高二寒假作业(一)答案(1)

高二数学寒假作业（一）答案

班级学号姓名

一、填空题

x2y2

6.已知双曲线221(a0,b0)的两条渐近线与抛物线y22px(p0)的准线分别交于

A、B两点, O为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB则p1.已知命题p:所有素数都是偶数，则p是 . 存在一个素数不是偶数 7.已知抛物线C:y28x与点M2,2,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点, 2.复数2i与复数

13i在复平面上的对应点分别是A、B，则AOB等于 .

3.下列命题，正确的是 .(2)

（1）命题:xR，使得x210的否定是：xR，均有x210. （2）命题：若x3,则x22x30的否命题是：若x3，则x22x30. （3）命题：存在四边相等的四边形不是正方形，该命题是假命题. （4

）命题：cosxcosy，则xy的逆否命题是真命题.

4.若曲线f(x)acosx与曲线g(x)x2

bx1在交点(0,m)处有相同的切线，ab 5.执行如图所示的程序框图,若输入n

10,则输出的S .

若MAMB0,则k

8.在△ABC中，D为AB上任一点，h为AB边上的高，△ADC、△BDC、△ABC的内切圆半径分别为rAD1,r2,r，则有如下的等式恒成立：

rBDAB2CD

．在三棱锥P-ABC中D位AB上1r2rh

任一点，h为过点P的三棱锥的高，三棱锥P-ADC、P-BDC、P-ABC的内切球的半径分别为r1,r2,r，请类比平面三角形中的结论，写出类似的一个恒等式为_ __ .

9. 设f2

1(x)=1+x

，f(x)=ff(0)-1n+11[fn(x)]，且an=nf，则a2014．

n(0)+2

10. 函数f(x)x3bx2cxd在区间1,2上是减函数,则bc的最大值为．

11. 已知函数f(x)x24x10,x

(2)log,若f(6a2)f(5a),则实数a的取值范围是

3(x1)6,(x2)

_(-6,1) __.

12.已知函数f(x)ax3

x2

ax(aR,且a0).如果存在实数a-，1，使函数

g(x)f(x)f(x)，x1,bb1在x1处取得最小值，则实数b的最大值

为 .

1

13.已知函数yfx是R上的偶函数，对xR都有fx4fxf2成立.当

x1,x20,2，

且x1)f(x2)

1x2时，都有

f(xx＜0，给出下列命题：（1）f20；（2）直线x4

1x2

是函数yfx图象的一条对称轴；（3）函数yfx在4,4上有四个零点；（4）

f2012f0

其中所有正确命题的序号为＿124＿＿＿

14. 设曲线yax1ex在点A

xx

,y1

处的切线为l1

,曲线y1xe

在点

Bx处的切线为l30,y2 2.若存在x00,,使得2l1l2,则实数a的取值范围为





_________．

解:函数

yax1ex

的导数为

y/axa1ex

l1

的斜率为

k1ax0a1ex0

函数y

1xex的导数为y/x

x2e

l0

2的斜率为k2xx02e, 由题设有k1k21从而有

ax00

0a1exxx02e1 ax20x02x03

x

3问题转化为求0ax03的值域, 1a3. 0,2

x20x022

二、解答题

15.已知命题p：函数y(a1)x

在R上单调递增；命题q：不等式xx3a1的解集为R，

若pq为真，pq为假，求实数a的取值范围．答案：13,2

16.已知f(x)ln(axb)x，其中a0，b0，

（Ⅰ）若f(x)为[0,)上的减函数，求a,b应满足的关系；

（Ⅱ）解不等式ln(1

x1x)x1

ln21。

【答案】（Ⅰ）ab；（Ⅱ）所求不等式的解集为 [152,0)[12

,)．【解析】

17.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面△ABC为等腰直角三角形，ABC90，D为棱BB1上一点，且平面DA1C⊥平面AA1C1C.

