四、压力容器疲劳裂纹形成与扩展寿命估算
前面讲到的S-N 疲劳设计曲线的方法，对裂纹形成寿命和扩展寿命未加区别，故属于全寿命预测方法（传统疲劳设计方法）。
1、主要方法 （1）名义应力法
名义应力是指缺口试样或要计算的结构元件的载荷，被试样的净面积所除后得到的应力值。名义应力法是一种传统的安全疲劳寿命估算法。一般地说，结构或构件的实际破坏，往往是从结构内部或表面具有应力集中的缺陷部位开始的。从理论上讲，应该用缺陷部位的局部应力来进行结构的疲劳寿命估算，但是这样做有较大的实际困难。因为缺陷往往是随机分布的，缺陷的尺寸和部位对各种结构也是变化的，再加上残余应力的作用，使问题变得十分复杂。进行损伤计算和寿命估算时，不可能对每一缺陷部位的应力或应变水平都进行理论分析和实际测量，为此，提出了用名义应力法去估算疲劳寿命。
（2）局部应力应变法
局部应力-应变法应用了自五十年代以来的低周疲劳的研究成果，用ε-N 关系代替了S -N 曲线，用循环的σ-ε曲线代替了单调的
σ-ε曲线。局部应力-应变法的基本思想，是认为零件和构件的整体
疲劳性能，取决于最危险区域的局部应力-应变状态。局部应力-应变法基于这样的假定：如果一个结构在危险部位处的应力和应变能够与
实验室光滑试样的循环应力和应变联系起来，那么结构的疲劳裂纹形成寿命将和试样的疲劳寿命是相同的。
（3）场强法
应力场强法的提出是基于如下理念：结构件所存在的缺口是一切工程结构的“薄弱环节”，无论是在静载、疲劳载荷，还是动载荷下，结构的强度都却决于缺口强度，缺口通常控制着整个结构件的强度和寿命。若缺口根部的应力场强度的历程与光滑试件的应力场强度的历程相同，则两者具有相同的寿命。应力场强法的计算过程是：基于材料的循环应力应变曲线，通过弹塑性有限元分析计算缺口件的应力场强度历程，然后根据材料的S -N 曲线或ε-N 曲线，结合疲劳累积损伤理论估算缺口件的疲劳寿命。应力场强法可以很好解释某些名义应力法和局部应力应变法无法解释的疲劳现象，如:疲劳缺口系数K f 、疲劳尺寸系数ε、疲劳加载方式因子C L 、疲劳极限图等。
。
K f
也可用下式表示：
向距缺口中心的距离。
2、低周疲劳裂纹萌生寿命估算方法（局部应力应变法）
对低周疲劳，如仍按应力幅与疲劳次数作图，数据分散，疲劳曲线不可靠，因此，低周疲劳的疲劳寿命都是用ε-N 曲线来描述。至今，业已有多种低周疲劳寿命预测公式，其中应用比较广泛是Masion-Conffin 方程、拉伸滞后能损伤函数和三参数幂函数公式等。
（1）Masion-Conffin 方程
Masion-Conffin 方程是目前国内外应用最为广泛的预测模型，其表达式为：
'
∆ε∆εe ∆εp σf
=+=(2N f ) b +ε' f (2N f ) c 222E
式中：
∆εp 2
∆εe
——弹性应变幅； 2
——塑性应变幅；
∆ε
——总应变幅。 2
上式可分开写成
σ∆ε
e =f (2N f ) b
2E
'
∆εp 2
=ε' f (2N f ) c
式中：σ' f ——疲劳强度系数；
ε' f ——疲劳延性系数； b ——疲劳强度指数；
c ——疲劳延性指数； E ——弹性模量。
在双对数坐标系中，Masion-Conffin 方程描述的总应变-寿命关系曲线、塑性应变-寿命曲线和弹性应变-寿命曲线近似为直线（如图4所示）。
在图4中，N T 称为过渡寿命，交点为高周疲劳与低周疲劳的分界点。
在高应变区，即N f
塑性；而在低应变区，即N f >N T 时，对疲劳寿命起主导的是材料的强度。
图4 应变—寿命曲线
Masion-Conffin 公式虽然在工程中得到了广泛应用，但是也暴露出它的以下几个不足之处：
a. 有的金属（如某些铝合金）按Masion-Conffin 公式分解后的弹性线和塑性线在双对数坐标系中不能很好地拟合成直线，而均是向下略向内弯的曲线；
