等式证明

→ 变式：若x1,y1,x2,y2,x3,y3R，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？三、应用举例：

例1：已知a,b为实数，求证(a4b4)(a2b2)(a3b3)2

说明：在证明不等式时，联系经典不等式，既可以启发证明思路，又可以简化运算。所以，经典不等式是数学研究的有力工具。

例题2：求函数y5x12x的最大值。

分析：利用不等式解决最值问题，通常设法在不等式的一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件。这个函数的解析式是两部分的和，若能化为ac+bd的形式就能用柯西不等式求其最大值。（|acbd|解：函数的定义域为【1，5】，且y>0

a2b2c2d2）

y5x12x

52(2)2(x1)2(x)2 2746当且仅当2x15x时，等号成立，即x课堂练习：1. 证明: (x+y)(a+b)≥(ax+by)

2.求函数yx546x的最大值.

例3.设a,b是正实数，a+b=1，求证分析：注意到

127

时，函数取最大值63 27

4 ab

111111

(ab)()，有了(ab)()就可以用柯西不等式了。

ababab

四、巩固练习：

1. 练习：试写出三维形式的柯西不等式和三角不等式 2. 已知x+2y=1, 求x+y的最小值. 五、课堂小结：

二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点）六、布置作业：P37页，4，5， 7，8，9 七、教学后记：

课题：第02课时二维形式的柯西不等式（二）

教学目标：会利用二维柯西不等式及三角不等式解决问题，体会运用经典不等式的一般方法——发现具体问题与经典不等式之间的关系，经过适当变形，依据经典不等式得到不等关系. 教学重点：利用二维柯西不等式解决问题. 教学难点：如何变形，套用已知不等式的形式. 教学过程：一、复习引入：

1. 提问：二维形式的柯西不等式、三角不等式？几何意义？

答案：(a2b2)(c2d2)(ac

bd)22. 讨论：如何将二维形式的柯西不等式、三角不等式，拓广到三维、四维？ 3.

如何利用二维柯西不等式求函数y?

要点：利用变式|acbd|二、讲授新课： 1. 最大（小）值：

① 出示例1

：求函数y 分析：如何变形？ → 构造柯西不等式的形式 → 板演

→

变式：y →

推广：ya,b,c,d,e,fR) ② 练习：已知3x2y1，求x2y2的最小值. 解答要点：（凑配法）x2y2

1211

(xy2)(3222)(3x2y)2. 131313

讨论：其它方法（数形结合法） 2. 不等式的证明：

① 出示例2：若x,yR，xy2，求证：

2. xy

分析：如何变形后利用柯西不等式？（注意对比 → 构造）

要点：111(xy)(11)12222]„

讨论：其它证法（利用基本不等式）

② 练习：已知a、bR，求证：(ab)(11)4.

ab三、应用举例：

例1已知a1,a2,„,an都是实数，求证：

1222(a1a2an)2a1a2an n

分析：用n乘要证的式子两边，能使式子变成明显符合柯西不等式的形式。

例2已知a，b，c，d是不全相等的实数，证明：a+ b + c + d > ab + bc + cd + da

分析：上式两边都是由a,b,c,d这四个数组成的式子，特别是右边式子的字母排列顺序启发我们，可以用柯西

2 222

不等式进行证明。

例3、已知 x2y3z1,求 x2y2z2 的最小值.

分析：由 x2y3z1以及 x2y2z2 的形式，联系柯西不等式，可以通过构造（12+22+32）作为一个因式而解决问题。

四、巩固练习：

1. 练习：教材P37 8、9题

练习：1．设x，y，z为正实数，且x+y+z=1，求

149

的最小值。 xyz

2．已知a+b+c+d=1，求a+b+c+d的最小值。

3．已知a，b，c为正实数，且a+2b+3c=9，求a2bc的最大值。选做：4．已知a，b，c为正实数，且a+2b+3c=6，求a+b+c的最小值。（08广一模） 5．已知a，b，c为正实数，且a+2b+c=1，求

111

的最小值。（08东莞二模） abc

6．已知x+y+z=25，则m=x+2y+z的最小值是____________.(08惠州调研) 五、布置作业：教材P37 1、6、7题 ① 已知x,y,a,bR，且

1，则xy的最小值. xy

要点：xy()(xy)„. → 其它证法

② 若x,y,zR，且xyz1，求x2y2z2的最小值. （要点：利用三维柯西不等式）变式：若x,y,zR，且xyz

1的最大值. 六、课堂小结：

比较柯西不等式的形式，将目标式进行变形，注意凑配、构造等技巧. 七、教学后记：

课题：第03课时一般形式的柯西不等式教学目标：

1.认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义；

2.通过运用这种不等式分析解决一些问题，体会运用经典不等式的一般方法教学重点：一般形式柯西不等式的证明思路，运用这个不等式证明不等式。教学难点：应用一般形式柯西不等式证明不等式。

教学过程：一、复习引入：

定理1：（柯西不等式的代数形式）设a,b,c,d均为实数，则

(a2b2)(c2d2)(acbd)2，其中等号当且仅当adbc时成立。

定理2：（柯西不等式的向量形式）设，为平面上的两个向量，则||||||，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。

定理3：（三角形不等式）设x1,y1,x2,y2,x3,y3为任意实数，则：

(x1x2)2(y1y2)2(x2x3)2(y2y3)2(x1x3)2(y1y3)2 二、讲授新课：

类似的，从空间向量的几何背景业能得到|α.β|≤|α|| β| .将空间向量的坐标代入，可得到

(a1a2a3)(b1b2b3)(a1b1a2b2a3b3)2当且仅当 α ， β 共线时，

这就是三维形式的柯

即 β0 ，或存在一个实数k，使得aikbi(i1,2,3)时，等号成立.

