一、名词解释
1计算机模拟的概念：根据实际体系在计算机上进行模拟实验，通过将模拟结果与实际体系的实验数据进行比较，可以检验模型的准确性，也可以检验由模型导出的解析理论作为所作的简化近似是否成功。1
2材料设计是指（主要包含三个方面的含义）：理论计算→预报→组分、结构和性能；理论设计→订做→新材料；按照生产要求→设计→制备和加工方法。1
3数学模拟的定义：就是利用数学语言对某种事务系统的特征和数量关系建立起来的符号系统。
4数学建模是一种具有创新性的科学方法，它将实现问题简化，抽象为一个数学问题或数学模型，然后采用适当的数学方法进行求解，进而对现实问题进行定量分析和研究，最终达到解决实际问题的目的。1
5数学模型的建立方法——理论分析法：应用自然科学中的定理和定律，对被研究系统的有关因素进行分析、演绎、归纳，从而建立系统的数学模型。
6数学模型的建立方法——模拟方法：如果模型的结构及性质已经了解，但是数量描述及求解却相当麻烦。如果有另一种系统，结构和性质与其相同，而且构造出的模型也是类似的，就可以把后一种模型看作是原来模型的模拟，对后一个模型去分析或实验，并求得其结果。
7数学模型的建立方法——类比分析法：如果有两个系统，可以用统一形式的数学模型来描述，则此两个系统就可以相互类比。类别分析法是根据两个（或两类）系统某些属性或关系的相似，去猜想两者的其他属性或关系也可能相似的一种方法。
8数学模型的建立方法——数据分析法：当有若干能表征系统规律、描述系统状态的数据可以利用时，就可以通过描述系统功能的数据分析来连接系统的结构模型。
9材料成型：采用铸造、锻造等方法将金属原材料加工成所需形状、尺寸，并达到一定的组织性能要求，这一过程称为材料成型。1
10逼近误差：差商和与导数之间的误差表明差商逼近导数的程度，称为逼近误差。2
11差商的精度：逼近误差相对于自变量差分（增量△x ）的量级称为用差商代替导数的精度。2
12截断误差：用差分方程近似代替微分方程所引起的误差，称为截断误差。2
13相容性：指当自变量的步长趋于零时，差分格式与微分问题的截断误差的范数是否趋于零，从而可以看出是否能用此差分格式来逼近微分问题。2
14收敛性：除了必须要求差分格式能逼近微分方程和定解条件外，还进一步要求差分格式的解与微分方程定解问题的解是一致的。即当步长趋于零时，要求差分格式的解趋于微分方程定解问题的解。称这种是否趋于微分方程定解问题的解的情况为差分方程的收敛性。2
15初截荷法是将塑性变形部分视为初应力或初应变来处理，将塑性变形问题转化为弹性问题的求解方法。4 16刚塑性有限元法不计弹性变形，采用屈服准则和方程，求解未知量为节点速度。5
17凝固模拟技术：用计算机高速度大容量的计算能力，对浇注凝固过程中相关的各物理场进行数值求解，可以预见一定工艺方案下，浇注凝固过程中的各物理行为方式，从而可以推断是否会产生缺陷以及产生缺陷的定量特征。6 18可视化处理：必须按照这些数据既定的数据结构和取值的规定性，通过计算机程序去求解、去识别，并将其组织、构造成相应的图形、图像、曲线乃至动画等等，使其直观可视，直接反应出工程相关的信息，直接揭示出工程相关的因果关系，为铸造工艺的优化提供准确的决策依据。6
19数据阵列：作为数值求解结果的解数据，是一个庞大的数值阵列，这些琐碎而沉繁的数据本身并不能直接向人们揭示充型或凝固过程的物理内涵。6
20前处理：在凝固模拟技术中，值域的离散化、方程的差分化通常被称为前处理。
21后处理：用计算机图形表示分析计算所得的数值结果，结果数据的可视化、动画化通常被称为后处理。
22导热——物体个部分之间不发生相对位移，依靠分子、原子及自由电子等微观粒子的热运动进行的热量传递。 23热流密度：单位时间内通过单位面积的热量称为热流密度。
24导热系数：单位温度梯度下物体内所产生的热流密度，它表示物体导热本领的大小。6
25对流：指物体个部分之间发生相对位移，冷热物体相互参混所引起的热量传递方式。6
26对流换热：物体流过另一物体表面时对流和导热联合起作用的传热过程。6
27温度场：导热体在各个时刻内部各点的温度分布。6
28等温线(面) ：同一时刻物体中温度相同的点连接而成，对二维问题指等温线，对三维问题指等温面。6 29离散化：把由无限个质点构成的连续体转化为有限个单元集合体的过程。2
30温度场模拟：利用传热学原理，分析铸件的传热过程，模拟铸件的冷却凝固过程，预测缩孔、缩松等缺陷。3
31注射成型流动过程模拟的目的在注塑模具制造前，预测塑料熔体充模过程的流动性为，以便尽早发现设计中存在的弊病，修改模具设计图样而不是返修模具。减少模具返修报废，提高塑件制品质量。
32计算机仿真：通过计算机软件系统观察系统动态模型在某段时间内的性能来解决问题的方法。2
二、填空题
1材料科学：以材料的组成、结构、性能和加工等为研究对象的一门科学。1
2材料、能源和信息称为当代文明的三大支柱。1
3材料的分类：组成与结构:金属材料、无机非金属材料、有机高分子材料和复合材料等。1
4材料的分类：性能和作用：结构材料和功能材料。1
5数学建模的过程包括：建模准备、建模假设、构造模型、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用。1 6对实体的认识过程：描述性数学模型、解释性数学模型。1
7建立立模型的数学方法：初等模型、图论模型、微分方程模型、随机模型。1
8模型的应用领域：人口模型、环境模型、水资源模型、污染模型。1
9模型的特征：静态模型和动态模型、离散模型和连续性模型。1
10对模型的了解程度：白箱模型、灰箱模型和黑箱模型。1
11材料成型方法涉及到的物理、化学和力学现象。1
12材料成型过程的基本规律可应用一组微分方程来描述：流动方程、热传导方程、平衡方程或运动方程、即场方程或控制方程。1
13材料成型问题——场方程——定解条件——边值条件，初始条件——方程解析解。1
14金属型模具温度场的分析内容：前处理——求解——后处理。6
15流场与缺陷形成有紧密的相关性，通过流场的模拟可以预测可能产生缺陷的位置和程度，从而提高改进的方向。 16导热特点：1）物体之间不发生宏观相对是位移；2）依靠微观粒子（分子、原子、电子等）的无规则热运动。3）是物质的固有本质。6
17计算机仿真包括两方面的工作：1）建立仿真对象的（数学模型）；2）求解，并将结果表示出来。
18有限元分析的后处理程序的功能：1）对计算结果的加工处理；2）计算结果的（图形）表示。2
19用于表示计算结果的图形表示形式：1）结构变形图；2）等值线图；3主应力迹线图；4）等色图。2 20一维空间Fourier 定律表示成下式：q=-λ∂t 。7 ∂x
∂T T 2-T 1=。7 ∂x x 2-x 121当x 方向的温度分布呈线性时，温度梯度表达式：
22虚拟现实技术重要特征：多感知性、（存在感）、交互性、自主性。2
23初始条件：温度初始条件、（压力）初始条件、速度初始条件、组织初始条件。3
三、简答题
1数值模拟方法的基本特点?1
答：将微分方程的边值问题的求解域进行离散化，将原来求得在求解域内处处满足场方程，在边界上处处满足边界条件得解析解的要求降低为求得在给定的离散点（节点）上满足由场方程和边界条件所导出的一组代数方程的数值解。因此使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。
2有限元法的特点？1
答：将求解域离散为一组有限个形状简单且仅在节点处相互连接的单元的集合体，在每个单元内用一个满足一定要求的差值函数描述基本未知量在其中的分布。随着单元尺寸的缩小，近似德尔数值求解越来越逼近精确解。有限元法适应任意复杂的和变动的边界。
3有限差分法的特点？1
答：以差分代替微分，将求解对象，在时间与空间上进行离散对每个离散单元进行各种物理场分析（温度场、流动场、应力场），然后将所有单元的求解结果汇总，得到整个求解对象在不同时刻的行为变化，并对分析对象的可能变化趋势作出预测。有限差分法有点：求解过程简单，速度快，前后置处理易于实现。
4数值模拟的基本原理是什么？1
答：1）金属成形过程是 工件的一个弹（粘）塑性变形过程，有时在这个过程中还伴有明显的温度和微观组织变化。