b. 按Manson-Coffin 方程测定ε－N 曲线时，必须在滞后环稳定后，测得其∆εe 和∆εp ，再确定出b ，c ，σ' f ，ε' f 4个待定常数。实际中通常取50%寿命时所对应的滞后环为稳定的滞后环，但是有些材料在50%寿命时，其滞后环并未稳定，甚至有的到破坏也不稳定；
c. 成组试验中，当∆ε固定时，各试件的∆εe 和∆εp 则不尽相同，因而也就得不出固定∆εe 和∆εp 时的一组数据，这造成测定p －ε－N 曲线的困难；
d. 当N f →+∞时，∆ε→0，即Manson-Coffin 方程没有反映出材
（2）拉伸滞后能损伤函数法
拉伸滞后能损伤函数法认为低周疲劳损伤是由试样吸收的拉伸滞后能或应变能来控制的，由损伤函数来近似的这个能量为非弹性应变范围∆εin 和峰值拉伸应力σt 的乘积，即
∆W t =∆εin . σt ∆W t . N f =C 式中：σt ——最大循环拉伸应力；
∆εin ——非弹性应变范围。
滞后能损伤函数法存在有以下不足之处：
a. 用拉伸滞后能损伤函数法对高温合金的高温低周应变疲劳试验结果进行处理计算时，常常会出现计算出的塑性应变值非常小甚至是负值的情况，从而使计算出的拉伸滞后能非常小甚至是负值。在对拉伸滞后能-寿命曲线进行拟合处理时，这类点将被示为无效的数据点，不能使试验数据得到充分的利用；
b. 用拉伸滞后能损伤函数法来描述∆W t -N f 曲线时，对疲劳寿命起主要作用的是滞后能，即平均应力的影响居第一位，平均应变的影响则较小。拉伸滞后能损伤函数法虽然考虑了平均应力的因素，但其采用的拉伸滞后能参量与疲劳损伤过程中试样吸收的真实滞后能存在一定的差异。由于平均应力的存在，这种差异对于高温合金的高温低周疲劳尤为明显；
c. 当N f →+∞时，∆W t →0，即滞后能损伤函数法没有反映出材
（3）三参数幂函数公式
傅惠民对大量ε－N 曲线试验数据进行分析和研究后，提出了ε－N 曲线三参数幂函数公式：
m
N f (∆εt -∆εo ) =C
式中，∆εo ，m ，C 均为待定常数。
目前，美国军用标准MIL-HDBK-5J 在处理低周应变疲劳时也采用三参数幂函数公式。
郑修麟对三参数幂函数公式进行简化，将m 值取2，得应变疲劳公式
N f (∆εt -∆εo ) 2=C
3、高低周复合疲劳估算
一般地，压力容器疲劳并不是单一的常幅载荷疲劳。如超高压聚乙烯反应管在服役期间要同时经受开停工时低循环载荷和正常操作与脉冲运转时的高频交变内压载荷的作用，是典型的高低循环复合疲劳问题。许多金属材料的疲劳结果表明，增加复合循环中的高频部分振幅，有时比增加同幅度的低频部分的振幅，更使材料的疲劳强度降低。如对1Cr18Ni9Ti 、45#钢等材料的大量实验表明，当高频应力幅大于10%，频率大于2000时，就应计及高频交变载荷的作用，对25Cr2MoV 的实验，也证明了高频载荷的变化幅度和加载频率对反应管寿命的影响。
对于高低周复合疲劳问题需采用疲劳损伤累积理论进行分析，有
关情况说明如下。
（1）线性疲劳累积损伤理论
疲劳过程既可以看成是损伤趋于一个临界损伤值的累积过程，也可以看成是材料固有寿命的消耗过程。线性疲劳累积损伤理论就是假设损伤D 是线性累积的，损伤D 与循环次数比n /N （n 为实际循环次数，N 为该应力下的破坏循环次数）具有线性关系，即：
D ∝n /N
在给定的应力水平下，每一循环产生等量的损伤。如在一个应力水平下所消耗的寿命的某个百分数，等于在任何另一个不同的应力水平下所消耗的寿命的同一个百分数。以图5为例，如在σ1下循环n 1次和在σ2下循环n 2次所造成的损伤是一样的，都消耗了寿命的三分之一，于是在两级加载中， E 点和F 点对应的消耗了的寿命为破坏循环寿命N 2的三分之一，当材料在σ1下工作到E 点后还可以在σ2下从F 点工作到D 点。
图5 线性疲劳累积损伤示意图
线性累积损伤理论由于没有考虑到载荷间的干涉效应，造成一些计算上的矛盾，如算出的损伤度大于1。因此，人们提出了非线性疲
劳累积损伤理论。