西不等式.

对比二维形式和三维形式的柯西不等式，你能猜想出一般形式的柯西不等式吗？

定理4：（一般形式的柯西不等式）：设n为大于1的自然数，ai,bi（i1，2，„，n）为任意实数，则：

222222

(a12a22an2)(b12b22bn2)(a1b1a2b2anbn)

即

ai

i1

bi(aibi)2，其中等号当且仅当

i1

bb1b2

（当ai0时，约定bi0，i1，n时成立

a1a2an

2，„，n）。

证明：构造二次函数：f(x)(a1xb1)2(a2xb2)2(anxbn)2 即构造了一个二次函数：f(x)(ai2)x22(aibi)xbi2

i1

由于对任意实数x，f(x)0恒成立，则其0，即：4(aibi)4(ai)(bi2)0，

i1

i1n

nnn

i1

即：(aibi)2(ai2)(bi2)，

i1

等号当且仅当a1xb1a2xb2anxbn0，

即等号当且仅当b1b2bn时成立（当ai0时，约定bi0，i1，2，„，n）。

a1a2an

如果ai（1in）全为0，结论显然成立。

三、应用举例：

例3 已知a1,a2,„,an都是实数，求证：(a1a2an)2a12a22an2

分析：用n乘要证的式子两边，能使式子变成明显符合柯西不等式的形式。例4已知a，b，c，d是不全相等的实数，证明：a+ b + c + d > ab + bc + cd + da

分析：上式两边都是由a,b,c,d这四个数组成的式子，特别是右边式子的字母排列顺序启发我们，可以用柯西不等式进行证明。

例5、已知 x2y3z1,求 x2y2z2 的最小值.

分析：由 x2y3z1以及 x2y2z2 的形式，联系柯西不等式，可以通过构造（12+22+32）作为一个因式

而解决问题。四、巩固练习：

练习：1．设x，y，z为正实数，且x+y+z=1，求

149的最小值。 xyz

2．已知a+b+c+d=1，求a+b+c+d的最小值。

111

的最小值。（08东莞二模） abc

6．已知x+y+z=25，则m=x+2y+z的最小值是____________.(08惠州调研) 五、课堂小结：重点掌握三维柯西不等式的运用。六、布置作业：P41习题3.2 2，3，4，5 七、教学后记：

课题：第04课时排序不等式教学目标：

1. 了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题;

2. 教学重点：应用排序不等式证明不等式教学难点：排序不等式的证明思路教学过程一、复习准备：

1. 提问：前面所学习的一些经典不等式？（柯西不等式、三角不等式）

2. 举例：说说两类经典不等式的应用实例. 二、讲授新课： 1. 教学排序不等式： ① 看书：P41~P44.

如如图，设AOB，自点O沿OA边依次取n个点A1,A2,,An， OB边依次取取n个点B1,B2,,Bn，在OA边取某个点Ai与OB边某个点Bj连接，得到AOBij，这样一一搭配，一共可得到 n个三角形。显然，不同的搭配方法，得到的AOBij

不同，问：OA边上的点与OB边上的点如何搭配，才能使n个三角形的面积和最大（或最小）？

设OAiai,OBjbj(i,j1,2,,n)，由已知条件，得 a1a2a3an,b1b2b3bn

因为AOBij的面积是，而代数问题：设c1,c2,,cn是数组b1,b2,,bn的任何一个排列, 则Sa1c1a2c2ancn 何时取最大（或最小）值？

我们把Sa1c1a2c2ancn叫做数组(a1,a2,,an)与(b1,b2,,bn)的乱序和. 其中, S1a1bna2bn1a3bn2anb1称为序和.

S2a1b1a2b2a3b3anbn称为序和.这样的三个和大小关系如何?

设有两个有序实数组:a1a2···an;b1b2···bn，c1,c2,···cn是b1,b2，···,bn的任一排列,则有

a1b1a2b2···+anbn (同序和)a1c1a2c2+···+ancn (乱序和)a1bna2bn1+···+anb1 (反序和)

当且仅当a1a2···=an或b1b2···=bn时，反序和等于同序和. （要点：理解其思想，记住其形式）

三、应用举例：

例1：设a1,a2,,an是n个互不相同的正整数，求证：

a. aa3111

1a122n

23n23n2

分析：如何构造有序排列？如何运用套用排序不等式？证明过程：

设b1,b2,,bn是a1,a2,,an的一个排列，且b1b2bn，则b11,b22,,bnn.

1 又11212，由排序不等式，得 2

a3anbn„ b2b3

a1a2b1222222

小结：分析目标，构造有序排列. 四、巩固练习： 1. 练习：教材P45 1题

2.已知a,b,c为正数，求证：2(a3b3c3)a2(bc)b2(ac)c2(ab). 解答要点：由对称性，假设abc，则a2b2c2，

于是 a2ab2bc2ca2cb2ac2b，a2ab2bc2ca2bb2cc2a，两式相加即得.