2）从物理的角度看，无论这个过程多么复杂，这个过程总可以通过一组微分方程以及相关的边界条件和初始条件
表示出来。这组微分方程以及边界条件和初始条件可以根据固体力学、热力学和材料科学的基础理论建立起来。3）通常，这组微分方程的基本未知量是工件各点的位移、温度和一些用于面熟微观组织的物理量。例如，对于普通的冲压过程，由于温度的影响和微观组织的变化可以忽略，因此基本的未知量只是工件各点的位移，而对于热锻过程，温度也应该作为基本的未知量。如果我们可以得到这组微分方程的解，那么，我们可以根据相关学科的基础理论和基本规律，由所得到的基本未知量计算出其他物理量（例如应力、应变。载荷等）随空间和时间的变化。4）由于金属成型过程的复杂性，这组微分方程具有极强的物理的和几何的非线性，因此得到这组微分方程的理论解是非常困难的。5）直到七十年代，随着计算机技术和数值计算方法特别是有限元方法的迅速发展，才使得有可能通过数值计算的方法求解这组微分方程，从而建立了金属成型工艺数值模拟技术。用计算机语言编写的的求解这组微分方程并由基本未知量计算其他物理量全部计算过程的文件就是我们常说金属成形工艺数值模拟软件。
5做金属成形工艺数值模拟需要客户准备哪些数据？1
答：客户需要提供数据包括：工艺参数，坯料、模具的形状尺寸数据和材料性能数据，压力机数据等。对于冲压工艺：材料性能数据只包括板料在室温条件下的力学性能能数据例如：应力应变曲线、n 值（应变硬化指数）的测定与r 值（厚向异性系数），成形极限图等。
对于锻造工艺：如果客户需要了解模具的变形和应力数据，则还需要提供模具的力学性能数据。如果是热锻，除了需要提供模具和坯料在锻造温度条件下的力学性能数据外，还需要提供与坯料与微观组织有关的数据。
6通过金属成形工艺数值模拟，可以得到什么结果？1
答：1）金属成形工艺数值模拟可以预测出工件变形的详细过程，并定量地给出工程师们所关心的与变形有关的各种物理量在工件或模具上的空间分布以及随时间的变化。
2）通常这些物理量包括：工件与模具的几何形状、位移、速度、（弹性和塑性）应变、应变率、应力、载荷等。对于热锻，还包括温度及微观组织（例如：再结晶体积分数和晶粒度）。如果工件为疏松材料，还另外包括材料粒度。
3）根据上物理量的计算结果，我们可以判断出工件是否存在缺陷。例如对于冲压工艺，您可以从工件外形判断出是否起皱，对比成形极限图可以看到共建哪些位置可能开裂。回弹计算结果直接给出工件各处的相对回弹量。
4）对于锻造工艺，您可以从工件外形判断是否有折叠，工件是否已经充满模具型腔。从温度分布可以判断工件温度是否太高，甚至出现过烧。对比破裂准则可以看到工件哪些位置可能开裂。根据晶粒度分布可以判断锻件是否出现混晶缺陷等。
5）如果发现成型后的工件出现某些缺陷，坑能是模具/坯料或者工艺的某些参数有问题，可以根据经验队工艺参数如此进行反复修改工艺反复模拟知道工件没有缺陷为止。在计算机上进行了一次工艺优化。这就是说通过金属成形工艺数值模拟，可以进行工艺设计并最终得到一个经过优化的成形工艺。
7做金属成形工艺数值模拟对企业有什么好处？1
答：1) 通过金属成形工艺数值模拟，可以进行工艺设计并最终得到一个经过优化的成形工艺。由于这个工艺模拟的计算是根据固体力学、材料科学与数值计算的基础理论进行的，因此这种数值模拟过程原则上与进行工艺实验具有相同的效果。
2）但是由于工艺模拟是在计算机上进行的，它不需要加工实际的模具和坯料，也不需要压力机，从而使在工艺设计和优化上所花费的时间、成本大为降低。可见这是一项能够给企业带来巨大经济效益的技术。
3）由于数值模拟技术可以使开发新产品的工艺试验次数大为减少，从而缩短了新产品的开发周期，降低了新产品的开发成本，提高了企业市场竞争力。长期应用这项高新技术将大幅度地提高企业的技术水平，使工艺设计逐步地从传统的“技艺”走向“科学”。
8有限差分法在材料成形领域的应用？
答：1）材料加工中的传热分析——铸造成型过程的传热凝固，塑性成形中的传热，焊接成型中的传热；2）材料加工中的流动分析——铸件充型过程，焊接熔池的产生，移动，激光熔覆中的动量传递；3）应力分析。
9有限差分法差分原理？2
答：函数y=f(x)对x 的导数d y ∆y f (x +∆x ) -f (x ) =lim =lim dx ∆x →0∆x ∆x →0∆x
向前差分：∆y = f(x+ ∆x )-f(x)； 向后差分：∆y = f(x)-f(x- ∆x ) ；中心差分：∆y = f(x+
10有限差分法二阶向前差分形式？2
11∆x )-f(x∆x ) 22
∆2y =∆（∆y ) =∆[f (x +∆x ) -f (x ) ]=∆f (x +∆x ) -∆f (x )
答=[f (x +2∆x ) -f (x +∆x ) ]-[f (x +∆x ) -f (x ) ]
=f (x +2∆x ) -2f (x +∆x ) +f (x )
11有限差分法n 阶向前差分形式？2
答：∆y =∆（∆2n +1y ) =∆∆(∆n -2y ) =∆{∆ [∆(∆y ) ]}=∆{∆ [∆(f (x +∆x ) -f (x ) ]} []
12函数对自变量的差商形式？2 ∆y f (x +∆x ) -f (x ) ∆y f (x ) -f (x -∆x ) 一阶向后差商： ==∆x ∆x ∆x ∆x
11f (x +∆x ) -f (x -∆x ) ∆y f (x +∆x ) -f (x -∆x ) ∆y 一阶中心差商为： 或 ==∆x 2∆x ∆x ∆x 答：一阶向前差商为：
∆2y f (x +∆x ) -2f (x ) +f (x -∆x ) 13函数对自变量的二阶中心差商形式？ 答： =2∆x 2（∆x ）
∆f f (x +∆x , y , ) -f (x , y , ) =∆x ∆x
∆f f (x , y +∆y , ) -f (x , y , ) 14多元函数f(x,y,z…)d 的一阶向前差商？2答： =∆y ∆y
15微分方程与差分方程的差别在哪里？2
答：差分相应于微分，差商相应于导数。只不过差分和差商是用有限元形式表示的而微分和导数则是以极限形式表示的。如果将微分方程中的导数用相应的差商近似代替，就可以得到有限元形式的差分方程。
16用差商代替导数推导出对应的一维差分方程？
答：∂ξ∂ξ+α=0 网格划分选定空间步长∆x 和时间步长∆t ：∆i =x 0+i ∆x , i =0, 1, 2, ∂t ∂x
∂ξ∂ξt n =n ∆t , n =0, 1, 2, 。对流方程在（(xi , t n ) 点为：() i n +α() i n =0；用差商代替导数推导出对应的差分方∂t ∂x
∂ξn ξi n +1-ζi n 程。若时间导数用一阶向前差商近似代替，即() i ≈；空间导数用一阶中心差商近似代替，即∂t ∆t
n n ξi n ξi n +1-ζi n ∂ξn ξi n +1-ζi -1+1-ζi -1() i ≈=0，这就是对应的差；则在（(xi , t n ) 点的对流方程就可近似地写作+α∂t 2∆x 2∆x ∆t
分方程。
17、Lax 等价定理？2答：对于一个适定的线性微分问题及一个与其相容的差分格式，如果该格式稳定则必收敛，不稳定则不收敛。换言之，若线性微分问题适定，差分格式相容，则稳定性是收敛性的必要和充分条件。 18弹性静力分析问题的假设条件？3
答：1）位移梯度是小量，应变与位移之间的关系是线性的；2）物体始终保持弹性状态，应力与应变之间的关系是线性的；3）边界条件中不包括接触条件。
19虚功原理？3答：外力在虚位移上所作的功等于因虚位移引起的虚应变能，σij δεij dV =b i δu i dV +
V V ⎰⎰S p ⎰p δu dS i i
20弹性力学有限元法的步骤？3答：将连续的求解域离散为一组单元的组合体，用每个单元内假设的近似函数来分片地表示求解域上待求的未知位移场函数，使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题，通过虚功原理建立弹性力学问题的有限元列式。
21形函数的性质？3答：1）在节点上形函数的值满足N i (xj , y j ) =δij =⎨
Ni+Nj+Nm=1；3）3节点三角形单元的形函数是线性的。