（2）非线性疲劳累积损伤理论
非线性疲劳累积损伤理论主要有以下两种：
一是由N . M . 纽马克、S . M . 马科和D . 韦伯等人提出的，用幂指数函数表达的损伤度D 与循环次数比n /N 的关系。即
α
D ∝(n /N )
式中α为常系数。
如图6所示，直线1代表线形疲劳累积损伤方程；曲线OAP 、OBP 分别表示等幅对称循环应力σ1、σ2作用时损伤度与循环次数之比为幂指数关系的曲线。图中，A 、B 两点的损伤度一样，则根据上式有(n 1/N 1) α=(n 2/N 2) α。
图6 非线性疲劳累积损伤示意图
另一种是由H . T 科尔顿和T . J . 多兰提出的非线性累积损伤理论，该理论认为：在试样表面的许多地方可能出现损伤，损伤核的数目m 由材料所承受的应力水平决定。在给定的应力作用下所产生的疲劳损伤度D ，可用下式表示：
a
D =mrn
其中：α——常数；
m ——损伤核的数目；
r ——损伤系数；
n ——给定应力的循环数。
（3）双线性疲劳累积损伤理论
H . J . 格罗弗等人认为，在线性疲劳累积损伤理论中没有考虑载荷顺序对疲劳损伤的影响，这主要是因为Miner 线性累积损伤理论无法将疲劳过程中的裂纹形成和裂纹扩展两个阶段区分开来的缘故，由此提出了双线性累积损伤理论，即用两条直线分别表示裂纹形成和裂纹扩展过程，而且裂纹扩展寿命∆N 和裂纹形成寿命N 0与总寿命N 有如下关系
∆N =PN 0.6 N 0=N -∆N =N -PN 0.6 其中：P ——拟合系数。
需要指出的是，尽管多年来提出了几十种疲劳损伤累积理论，但在疲劳计算和设计中，因非线性累计损伤计算公式中参数的测量比较困难且计算较繁琐，以致这些公式在实际应用上不广，Miner 法则比较简单、便于工程应用，且在不少场合其精度也不见得比其它的差。所以，目前应用最多的仍然是基于Miner 法则的线性疲劳损伤累计理论。
根据Miner 法则便可推导出反应管在考虑高低循环复合疲劳时
疲劳寿命的计算公式如下
n n 11
=+H 1+H 2 N cr N L N H 1N H 2
式中，N L 、N H 1、N H 2分别为开停工工况、正常操作工况、脉冲变动工况下的疲劳寿命，n H 1和n H 2分别为每次开停工中正常操作工况和脉冲变动工况下的载荷应运次数。
2.4.2疲劳裂纹扩展寿命估算（主要以超高压容器为对象）
对于疲劳裂纹扩展阶段的分析，目前大都采用断裂力学的方法。它所描述的对象通常为一条主裂纹在交变载荷下的扩展规律，其所采用的数学模型主要是由应力强度因子或守恒积分所控制的各种类型的裂纹扩展速率公式。
对于有缺口（裂纹）或结构不连续处的疲劳分析，应在光滑试件疲劳强度的基础上，将疲劳强度减弱系数考虑进去，然后估算疲劳寿命。这种方法比较粗略，而且偏于保守。断裂力学的兴起为材料脆裂即低应力破环问题的研究开创了新的途径，而线弹性断裂力学又是断裂力学的重要组成部分和理论基础。它对高强度钢、超高强度钢的低应力脆断提供了相当满意的研究成果，对中、低强度钢的低应力脆性破环也适用，因此，用于压力容器的疲劳断裂分析是合适的。
工程上遇到的断裂可以分解成Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型三种，其中以张开型（Ⅰ型）最常见和最危险，工程上主要研究的是这种类型的低应力脆断问题，下面的分析也是以这类断裂类型为对象。
用断裂力学方法估算超高压容器的裂纹扩展寿命的步骤如下：
（1）确定初始裂纹尺寸a o
初始裂纹尺寸一般包括材料的冶金缺陷，冷热加工和装配过程中构件表面产生的最大裂纹尺寸，以及使用中受腐蚀环境作用产生的裂纹尺寸等。
（2）确定应力强度因子K Ⅰ
应力强度因子的计算是线弹性力学的一个重要内容。对于某些简单的受力、几何形状及边界条件的构件，可以利用数学方法得到解析表达式，或从有关资料查得并作计算。超高压容器受内压疲劳时的裂纹扩展特点是，疲劳裂纹以内壁裂纹为裂源，向外壁以半椭圆状态扩展，属于三向应力的疲劳问题，需考虑内压对裂纹产生的液楔的影响。 表面裂纹是厚壁容器裂纹的主要形式，下面是对厚壁容器表面裂纹应力强度因子的计算分析。