五、课堂小结：排序不等式的基本形式. 六、布置作业：教材P45 3、4题七、教学后记：

选修4--5 不等式选讲

一、课程目标解读

掌握不等式的基本性质，会应用基本性质进行简单的不等式变形。 2．含有绝对值的不等式

理解绝对值的几何意义，理解绝对值三角不等式，会解绝对值不等式。 3．不等式的证明

通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法 4．几个著名的不等式

(3)了解n个正数的均值不等式，n维柯西不等式，排序不等式，贝努利不等式 5．利用不等式求最大（小）值

会用两个或三个正数的算术—几何平均不等式、柯西不等式求一些特定函数的最值。 6．数学归纳法与不等式

了解数学归纳法的原理及其使用范围；会用数学归纳法证明简单的不等式。会用数学归纳法证明贝努利不等式。四、教学重点难点

1、回顾并重视学生已学知识

学习本专题，学生已掌握的知识有：第一、初中课标要求的不等式与不等式组

(1)根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义，并探索不等式的基本性质。

(2)解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集。解由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会用数轴确定解集。

(3)根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式和一元一次不等式组，解决简单的问题第二、高中必修5不等式内容：

(1)不等关系。通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。

(2)一元二次不等式。

(3)二元一次不等式组与简单线性规划问题。 (4)基本不等式及其应用（求最值）。

第三、高中选修2-2推理与证明中的比较法、综合法、分析法、反证法、数学归纳法等内容。

第一讲不等式和绝对值不等式

课题：第01课时不等式的基本性质教学目标：

1．理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础。

2．掌握不等式的基本性质，并能加以证明；会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法，反证法证明简

单的不等式。

教学重点：应用不等式的基本性质推理判断命题的真假；代数证明，特别是反证法。教学难点：灵活应用不等式的基本性质。教学过程：一、引入：

本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。

生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a克糖水中含有b克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么?

分析：起初的糖水浓度为

bbmbmb，加入m克糖后的糖水浓度为，只要证>即可。怎么证呢? aamama

二、不等式的基本性质：

1、实数的运算性质与大小顺序的关系：

数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：

abab0abab0abab0

得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。

2、不等式的基本性质：

a+c>b+d．④、如果a>b，且c>0，那么ac>bc；如果a>b，且cb >0，那么anbn

(nN，且n>1)⑥、如果a>b >0，那么ab (nN，且n>1)。三、典型例题：

例1、比较(x3)(x7)和(x4)(x6)的大小。

1：已知x3，比较x11x与6x6的大小。

adb

。 c

2：已知a>b>0，c

课本P9第1、2、3、4题

。 acbd

六、教学后记：

课题：第02课时基本不等式教学目标：

1.学会推导并掌握均值不等式定理；

2.能够简单应用定理证明不等式并解决一些简单的实际问题。教学重点：均值不等式定理的证明及应用。

教学难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧。教学过程：一、知识学习：

2 2

定理1：如果a、b∈R，那么a＋b ≥2ab（当且仅当a＝b时取“＝”号）

2 22

证明：a＋b－2ab＝（a－b）

当a≠b时，（a－b）＞0，当a＝b时，（a－b）＝0

2 2 2

所以，（a－b）≥0 即a＋b ≥2ab 由上面的结论，我们又可得到

定理2（基本不等式）：如果a，b是正数，那么号）

证明：∵（a ）b ）≥ab

a ＋b

∴a＋b≥2ab ，即 ab

2显然，当且仅当a＝b时，说明：1）我们称

a ＋b

≥ab （当且仅当a＝b时取“＝”

a ＋b

为a，b的算术平均数，称ab 为a，b的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两

个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

2）a＋b≥2ab和

a ＋b

ab 成立的条件是不同的：前者只要求a，b都是实数，而后者要求a，b都是正

数.

3）“当且仅当”的含义是充要条件. 4）几何意义. 二、例题讲解：

例1 已知x，y都是正数，求证：

（1）如果积xy是定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2P ；

（2）如果和x＋y是定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S

4证明：因为x，y都是正数，所以（1）积xy为定值P时，有

x＋y

≥xy

x＋y

P ∴x＋y≥2P

上式当x＝y时，取“＝”号，因此，当x＝y时，和x＋y有最小值P .

S1 2

（2）和x＋y为定值S时，有xy ≤ ∴xy≤S

241 2

上式当x=y时取“＝”号，因此，当x=y时，积xyS.

4说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件： ⅰ）函数式中各项必须都是正数;

ⅱ)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；

ⅲ）等号成立条件必须存在。

例2 ：已知a、b、c、d都是正数，求证：

（ab＋cd）（ac＋bd）≥4abcd

分析：此题要求学生注意与均值不等式定理的“形”上发生联系，从而正确运用，同时加强对均值不等式定理的条件的认识.

证明：由a、b、c、d都是正数，得

ab＋cd

2∴

≥ab·cd ＞0，

ac＋bd

≥ac·bd ＞0，

（ab＋cd）（ac＋bd）

≥abcd

即（ab＋cd）（ac＋bd）≥4abcd

例3 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m，深为3m，如果池底每1m的造价为150元，池2

壁每1m的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？

分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理.

解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l元，根据题意，得

l＝240000＋720（x＋

1600

）≥240000＋720×2

x·

1600

＝240000＋720×2×40＝297600

1600当x＝，即x＝40时，l有最小值297600

因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元.