(Ⅰ)求证：D为棱BB1的中点；（Ⅱ）

AA1

为何值时，二面角AA1DC的平面角为60

试题解析：（Ⅰ）过点D作DE ⊥ A1 C 于E点，取AC的中点F，连BF ﹑EF

(Ⅱ）解法1：建立如图所示的直角坐标系，

据题意有：

AA12b2b2a2



2 解得： AB

＝

a2 12分

考点：1.平面和平面垂直的性质定理；2.直线和平面平行的判定和性质；3.用空间向量处理二

面角

3、如图，海上有A，

B两个小岛相距10km，船O将保持观望A岛和B岛所成的视角为60，现从船O上派下一只小艇沿BO方向驶至C处进行作业，且OCBO．设ACxkm．（1）用x分别表示OA2OB2和OAOB，并求出x的取值范围；

（2）晚上小艇在C处发出一道强烈的光线照射A岛，B岛至光线CA的距离为BD，求BD的最大值．

(第18题图)

解：（1）在OAC中，AOC120，ACx，

由余弦定理得，OA2OC22OAOCcos120x2，

又OCBO，所以OA2OB22OAOBcos120x2 ①， ………………2分在OAB中，AB10，AOB60

由余弦定理得，OA2OB22OAOBcos60100 ②， ………………4分 2

①+②得OA2OB2

x100

， ①-②得4OAOBcos60x2100，即OAOB

100

， ………………6分又OA2OB2≥2OAOB，所以x2100x21002

2≥2

，即x≤300， x2 又OAOB1002

＞0，即x2

＞100，

所以10＜x≤ ………………………………8分（2）易知SOABSOAC，

故SABC2SOAB212OAOBsin60

， ………………………10分又S1

ABC

ACBD，设BDf(x)，

所以f(x)x(10，， ……………………………12分

又f(x)100

2x

2)，

……………………………14分则f(x

)在(10，上是增函数，

所以f(x

)的最大值为f10，即BD的最大值为10． ……………………16分（利用单调性定义证明f(x

)在(10，上是增函数，同样给满分；如果直接说出f(x

) (10，上是增函数，但未给出证明，扣2分．）

P(0,1)是椭圆Cx2y2

18.如图,点1:a2b

21(ab0)的一个顶点,C1的长轴是圆

C2:x2y24的直径.l1,l2是过点P且互相垂直的两条直线,其中l1交圆C2于两点,l2交

椭圆C1于另一点D

(1)求椭圆C1的方程; (2)求ABD面积取最大值时直线l1的方程.

（第21题图）

解:(Ⅰ)由已知得到b1,且2a4a2,所以椭圆的方程是x2

y24

1; (Ⅱ)因为直线l1l2,且都过点P(0,1),所以设直线l1:ykx1kxy10,直线

l:y1

2kx1xkyk0

,所以圆心

(0,0)

到

直线

l1:

y

k1x

k的距离为1x

0dy所以直线l2

,1被圆x

y4所截

的弦AB

由xkyk0k2x24x2

8kx0,所以

x2

4

y2

1xx8kDPk24|DP|k24

,所以

S114ABD

2|AB||DP|2k24k244k2

3

13

2







当



k2

52k时等号成立,此时

直线l1:yx1

17.已知函数f(x)ln(11

ax)x2ax。

（a为常数，a0）（Ⅰ）若x

是函数f(x)的一个极值点，求a的值；（Ⅱ）求证：当0a2时，f(x)在[12

,)上是增函数；

（Ⅲ）若对任意的a(1,2)，总存在x1

0[2

,1]，使不等式f(x0)m(1a)成立，求实数m的取值范围。

1a22a221a2a2(a2)(a1)

（Ⅱ）当0a2时， 0 

22a2a22a2aa2212ax

0 又0 f'(x)0 当x时，x

2a21ax

故f(x)在[,)上是增函数 6分

ln(121

a)1am（a21)否符合要求即可求实数m1

2ax(xa2试题解析：f'(x))12xa

212ax1ax（Ⅰ）由已知，得f'(1

a222

)0且

2a0，a2a20 a0 a2 3分

2.【湖北省部分重点中学2014届高三第一次联考数学】已知椭圆Cxy

b

1（ab0）

的右焦点F，右顶点A,右准线x4且|AF|1．

(1)求椭圆C的标准方程；

（2）动直线l：ykxm与椭圆C有且只有一个交点P，且与右准线相交于点Q，试探究在平面直角坐标系内是否存在点M，使得以PQ为直径的圆恒过定点M？若存在，求出点M坐标；若不存在，说明理由．

试题解析：（1）由题意，a2

4，ac1，a2，c1，由a2b2c2得b3. 椭圆C的标准方程为x2y2

43

1. …………5分

考点：椭圆的性质，直线与椭圆的关系，向量的数量积.