22面积坐标与直角坐标的转换关系式？ ⎧1当j =i (i , j , m ) ；2）在单元中任一点有：0当j ≠i ⎩
⎧L i ⎫⎡a i ⎪⎪1⎢a j 答：⎨L j ⎬=⎢⎪L ⎪2A ⎢a ⎩m ⎭⎣m b i b j b m c i ⎤⎧1⎫⎪⎪c j ⎥⎥⎨x ⎬，x =x i L i +x j L j +x m L m y =y i L i +y j L j +y m L m ⎪⎪c m ⎥⎦⎩y ⎭
⎧1⎫⎡1⎪⎪⎢⎨x ⎬=⎢x i ⎪y ⎪⎢y ⎩⎭⎣i 1x j y j 1⎤⎧L i ⎫⎥⎪⎪x m ⎥⎨L j ⎬ ⎪⎪y m ⎥⎦⎩L m ⎭
⎤0⎥⎥∂⎥⎧u ⎫⎨⎬=Lu ，L 为平面问题的微分算子。 ∂y ⎥⎩v ⎭∂⎥⎥∂x ⎥⎦22应变矩阵和应力矩阵，弹性矩阵的表达式？3 ⎧∂u ⎫⎡∂⎪⎪⎢⎧εx ⎫⎪∂x ⎪⎢∂x ⎪⎪⎪∂ν⎪⎢答：ε=⎨εy ⎬=⎨⎬=⎢0∂y ⎪2ε⎪⎪⎪⎩xy ⎭⎪∂u ∂v ⎪⎢∂⎢⎪∂y +∂x ⎪⎢∂y ⎩⎭⎣
ε=LuLNu e =L [N i
⎡b i 1⎢B i =0⎢2A ⎢⎣c i N j N m u e =B i ][B j B m u e =Bu e ，B 为应变矩阵，分块子矩阵是： ]⎧∂x ⎫0⎤⎪⎪e e e e c i ⎥ （i ，j ，m ） 应力张量：σ=⎨∂y ⎬=C ε=C Bu =Su ⎥⎪τ⎪b i ⎥⎦⎩xy ⎭
⎡⎤1ν00⎢⎥E 0e 0⎥ , C o =弹性矩阵：C =C o ⎢对1。对于平面应力问题，E 0=E，ν0=v；对于平面应变问题。2⎢⎥1-ν1-ν00称⎢⎥2⎦⎣
2E 0=E/（1-ν0），ν0=v/（1-ν0）。这里的E 是弹性模量，v 是泊松比。
23单元刚度矩阵特性？3 答：1) 对称性；2）奇异性；3）主元恒为正，即kii=0。
24在划分单元时原则？答：在划分单元时，应尽可能集中力的作用点作为节点，该集中力即为节点载荷。这样，在单元分析阶段不对其进行处理，到整体分析阶段再直接进行累加。
25整体刚度矩阵的特点？3答：1）整体钢度矩阵K 中一列元素的物理意义是要使弹性体的节点自由度发生单位位移，而其他节点自由度都保持零位移的状态下，需要施加的与节点自由度对应的节点力；2）整体刚度矩阵K 的主元素总是正的；3）整体刚度矩阵K 是对称矩阵；4）整体刚度矩阵K 是一个虚疏矩阵，如果遵守一定的节点编号规则，可使非零元素集中于对角线附近而呈带状；5）与单元刚度矩阵类似，整体刚度矩阵K 也是一个奇异矩阵。 26引入位移边界条件的方法？3答：1）对角元素改1法；2）对角元素乘大数法。
27处理应力结果的方法？3答：1）取相邻单元应力的平均值；2）取围绕节点各单元应力的平均值。
28为了保证解答的收敛性，要求位移模式必须满足三个条件？
答：1）位移模式必须包含单元的刚度位移；2）位移模式必须包含单元的常应变；3）位移模式在单元内要连续。 29多项式位移模式阶次的选择原则？答：选择多项式位移模式阶次考虑的因素：1）满足完备性和协调性的要求；2）应该与局部坐标系的方位无关——几何各向相同性；3）多项式的项必须等于或大于单元节点的自由度数。 30矩形单元有明显的缺点？
答：1）不能适应斜交边界和曲线边界；2）不便于对不同部位采用不同大小的单元，因此直接应用受到限制。 31弹塑性变形问题依材料非线性性质可以分为两类？
答：1）物性不依赖时间的弹塑性问题；2）弹性随时间变化的粘弹塑性问题。
32弹塑性有限元方程求解方法？4答：由于弹塑性变形条件下应力与应变间的非线性关系，弹塑性体形状的累积变化一般不能像弹性问题一样能一次算出，通常将载荷分解为若干个增量逐步加上去，即按增量法求解。
33弹塑性有限元计算应注意的几个问题？4
答：（1）非线性方程组求解方案。一般用增量法即沿加载路径进行逐步加载将非线性方程线性化求解，而每个加载步的计算都涉及若干次迭代计算。（2）变形区弹塑性状态的判定。
(1）弹性区式f (
(f (f t σij , Y , ε
t +∆t t p f σij , Y , εt +∆t t t p )
t +∆t t p f σij , Y , εt +∆t t t p )≥0p σij , Y , t +∆t )≥0（3-40）；3）弹性卸载区式C =C e C =C ep =C e -C p )≥0p σij , Y , t +∆t
C =C e ()
p σij , Y , t +∆t )≥0（3-42）。
（3）弹塑性计算加载增量步长的选定。为保证弹塑性有限元计算的精度和收敛性，必须选定合理的加载增量步长，对初始设定的加载步长加以约束。
34凝固模拟包括哪些内容？6答：逐渐浇注、凝固过程中，1) 流动场；2）温度场；3）应力应变场；4）结晶，组织，力学性能等宏观、微观多方面、多物理行为的数值模拟。
35凝固模拟解析包括哪些内容？6
答：逐渐浇注、凝固过程中，1）流动解析；2）传热解析；3）应力应变解析；4）结晶、组织、相结构解析。 36数理方程的求解方法？6答：作为一种微分性质的方程，对其进行数值求解，首先需要将值域离散化，将值域差分化，离散化和差分化实质上就是将数理方程复杂的求解过程有序化，代数化。
37辐射换热基本特点？6答：1）只要物体温度T>0K，物体就有辐射本领；2）存在近程及远程效应；3）存在热动平衡；4）在高温时更加重要，与△T 成正比；5）存在着吸收、反射与穿透；6）物性随波长和方向而变；7）无须任何介质，可以穿过真空和低温区。
38等温线（面）特点？6答：1）不能相交；2）对连续介质，只能在物体边界中断或完全封闭；3）沿等温线（面）无热量传递；4）等温线的疏密可直观反映出不同区域温度梯度（即热流密度）的相对大小。
39导热微分方程物理意义？6答：（导入微元体的总热流量）+（微元体内热源的生成热）=（微元体内能的增量）+（导出微元体的总热流量）：微元体升温所需的热量应等于流入微元体的热量（导入导出热量差）与微元体内产生∂T λ=的热量的总和。∂t ρc p ⎛∂2T ∂2T ∂2T ⎫q ⎪+++ ∂x 2∂y 2∂z 2⎪ρc ⎝⎭p
40用有限差分方法求解导热问题的基本步骤？
答：1）根据问题的性质确定导热微分方程式、初始条件和边界条件；2）对区域进行离散化，划分网格，确定计算节点；3）建立离散方程，对每一个节点写出表达式；4）求解线性方程组和对结果进行分析。
41塑性成形过程的数值模拟步骤？7答：确定了分析计算的基本方案后，就可以按建模（即建立几何模型）、分网（即建立有限元模型）、加载（即给定边界条件）、求解和后处理（即计算结果的可视化）等几个步骤实施分析计算。 42塑性成形模拟的特点？7
答：1）工件通常不是在已知的载荷下变形，而是在模具的作用下变形，而模具的型面通常是很复杂的。处理工件与复杂的模具型面的接触问题增大了模拟计算的难度；2）塑性成形中往往伴随着温度的变化，在热成型和温成形中更是如此，因此为了提高模拟精度，有时要考虑变形分析和热分析的耦合作用，塑性成形还会导致材料微观组织性能的变化，如变形结构、损伤、晶粒度等的演化，考虑这些因素也会增加模拟计算的复杂程度。
43薄壳理论是建立在两个基尔霍夫假定的基础上的，这两个假定是什么？7
答：1）变形前垂直于中面的法线杂在变形后仍然是直线，与变形后的中面保持垂直，称为直法线假定；2）垂直于
中面方向的应力与其它应力相比可以忽略不计。
44初始速度场的产生方法？答：1）工程近似法。对于变形毛坯形状和边界条件比较简单的情况，可以采用能量法、上限法等工程计算方法求得近似速度场；2）网格细分法。
45数学模型的离散化内容？3答：1）离散格式的选择；2）动量方程的离散；3）连续性方程的离散。
46铸造液态金属的流动属于带有自由表面、粘性、不可压缩、非稳态三维流动，请写出他的运动状态动量守恒方程和质量守恒方程？3 ⎛∂2u ∂2u ∂2u ⎫∂u ∂u ∂u ∂u 1∂p 答：+u +ν+w =-+g x +γ ∂x 2+∂y 2+∂z 2⎪⎪ ∂t ∂x ∂y ∂z ρ∂x ⎝⎭
⎛∂2v ∂2v ∂2v ⎫∂v ∂v ∂v ∂v 1∂p +u +ν+w =-+g y +γ +2+2⎪2 ⎪∂t ∂x ∂y ∂z ρ∂y ∂y ∂z ⎭⎝∂x