课本P10习题1.1第5，6，7题六、教学后记：

课题：第03课时三个正数的算术-几何平均不等式教学目标：

1．能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题； 2．了解基本不等式的推广形式。

教学重点：三个正数的算术-几何平均不等式

教学难点：利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题教学过程：一、知识学习：

定理3：如果a,b,cR，那么

abcabc。当且仅当abc时，等号成立。 3

推广：

a1a2an≥1a2an 。当且仅当a1a2an时，等号成立。

语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

333

思考：类比基本不等式，是否存在：如果a,b,cR，那么abc3abc（当且仅当abc时，等号成

立）呢？试证明。二、例题分析：例1：求函数y2x

(x0)的最小值。 x

解一： y2x

31112

2x22x234∴ymin34 xxxxx

33223解二：y2x22x2x当2x即x时 x2xx

∴ymin26

22 2

的最小值。

(ab)b

上述两种做法哪种是错的？错误的原因是什么？变式训练1 若a,bR且ab,求a

由此题，你觉得在利用不等式解决这类题目时关键是要_____________________

变式训练2 已知：长方体的全面积为定值Ｓ，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值．

(x0)的最小值是 ( ) 2x

A.6 B.6 C.9 D.12 2.函数y4x

的最小值是____________

(x21)2

3．函数yx4(2x2)(0x

2)的最大值是（）

A.0 B.1 C.

1632 D. 2727

4.(2009浙江自选)已知正数x,y,z满足xyz1，求444的最小值。 5（2008，江苏，21）设a,b,c为正实数，求证：

111

abc23 333abc

四、课堂小结：

P10习题1.1第11，12，13题六、教学后记：

课题：第04课时绝对值三角不等式教学目标：

1：了解绝对值三角不等式的含义，理解绝对值三角不等式公式及推导方法，会进行简单的应用。

2：充分运用观察、类比、猜想、分析证明的数学思维方法，体会转化和数形结合的数学思想，并能运用绝对值三角不等式公式进行推理和证明。

教学重点：绝对值三角不等式的含义，绝对值三角不等式的理解和运用。

教学难点：绝对值三角不等式的发现和推导、取等条件。教学过程：一、复习引入：

关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式。本节课探讨不等式证明这类问题。

1．请同学们回忆一下绝对值的意义。

x，如果x0

x0，如果x0。

x，如果x0

几何意义：在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。

2．证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：

（1）aa，当且仅当a0时等号成立，aa.当且仅当a0时等号成立。

（2）a

a2，（3）abab，（4）



(b0) b

那么abab?abab? 二、讲解新课：

探究: a,b,aba

b之间的什么关系?

结论：ab≤ab（当且仅当ab≥0时，等号成立.）

已知a,b是实数，试证明：ab≤ab（当且仅当ab≥0时，等号成立.）

方法一：证明:1 .当ab≥0时, 2. 当ab

ab|ab|,

ab|ab|,

|ab|

|ab|

  

  |a||b||a||b|

综合1, 2知定理成立.

方法二：分析法，两边平方（略）

定理1 如果a,b是实数，则ab≤ab（当且仅当ab≥0时，等号成立.）



（1）若把a,b换为向量a,b情形又怎样呢？



ab

ab

ab

根据定理1，有abbabb，就是，abba。所以，abab。定理（绝对值三角形不等式）

如果a,b是实数，则ab≤ab≤ab 注：当a,b为复数或向量时结论也成立.

推论1：a1a2an≤a1a2an

推论2：如果a、b、c是实数,那么ac≤abbc,当且仅当(ab)(bc)≥0时,等号成立.

思考：如何利用数轴给出推论2的几何解释？

例1、已知 xa

,yb，求证 (xy)(ab)c. 22

证明 (xy)(ab)(xa)(yb) xayb （1）

xa

cc,yb， 22

∴xayb

c （2） 22

由（1），（2）得：(xy)(ab)c 例2、已知x

,y. 求证：2x3ya。 46aaaa

证明 x,y，∴2x,3y，

4622

由例1及上式，2x3y2x3ya。

注意：在推理比较简单时，我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法，只能用于不等号方向相同的不等式。

解：如果生活区建于公路路碑的第 x km处，两施工队每天往返的路程之和为S(x)km 那么 S(x)=2(|x-10|+|x-20|)

四、课堂练习：

1.(课本P20习题1.2第1题)求证:

⑴abab≥2a;⑵abab≤2b 2. (课本P19习题1.2第3题)求证:

⑴xaxb≥ab;⑵xaxb≤ab 3．（1）、已知Aa

,Bb.求证：(AB)(ab)c。 22cc

（2）、已知xa,yb.求证：2x3y2a3bc。

五、课堂小结：

1．实数a的绝对值的意义:

a(a0)

⑴a0(a0);（定义）

a(a0)

⑵a的几何意义:

2．定理（绝对值三角形不等式）

如果a,b是实数，则ab≤ab≤ab注意取等的条件。六、课后作业：课本P19第2，4，5题七．教学后记：

课题：第05课时绝对值不等式的解法教学目标：

1：理解并掌握xa和xa型不等式的解法。

2：充分运用观察、类比、猜想、分析证明的数学思维方法，体会转化和数形结合的数学思想，并能运用绝对值三角不等式公式进行推理和证明。

教学重点：绝对值三角不等式的含义，绝对值三角不等式的理解和运用。

教学难点：绝对值三角不等式的发现和推导、取等条件。教学过程：

一、复习引入：

在初中课程的学习中，我们已经对不等式和绝对值的一些基本知识有了一定的了解。请同学们回忆一下绝对值的意义。

在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。即

x，如果x0

x0，如果x0。

x，如果x0

在此基础上，本节讨论含有绝对值的不等式。二、新课学习：

关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式。下面分别就这两类问题展开探讨。

1、解在绝对值符号内含有未知数的不等式（也称绝对值不等式），关键在于去掉绝对值符号，化成普通的不等式。主要的依据是绝对值的几何意义.