Newman-Raju （1979）提出表面裂纹的K Ⅰ计算式，是目前最完善、应用范围最广的计算方法。设裂纹长为2c 、深为a ，容器的壁厚为t ，计入内压引起的液楔效应和曲率约束的修正，则有
（σt +Hσb +pi
K Ⅰ=
F (a /c , a /t , ϕ). M s
式中：σt ——均匀拉伸应力，σt = σb ——弯曲应力，σb =
σmax +σmin
22
；
σmax -σmin
；
p i ——压力介质作用于裂纹表面产生液楔效应的内压力； Q ——表面裂纹的形状参数；
2
Q =φ2
-0.212⎛ σθa ⎫⎝σ⎪
s ⎭
φ=1+1.464(a /c )
1.65
(φ也可由椭圆积分表查出)
M s ——曲率约束系数； F ——表面修正系数。
F =⎡⎢⎛a 2⎫4
⎢M M ⎛⎣⎝t ⎭ a ⎫⎤1+M 2 ⎪+⎝3t ⎪⎭⎥⎥f ⎦
ϕ g f w
M 1=1.12-0.09(a /c )
M 2=-0.54+0.89/(0.2+a /c ) M 3=0.5-1/(0.65+a /c ) +14(1-a /c ) 24
g =1+⎡⎢⎛a ⎫2
⎤
⎢0.1+0.35⎣ ⎝t ⎪⎭⎥⎥(1-sin ϕ) 2
⎦
1
2
4
f ⎡⎛a ⎫22
⎤ϕ=⎢⎢ ⎝t ⎪⎭cos ϕ+sin ϕ⎥
⎣⎥⎦
f =⎡⎢sec w ⎣
H 的计算如下：
H =H 1+(H 2-H 1)sin p ϕ （2-17）
p =0.2+a /c +0.6(a /t ) H 1=1-0.34(a /c ) -0.11(a /c )(a /t ) H 2=1+G 1(a /t ) -G 2(a /t ) 2 G 1=-1.22-0.12(a /c ) G 2=0.55-1.05(a /c ) 0.75+0.47(a /c ) 1.5曲率约束系数M s 为
t ⎛K 2+1-
M s =0.63 2 a ⎝K -1（3）计算临界裂纹尺寸a c
设材料的断裂韧性为K Ⅰc ，由断裂判据K Ⅰ=K Ⅰc 得 a c =
M e 2. π. p c 2.{
2
K ⅠC Q
1+[
K 1+a /t (K -1)
]
2
+1}2
K -1
式中：p c ——容器不发生脆断时的最大允许内压； M e ——弹性增大因子，按下式计算：
M e =M 1. M 2 其中： M 1=1+0.12(1-a /c )
M 2=
（4）计算疲劳裂纹扩展寿命
通常，工程上研究疲劳裂纹扩展速率da /dN 与应力强度因子幅值
∆K 关系主要采用Paris-Erdogan 的经验公式
da
=C (∆K ) n dN
式中：c ，n ——是由材料决定的常数，由实验确定； ∆K ——每次循环中应力强度的变化幅度。
实际影响裂纹扩展的因素很多，如带裂纹体的形状和应力应变的过程、裂纹尺寸和形状、平均应力、加载方式、加载速率、循环频率、介质条件和温度、材料的组织结构等。Paris 表达式概括的因素太少，不能反应平均应力的影响以及裂纹的加速效应。为此，Foreman 提出如下的修正式：
da C (∆K ) n
= dN (1-R ) K c -∆K
式中：R ——应力比，R =
σmin
。 σmax
对上述2式从初始裂纹尺寸a o 到临界裂纹尺寸a c 求定积分，便可以得到疲劳裂纹扩展阶段的寿命N 。如相对Paris 原始式的疲劳寿命和经过N 次循环后裂纹的长度尺寸a f 计算式为：
N f =a f =
2
(
m -2)C (M ∆σ1
⎡
⎢⎛1⎫
⎪⎢ a ⎝c ⎭⎢⎣
m -2
2
m
m -2m -2
⎡⎤22⎛⎫⎛⎫1⎢1⎥- ⎪ ⎪⎢⎝a 0⎭⎥a c ⎭⎝⎢⎥⎣⎦
-
(
m -2)N C (M ∆σ2
m
⎤
⎥⎥⎥⎦
2m -2