⎛∂2w ∂2w ∂2w ⎫质量守恒方程（连续性方程）∂u +∂u +∂u +∂u =0 ∂w ∂w ∂w ∂w 1∂p +u +ν+w =-+g z +γ ∂x 2+∂y 2+∂z 2⎪⎪∂t ∂x ∂y ∂z ∂t ∂x ∂y ∂z ρ∂z ⎝⎭
47写出铸件三维温度场数值模拟求解的初始条件函数表达式？3答：对于三维温度场，一般有如下初始条件函数式：
000) 0)；铸型部分：T m T t =f (x ，y ，z ，t )，初始时刻（t=0），铸件部分：T cast =f c (x ，y ，z ，old =f m (x ，y ，z ，
48有限元法的基本思想？答：有限元法把连续体离散成有限个单元，每个单元的场函数是只包含有限个待定节点参量的简单场函数，这些单元场函数的集合就能近似代表整个连续体的场函数。根据能量方程或加权残量方程科建立有限个待定参量的代数方程组，求解次方程组就得到有限元法的数值解。
49有限单元法中“离散”的含义是什么？有限单元法是如何将具有无限自由度的连续介质问题转变成有限自由度的问题？位移有限元法的标准化程式是怎样的？
答：（1）离散：将连续区域分散成有限多个区域。（2）给每个单元选择合适的位移函数近似地表示单元内位移分布规律，即通过插值以单元节点位移表示内任意点的位移。因为节点位移个数是有限的，故无限子自由度问题就转变成了有限自由度的问题。（3）有限元法的标准化程式：结构或区域离散、单元分析、整体分析、数值求解。 50什么叫做节点力和节点载荷？两者有什么不同？为什么应该保留节点力的概念？
答：（1）节点力：节点对单元的作用力。节点载荷：包括集中力和将体力、面力按静力等效原则移植到节点形成的等效载荷，原载荷和移植后的载荷在虚位移上的虚工相等。（2）相对与整体结构来说，节点力是内力，节点在是外力。（3）节点力的概念在建立单元刚度方程的时候需要用到。
51单元刚度矩阵和整体刚度矩阵各有哪些性质？单元刚度系数和整体刚度系数的物理意义是什么？
答：（1）单刚：对称性，奇异性；整刚：对称性，奇异性，稀疏性。（2）单刚系数k ij ：单元节点位移向量中第j 个自由度发生单位位移而其他位移分量为零时，在第i 个自由度方向引起的节点力。整体刚度矩阵K 中每一列元素的物理意义是：要迫使结构的某节点位移自由度发生单位位移，而其他节点位移都保持为零的变形状态，在所有各节点上需要施加的节点载荷。
52什么是形函数？答：形函数是一种只与单元的形状、节点的配置及插值方式有关的数学插值函数，它规定了从节点DOF 值到单元内所有点出DOF 值得计算方法，决定了单元位移场的基本形态。
53在有限元法诞生前，求解弹性力学定解问题的基本方法有哪些？答：按应力求解、按位移求解、混合求解。 54什么叫应变能？什么叫外力势能？试叙述势能变分原理和最小势能原理，并回答下列问题：势能变分原理代表什么控制方程和边界条件，其中附加了哪些条件？
答：（1）在外力作用下，物体内部将产生应力σ和应变ε，外力所做的功将以变形能的形式储存起来，这种能量称为变能。（2）外力势能就是外力所做功的负值。（3）势能变分原理：在所有满足边界条件的协调位移中，那些满足静力平衡条件的位移使物体势能泛函数驻值，即势能的变分为零（变分方程）。对于线性弹性体，势能取最小值，即此时的势能变分原理就是著名的最小势能原理。 55什么是强形式，什么是弱形式？答：所谓强形式，是指由于物理模型的复杂性，各种边界条件的限制，使得对于所提出的微分方程，对所需要求得的解的要求太强。也就是需要满足的条件太复杂。弱形式一般是指对强形式方程（即微分方程）的积分方程形式，这是因为满足微分方程的解必定也满足相应的积分方程。等效积分形式通过分部
积分，称式C （v ) D (u ) d Ω+E （v)F(u) d Γ=0为微分方程的弱形式，其中，C ，D ，E ，F 是微分算子。相对而
ΩΓ⎰T ⎰T
言，定解问题的微分方程称为强形式。区别：弱形式得不到解析解。 56为了使计算结果收敛于精确解，位移函数需要满足哪些条件？
答：只要位移函数满足两个基本要求，即完备性和协调性，计算结果便收敛于精确解。
57为什么采用变分法求解通常只能得到近似解？变分法的应用常遇到什么困难？Ritz 法收敛的条件是什么？ 答：①如果真实场函数包含在试探函数内，则变分法得到的解答是精确的。然而，通常情况下试探函数不会将真实函数完全包涵在内，实际计算时也不可能取无穷多项。因此，试探函数只能是真实场函数的近似。所以变分法求解只能通常只能得到近似解。②采用变分法近似求解，要求在整个求解区域内预先给出满足边界条件的场函数。通常情况下，这是不可能的，因而变分法遭遇了困境。③Ritz 法的收敛条件是要求试探函数具有完备性和连续性，也就是说，如果试探函数满足完备性和连续性要求，当试探函数的项数n--->∞时，则Ritz 法的近似解将趋近于数学微分方程的精确解。
58构造单元形函数有哪些基本原则？
答：1）单元位移函数通常采用多项式，其中的待定常数应该与单元节点自由度数相等。为满足完备性要求，位移函数中必须包涵常数项和一次式，即完全一次多项式。
2）多项式的选取应由低阶到高阶，尽量选择完全多项式以提高单元的精度。若由于项数限制而不能选取完全多项式时，也应使完全多项式具有坐标的对称性，并且一个坐标方向的次数不应超过完全多项式的次数。有时为了使位移函数保持一定阶次的完全多项式，可在单元内部配置节点。但这种节点的存在将增加有限元格式和计算上的复杂性，除非不得已才加以采用。
3）形函数应保证用它定义的位移函数满足收敛要求，即满足完备性条件和协调性条件。
59试通过矩形单元说明单元刚度矩阵的计算与坐标原点无关。
答：设坐标系中任意一点（x 0 ，y 0）为单元局部坐标系的原点，并将点（x 0 ，y 0）作为矩阵单元的形心。则坐标变换关系式为： 从而得出 ，于是， 可知式中不含x 0 ，y 0，因此单元刚度矩阵的计算与坐标原点无关。
60何谓面积坐标？其特点是什么？为什么称其为自然坐标或局部坐标？
答：①三角形单元中任意一点P （x,y ）与其3个角点相连形成3个子三角形，其位置由下面的坐标来确定，其中，A 1，A 2，A 3分别为三角形P23,P13,P12的面积。L 1,L 2,L 3称为面积坐标。
②特点：⒈T 3单元的形函数N i 就是面积坐标L i 。⒉面积坐标与三角形在整体坐标系中的位置无关。⒊三个节点的面积坐标分别为1（1，0，0），2（0，1，0），3（0，0，1），形心的面积坐标为（1/3，1/3，1/3）。⒋单元边界方程为L i =0 (i=1,2,3)。⒌在平行于23边的一条直线上，所有点都有相同的面积坐标L 1 ，而且L 1就等于此直线至23边的距离与节点1至23边的距离之比值。⒍面积坐标与直角坐标互为线性关系。
③面积坐标与三角形在整体坐标系中的位置无关，因此称为局部坐标或自然坐标。
61与平面问题相比，轴对称问题有何特点？答：轴对称问题是空间问题的一种特殊情况，结构的几何形状、约束条件及荷载分布都对称于某个轴，其位移、应变、应力等也对称于此轴，而与环向坐标无关。
62何谓等参单元？等参单元具有哪些优越性？
答：等参单元（简称等参元）就是坐标变换和单元内的等变量（通常是位移函数）采用相同的节点参数和相同的插值函数进行变换而设计出的一种单元。 优越性：可以很方便地用来离散具有复杂形体结构。由于等参变换的采用使等参单元特性矩阵的计算仍在单元的规则域内进行，因此不管各个积分形式的矩阵表示的被积函数如何复杂，仍然可以方便地采用标准化的数值积分方法计算。也正因为如此，等参元已成为有限元法中应用最为广泛的单元形式。 63何谓位移的零能模式？在什么条件下会发生零能模式？答：对应于某种非刚体位移模式，减缩积分时高斯点上的应变正好等于零，此时的应变能当然也为零，这种非刚体位移模式称为零能模式。采用减缩积分时会发生零能模式。 64对于杆系结构单元，为什么要在局部坐标系内建立单元刚度矩阵？为什么还要坐标变换？
答：（1）在局部坐标系内可以更方便的建立单元刚度矩阵。（2）在整体分析中，对所有单元都应采用同一个坐标系即整体坐标系X Y，否则围绕同一节点的不同单元对节点施加的节点力不能直接相加。因此，在进行整体分析之前，还需要进行坐标转换工作，把局部坐标系中得出的单元刚度方程转换成整体坐标系中的单元刚度方程，从而得出整体坐标系中的单元刚度矩阵。