2、含有绝对值的不等式有两种基本的类型。

a 图1-1 a

如果给定的不等式符合上述形式，就可以直接利用它的结果来解。

第二种类型：设a为正数。根据绝对值的意义，不等式xa的解集是

{x|xa或xa}，它的几何意义就是数轴上到原点的距离大于a的点的集合是两个开区间(,a),(a,)的并集。如图1-2所示。

–a

图1-2

同样，如果给定的不等式符合这种类型，就可以直接利用它的结果来解。 3、axbc和axbc型不等式的解法。

axbccaxbc axbcaxbc或axbc

4、xaxbc和xaxbc型不等式的解法。（三种思路）三、典型例题：

例1、解不等式3xx2。例2、解不等式3x2x。

方法1：分类讨论。

方法2：依题意，原不等式等价于3x12x或3x1x2，然后去解。例3、解不等式2x3x25。例4、解不等式x2x5。

例5、不等式 xx3>a，对一切实数x都成立，求实数a的取值范围。四、课堂练习：解下列不等式：

1、 22x1. 2、43x10 3、 32xx4.

4、 x2x. 5、 x2x41 6、 x1x2.

7、 xx24 8、 xx6. 9、 xx2 10、 xx42.

五、课后作业：课本20第6、7、8、9题。六、教学后记：

第二讲证明不等式的基本方法

课题：第01课时不等式的证明方法之一：比较法教学目标：能熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。

教学重、难点：能熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。教学过程：

一、新课学习：

要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可，即利用不等式的性质：

abab0

abab0 abab0

二、典型例题：

3322

例1、设a,b都是正数，且ab，求证：ababab。

例2、若实数x1，求证：3(1x2x4)(1xx2)2.

证明：采用差值比较法：3(1x2x4)(1xx2)2 =33x3x1xx2x2x2x

=2(x4x3x1) =2(x1)2(x2x1) =2(x1)[(x)].

242423

1313

x1,从而(x1)20,且(x)20,∴ 2(x1)2[(x)2]0,

2424

∴ 3(1x2x4)(1xx2)2.

讨论：若题设中去掉x1这一限制条件，要求证的结论如何变换？例3、已知a,bR,求证abab.

本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。

证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于a,b对称，不妨设ab0.

ab0

ababab(a

ab

b

ab

)0

，从而原不等式得证。

2）商值比较法：设ab0,

aaabba

1,ab0, ba()ab1.故原不等式得证。 bbab

例4、甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙

有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走。如果mn，问甲、乙两人谁先到达指定地点。

分析：设从出发地点至指定地点的路程是S，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为t1,t2。要回答题目中的问题，只要比较t1,t2的大小就可以了。

解：设从出发地点至指定地点的路程是S，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为t1,t2，根据题意有

t1tSS2SS(mn)

t2，可得t1m1nS，，t2， 2m2nmn2mn222SS(mn)S[4mn(mn)2]S(mn)2从而t1t2， mn2mn2(mn)mn2(mn)mn

其中S,m,n都是正数，且mn。于是t1t20，即t1t2。从而知甲比乙首先到达指定地点。

讨论：如果mn，甲、乙两人谁先到达指定地点？

三、课堂练习：

1．比较下面各题中两个代数式值的大小：

（1）x与xx1；（2）xx1与(x1)2.

22．已知a1. 求证：（1）a2a1; （2）

1. 2

1a

3．若abc0，求证abc(abc)

abc

abc3

四、课时小结：

课本23页第1、2、3、4题。六、教学后记：

课题：第02课时不等式的证明方法之二：综合法与分析法教学目标：

1、结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法。 2、了解分析法和综合法的思考过程。

教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程。

教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法。教学过程：一、引入：

综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方法，也是不等式证明中的基本方法。由

于两者在证明思路上存在着明显的互逆性，这里将其放在一起加以认识、学习，以便于对比研究两种思路方法的特点。

所谓综合法，即从已知条件出发，根据不等式的性质或已知的不等式，逐步推导出要证

例1、已知a,b,c0，且不全相等。求证：

a(b2c2)b(c2a2)c(a2b2)6abc 分析：用综合法。

例2、设a0,b0，求证ababab. 证法一分析法

要证ababab成立.

证法二综合法

(ab)20a22abb20a2abb2ab

注意到a0,b0，即ab0，

ama

. （1） bmb

证法一要证（1），只需证b(am)a(bm) （2）要证（2），只需证bmam （3）

要证（3），只需证ba （4）已知（4）成立，所以（1）成立。

上面的证明用的是分析法。下面的证法二采用综合法。证法二因为 ba,m是正数，所以bmam

两边同时加上ab得b(am)a(bm)两边同时除以正数b(bm)得（1）。

例4、证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的水管比横截面是

正方形的水管流量大。

分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管横截面面积的大小。设截面的周长为L，则周长为L的圆的