四、压力容器疲劳裂纹形成与扩展寿命估算
前面讲到的S-N 疲劳设计曲线的方法，对裂纹形成寿命和扩展寿命未加区别，故属于全寿命预测方法（传统疲劳设计方法）。
1、主要方法 （1）名义应力法
名义应力是指缺口试样或要计算的结构元件的载荷，被试样的净面积所除后得到的应力值。名义应力法是一种传统的安全疲劳寿命估算法。一般地说，结构或构件的实际破坏，往往是从结构内部或表面具有应力集中的缺陷部位开始的。从理论上讲，应该用缺陷部位的局部应力来进行结构的疲劳寿命估算，但是这样做有较大的实际困难。因为缺陷往往是随机分布的，缺陷的尺寸和部位对各种结构也是变化的，再加上残余应力的作用，使问题变得十分复杂。进行损伤计算和寿命估算时，不可能对每一缺陷部位的应力或应变水平都进行理论分析和实际测量，为此，提出了用名义应力法去估算疲劳寿命。
（2）局部应力应变法
局部应力-应变法应用了自五十年代以来的低周疲劳的研究成果，用ε-N 关系代替了S -N 曲线，用循环的σ-ε曲线代替了单调的
σ-ε曲线。局部应力-应变法的基本思想，是认为零件和构件的整体
疲劳性能，取决于最危险区域的局部应力-应变状态。局部应力-应变法基于这样的假定：如果一个结构在危险部位处的应力和应变能够与
实验室光滑试样的循环应力和应变联系起来，那么结构的疲劳裂纹形成寿命将和试样的疲劳寿命是相同的。
（3）场强法
应力场强法的提出是基于如下理念：结构件所存在的缺口是一切工程结构的“薄弱环节”，无论是在静载、疲劳载荷，还是动载荷下，结构的强度都却决于缺口强度，缺口通常控制着整个结构件的强度和寿命。若缺口根部的应力场强度的历程与光滑试件的应力场强度的历程相同，则两者具有相同的寿命。应力场强法的计算过程是：基于材料的循环应力应变曲线，通过弹塑性有限元分析计算缺口件的应力场强度历程，然后根据材料的S -N 曲线或ε-N 曲线，结合疲劳累积损伤理论估算缺口件的疲劳寿命。应力场强法可以很好解释某些名义应力法和局部应力应变法无法解释的疲劳现象，如:疲劳缺口系数K f 、疲劳尺寸系数ε、疲劳加载方式因子C L 、疲劳极限图等。
。
K f
也可用下式表示：
向距缺口中心的距离。
2、低周疲劳裂纹萌生寿命估算方法（局部应力应变法）
对低周疲劳，如仍按应力幅与疲劳次数作图，数据分散，疲劳曲线不可靠，因此，低周疲劳的疲劳寿命都是用ε-N 曲线来描述。至今，业已有多种低周疲劳寿命预测公式，其中应用比较广泛是Masion-Conffin 方程、拉伸滞后能损伤函数和三参数幂函数公式等。
（1）Masion-Conffin 方程
Masion-Conffin 方程是目前国内外应用最为广泛的预测模型，其表达式为：
'
∆ε∆εe ∆εp σf
=+=(2N f ) b +ε' f (2N f ) c 222E
式中：
∆εp 2
∆εe
——弹性应变幅； 2
——塑性应变幅；
∆ε
——总应变幅。 2
上式可分开写成
σ∆ε
e =f (2N f ) b
2E
'
∆εp 2
=ε' f (2N f ) c
式中：σ' f ——疲劳强度系数；
ε' f ——疲劳延性系数； b ——疲劳强度指数；
c ——疲劳延性指数； E ——弹性模量。
在双对数坐标系中，Masion-Conffin 方程描述的总应变-寿命关系曲线、塑性应变-寿命曲线和弹性应变-寿命曲线近似为直线（如图4所示）。
在图4中，N T 称为过渡寿命，交点为高周疲劳与低周疲劳的分界点。
在高应变区，即N f
塑性；而在低应变区，即N f >N T 时，对疲劳寿命起主导的是材料的强度。
图4 应变—寿命曲线
Masion-Conffin 公式虽然在工程中得到了广泛应用，但是也暴露出它的以下几个不足之处：
a. 有的金属（如某些铝合金）按Masion-Conffin 公式分解后的弹性线和塑性线在双对数坐标系中不能很好地拟合成直线，而均是向下略向内弯的曲线；