一、名词解释
1计算机模拟的概念：根据实际体系在计算机上进行模拟实验，通过将模拟结果与实际体系的实验数据进行比较，可以检验模型的准确性，也可以检验由模型导出的解析理论作为所作的简化近似是否成功。1
2材料设计是指（主要包含三个方面的含义）：理论计算→预报→组分、结构和性能；理论设计→订做→新材料；按照生产要求→设计→制备和加工方法。1
3数学模拟的定义：就是利用数学语言对某种事务系统的特征和数量关系建立起来的符号系统。
4数学建模是一种具有创新性的科学方法，它将实现问题简化，抽象为一个数学问题或数学模型，然后采用适当的数学方法进行求解，进而对现实问题进行定量分析和研究，最终达到解决实际问题的目的。1
5数学模型的建立方法——理论分析法：应用自然科学中的定理和定律，对被研究系统的有关因素进行分析、演绎、归纳，从而建立系统的数学模型。
6数学模型的建立方法——模拟方法：如果模型的结构及性质已经了解，但是数量描述及求解却相当麻烦。如果有另一种系统，结构和性质与其相同，而且构造出的模型也是类似的，就可以把后一种模型看作是原来模型的模拟，对后一个模型去分析或实验，并求得其结果。
7数学模型的建立方法——类比分析法：如果有两个系统，可以用统一形式的数学模型来描述，则此两个系统就可以相互类比。类别分析法是根据两个（或两类）系统某些属性或关系的相似，去猜想两者的其他属性或关系也可能相似的一种方法。
8数学模型的建立方法——数据分析法：当有若干能表征系统规律、描述系统状态的数据可以利用时，就可以通过描述系统功能的数据分析来连接系统的结构模型。
9材料成型：采用铸造、锻造等方法将金属原材料加工成所需形状、尺寸，并达到一定的组织性能要求，这一过程称为材料成型。1
10逼近误差：差商和与导数之间的误差表明差商逼近导数的程度，称为逼近误差。2
11差商的精度：逼近误差相对于自变量差分（增量△x ）的量级称为用差商代替导数的精度。2
12截断误差：用差分方程近似代替微分方程所引起的误差，称为截断误差。2
13相容性：指当自变量的步长趋于零时，差分格式与微分问题的截断误差的范数是否趋于零，从而可以看出是否能用此差分格式来逼近微分问题。2
14收敛性：除了必须要求差分格式能逼近微分方程和定解条件外，还进一步要求差分格式的解与微分方程定解问题的解是一致的。即当步长趋于零时，要求差分格式的解趋于微分方程定解问题的解。称这种是否趋于微分方程定解问题的解的情况为差分方程的收敛性。2
15初截荷法是将塑性变形部分视为初应力或初应变来处理，将塑性变形问题转化为弹性问题的求解方法。4 16刚塑性有限元法不计弹性变形，采用屈服准则和方程，求解未知量为节点速度。5
17凝固模拟技术：用计算机高速度大容量的计算能力，对浇注凝固过程中相关的各物理场进行数值求解，可以预见一定工艺方案下，浇注凝固过程中的各物理行为方式，从而可以推断是否会产生缺陷以及产生缺陷的定量特征。6 18可视化处理：必须按照这些数据既定的数据结构和取值的规定性，通过计算机程序去求解、去识别，并将其组织、构造成相应的图形、图像、曲线乃至动画等等，使其直观可视，直接反应出工程相关的信息，直接揭示出工程相关的因果关系，为铸造工艺的优化提供准确的决策依据。6
19数据阵列：作为数值求解结果的解数据，是一个庞大的数值阵列，这些琐碎而沉繁的数据本身并不能直接向人们揭示充型或凝固过程的物理内涵。6
20前处理：在凝固模拟技术中，值域的离散化、方程的差分化通常被称为前处理。
21后处理：用计算机图形表示分析计算所得的数值结果，结果数据的可视化、动画化通常被称为后处理。
22导热——物体个部分之间不发生相对位移，依靠分子、原子及自由电子等微观粒子的热运动进行的热量传递。 23热流密度：单位时间内通过单位面积的热量称为热流密度。
24导热系数：单位温度梯度下物体内所产生的热流密度，它表示物体导热本领的大小。6
25对流：指物体个部分之间发生相对位移，冷热物体相互参混所引起的热量传递方式。6
26对流换热：物体流过另一物体表面时对流和导热联合起作用的传热过程。6
27温度场：导热体在各个时刻内部各点的温度分布。6
28等温线(面) ：同一时刻物体中温度相同的点连接而成，对二维问题指等温线，对三维问题指等温面。6 29离散化：把由无限个质点构成的连续体转化为有限个单元集合体的过程。2
30温度场模拟：利用传热学原理，分析铸件的传热过程，模拟铸件的冷却凝固过程，预测缩孔、缩松等缺陷。3
31注射成型流动过程模拟的目的在注塑模具制造前，预测塑料熔体充模过程的流动性为，以便尽早发现设计中存在的弊病，修改模具设计图样而不是返修模具。减少模具返修报废，提高塑件制品质量。
32计算机仿真：通过计算机软件系统观察系统动态模型在某段时间内的性能来解决问题的方法。2
二、填空题
1材料科学：以材料的组成、结构、性能和加工等为研究对象的一门科学。1
2材料、能源和信息称为当代文明的三大支柱。1
3材料的分类：组成与结构:金属材料、无机非金属材料、有机高分子材料和复合材料等。1
4材料的分类：性能和作用：结构材料和功能材料。1
5数学建模的过程包括：建模准备、建模假设、构造模型、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用。1 6对实体的认识过程：描述性数学模型、解释性数学模型。1
7建立立模型的数学方法：初等模型、图论模型、微分方程模型、随机模型。1
8模型的应用领域：人口模型、环境模型、水资源模型、污染模型。1
9模型的特征：静态模型和动态模型、离散模型和连续性模型。1
10对模型的了解程度：白箱模型、灰箱模型和黑箱模型。1
11材料成型方法涉及到的物理、化学和力学现象。1
12材料成型过程的基本规律可应用一组微分方程来描述：流动方程、热传导方程、平衡方程或运动方程、即场方程或控制方程。1
13材料成型问题——场方程——定解条件——边值条件，初始条件——方程解析解。1
14金属型模具温度场的分析内容：前处理——求解——后处理。6
15流场与缺陷形成有紧密的相关性，通过流场的模拟可以预测可能产生缺陷的位置和程度，从而提高改进的方向。 16导热特点：1）物体之间不发生宏观相对是位移；2）依靠微观粒子（分子、原子、电子等）的无规则热运动。3）是物质的固有本质。6
17计算机仿真包括两方面的工作：1）建立仿真对象的（数学模型）；2）求解，并将结果表示出来。
18有限元分析的后处理程序的功能：1）对计算结果的加工处理；2）计算结果的（图形）表示。2
19用于表示计算结果的图形表示形式：1）结构变形图；2）等值线图；3主应力迹线图；4）等色图。2 20一维空间Fourier 定律表示成下式：q=-λ∂t 。7 ∂x
∂T T 2-T 1=。7 ∂x x 2-x 121当x 方向的温度分布呈线性时，温度梯度表达式：
22虚拟现实技术重要特征：多感知性、（存在感）、交互性、自主性。2
23初始条件：温度初始条件、（压力）初始条件、速度初始条件、组织初始条件。3
三、简答题
1数值模拟方法的基本特点?1
答：将微分方程的边值问题的求解域进行离散化，将原来求得在求解域内处处满足场方程，在边界上处处满足边界条件得解析解的要求降低为求得在给定的离散点（节点）上满足由场方程和边界条件所导出的一组代数方程的数值解。因此使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。
2有限元法的特点？1
答：将求解域离散为一组有限个形状简单且仅在节点处相互连接的单元的集合体，在每个单元内用一个满足一定要求的差值函数描述基本未知量在其中的分布。随着单元尺寸的缩小，近似德尔数值求解越来越逼近精确解。有限元法适应任意复杂的和变动的边界。
3有限差分法的特点？1
答：以差分代替微分，将求解对象，在时间与空间上进行离散对每个离散单元进行各种物理场分析（温度场、流动场、应力场），然后将所有单元的求解结果汇总，得到整个求解对象在不同时刻的行为变化，并对分析对象的可能变化趋势作出预测。有限差分法有点：求解过程简单，速度快，前后置处理易于实现。
4数值模拟的基本原理是什么？1
答：1）金属成形过程是 工件的一个弹（粘）塑性变形过程，有时在这个过程中还伴有明显的温度和微观组织变化。