LLLLLL

半径为，截面积为 ；周长为L的正方形为，截面积为。所以本题只需证明。

244224

2222

L证明：设截面的周长为L，则截面是圆的水管的截面面积为，截面是正方形的水管的截面面积为

2LLL

。只需证明：。 424

L2L2

为了证明上式成立，只需证明。 2

164

两边同乘以正数

411

。因此，只需证明4。，得：

4L2

LL

上式显然成立，所以 。

24

这就证明了：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的水管比横截面是

正方形的水管流量大。

例5、证明：abcabbcca。

证法一：因为 ab2ab （2） bc2bc （3） ca2ca （4）

所以三式相加得2(a2b2c2)2(abbcca) （5）两边同时除以2即得（1）。

证法二：

a2b2c2(abbcca)

所以（1）成立。

111

(ab)2(bc)2(ca)20, 222

例6、证明：(ab)(cd)(acbd). （1）证明（1）(ab)(cd)(acbd)0 （2）

2222

a2c2b2c2a2d2b2d2(a2c22abcdb2d2)0 （3）  b2c2a2d22abcd0 （4）  (bcad)20 （5）

（5）显然成立。因此（1）成立。

.并指出等号在什么时候成立？例7、已知a,b,c都是正数，求证abc3abc

分析：本题可以考虑利用因式分解公式

abc3abc(abc)(abcabbcca)着手。证明： abc3abc

=(abc)(abcabbcca) =

333

333222

(abc)[(ab)2(bc)2(ca)2]. 2

由于a,b,c都是正数，所以abc0.而(ab)2(bc)2(ca)20，

可知abc3abc0

333

即abc3abc（等号在abc时成立）

探究：如果将不等式abc3abc中的a3,b3,c3分别用a,b,c来代替，并在两边同除以3，会得到怎样的不等式？并利用得到的结果证明不等式：

(1ab)(1bc)(1ca)27，其中a,b,c是互不相等的正数，且abc1.

三、课堂小结：

1、已知x0,求证：x

333

2. x

2、已知x0,y0,xy,求证

114. xyxy

3、已知ab0,求证ab4、已知a0,b0.求证：（1）(ab)(a

1

a.

b1)4.（2） (ab)(a2b2)(a3b3)8a3b3.

5、已知a,b,c,d都是正数。求证：

（1）

abcdabcdab; （2）abcd.

. 6、已知a,b,c都是互不相等的正数，求证(abc)(abbcca)9abc

五、课后作业：

课本25页第1、2、3、4题。六、教学后记：

课题：第03课时不等式的证明方法之三：反证法教学目标：

目的。其中，反证法是间接证明的一种基本方法。

利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：第一步分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；第二步作出与所证不等式相反的假定；

第三步从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；

第四步断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立。二、典型例题：

例1、已知ab0，求证：ab（nN且n1）例1、设ab2，求证ab2. 证明：假设ab2，则有a2b，从而

a3812b6b2b3,

ab6b12b86(b1)2.

3333

因为6(b1)222，所以ab2，这与题设条件ab2矛盾，所以，原不等式ab2成

立。

例2、设二次函数f(x)xpxq，求证：f(1),f(2),f(3)中至少有一个不小于证明：假设f(1),f(2),f(3)都小于

1. 2

，则 2

f(1)2f(2)f(3)2. （1）另一方面，由绝对值不等式的性质，有

f(1)2f(2)f(3)f(1)2f(2)f(3)(1pq)2(42pq)(93pq)2

（2）

（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。

例3、设0

1 4

111, (1  b)c >, (1  c)a >, 444

① 64

则三式相乘：ab

1(1a)a

又∵0

同理：(1b)b

, (1c)c 44

以上三式相乘： (1  a)a•(1  b)b•(1  c)c≤

与①矛盾∴原式成立 64

例4、已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求证：a, b, c > 0

证：设a 0, ∴bc 0, 则b + c = a > 0

∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc 0矛盾， ∴必有a > 0 同理可证：b > 0, c > 0 三、课堂练习：

1、利用反证法证明：若已知a，b，m都是正数，并且ab，则

ama

. bmb

2、设0 0，且x + y >2，则

1y1x

和中至少有一个小于2。 xy

提示：反设

1y1x

≥2，≥2 ∵x, y > 0，可得x + y ≤2 与x + y >2矛盾。 xy

四、课时小结：利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：

第一步分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；第二步作出与所证不等式相反的假定；

第三步从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；

第四步断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立。五、课后作业：

课本29页第1、4题。六、教学后记：

课题：第04课时不等式的证明方法之四：放缩法教学目标：

1．感受在什么情况下，需要用放缩法证明不等式。 2．探索用放缩法证明不等式的理论依据和技巧。教学重、难点：

1．掌握证明不等式的两种放缩技巧。

2．体会用放缩法证明不等式时放大或缩小的“度”。

教学过程：一、引入：

下面我们通过一些简单例证体会这种方法的基本思想。二、典型例题：

例1、若n是自然数，求证证明：

11112. 2222123n

1111

,k2,3,4,,n. 2

k(k1)k1kk



11111111



(n1)n122232n211223

111111

)

1223n1n1

=22.

1111

注意：实际上，我们在证明22222的过程中，已经得到一个更强的结论

123n

111112，这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想。

n122232n2

1111

3. 例2、求证：1

112123123n111

k1,（k是大于2的自然数）证明：由

123k122221111

 得1

112123123n

11n

1111313. 1123n11

122222n112

abcd

2 例3、若a, b, c, dR+，求证：1

abdbcacdbdac

abcd

证：记m = ∵a, b, c, dR+

abdbcacdbdac

abcd

1 ∴m

abcdabcacdabdabcabcdm2 ∴1

ababcddc

=()()(例4、当 n > 2 时，求证：logn(n1)logn(n1)1 证：∵n > 2 ∴logn(n1)0,

logn(n1)0

logn(n21)logn(n1)logn(n1)

 ∴logn(n1)logn(n1) 22lognn2

1

2

∴n > 2时, logn(n1)logn(n1)1

三、课堂练习：

11111. n1n2n32n21352n11

). 2、设n为自然数，求证(2)(2)(2)(2

nnnnn!