b. 按Manson-Coffin 方程测定ε－N 曲线时，必须在滞后环稳定后，测得其∆εe 和∆εp ，再确定出b ，c ，σ' f ，ε' f 4个待定常数。实际中通常取50%寿命时所对应的滞后环为稳定的滞后环，但是有些材料在50%寿命时，其滞后环并未稳定，甚至有的到破坏也不稳定；
c. 成组试验中，当∆ε固定时，各试件的∆εe 和∆εp 则不尽相同，因而也就得不出固定∆εe 和∆εp 时的一组数据，这造成测定p －ε－N 曲线的困难；
d. 当N f →+∞时，∆ε→0，即Manson-Coffin 方程没有反映出材
（2）拉伸滞后能损伤函数法
拉伸滞后能损伤函数法认为低周疲劳损伤是由试样吸收的拉伸滞后能或应变能来控制的，由损伤函数来近似的这个能量为非弹性应变范围∆εin 和峰值拉伸应力σt 的乘积，即
∆W t =∆εin . σt ∆W t . N f =C 式中：σt ——最大循环拉伸应力；
∆εin ——非弹性应变范围。
滞后能损伤函数法存在有以下不足之处：
a. 用拉伸滞后能损伤函数法对高温合金的高温低周应变疲劳试验结果进行处理计算时，常常会出现计算出的塑性应变值非常小甚至是负值的情况，从而使计算出的拉伸滞后能非常小甚至是负值。在对拉伸滞后能-寿命曲线进行拟合处理时，这类点将被示为无效的数据点，不能使试验数据得到充分的利用；
b. 用拉伸滞后能损伤函数法来描述∆W t -N f 曲线时，对疲劳寿命起主要作用的是滞后能，即平均应力的影响居第一位，平均应变的影响则较小。拉伸滞后能损伤函数法虽然考虑了平均应力的因素，但其采用的拉伸滞后能参量与疲劳损伤过程中试样吸收的真实滞后能存在一定的差异。由于平均应力的存在，这种差异对于高温合金的高温低周疲劳尤为明显；
c. 当N f →+∞时，∆W t →0，即滞后能损伤函数法没有反映出材
（3）三参数幂函数公式
傅惠民对大量ε－N 曲线试验数据进行分析和研究后，提出了ε－N 曲线三参数幂函数公式：
m
N f (∆εt -∆εo ) =C
式中，∆εo ，m ，C 均为待定常数。
目前，美国军用标准MIL-HDBK-5J 在处理低周应变疲劳时也采用三参数幂函数公式。
郑修麟对三参数幂函数公式进行简化，将m 值取2，得应变疲劳公式
N f (∆εt -∆εo ) 2=C
3、高低周复合疲劳估算
一般地，压力容器疲劳并不是单一的常幅载荷疲劳。如超高压聚乙烯反应管在服役期间要同时经受开停工时低循环载荷和正常操作与脉冲运转时的高频交变内压载荷的作用，是典型的高低循环复合疲劳问题。许多金属材料的疲劳结果表明，增加复合循环中的高频部分振幅，有时比增加同幅度的低频部分的振幅，更使材料的疲劳强度降低。如对1Cr18Ni9Ti 、45#钢等材料的大量实验表明，当高频应力幅大于10%，频率大于2000时，就应计及高频交变载荷的作用，对25Cr2MoV 的实验，也证明了高频载荷的变化幅度和加载频率对反应管寿命的影响。
对于高低周复合疲劳问题需采用疲劳损伤累积理论进行分析，有
关情况说明如下。
（1）线性疲劳累积损伤理论
疲劳过程既可以看成是损伤趋于一个临界损伤值的累积过程，也可以看成是材料固有寿命的消耗过程。线性疲劳累积损伤理论就是假设损伤D 是线性累积的，损伤D 与循环次数比n /N （n 为实际循环次数，N 为该应力下的破坏循环次数）具有线性关系，即：
D ∝n /N
在给定的应力水平下，每一循环产生等量的损伤。如在一个应力水平下所消耗的寿命的某个百分数，等于在任何另一个不同的应力水平下所消耗的寿命的同一个百分数。以图5为例，如在σ1下循环n 1次和在σ2下循环n 2次所造成的损伤是一样的，都消耗了寿命的三分之一，于是在两级加载中， E 点和F 点对应的消耗了的寿命为破坏循环寿命N 2的三分之一，当材料在σ1下工作到E 点后还可以在σ2下从F 点工作到D 点。
图5 线性疲劳累积损伤示意图
线性累积损伤理论由于没有考虑到载荷间的干涉效应，造成一些计算上的矛盾，如算出的损伤度大于1。因此，人们提出了非线性疲
劳累积损伤理论。