2）从物理的角度看，无论这个过程多么复杂，这个过程总可以通过一组微分方程以及相关的边界条件和初始条件
表示出来。这组微分方程以及边界条件和初始条件可以根据固体力学、热力学和材料科学的基础理论建立起来。3）通常，这组微分方程的基本未知量是工件各点的位移、温度和一些用于面熟微观组织的物理量。例如，对于普通的冲压过程，由于温度的影响和微观组织的变化可以忽略，因此基本的未知量只是工件各点的位移，而对于热锻过程，温度也应该作为基本的未知量。如果我们可以得到这组微分方程的解，那么，我们可以根据相关学科的基础理论和基本规律，由所得到的基本未知量计算出其他物理量（例如应力、应变。载荷等）随空间和时间的变化。4）由于金属成型过程的复杂性，这组微分方程具有极强的物理的和几何的非线性，因此得到这组微分方程的理论解是非常困难的。5）直到七十年代，随着计算机技术和数值计算方法特别是有限元方法的迅速发展，才使得有可能通过数值计算的方法求解这组微分方程，从而建立了金属成型工艺数值模拟技术。用计算机语言编写的的求解这组微分方程并由基本未知量计算其他物理量全部计算过程的文件就是我们常说金属成形工艺数值模拟软件。
5做金属成形工艺数值模拟需要客户准备哪些数据？1
答：客户需要提供数据包括：工艺参数，坯料、模具的形状尺寸数据和材料性能数据，压力机数据等。对于冲压工艺：材料性能数据只包括板料在室温条件下的力学性能能数据例如：应力应变曲线、n 值（应变硬化指数）的测定与r 值（厚向异性系数），成形极限图等。
对于锻造工艺：如果客户需要了解模具的变形和应力数据，则还需要提供模具的力学性能数据。如果是热锻，除了需要提供模具和坯料在锻造温度条件下的力学性能数据外，还需要提供与坯料与微观组织有关的数据。
6通过金属成形工艺数值模拟，可以得到什么结果？1
答：1）金属成形工艺数值模拟可以预测出工件变形的详细过程，并定量地给出工程师们所关心的与变形有关的各种物理量在工件或模具上的空间分布以及随时间的变化。
2）通常这些物理量包括：工件与模具的几何形状、位移、速度、（弹性和塑性）应变、应变率、应力、载荷等。对于热锻，还包括温度及微观组织（例如：再结晶体积分数和晶粒度）。如果工件为疏松材料，还另外包括材料粒度。
3）根据上物理量的计算结果，我们可以判断出工件是否存在缺陷。例如对于冲压工艺，您可以从工件外形判断出是否起皱，对比成形极限图可以看到共建哪些位置可能开裂。回弹计算结果直接给出工件各处的相对回弹量。
4）对于锻造工艺，您可以从工件外形判断是否有折叠，工件是否已经充满模具型腔。从温度分布可以判断工件温度是否太高，甚至出现过烧。对比破裂准则可以看到工件哪些位置可能开裂。根据晶粒度分布可以判断锻件是否出现混晶缺陷等。
5）如果发现成型后的工件出现某些缺陷，坑能是模具/坯料或者工艺的某些参数有问题，可以根据经验队工艺参数如此进行反复修改工艺反复模拟知道工件没有缺陷为止。在计算机上进行了一次工艺优化。这就是说通过金属成形工艺数值模拟，可以进行工艺设计并最终得到一个经过优化的成形工艺。
7做金属成形工艺数值模拟对企业有什么好处？1
答：1) 通过金属成形工艺数值模拟，可以进行工艺设计并最终得到一个经过优化的成形工艺。由于这个工艺模拟的计算是根据固体力学、材料科学与数值计算的基础理论进行的，因此这种数值模拟过程原则上与进行工艺实验具有相同的效果。
2）但是由于工艺模拟是在计算机上进行的，它不需要加工实际的模具和坯料，也不需要压力机，从而使在工艺设计和优化上所花费的时间、成本大为降低。可见这是一项能够给企业带来巨大经济效益的技术。
3）由于数值模拟技术可以使开发新产品的工艺试验次数大为减少，从而缩短了新产品的开发周期，降低了新产品的开发成本，提高了企业市场竞争力。长期应用这项高新技术将大幅度地提高企业的技术水平，使工艺设计逐步地从传统的“技艺”走向“科学”。
8有限差分法在材料成形领域的应用？
答：1）材料加工中的传热分析——铸造成型过程的传热凝固，塑性成形中的传热，焊接成型中的传热；2）材料加工中的流动分析——铸件充型过程，焊接熔池的产生，移动，激光熔覆中的动量传递；3）应力分析。
9有限差分法差分原理？2
答：函数y=f(x)对x 的导数d y ∆y f (x +∆x ) -f (x ) =lim =lim dx ∆x →0∆x ∆x →0∆x
向前差分：∆y = f(x+ ∆x )-f(x)； 向后差分：∆y = f(x)-f(x- ∆x ) ；中心差分：∆y = f(x+
10有限差分法二阶向前差分形式？2
11∆x )-f(x∆x ) 22
∆2y =∆（∆y ) =∆[f (x +∆x ) -f (x ) ]=∆f (x +∆x ) -∆f (x )
答=[f (x +2∆x ) -f (x +∆x ) ]-[f (x +∆x ) -f (x ) ]
=f (x +2∆x ) -2f (x +∆x ) +f (x )
11有限差分法n 阶向前差分形式？2
答：∆y =∆（∆2n +1y ) =∆∆(∆n -2y ) =∆{∆ [∆(∆y ) ]}=∆{∆ [∆(f (x +∆x ) -f (x ) ]} []
12函数对自变量的差商形式？2 ∆y f (x +∆x ) -f (x ) ∆y f (x ) -f (x -∆x ) 一阶向后差商： ==∆x ∆x ∆x ∆x
11f (x +∆x ) -f (x -∆x ) ∆y f (x +∆x ) -f (x -∆x ) ∆y 一阶中心差商为： 或 ==∆x 2∆x ∆x ∆x 答：一阶向前差商为：
∆2y f (x +∆x ) -2f (x ) +f (x -∆x ) 13函数对自变量的二阶中心差商形式？ 答： =2∆x 2（∆x ）
∆f f (x +∆x , y , ) -f (x , y , ) =∆x ∆x
∆f f (x , y +∆y , ) -f (x , y , ) 14多元函数f(x,y,z…)d 的一阶向前差商？2答： =∆y ∆y
15微分方程与差分方程的差别在哪里？2
答：差分相应于微分，差商相应于导数。只不过差分和差商是用有限元形式表示的而微分和导数则是以极限形式表示的。如果将微分方程中的导数用相应的差商近似代替，就可以得到有限元形式的差分方程。
16用差商代替导数推导出对应的一维差分方程？
答：∂ξ∂ξ+α=0 网格划分选定空间步长∆x 和时间步长∆t ：∆i =x 0+i ∆x , i =0, 1, 2, ∂t ∂x
∂ξ∂ξt n =n ∆t , n =0, 1, 2, 。对流方程在（(xi , t n ) 点为：() i n +α() i n =0；用差商代替导数推导出对应的差分方∂t ∂x
∂ξn ξi n +1-ζi n 程。若时间导数用一阶向前差商近似代替，即() i ≈；空间导数用一阶中心差商近似代替，即∂t ∆t
n n ξi n ξi n +1-ζi n ∂ξn ξi n +1-ζi -1+1-ζi -1() i ≈=0，这就是对应的差；则在（(xi , t n ) 点的对流方程就可近似地写作+α∂t 2∆x 2∆x ∆t
分方程。
17、Lax 等价定理？2答：对于一个适定的线性微分问题及一个与其相容的差分格式，如果该格式稳定则必收敛，不稳定则不收敛。换言之，若线性微分问题适定，差分格式相容，则稳定性是收敛性的必要和充分条件。 18弹性静力分析问题的假设条件？3
答：1）位移梯度是小量，应变与位移之间的关系是线性的；2）物体始终保持弹性状态，应力与应变之间的关系是线性的；3）边界条件中不包括接触条件。
19虚功原理？3答：外力在虚位移上所作的功等于因虚位移引起的虚应变能，σij δεij dV =b i δu i dV +
V V ⎰⎰S p ⎰p δu dS i i
20弹性力学有限元法的步骤？3答：将连续的求解域离散为一组单元的组合体，用每个单元内假设的近似函数来分片地表示求解域上待求的未知位移场函数，使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题，通过虚功原理建立弹性力学问题的有限元列式。
21形函数的性质？3答：1）在节点上形函数的值满足N i (xj , y j ) =δij =⎨
Ni+Nj+Nm=1；3）3节点三角形单元的形函数是线性的。