1、设n为大于1的自然数，求证四、课时小结：

常用的两种放缩技巧：对于分子分母均取正值的分式，

第三讲柯西不等式与排序不等式

课题：第01课时二维形式的柯西不等式（一）

1. 提问：二元均值不等式有哪几种形式？

答案：

ab

(a0,b0)及几种变式. 2

证法二：（综合法）(a2b2)(c2d2)a2c2a2d2b2c2b2d2

(acbd)2(adbc)2(acbd)2. （要点：展开→配方）





 证法三：（向量法）设向量m(a,b)，n(c,d)，则|m||n|

∵ mnacbd，且mn|m||n|cosm,n，则|mn||m||n|. ∴ „..

证法四：（函数法）设f(x)(a2b2)x22(acbd)xc2d2，则

f(x)(axc)2(bxd)2≥0恒成立.

∴ [2(acbd)]24(a2b2)(c2d2)≤0，即„.. ③ 讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？

|acbd| 或

|ac||bd|

acbd.

④ 提出定理2：设,是两个向量，则||||||. 即柯西不等式的向量形式（由向量法提出）

→ 讨论：上面时候等号成立？（是零向量，或者,共线）





⑤ 练习：已知a、b、c、d

证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义？（构造三角形） 2. 教学三角不等式：

① 出示定理3：设x1,y1,x2,y2

R分析其几何意义 → 如何利用柯西不等式证明

→ 变式：若x1,y1,x2,y2,x3,y3R，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？三、应用举例：

例1：已知a,b为实数，求证(a4b4)(a2b2)(a3b3)2

说明：在证明不等式时，联系经典不等式，既可以启发证明思路，又可以简化运算。所以，经典不等式是数学研究的有力工具。

例题2：求函数y5x12x的最大值。

a2b2c2d2）

y5x12x

52(2)2(x1)2(x)2 2746当且仅当2x15x时，等号成立，即x课堂练习：1. 证明: (x+y)(a+b)≥(ax+by)

2.求函数yx546x的最大值.

例3.设a,b是正实数，a+b=1，求证分析：注意到

127

时，函数取最大值63 27

4 ab

111111

(ab)()，有了(ab)()就可以用柯西不等式了。

ababab

四、巩固练习：

1. 练习：试写出三维形式的柯西不等式和三角不等式 2. 已知x+2y=1, 求x+y的最小值. 五、课堂小结：

二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点）六、布置作业：P37页，4，5， 7，8，9 七、教学后记：

课题：第02课时二维形式的柯西不等式（二）

1. 提问：二维形式的柯西不等式、三角不等式？几何意义？

答案：(a2b2)(c2d2)(ac

bd)22. 讨论：如何将二维形式的柯西不等式、三角不等式，拓广到三维、四维？ 3.

如何利用二维柯西不等式求函数y?

要点：利用变式|acbd|二、讲授新课： 1. 最大（小）值：

① 出示例1

：求函数y 分析：如何变形？ → 构造柯西不等式的形式 → 板演

→

变式：y →

推广：ya,b,c,d,e,fR) ② 练习：已知3x2y1，求x2y2的最小值. 解答要点：（凑配法）x2y2

1211

(xy2)(3222)(3x2y)2. 131313

讨论：其它方法（数形结合法） 2. 不等式的证明：

① 出示例2：若x,yR，xy2，求证：

2. xy

分析：如何变形后利用柯西不等式？（注意对比 → 构造）

要点：111(xy)(11)12222]„

讨论：其它证法（利用基本不等式）

② 练习：已知a、bR，求证：(ab)(11)4.

ab三、应用举例：

例1已知a1,a2,„,an都是实数，求证：

1222(a1a2an)2a1a2an n

分析：用n乘要证的式子两边，能使式子变成明显符合柯西不等式的形式。

例2已知a，b，c，d是不全相等的实数，证明：a+ b + c + d > ab + bc + cd + da

分析：上式两边都是由a,b,c,d这四个数组成的式子，特别是右边式子的字母排列顺序启发我们，可以用柯西

2 222

不等式进行证明。

例3、已知 x2y3z1,求 x2y2z2 的最小值.

分析：由 x2y3z1以及 x2y2z2 的形式，联系柯西不等式，可以通过构造（12+22+32）作为一个因式而解决问题。

四、巩固练习：

1. 练习：教材P37 8、9题

练习：1．设x，y，z为正实数，且x+y+z=1，求

149

的最小值。 xyz

2．已知a+b+c+d=1，求a+b+c+d的最小值。

111

的最小值。（08东莞二模） abc

6．已知x+y+z=25，则m=x+2y+z的最小值是____________.(08惠州调研) 五、布置作业：教材P37 1、6、7题 ① 已知x,y,a,bR，且