（2）非线性疲劳累积损伤理论
非线性疲劳累积损伤理论主要有以下两种：
一是由N . M . 纽马克、S . M . 马科和D . 韦伯等人提出的，用幂指数函数表达的损伤度D 与循环次数比n /N 的关系。即
α
D ∝(n /N )
式中α为常系数。
如图6所示，直线1代表线形疲劳累积损伤方程；曲线OAP 、OBP 分别表示等幅对称循环应力σ1、σ2作用时损伤度与循环次数之比为幂指数关系的曲线。图中，A 、B 两点的损伤度一样，则根据上式有(n 1/N 1) α=(n 2/N 2) α。
图6 非线性疲劳累积损伤示意图
另一种是由H . T 科尔顿和T . J . 多兰提出的非线性累积损伤理论，该理论认为：在试样表面的许多地方可能出现损伤，损伤核的数目m 由材料所承受的应力水平决定。在给定的应力作用下所产生的疲劳损伤度D ，可用下式表示：
a
D =mrn
其中：α——常数；
m ——损伤核的数目；
r ——损伤系数；
n ——给定应力的循环数。
（3）双线性疲劳累积损伤理论
H . J . 格罗弗等人认为，在线性疲劳累积损伤理论中没有考虑载荷顺序对疲劳损伤的影响，这主要是因为Miner 线性累积损伤理论无法将疲劳过程中的裂纹形成和裂纹扩展两个阶段区分开来的缘故，由此提出了双线性累积损伤理论，即用两条直线分别表示裂纹形成和裂纹扩展过程，而且裂纹扩展寿命∆N 和裂纹形成寿命N 0与总寿命N 有如下关系
∆N =PN 0.6 N 0=N -∆N =N -PN 0.6 其中：P ——拟合系数。
需要指出的是，尽管多年来提出了几十种疲劳损伤累积理论，但在疲劳计算和设计中，因非线性累计损伤计算公式中参数的测量比较困难且计算较繁琐，以致这些公式在实际应用上不广，Miner 法则比较简单、便于工程应用，且在不少场合其精度也不见得比其它的差。所以，目前应用最多的仍然是基于Miner 法则的线性疲劳损伤累计理论。
根据Miner 法则便可推导出反应管在考虑高低循环复合疲劳时
疲劳寿命的计算公式如下
n n 11
=+H 1+H 2 N cr N L N H 1N H 2
式中，N L 、N H 1、N H 2分别为开停工工况、正常操作工况、脉冲变动工况下的疲劳寿命，n H 1和n H 2分别为每次开停工中正常操作工况和脉冲变动工况下的载荷应运次数。
2.4.2疲劳裂纹扩展寿命估算（主要以超高压容器为对象）
对于疲劳裂纹扩展阶段的分析，目前大都采用断裂力学的方法。它所描述的对象通常为一条主裂纹在交变载荷下的扩展规律，其所采用的数学模型主要是由应力强度因子或守恒积分所控制的各种类型的裂纹扩展速率公式。
对于有缺口（裂纹）或结构不连续处的疲劳分析，应在光滑试件疲劳强度的基础上，将疲劳强度减弱系数考虑进去，然后估算疲劳寿命。这种方法比较粗略，而且偏于保守。断裂力学的兴起为材料脆裂即低应力破环问题的研究开创了新的途径，而线弹性断裂力学又是断裂力学的重要组成部分和理论基础。它对高强度钢、超高强度钢的低应力脆断提供了相当满意的研究成果，对中、低强度钢的低应力脆性破环也适用，因此，用于压力容器的疲劳断裂分析是合适的。
工程上遇到的断裂可以分解成Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型三种，其中以张开型（Ⅰ型）最常见和最危险，工程上主要研究的是这种类型的低应力脆断问题，下面的分析也是以这类断裂类型为对象。
用断裂力学方法估算超高压容器的裂纹扩展寿命的步骤如下：
（1）确定初始裂纹尺寸a o
初始裂纹尺寸一般包括材料的冶金缺陷，冷热加工和装配过程中构件表面产生的最大裂纹尺寸，以及使用中受腐蚀环境作用产生的裂纹尺寸等。
（2）确定应力强度因子K Ⅰ
应力强度因子的计算是线弹性力学的一个重要内容。对于某些简单的受力、几何形状及边界条件的构件，可以利用数学方法得到解析表达式，或从有关资料查得并作计算。超高压容器受内压疲劳时的裂纹扩展特点是，疲劳裂纹以内壁裂纹为裂源，向外壁以半椭圆状态扩展，属于三向应力的疲劳问题，需考虑内压对裂纹产生的液楔的影响。 表面裂纹是厚壁容器裂纹的主要形式，下面是对厚壁容器表面裂纹应力强度因子的计算分析。