22面积坐标与直角坐标的转换关系式？ ⎧1当j =i (i , j , m ) ；2）在单元中任一点有：0当j ≠i ⎩
⎧L i ⎫⎡a i ⎪⎪1⎢a j 答：⎨L j ⎬=⎢⎪L ⎪2A ⎢a ⎩m ⎭⎣m b i b j b m c i ⎤⎧1⎫⎪⎪c j ⎥⎥⎨x ⎬，x =x i L i +x j L j +x m L m y =y i L i +y j L j +y m L m ⎪⎪c m ⎥⎦⎩y ⎭
⎧1⎫⎡1⎪⎪⎢⎨x ⎬=⎢x i ⎪y ⎪⎢y ⎩⎭⎣i 1x j y j 1⎤⎧L i ⎫⎥⎪⎪x m ⎥⎨L j ⎬ ⎪⎪y m ⎥⎦⎩L m ⎭
⎤0⎥⎥∂⎥⎧u ⎫⎨⎬=Lu ，L 为平面问题的微分算子。 ∂y ⎥⎩v ⎭∂⎥⎥∂x ⎥⎦22应变矩阵和应力矩阵，弹性矩阵的表达式？3 ⎧∂u ⎫⎡∂⎪⎪⎢⎧εx ⎫⎪∂x ⎪⎢∂x ⎪⎪⎪∂ν⎪⎢答：ε=⎨εy ⎬=⎨⎬=⎢0∂y ⎪2ε⎪⎪⎪⎩xy ⎭⎪∂u ∂v ⎪⎢∂⎢⎪∂y +∂x ⎪⎢∂y ⎩⎭⎣
ε=LuLNu e =L [N i
⎡b i 1⎢B i =0⎢2A ⎢⎣c i N j N m u e =B i ][B j B m u e =Bu e ，B 为应变矩阵，分块子矩阵是： ]⎧∂x ⎫0⎤⎪⎪e e e e c i ⎥ （i ，j ，m ） 应力张量：σ=⎨∂y ⎬=C ε=C Bu =Su ⎥⎪τ⎪b i ⎥⎦⎩xy ⎭
⎡⎤1ν00⎢⎥E 0e 0⎥ , C o =弹性矩阵：C =C o ⎢对1。对于平面应力问题，E 0=E，ν0=v；对于平面应变问题。2⎢⎥1-ν1-ν00称⎢⎥2⎦⎣
2E 0=E/（1-ν0），ν0=v/（1-ν0）。这里的E 是弹性模量，v 是泊松比。
23单元刚度矩阵特性？3 答：1) 对称性；2）奇异性；3）主元恒为正，即kii=0。
24在划分单元时原则？答：在划分单元时，应尽可能集中力的作用点作为节点，该集中力即为节点载荷。这样，在单元分析阶段不对其进行处理，到整体分析阶段再直接进行累加。
25整体刚度矩阵的特点？3答：1）整体钢度矩阵K 中一列元素的物理意义是要使弹性体的节点自由度发生单位位移，而其他节点自由度都保持零位移的状态下，需要施加的与节点自由度对应的节点力；2）整体刚度矩阵K 的主元素总是正的；3）整体刚度矩阵K 是对称矩阵；4）整体刚度矩阵K 是一个虚疏矩阵，如果遵守一定的节点编号规则，可使非零元素集中于对角线附近而呈带状；5）与单元刚度矩阵类似，整体刚度矩阵K 也是一个奇异矩阵。 26引入位移边界条件的方法？3答：1）对角元素改1法；2）对角元素乘大数法。
27处理应力结果的方法？3答：1）取相邻单元应力的平均值；2）取围绕节点各单元应力的平均值。
28为了保证解答的收敛性，要求位移模式必须满足三个条件？
答：1）位移模式必须包含单元的刚度位移；2）位移模式必须包含单元的常应变；3）位移模式在单元内要连续。 29多项式位移模式阶次的选择原则？答：选择多项式位移模式阶次考虑的因素：1）满足完备性和协调性的要求；2）应该与局部坐标系的方位无关——几何各向相同性；3）多项式的项必须等于或大于单元节点的自由度数。 30矩形单元有明显的缺点？
答：1）不能适应斜交边界和曲线边界；2）不便于对不同部位采用不同大小的单元，因此直接应用受到限制。 31弹塑性变形问题依材料非线性性质可以分为两类？
答：1）物性不依赖时间的弹塑性问题；2）弹性随时间变化的粘弹塑性问题。
32弹塑性有限元方程求解方法？4答：由于弹塑性变形条件下应力与应变间的非线性关系，弹塑性体形状的累积变化一般不能像弹性问题一样能一次算出，通常将载荷分解为若干个增量逐步加上去，即按增量法求解。
33弹塑性有限元计算应注意的几个问题？4
答：（1）非线性方程组求解方案。一般用增量法即沿加载路径进行逐步加载将非线性方程线性化求解，而每个加载步的计算都涉及若干次迭代计算。（2）变形区弹塑性状态的判定。
(1）弹性区式f (
(f (f t σij , Y , ε
t +∆t t p f σij , Y , εt +∆t t t p )
t +∆t t p f σij , Y , εt +∆t t t p )≥0p σij , Y , t +∆t )≥0（3-40）；3）弹性卸载区式C =C e C =C ep =C e -C p )≥0p σij , Y , t +∆t
C =C e ()
p σij , Y , t +∆t )≥0（3-42）。
（3）弹塑性计算加载增量步长的选定。为保证弹塑性有限元计算的精度和收敛性，必须选定合理的加载增量步长，对初始设定的加载步长加以约束。
34凝固模拟包括哪些内容？6答：逐渐浇注、凝固过程中，1) 流动场；2）温度场；3）应力应变场；4）结晶，组织，力学性能等宏观、微观多方面、多物理行为的数值模拟。
35凝固模拟解析包括哪些内容？6
答：逐渐浇注、凝固过程中，1）流动解析；2）传热解析；3）应力应变解析；4）结晶、组织、相结构解析。 36数理方程的求解方法？6答：作为一种微分性质的方程，对其进行数值求解，首先需要将值域离散化，将值域差分化，离散化和差分化实质上就是将数理方程复杂的求解过程有序化，代数化。
37辐射换热基本特点？6答：1）只要物体温度T>0K，物体就有辐射本领；2）存在近程及远程效应；3）存在热动平衡；4）在高温时更加重要，与△T 成正比；5）存在着吸收、反射与穿透；6）物性随波长和方向而变；7）无须任何介质，可以穿过真空和低温区。
38等温线（面）特点？6答：1）不能相交；2）对连续介质，只能在物体边界中断或完全封闭；3）沿等温线（面）无热量传递；4）等温线的疏密可直观反映出不同区域温度梯度（即热流密度）的相对大小。
39导热微分方程物理意义？6答：（导入微元体的总热流量）+（微元体内热源的生成热）=（微元体内能的增量）+（导出微元体的总热流量）：微元体升温所需的热量应等于流入微元体的热量（导入导出热量差）与微元体内产生∂T λ=的热量的总和。∂t ρc p ⎛∂2T ∂2T ∂2T ⎫q ⎪+++ ∂x 2∂y 2∂z 2⎪ρc ⎝⎭p
40用有限差分方法求解导热问题的基本步骤？
答：1）根据问题的性质确定导热微分方程式、初始条件和边界条件；2）对区域进行离散化，划分网格，确定计算节点；3）建立离散方程，对每一个节点写出表达式；4）求解线性方程组和对结果进行分析。
41塑性成形过程的数值模拟步骤？7答：确定了分析计算的基本方案后，就可以按建模（即建立几何模型）、分网（即建立有限元模型）、加载（即给定边界条件）、求解和后处理（即计算结果的可视化）等几个步骤实施分析计算。 42塑性成形模拟的特点？7
答：1）工件通常不是在已知的载荷下变形，而是在模具的作用下变形，而模具的型面通常是很复杂的。处理工件与复杂的模具型面的接触问题增大了模拟计算的难度；2）塑性成形中往往伴随着温度的变化，在热成型和温成形中更是如此，因此为了提高模拟精度，有时要考虑变形分析和热分析的耦合作用，塑性成形还会导致材料微观组织性能的变化，如变形结构、损伤、晶粒度等的演化，考虑这些因素也会增加模拟计算的复杂程度。
43薄壳理论是建立在两个基尔霍夫假定的基础上的，这两个假定是什么？7
答：1）变形前垂直于中面的法线杂在变形后仍然是直线，与变形后的中面保持垂直，称为直法线假定；2）垂直于
中面方向的应力与其它应力相比可以忽略不计。
44初始速度场的产生方法？答：1）工程近似法。对于变形毛坯形状和边界条件比较简单的情况，可以采用能量法、上限法等工程计算方法求得近似速度场；2）网格细分法。
45数学模型的离散化内容？3答：1）离散格式的选择；2）动量方程的离散；3）连续性方程的离散。
46铸造液态金属的流动属于带有自由表面、粘性、不可压缩、非稳态三维流动，请写出他的运动状态动量守恒方程和质量守恒方程？3 ⎛∂2u ∂2u ∂2u ⎫∂u ∂u ∂u ∂u 1∂p 答：+u +ν+w =-+g x +γ ∂x 2+∂y 2+∂z 2⎪⎪ ∂t ∂x ∂y ∂z ρ∂x ⎝⎭
⎛∂2v ∂2v ∂2v ⎫∂v ∂v ∂v ∂v 1∂p +u +ν+w =-+g y +γ +2+2⎪2 ⎪∂t ∂x ∂y ∂z ρ∂y ∂y ∂z ⎭⎝∂x