1，则xy的最小值. xy

要点：xy()(xy)„. → 其它证法

② 若x,y,zR，且xyz1，求x2y2z2的最小值. （要点：利用三维柯西不等式）变式：若x,y,zR，且xyz

1的最大值. 六、课堂小结：

比较柯西不等式的形式，将目标式进行变形，注意凑配、构造等技巧. 七、教学后记：

课题：第03课时一般形式的柯西不等式教学目标：

1.认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义；

教学过程：一、复习引入：

定理1：（柯西不等式的代数形式）设a,b,c,d均为实数，则

(a2b2)(c2d2)(acbd)2，其中等号当且仅当adbc时成立。

定理3：（三角形不等式）设x1,y1,x2,y2,x3,y3为任意实数，则：

(x1x2)2(y1y2)2(x2x3)2(y2y3)2(x1x3)2(y1y3)2 二、讲授新课：

类似的，从空间向量的几何背景业能得到|α.β|≤|α|| β| .将空间向量的坐标代入，可得到

(a1a2a3)(b1b2b3)(a1b1a2b2a3b3)2当且仅当 α ， β 共线时，

这就是三维形式的柯

即 β0 ，或存在一个实数k，使得aikbi(i1,2,3)时，等号成立.

西不等式.

对比二维形式和三维形式的柯西不等式，你能猜想出一般形式的柯西不等式吗？

定理4：（一般形式的柯西不等式）：设n为大于1的自然数，ai,bi（i1，2，„，n）为任意实数，则：

222222

(a12a22an2)(b12b22bn2)(a1b1a2b2anbn)

即

ai

i1

bi(aibi)2，其中等号当且仅当

i1

bb1b2

（当ai0时，约定bi0，i1，n时成立

a1a2an

2，„，n）。

证明：构造二次函数：f(x)(a1xb1)2(a2xb2)2(anxbn)2 即构造了一个二次函数：f(x)(ai2)x22(aibi)xbi2

i1

由于对任意实数x，f(x)0恒成立，则其0，即：4(aibi)4(ai)(bi2)0，

i1

i1n

nnn

i1

即：(aibi)2(ai2)(bi2)，

i1

等号当且仅当a1xb1a2xb2anxbn0，

即等号当且仅当b1b2bn时成立（当ai0时，约定bi0，i1，2，„，n）。

a1a2an

如果ai（1in）全为0，结论显然成立。

三、应用举例：

例3 已知a1,a2,„,an都是实数，求证：(a1a2an)2a12a22an2

分析：用n乘要证的式子两边，能使式子变成明显符合柯西不等式的形式。例4已知a，b，c，d是不全相等的实数，证明：a+ b + c + d > ab + bc + cd + da

分析：上式两边都是由a,b,c,d这四个数组成的式子，特别是右边式子的字母排列顺序启发我们，可以用柯西不等式进行证明。

例5、已知 x2y3z1,求 x2y2z2 的最小值.

分析：由 x2y3z1以及 x2y2z2 的形式，联系柯西不等式，可以通过构造（12+22+32）作为一个因式

而解决问题。四、巩固练习：

练习：1．设x，y，z为正实数，且x+y+z=1，求

149的最小值。 xyz

2．已知a+b+c+d=1，求a+b+c+d的最小值。

111

的最小值。（08东莞二模） abc

课题：第04课时排序不等式教学目标：

1. 了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题;

2. 教学重点：应用排序不等式证明不等式教学难点：排序不等式的证明思路教学过程一、复习准备：

1. 提问：前面所学习的一些经典不等式？（柯西不等式、三角不等式）

2. 举例：说说两类经典不等式的应用实例. 二、讲授新课： 1. 教学排序不等式： ① 看书：P41~P44.

不同，问：OA边上的点与OB边上的点如何搭配，才能使n个三角形的面积和最大（或最小）？

设OAiai,OBjbj(i,j1,2,,n)，由已知条件，得 a1a2a3an,b1b2b3bn

因为AOBij的面积是，而代数问题：设c1,c2,,cn是数组b1,b2,,bn的任何一个排列, 则Sa1c1a2c2ancn 何时取最大（或最小）值？

我们把Sa1c1a2c2ancn叫做数组(a1,a2,,an)与(b1,b2,,bn)的乱序和. 其中, S1a1bna2bn1a3bn2anb1称为序和.

S2a1b1a2b2a3b3anbn称为序和.这样的三个和大小关系如何?

设有两个有序实数组:a1a2···an;b1b2···bn，c1,c2,···cn是b1,b2，···,bn的任一排列,则有

a1b1a2b2···+anbn (同序和)a1c1a2c2+···+ancn (乱序和)a1bna2bn1+···+anb1 (反序和)

当且仅当a1a2···=an或b1b2···=bn时，反序和等于同序和. （要点：理解其思想，记住其形式）

三、应用举例：

例1：设a1,a2,,an是n个互不相同的正整数，求证：

a. aa3111

1a122n

23n23n2

分析：如何构造有序排列？如何运用套用排序不等式？证明过程：

设b1,b2,,bn是a1,a2,,an的一个排列，且b1b2bn，则b11,b22,,bnn.

1 又11212，由排序不等式，得 2

a3anbn„ b2b3

a1a2b1222222

小结：分析目标，构造有序排列. 四、巩固练习： 1. 练习：教材P45 1题

2.已知a,b,c为正数，求证：2(a3b3c3)a2(bc)b2(ac)c2(ab). 解答要点：由对称性，假设abc，则a2b2c2，

于是 a2ab2bc2ca2cb2ac2b，a2ab2bc2ca2bb2cc2a，两式相加即得.

五、课堂小结：排序不等式的基本形式. 六、布置作业：教材P45 3、4题七、教学后记：

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