Newman-Raju （1979）提出表面裂纹的K Ⅰ计算式，是目前最完善、应用范围最广的计算方法。设裂纹长为2c 、深为a ，容器的壁厚为t ，计入内压引起的液楔效应和曲率约束的修正，则有
（σt +Hσb +pi
K Ⅰ=
F (a /c , a /t , ϕ). M s
式中：σt ——均匀拉伸应力，σt = σb ——弯曲应力，σb =
σmax +σmin
22
；
σmax -σmin
；
p i ——压力介质作用于裂纹表面产生液楔效应的内压力； Q ——表面裂纹的形状参数；
2
Q =φ2
-0.212⎛ σθa ⎫⎝σ⎪
s ⎭
φ=1+1.464(a /c )
1.65
(φ也可由椭圆积分表查出)
M s ——曲率约束系数； F ——表面修正系数。
F =⎡⎢⎛a 2⎫4
⎢M M ⎛⎣⎝t ⎭ a ⎫⎤1+M 2 ⎪+⎝3t ⎪⎭⎥⎥f ⎦
ϕ g f w
M 1=1.12-0.09(a /c )
M 2=-0.54+0.89/(0.2+a /c ) M 3=0.5-1/(0.65+a /c ) +14(1-a /c ) 24
g =1+⎡⎢⎛a ⎫2
⎤
⎢0.1+0.35⎣ ⎝t ⎪⎭⎥⎥(1-sin ϕ) 2
⎦
1
2
4
f ⎡⎛a ⎫22
⎤ϕ=⎢⎢ ⎝t ⎪⎭cos ϕ+sin ϕ⎥
⎣⎥⎦
f =⎡⎢sec w ⎣
H 的计算如下：
H =H 1+(H 2-H 1)sin p ϕ （2-17）
p =0.2+a /c +0.6(a /t ) H 1=1-0.34(a /c ) -0.11(a /c )(a /t ) H 2=1+G 1(a /t ) -G 2(a /t ) 2 G 1=-1.22-0.12(a /c ) G 2=0.55-1.05(a /c ) 0.75+0.47(a /c ) 1.5曲率约束系数M s 为
t ⎛K 2+1-
M s =0.63 2 a ⎝K -1（3）计算临界裂纹尺寸a c
设材料的断裂韧性为K Ⅰc ，由断裂判据K Ⅰ=K Ⅰc 得 a c =
M e 2. π. p c 2.{
2
K ⅠC Q
1+[
K 1+a /t (K -1)
]
2
+1}2
K -1
式中：p c ——容器不发生脆断时的最大允许内压； M e ——弹性增大因子，按下式计算：
M e =M 1. M 2 其中： M 1=1+0.12(1-a /c )
M 2=
（4）计算疲劳裂纹扩展寿命
通常，工程上研究疲劳裂纹扩展速率da /dN 与应力强度因子幅值
∆K 关系主要采用Paris-Erdogan 的经验公式
da
=C (∆K ) n dN
式中：c ，n ——是由材料决定的常数，由实验确定； ∆K ——每次循环中应力强度的变化幅度。
实际影响裂纹扩展的因素很多，如带裂纹体的形状和应力应变的过程、裂纹尺寸和形状、平均应力、加载方式、加载速率、循环频率、介质条件和温度、材料的组织结构等。Paris 表达式概括的因素太少，不能反应平均应力的影响以及裂纹的加速效应。为此，Foreman 提出如下的修正式：
da C (∆K ) n
= dN (1-R ) K c -∆K
式中：R ——应力比，R =
σmin
。 σmax
对上述2式从初始裂纹尺寸a o 到临界裂纹尺寸a c 求定积分，便可以得到疲劳裂纹扩展阶段的寿命N 。如相对Paris 原始式的疲劳寿命和经过N 次循环后裂纹的长度尺寸a f 计算式为：
N f =a f =
2
(
m -2)C (M ∆σ1
⎡
⎢⎛1⎫
⎪⎢ a ⎝c ⎭⎢⎣
m -2
2
m
m -2m -2
⎡⎤22⎛⎫⎛⎫1⎢1⎥- ⎪ ⎪⎢⎝a 0⎭⎥a c ⎭⎝⎢⎥⎣⎦
-
(
m -2)N C (M ∆σ2
m
⎤
⎥⎥⎥⎦
2m -2