⎛∂2w ∂2w ∂2w ⎫质量守恒方程（连续性方程）∂u +∂u +∂u +∂u =0 ∂w ∂w ∂w ∂w 1∂p +u +ν+w =-+g z +γ ∂x 2+∂y 2+∂z 2⎪⎪∂t ∂x ∂y ∂z ∂t ∂x ∂y ∂z ρ∂z ⎝⎭
47写出铸件三维温度场数值模拟求解的初始条件函数表达式？3答：对于三维温度场，一般有如下初始条件函数式：
000) 0)；铸型部分：T m T t =f (x ，y ，z ，t )，初始时刻（t=0），铸件部分：T cast =f c (x ，y ，z ，old =f m (x ，y ，z ，
48有限元法的基本思想？答：有限元法把连续体离散成有限个单元，每个单元的场函数是只包含有限个待定节点参量的简单场函数，这些单元场函数的集合就能近似代表整个连续体的场函数。根据能量方程或加权残量方程科建立有限个待定参量的代数方程组，求解次方程组就得到有限元法的数值解。
49有限单元法中“离散”的含义是什么？有限单元法是如何将具有无限自由度的连续介质问题转变成有限自由度的问题？位移有限元法的标准化程式是怎样的？
答：（1）离散：将连续区域分散成有限多个区域。（2）给每个单元选择合适的位移函数近似地表示单元内位移分布规律，即通过插值以单元节点位移表示内任意点的位移。因为节点位移个数是有限的，故无限子自由度问题就转变成了有限自由度的问题。（3）有限元法的标准化程式：结构或区域离散、单元分析、整体分析、数值求解。 50什么叫做节点力和节点载荷？两者有什么不同？为什么应该保留节点力的概念？
答：（1）节点力：节点对单元的作用力。节点载荷：包括集中力和将体力、面力按静力等效原则移植到节点形成的等效载荷，原载荷和移植后的载荷在虚位移上的虚工相等。（2）相对与整体结构来说，节点力是内力，节点在是外力。（3）节点力的概念在建立单元刚度方程的时候需要用到。
51单元刚度矩阵和整体刚度矩阵各有哪些性质？单元刚度系数和整体刚度系数的物理意义是什么？
答：（1）单刚：对称性，奇异性；整刚：对称性，奇异性，稀疏性。（2）单刚系数k ij ：单元节点位移向量中第j 个自由度发生单位位移而其他位移分量为零时，在第i 个自由度方向引起的节点力。整体刚度矩阵K 中每一列元素的物理意义是：要迫使结构的某节点位移自由度发生单位位移，而其他节点位移都保持为零的变形状态，在所有各节点上需要施加的节点载荷。
52什么是形函数？答：形函数是一种只与单元的形状、节点的配置及插值方式有关的数学插值函数，它规定了从节点DOF 值到单元内所有点出DOF 值得计算方法，决定了单元位移场的基本形态。
53在有限元法诞生前，求解弹性力学定解问题的基本方法有哪些？答：按应力求解、按位移求解、混合求解。 54什么叫应变能？什么叫外力势能？试叙述势能变分原理和最小势能原理，并回答下列问题：势能变分原理代表什么控制方程和边界条件，其中附加了哪些条件？
答：（1）在外力作用下，物体内部将产生应力σ和应变ε，外力所做的功将以变形能的形式储存起来，这种能量称为变能。（2）外力势能就是外力所做功的负值。（3）势能变分原理：在所有满足边界条件的协调位移中，那些满足静力平衡条件的位移使物体势能泛函数驻值，即势能的变分为零（变分方程）。对于线性弹性体，势能取最小值，即此时的势能变分原理就是著名的最小势能原理。 55什么是强形式，什么是弱形式？答：所谓强形式，是指由于物理模型的复杂性，各种边界条件的限制，使得对于所提出的微分方程，对所需要求得的解的要求太强。也就是需要满足的条件太复杂。弱形式一般是指对强形式方程（即微分方程）的积分方程形式，这是因为满足微分方程的解必定也满足相应的积分方程。等效积分形式通过分部
积分，称式C （v ) D (u ) d Ω+E （v)F(u) d Γ=0为微分方程的弱形式，其中，C ，D ，E ，F 是微分算子。相对而
ΩΓ⎰T ⎰T
言，定解问题的微分方程称为强形式。区别：弱形式得不到解析解。 56为了使计算结果收敛于精确解，位移函数需要满足哪些条件？
答：只要位移函数满足两个基本要求，即完备性和协调性，计算结果便收敛于精确解。
57为什么采用变分法求解通常只能得到近似解？变分法的应用常遇到什么困难？Ritz 法收敛的条件是什么？ 答：①如果真实场函数包含在试探函数内，则变分法得到的解答是精确的。然而，通常情况下试探函数不会将真实函数完全包涵在内，实际计算时也不可能取无穷多项。因此，试探函数只能是真实场函数的近似。所以变分法求解只能通常只能得到近似解。②采用变分法近似求解，要求在整个求解区域内预先给出满足边界条件的场函数。通常情况下，这是不可能的，因而变分法遭遇了困境。③Ritz 法的收敛条件是要求试探函数具有完备性和连续性，也就是说，如果试探函数满足完备性和连续性要求，当试探函数的项数n--->∞时，则Ritz 法的近似解将趋近于数学微分方程的精确解。
58构造单元形函数有哪些基本原则？
答：1）单元位移函数通常采用多项式，其中的待定常数应该与单元节点自由度数相等。为满足完备性要求，位移函数中必须包涵常数项和一次式，即完全一次多项式。
2）多项式的选取应由低阶到高阶，尽量选择完全多项式以提高单元的精度。若由于项数限制而不能选取完全多项式时，也应使完全多项式具有坐标的对称性，并且一个坐标方向的次数不应超过完全多项式的次数。有时为了使位移函数保持一定阶次的完全多项式，可在单元内部配置节点。但这种节点的存在将增加有限元格式和计算上的复杂性，除非不得已才加以采用。
3）形函数应保证用它定义的位移函数满足收敛要求，即满足完备性条件和协调性条件。
59试通过矩形单元说明单元刚度矩阵的计算与坐标原点无关。
答：设坐标系中任意一点（x 0 ，y 0）为单元局部坐标系的原点，并将点（x 0 ，y 0）作为矩阵单元的形心。则坐标变换关系式为： 从而得出 ，于是， 可知式中不含x 0 ，y 0，因此单元刚度矩阵的计算与坐标原点无关。
60何谓面积坐标？其特点是什么？为什么称其为自然坐标或局部坐标？
答：①三角形单元中任意一点P （x,y ）与其3个角点相连形成3个子三角形，其位置由下面的坐标来确定，其中，A 1，A 2，A 3分别为三角形P23,P13,P12的面积。L 1,L 2,L 3称为面积坐标。
②特点：⒈T 3单元的形函数N i 就是面积坐标L i 。⒉面积坐标与三角形在整体坐标系中的位置无关。⒊三个节点的面积坐标分别为1（1，0，0），2（0，1，0），3（0，0，1），形心的面积坐标为（1/3，1/3，1/3）。⒋单元边界方程为L i =0 (i=1,2,3)。⒌在平行于23边的一条直线上，所有点都有相同的面积坐标L 1 ，而且L 1就等于此直线至23边的距离与节点1至23边的距离之比值。⒍面积坐标与直角坐标互为线性关系。
③面积坐标与三角形在整体坐标系中的位置无关，因此称为局部坐标或自然坐标。
61与平面问题相比，轴对称问题有何特点？答：轴对称问题是空间问题的一种特殊情况，结构的几何形状、约束条件及荷载分布都对称于某个轴，其位移、应变、应力等也对称于此轴，而与环向坐标无关。
62何谓等参单元？等参单元具有哪些优越性？
答：等参单元（简称等参元）就是坐标变换和单元内的等变量（通常是位移函数）采用相同的节点参数和相同的插值函数进行变换而设计出的一种单元。 优越性：可以很方便地用来离散具有复杂形体结构。由于等参变换的采用使等参单元特性矩阵的计算仍在单元的规则域内进行，因此不管各个积分形式的矩阵表示的被积函数如何复杂，仍然可以方便地采用标准化的数值积分方法计算。也正因为如此，等参元已成为有限元法中应用最为广泛的单元形式。 63何谓位移的零能模式？在什么条件下会发生零能模式？答：对应于某种非刚体位移模式，减缩积分时高斯点上的应变正好等于零，此时的应变能当然也为零，这种非刚体位移模式称为零能模式。采用减缩积分时会发生零能模式。 64对于杆系结构单元，为什么要在局部坐标系内建立单元刚度矩阵？为什么还要坐标变换？
答：（1）在局部坐标系内可以更方便的建立单元刚度矩阵。（2）在整体分析中，对所有单元都应采用同一个坐标系即整体坐标系X Y，否则围绕同一节点的不同单元对节点施加的节点力不能直接相加。因此，在进行整体分析之前，还需要进行坐标转换工作，把局部坐标系中得出的单元刚度方程转换成整体坐标系中的单元刚度方程，从而得出整体坐标系中的单元刚度矩阵。